Theorem ipole 18489

Description: Weak order condition of the inclusion poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipoval.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
ipole.l	⊢ ≤ = (le‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
ipole	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ 𝑋 ⊆ 𝑌))

Proof of Theorem ipole

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preq12 4669	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → {𝑥, 𝑦} = {𝑋, 𝑌})
2	1	sseq1d 3948	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ↔ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐹))
3		sseq12 3944	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝑥 ⊆ 𝑦 ↔ 𝑋 ⊆ 𝑌))
4	2, 3	anbi12d 633	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦) ↔ ({𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌)))
5		eqid 2735	. . . 4 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)}
6	4, 5	brabga 5478	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → (𝑋{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)}𝑌 ↔ ({𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌)))
7	6	3adant1 1131	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → (𝑋{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)}𝑌 ↔ ({𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌)))
8		ipole.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐼)
9		ipoval.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
10	9	ipolerval 18487	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} = (le‘𝐼))
11	8, 10	eqtr4id 2789	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ≤ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)})
12	11	breqd 5085	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ 𝑋{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)}𝑌))
13	12	3ad2ant1 1134	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ 𝑋{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)}𝑌))
14		prssi 4754	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐹)
15	14	3adant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐹)
16	15	biantrurd 532	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → (𝑋 ⊆ 𝑌 ↔ ({𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌)))
17	7, 13, 16	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ 𝑋 ⊆ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3885  {cpr 4559   class class class wbr 5074  {copab 5136  ‘cfv 6487  lecple 17216  toInccipo 18482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8632  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-fz 13451  df-struct 17106  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-tset 17228  df-ple 17229  df-ocomp 17230  df-ipo 18483

This theorem is referenced by:  ipolt  18490  ipopos  18491  isipodrs  18492  ipodrsfi  18494  mrelatglb  18515  mrelatglb0  18516  mrelatlub  18517  thlleval  21667  pwrssmgc  33048  nsgmgc  33460  ipolublem  49449  ipoglblem  49452