Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caragensal Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caragensal 45975
Description: Caratheodory's method generates a sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caragensal.o (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
caragensal.s 𝑆 = (CaraGenβ€˜π‘‚)
Assertion
Ref Expression
caragensal (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)

Proof of Theorem caragensal
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caragensal.o . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
2 caragensal.s . . . 4 𝑆 = (CaraGenβ€˜π‘‚)
31, 2caragen0 45956 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ 𝑆)
41adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
5 simpr 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
64, 2, 5caragendifcl 45964 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (βˆͺ 𝑆 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆)
76ralrimiva 3136 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (βˆͺ 𝑆 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆)
81ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
9 elpwi 4605 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆 β†’ π‘₯ βŠ† 𝑆)
109ad2antlr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) β†’ π‘₯ βŠ† 𝑆)
11 simpr 483 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) β†’ π‘₯ β‰Ό Ο‰)
128, 2, 10, 11caragenunicl 45974 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆)
1312ex 411 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆) β†’ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆))
1413ralrimiva 3136 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆))
153, 7, 143jca 1125 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ… ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (βˆͺ 𝑆 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆)))
162fvexi 6905 . . . 4 𝑆 ∈ V
1716a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
18 issal 45764 . . 3 (𝑆 ∈ V β†’ (𝑆 ∈ SAlg ↔ (βˆ… ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (βˆͺ 𝑆 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆))))
1917, 18syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∈ SAlg ↔ (βˆ… ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (βˆͺ 𝑆 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆))))
2015, 19mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  Vcvv 3463   βˆ– cdif 3937   βŠ† wss 3940  βˆ…c0 4318  π’« cpw 4598  βˆͺ cuni 4903   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6542  Ο‰com 7867   β‰Ό cdom 8958  SAlgcsalg 45758  OutMeascome 45939  CaraGenccaragen 45941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-ac2 10484  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-disj 5109  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-oadd 8487  df-omul 8488  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-card 9960  df-acn 9963  df-ac 10137  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xadd 13123  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462  df-sum 15663  df-salg 45759  df-sumge0 45813  df-ome 45940  df-caragen 45942
This theorem is referenced by:  caratheodory  45978
  Copyright terms: Public domain W3C validator