Theorem ressascl 21171

Description: The injection of scalars is invariant between subalgebras and superalgebras. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressascl.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
ressascl.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
ressascl	⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → 𝐴 = (algSc‘𝑋))

Proof of Theorem ressascl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressascl.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑆)
2		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3	1, 2	resssca 17120	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
4	3	fveq2d 6813	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑋)))
5		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6	1, 5	ressvsca 17121	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑋))
7		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → 𝑥 = 𝑥)
8		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
9	1, 8	subrg1 20105	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → (1r‘𝑊) = (1r‘𝑋))
10	6, 7, 9	oveq123d 7334	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑋)(1r‘𝑋)))
11	4, 10	mpteq12dv 5176	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↦ (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))) = (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ↦ (𝑥( ·𝑠 ‘𝑋)(1r‘𝑋))))
12		ressascl.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
13		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
14	12, 2, 13, 5, 8	asclfval 21154	. 2 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↦ (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
15		eqid 2737	. . 3 ⊢ (algSc‘𝑋) = (algSc‘𝑋)
16		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑋)
17		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑋)) = (Base‘(Scalar‘𝑋))
18		eqid 2737	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑋) = ( ·𝑠 ‘𝑋)
19		eqid 2737	. . 3 ⊢ (1r‘𝑋) = (1r‘𝑋)
20	15, 16, 17, 18, 19	asclfval 21154	. 2 ⊢ (algSc‘𝑋) = (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ↦ (𝑥( ·𝑠 ‘𝑋)(1r‘𝑋)))
21	11, 14, 20	3eqtr4g 2802	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → 𝐴 = (algSc‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ↦ cmpt 5168  ‘cfv 6463  (class class class)co 7313  Basecbs 16979   ↾_s cress 17008  Scalarcsca 17032   ·_𝑠 cvsca 17033  1_rcur 19804  SubRingcsubrg 20091  algSccascl 21130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5222  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626  ax-cnex 10997  ax-resscn 10998  ax-1cn 10999  ax-icn 11000  ax-addcl 11001  ax-addrcl 11002  ax-mulcl 11003  ax-mulrcl 11004  ax-mulcom 11005  ax-addass 11006  ax-mulass 11007  ax-distr 11008  ax-i2m1 11009  ax-1ne0 11010  ax-1rid 11011  ax-rnegex 11012  ax-rrecex 11013  ax-cnre 11014  ax-pre-lttri 11015  ax-pre-lttrn 11016  ax-pre-ltadd 11017  ax-pre-mulgt0 11018

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4849  df-iun 4937  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-tr 5203  df-id 5505  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5560  df-we 5562  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-pred 6222  df-ord 6289  df-on 6290  df-lim 6291  df-suc 6292  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-riota 7270  df-ov 7316  df-oprab 7317  df-mpo 7318  df-om 7756  df-2nd 7875  df-frecs 8142  df-wrecs 8173  df-recs 8247  df-rdg 8286  df-er 8544  df-en 8780  df-dom 8781  df-sdom 8782  df-pnf 11081  df-mnf 11082  df-xr 11083  df-ltxr 11084  df-le 11085  df-sub 11277  df-neg 11278  df-nn 12044  df-2 12106  df-3 12107  df-4 12108  df-5 12109  df-6 12110  df-sets 16932  df-slot 16950  df-ndx 16962  df-base 16980  df-ress 17009  df-plusg 17042  df-mulr 17043  df-sca 17045  df-vsca 17046  df-0g 17219  df-mgm 18393  df-sgrp 18442  df-mnd 18453  df-subg 18819  df-mgp 19788  df-ur 19805  df-ring 19852  df-subrg 20093  df-ascl 21133

This theorem is referenced by:  evlseu  21364