Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressascl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressascl 20580
 Description: The injection of scalars is invariant between subalgebras and superalgebras. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ressascl.a 𝐴 = (algSc‘𝑊)
ressascl.x 𝑋 = (𝑊s 𝑆)
Assertion
Ref Expression
ressascl (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → 𝐴 = (algSc‘𝑋))

Proof of Theorem ressascl
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ressascl.x . . . . 5 𝑋 = (𝑊s 𝑆)
2 eqid 2822 . . . . 5 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
31, 2resssca 16641 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
43fveq2d 6656 . . 3 (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑋)))
5 eqid 2822 . . . . 5 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
61, 5ressvsca 16642 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑋))
7 eqidd 2823 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → 𝑥 = 𝑥)
8 eqid 2822 . . . . 5 (1r𝑊) = (1r𝑊)
91, 8subrg1 19536 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → (1r𝑊) = (1r𝑋))
106, 7, 9oveq123d 7161 . . 3 (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → (𝑥( ·𝑠𝑊)(1r𝑊)) = (𝑥( ·𝑠𝑋)(1r𝑋)))
114, 10mpteq12dv 5127 . 2 (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↦ (𝑥( ·𝑠𝑊)(1r𝑊))) = (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ↦ (𝑥( ·𝑠𝑋)(1r𝑋))))
12 ressascl.a . . 3 𝐴 = (algSc‘𝑊)
13 eqid 2822 . . 3 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
1412, 2, 13, 5, 8asclfval 20563 . 2 𝐴 = (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↦ (𝑥( ·𝑠𝑊)(1r𝑊)))
15 eqid 2822 . . 3 (algSc‘𝑋) = (algSc‘𝑋)
16 eqid 2822 . . 3 (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑋)
17 eqid 2822 . . 3 (Base‘(Scalar‘𝑋)) = (Base‘(Scalar‘𝑋))
18 eqid 2822 . . 3 ( ·𝑠𝑋) = ( ·𝑠𝑋)
19 eqid 2822 . . 3 (1r𝑋) = (1r𝑋)
2015, 16, 17, 18, 19asclfval 20563 . 2 (algSc‘𝑋) = (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ↦ (𝑥( ·𝑠𝑋)(1r𝑋)))
2111, 14, 203eqtr4g 2882 1 (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → 𝐴 = (algSc‘𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2114   ↦ cmpt 5122  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  Basecbs 16474   ↾s cress 16475  Scalarcsca 16559   ·𝑠 cvsca 16560  1rcur 19242  SubRingcsubrg 19522  algSccascl 20539 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-0g 16706  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-subg 18267  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-subrg 19524  df-ascl 20542 This theorem is referenced by:  evlseu  20753
 Copyright terms: Public domain W3C validator