Theorem ressascl 21803

Description: The lifting of scalars is invariant between subalgebras and superalgebras. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressascl.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
ressascl.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
ressascl	⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → 𝐴 = (algSc‘𝑋))

Proof of Theorem ressascl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressascl.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑆)
2		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3	1, 2	resssca 17247	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
4	3	fveq2d 6826	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑋)))
5		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6	1, 5	ressvsca 17248	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑋))
7		eqidd 2730	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → 𝑥 = 𝑥)
8		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
9	1, 8	subrg1 20467	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → (1r‘𝑊) = (1r‘𝑋))
10	6, 7, 9	oveq123d 7370	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑋)(1r‘𝑋)))
11	4, 10	mpteq12dv 5179	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↦ (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))) = (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ↦ (𝑥( ·𝑠 ‘𝑋)(1r‘𝑋))))
12		ressascl.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
13		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
14	12, 2, 13, 5, 8	asclfval 21786	. 2 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↦ (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
15		eqid 2729	. . 3 ⊢ (algSc‘𝑋) = (algSc‘𝑋)
16		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑋)
17		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑋)) = (Base‘(Scalar‘𝑋))
18		eqid 2729	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑋) = ( ·𝑠 ‘𝑋)
19		eqid 2729	. . 3 ⊢ (1r‘𝑋) = (1r‘𝑋)
20	15, 16, 17, 18, 19	asclfval 21786	. 2 ⊢ (algSc‘𝑋) = (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ↦ (𝑥( ·𝑠 ‘𝑋)(1r‘𝑋)))
21	11, 14, 20	3eqtr4g 2789	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → 𝐴 = (algSc‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ↦ cmpt 5173  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Basecbs 17120   ↾_s cress 17141  Scalarcsca 17164   ·_𝑠 cvsca 17165  1_rcur 20066  SubRingcsubrg 20454  algSccascl 21759

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-0g 17345  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-subg 19002  df-mgp 20026  df-ur 20067  df-ring 20120  df-subrg 20455  df-ascl 21762

This theorem is referenced by:  evlseu  21988