MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressascl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressascl 21843
Description: The injection of scalars is invariant between subalgebras and superalgebras. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ressascl.a 𝐴 = (algScβ€˜π‘Š)
ressascl.x 𝑋 = (π‘Š β†Ύs 𝑆)
Assertion
Ref Expression
ressascl (𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š) β†’ 𝐴 = (algScβ€˜π‘‹))

Proof of Theorem ressascl
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ressascl.x . . . . 5 𝑋 = (π‘Š β†Ύs 𝑆)
2 eqid 2728 . . . . 5 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
31, 2resssca 17333 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘‹))
43fveq2d 6906 . . 3 (𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)))
5 eqid 2728 . . . . 5 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
61, 5ressvsca 17334 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š) β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘‹))
7 eqidd 2729 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š) β†’ π‘₯ = π‘₯)
8 eqid 2728 . . . . 5 (1rβ€˜π‘Š) = (1rβ€˜π‘Š)
91, 8subrg1 20535 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š) β†’ (1rβ€˜π‘Š) = (1rβ€˜π‘‹))
106, 7, 9oveq123d 7447 . . 3 (𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š)) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘‹)(1rβ€˜π‘‹)))
114, 10mpteq12dv 5243 . 2 (𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↦ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š))) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ↦ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘‹)(1rβ€˜π‘‹))))
12 ressascl.a . . 3 𝐴 = (algScβ€˜π‘Š)
13 eqid 2728 . . 3 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
1412, 2, 13, 5, 8asclfval 21826 . 2 𝐴 = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↦ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š)))
15 eqid 2728 . . 3 (algScβ€˜π‘‹) = (algScβ€˜π‘‹)
16 eqid 2728 . . 3 (Scalarβ€˜π‘‹) = (Scalarβ€˜π‘‹)
17 eqid 2728 . . 3 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹))
18 eqid 2728 . . 3 ( ·𝑠 β€˜π‘‹) = ( ·𝑠 β€˜π‘‹)
19 eqid 2728 . . 3 (1rβ€˜π‘‹) = (1rβ€˜π‘‹)
2015, 16, 17, 18, 19asclfval 21826 . 2 (algScβ€˜π‘‹) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ↦ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘‹)(1rβ€˜π‘‹)))
2111, 14, 203eqtr4g 2793 1 (𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š) β†’ 𝐴 = (algScβ€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ↦ cmpt 5235  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17189   β†Ύs cress 17218  Scalarcsca 17245   ·𝑠 cvsca 17246  1rcur 20135  SubRingcsubrg 20520  algSccascl 21800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-0g 17432  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-subg 19092  df-mgp 20089  df-ur 20136  df-ring 20189  df-subrg 20522  df-ascl 21803
This theorem is referenced by:  evlseu  22046
  Copyright terms: Public domain W3C validator