Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipole Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipole 17746
 Description: Weak order condition of the inclusion poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ipoval.i 𝐼 = (toInc‘𝐹)
ipole.l = (le‘𝐼)
Assertion
Ref Expression
ipole ((𝐹𝑉𝑋𝐹𝑌𝐹) → (𝑋 𝑌𝑋𝑌))

Proof of Theorem ipole
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 preq12 4644 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌) → {𝑥, 𝑦} = {𝑋, 𝑌})
21sseq1d 3974 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌) → ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ↔ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐹))
3 sseq12 3970 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌) → (𝑥𝑦𝑋𝑌))
42, 3anbi12d 633 . . . 4 ((𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌) → (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦) ↔ ({𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐹𝑋𝑌)))
5 eqid 2821 . . . 4 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)}
64, 5brabga 5394 . . 3 ((𝑋𝐹𝑌𝐹) → (𝑋{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)}𝑌 ↔ ({𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐹𝑋𝑌)))
763adant1 1127 . 2 ((𝐹𝑉𝑋𝐹𝑌𝐹) → (𝑋{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)}𝑌 ↔ ({𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐹𝑋𝑌)))
8 ipoval.i . . . . . 6 𝐼 = (toInc‘𝐹)
98ipolerval 17744 . . . . 5 (𝐹𝑉 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)} = (le‘𝐼))
10 ipole.l . . . . 5 = (le‘𝐼)
119, 10syl6reqr 2875 . . . 4 (𝐹𝑉 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)})
1211breqd 5050 . . 3 (𝐹𝑉 → (𝑋 𝑌𝑋{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)}𝑌))
13123ad2ant1 1130 . 2 ((𝐹𝑉𝑋𝐹𝑌𝐹) → (𝑋 𝑌𝑋{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)}𝑌))
14 prssi 4727 . . . 4 ((𝑋𝐹𝑌𝐹) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐹)
15143adant1 1127 . . 3 ((𝐹𝑉𝑋𝐹𝑌𝐹) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐹)
1615biantrurd 536 . 2 ((𝐹𝑉𝑋𝐹𝑌𝐹) → (𝑋𝑌 ↔ ({𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐹𝑋𝑌)))
177, 13, 163bitr4d 314 1 ((𝐹𝑉𝑋𝐹𝑌𝐹) → (𝑋 𝑌𝑋𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ⊆ wss 3910  {cpr 4542   class class class wbr 5039  {copab 5101  ‘cfv 6328  lecple 16550  toInccipo 17739 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-z 11960  df-dec 12077  df-uz 12222  df-fz 12876  df-struct 16463  df-ndx 16464  df-slot 16465  df-base 16467  df-tset 16562  df-ple 16563  df-ocomp 16564  df-ipo 17740 This theorem is referenced by:  ipolt  17747  ipopos  17748  isipodrs  17749  ipodrsfi  17751  mrelatglb  17772  mrelatglb0  17773  mrelatlub  17774  thlleval  20817  pwrssmgc  30666
 Copyright terms: Public domain W3C validator