Theorem ipole 18538

Description: Weak order condition of the inclusion poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipoval.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
ipole.l	⊢ ≤ = (le‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
ipole	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ 𝑋 ⊆ 𝑌))

Proof of Theorem ipole

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preq12 4684	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → {𝑥, 𝑦} = {𝑋, 𝑌})
2	1	sseq1d 3958	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ↔ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐹))
3		sseq12 3954	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝑥 ⊆ 𝑦 ↔ 𝑋 ⊆ 𝑌))
4	2, 3	anbi12d 640	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦) ↔ ({𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌)))
5		eqid 2752	. . . 4 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)}
6	4, 5	brabga 5494	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → (𝑋{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)}𝑌 ↔ ({𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌)))
7	6	3adant1 1139	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → (𝑋{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)}𝑌 ↔ ({𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌)))
8		ipole.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐼)
9		ipoval.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
10	9	ipolerval 18536	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} = (le‘𝐼))
11	8, 10	eqtr4id 2806	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ≤ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)})
12	11	breqd 5101	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ 𝑋{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)}𝑌))
13	12	3ad2ant1 1142	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ 𝑋{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)}𝑌))
14		prssi 4769	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐹)
15	14	3adant1 1139	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐹)
16	15	biantrurd 539	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → (𝑋 ⊆ 𝑌 ↔ ({𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌)))
17	7, 13, 16	3bitr4d 313	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ 𝑋 ⊆ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1095   = wceq 1550   ∈ wcel 2132   ⊆ wss 3895  {cpr 4574   class class class wbr 5090  {copab 5152  ‘cfv 6506  lecple 17265  toInccipo 18531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-1o 8421  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-fin 8916  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-4 12268  df-5 12269  df-6 12270  df-7 12271  df-8 12272  df-9 12273  df-n0 12468  df-z 12555  df-dec 12675  df-uz 12826  df-fz 13499  df-struct 17155  df-slot 17190  df-ndx 17202  df-base 17218  df-tset 17277  df-ple 17278  df-ocomp 17279  df-ipo 18532

This theorem is referenced by:  ipolt  18539  ipopos  18540  isipodrs  18541  ipodrsfi  18543  mrelatglb  18564  mrelatglb0  18565  mrelatlub  18566  thlleval  21719  pwrssmgc  33128  nsgmgc  33544  ipolublem  49545  ipoglblem  49548