Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caragensal Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caragensal 46481
Description: Caratheodory's method generates a sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caragensal.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
caragensal.s 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
Assertion
Ref Expression
caragensal (𝜑𝑆 ∈ SAlg)

Proof of Theorem caragensal
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caragensal.o . . . 4 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
2 caragensal.s . . . 4 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
31, 2caragen0 46462 . . 3 (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
41adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑂 ∈ OutMeas)
5 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑥𝑆)
64, 2, 5caragendifcl 46470 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑆) → ( 𝑆𝑥) ∈ 𝑆)
76ralrimiva 3144 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 ( 𝑆𝑥) ∈ 𝑆)
81ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑂 ∈ OutMeas)
9 elpwi 4612 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑥𝑆)
109ad2antlr 727 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑥𝑆)
11 simpr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑥 ≼ ω)
128, 2, 10, 11caragenunicl 46480 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑥𝑆)
1312ex 412 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) → (𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑆))
1413ralrimiva 3144 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑆))
153, 7, 143jca 1127 . 2 (𝜑 → (∅ ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 ( 𝑆𝑥) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑆)))
162fvexi 6921 . . . 4 𝑆 ∈ V
1716a1i 11 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ V)
18 issal 46270 . . 3 (𝑆 ∈ V → (𝑆 ∈ SAlg ↔ (∅ ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 ( 𝑆𝑥) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑆))))
1917, 18syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑆 ∈ SAlg ↔ (∅ ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 ( 𝑆𝑥) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑆))))
2015, 19mpbird 257 1 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  Vcvv 3478  cdif 3960  wss 3963  c0 4339  𝒫 cpw 4605   cuni 4912   class class class wbr 5148  cfv 6563  ωcom 7887  cdom 8982  SAlgcsalg 46264  OutMeascome 46445  CaraGenccaragen 46447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-ac2 10501  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-acn 9980  df-ac 10154  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xadd 13153  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-salg 46265  df-sumge0 46319  df-ome 46446  df-caragen 46448
This theorem is referenced by:  caratheodory  46484
  Copyright terms: Public domain W3C validator