Theorem ressascl 21100

Description: The injection of scalars is invariant between subalgebras and superalgebras. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressascl.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
ressascl.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
ressascl	⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → 𝐴 = (algSc‘𝑋))

Proof of Theorem ressascl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressascl.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑆)
2		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3	1, 2	resssca 17053	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
4	3	fveq2d 6778	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑋)))
5		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6	1, 5	ressvsca 17054	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑋))
7		eqidd 2739	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → 𝑥 = 𝑥)
8		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
9	1, 8	subrg1 20034	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → (1r‘𝑊) = (1r‘𝑋))
10	6, 7, 9	oveq123d 7296	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑋)(1r‘𝑋)))
11	4, 10	mpteq12dv 5165	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↦ (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))) = (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ↦ (𝑥( ·𝑠 ‘𝑋)(1r‘𝑋))))
12		ressascl.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
13		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
14	12, 2, 13, 5, 8	asclfval 21083	. 2 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↦ (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
15		eqid 2738	. . 3 ⊢ (algSc‘𝑋) = (algSc‘𝑋)
16		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑋)
17		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑋)) = (Base‘(Scalar‘𝑋))
18		eqid 2738	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑋) = ( ·𝑠 ‘𝑋)
19		eqid 2738	. . 3 ⊢ (1r‘𝑋) = (1r‘𝑋)
20	15, 16, 17, 18, 19	asclfval 21083	. 2 ⊢ (algSc‘𝑋) = (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ↦ (𝑥( ·𝑠 ‘𝑋)(1r‘𝑋)))
21	11, 14, 20	3eqtr4g 2803	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → 𝐴 = (algSc‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912   ↾_s cress 16941  Scalarcsca 16965   ·_𝑠 cvsca 16966  1_rcur 19737  SubRingcsubrg 20020  algSccascl 21059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-subg 18752  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-subrg 20022  df-ascl 21062

This theorem is referenced by:  evlseu  21293