Theorem caragensal 47191

Description: Caratheodory's method generates a sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caragensal.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
caragensal.s	⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
caragensal	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)

Proof of Theorem caragensal

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caragensal.o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
2		caragensal.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
3	1, 2	caragen0 47172	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
4	1	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑂 ∈ OutMeas)
5		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
6	4, 2, 5	caragendifcl 47180	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ 𝑥) ∈ 𝑆)
7	6	ralrimiva 3164	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∪ 𝑆 ∖ 𝑥) ∈ 𝑆)
8	1	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑂 ∈ OutMeas)
9		elpwi 4574	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 → 𝑥 ⊆ 𝑆)
10	9	ad2antlr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑥 ⊆ 𝑆)
11		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑥 ≼ ω)
12	8, 2, 10, 11	caragenunicl 47190	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑥 ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑆)
13	12	ex 417	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) → (𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ 𝑆))
14	13	ralrimiva 3164	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ 𝑆))
15	3, 7, 14	3jca 1144	. 2 ⊢ (𝜑 → (∅ ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∪ 𝑆 ∖ 𝑥) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ 𝑆)))
16	2	fvexi 6899	. . . 4 ⊢ 𝑆 ∈ V
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
18		issal 46980	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ V → (𝑆 ∈ SAlg ↔ (∅ ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∪ 𝑆 ∖ 𝑥) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ 𝑆))))
19	17, 18	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ SAlg ↔ (∅ ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∪ 𝑆 ∖ 𝑥) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ 𝑆))))
20	15, 19	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2150  ∀wral 3086  Vcvv 3462   ∖ cdif 3910   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294  𝒫 cpw 4567  ∪ cuni 4877   class class class wbr 5114  ‘cfv 6540  ωcom 7865   ≼ cdom 8944  SAlgcsalg 46974  OutMeascome 47155  CaraGenccaragen 47157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-inf2 9613  ax-ac2 10450  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180  ax-pre-sup 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-disj 5082  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-se 5619  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-oadd 8460  df-omul 8461  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-fin 8950  df-sup 9405  df-inf 9406  df-oi 9475  df-card 9928  df-acn 9931  df-ac 10103  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11875  df-nn 12237  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12508  df-z 12595  df-uz 12866  df-q 12976  df-rp 13020  df-xadd 13141  df-ico 13381  df-icc 13382  df-fz 13539  df-fzo 13686  df-seq 14041  df-exp 14101  df-hash 14370  df-cj 15153  df-re 15154  df-im 15155  df-sqrt 15289  df-abs 15290  df-clim 15542  df-sum 15741  df-salg 46975  df-sumge0 47029  df-ome 47156  df-caragen 47158

This theorem is referenced by:  caratheodory  47194