Theorem ressascl 21869

Description: The lifting of scalars is invariant between subalgebras and superalgebras. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressascl.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
ressascl.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
ressascl	⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → 𝐴 = (algSc‘𝑋))

Proof of Theorem ressascl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressascl.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑆)
2		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3	1, 2	resssca 17277	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
4	3	fveq2d 6848	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑋)))
5		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6	1, 5	ressvsca 17278	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑋))
7		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → 𝑥 = 𝑥)
8		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
9	1, 8	subrg1 20532	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → (1r‘𝑊) = (1r‘𝑋))
10	6, 7, 9	oveq123d 7391	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑋)(1r‘𝑋)))
11	4, 10	mpteq12dv 5187	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↦ (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))) = (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ↦ (𝑥( ·𝑠 ‘𝑋)(1r‘𝑋))))
12		ressascl.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
13		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
14	12, 2, 13, 5, 8	asclfval 21851	. 2 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↦ (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
15		eqid 2737	. . 3 ⊢ (algSc‘𝑋) = (algSc‘𝑋)
16		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑋)
17		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑋)) = (Base‘(Scalar‘𝑋))
18		eqid 2737	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑋) = ( ·𝑠 ‘𝑋)
19		eqid 2737	. . 3 ⊢ (1r‘𝑋) = (1r‘𝑋)
20	15, 16, 17, 18, 19	asclfval 21851	. 2 ⊢ (algSc‘𝑋) = (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ↦ (𝑥( ·𝑠 ‘𝑋)(1r‘𝑋)))
21	11, 14, 20	3eqtr4g 2797	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → 𝐴 = (algSc‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ↦ cmpt 5181  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  Basecbs 17150   ↾_s cress 17171  Scalarcsca 17194   ·_𝑠 cvsca 17195  1_rcur 20133  SubRingcsubrg 20519  algSccascl 21824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-ress 17172  df-plusg 17204  df-mulr 17205  df-sca 17207  df-vsca 17208  df-0g 17375  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-subg 19070  df-mgp 20093  df-ur 20134  df-ring 20187  df-subrg 20520  df-ascl 21827

This theorem is referenced by:  evlseu  22055