Theorem caragensal 43953

Description: Caratheodory's method generates a sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caragensal.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
caragensal.s	⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
caragensal	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)

Proof of Theorem caragensal

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caragensal.o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
2		caragensal.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
3	1, 2	caragen0 43934	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
4	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑂 ∈ OutMeas)
5		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
6	4, 2, 5	caragendifcl 43942	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ 𝑥) ∈ 𝑆)
7	6	ralrimiva 3107	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∪ 𝑆 ∖ 𝑥) ∈ 𝑆)
8	1	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑂 ∈ OutMeas)
9		elpwi 4539	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 → 𝑥 ⊆ 𝑆)
10	9	ad2antlr 723	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑥 ⊆ 𝑆)
11		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑥 ≼ ω)
12	8, 2, 10, 11	caragenunicl 43952	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑥 ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑆)
13	12	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) → (𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ 𝑆))
14	13	ralrimiva 3107	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ 𝑆))
15	3, 7, 14	3jca 1126	. 2 ⊢ (𝜑 → (∅ ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∪ 𝑆 ∖ 𝑥) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ 𝑆)))
16	2	fvexi 6770	. . . 4 ⊢ 𝑆 ∈ V
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
18		issal 43745	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ V → (𝑆 ∈ SAlg ↔ (∅ ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∪ 𝑆 ∖ 𝑥) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ 𝑆))))
19	17, 18	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ SAlg ↔ (∅ ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∪ 𝑆 ∖ 𝑥) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ 𝑆))))
20	15, 19	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  𝒫 cpw 4530  ∪ cuni 4836   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  ωcom 7687   ≼ cdom 8689  SAlgcsalg 43739  OutMeascome 43917  CaraGenccaragen 43919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-ac2 10150  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-disj 5036  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-oadd 8271  df-omul 8272  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-acn 9631  df-ac 9803  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xadd 12778  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-sum 15326  df-salg 43740  df-sumge0 43791  df-ome 43918  df-caragen 43920

This theorem is referenced by:  caratheodory  43956