Theorem ipole 18252

Description: Weak order condition of the inclusion poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipoval.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
ipole.l	⊢ ≤ = (le‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
ipole	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ 𝑋 ⊆ 𝑌))

Proof of Theorem ipole

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preq12 4671	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → {𝑥, 𝑦} = {𝑋, 𝑌})
2	1	sseq1d 3952	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ↔ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐹))
3		sseq12 3948	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝑥 ⊆ 𝑦 ↔ 𝑋 ⊆ 𝑌))
4	2, 3	anbi12d 631	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦) ↔ ({𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌)))
5		eqid 2738	. . . 4 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)}
6	4, 5	brabga 5447	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → (𝑋{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)}𝑌 ↔ ({𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌)))
7	6	3adant1 1129	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → (𝑋{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)}𝑌 ↔ ({𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌)))
8		ipole.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐼)
9		ipoval.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
10	9	ipolerval 18250	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} = (le‘𝐼))
11	8, 10	eqtr4id 2797	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ≤ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)})
12	11	breqd 5085	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ 𝑋{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)}𝑌))
13	12	3ad2ant1 1132	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ 𝑋{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)}𝑌))
14		prssi 4754	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐹)
15	14	3adant1 1129	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐹)
16	15	biantrurd 533	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → (𝑋 ⊆ 𝑌 ↔ ({𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌)))
17	7, 13, 16	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ 𝑋 ⊆ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887  {cpr 4563   class class class wbr 5074  {copab 5136  ‘cfv 6433  lecple 16969  toInccipo 18245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ocomp 16983  df-ipo 18246

This theorem is referenced by:  ipolt  18253  ipopos  18254  isipodrs  18255  ipodrsfi  18257  mrelatglb  18278  mrelatglb0  18279  mrelatlub  18280  thlleval  20905  pwrssmgc  31278  nsgmgc  31597  ipolublem  46272  ipoglblem  46275