Theorem caragensal 47738

Description: Caratheodory's method generates a sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caragensal.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
caragensal.s	⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
caragensal	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)

Proof of Theorem caragensal

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caragensal.o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
2		caragensal.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
3	1, 2	caragen0 47719	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
4	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑂 ∈ OutMeas)
5		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
6	4, 2, 5	caragendifcl 47727	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ 𝑥) ∈ 𝑆)
7	6	ralrimiva 3158	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∪ 𝑆 ∖ 𝑥) ∈ 𝑆)
8	1	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑂 ∈ OutMeas)
9		elpwi 4567	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 → 𝑥 ⊆ 𝑆)
10	9	ad2antlr 740	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑥 ⊆ 𝑆)
11		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑥 ≼ ω)
12	8, 2, 10, 11	caragenunicl 47737	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑥 ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑆)
13	12	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) → (𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ 𝑆))
14	13	ralrimiva 3158	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ 𝑆))
15	3, 7, 14	3jca 1146	. 2 ⊢ (𝜑 → (∅ ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∪ 𝑆 ∖ 𝑥) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ 𝑆)))
16	2	fvexi 6919	. . . 4 ⊢ 𝑆 ∈ V
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
18		issal 47527	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ V → (𝑆 ∈ SAlg ↔ (∅ ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∪ 𝑆 ∖ 𝑥) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ 𝑆))))
19	17, 18	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ SAlg ↔ (∅ ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∪ 𝑆 ∖ 𝑥) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ 𝑆))))
20	15, 19	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4560  ∪ cuni 4870   class class class wbr 5106  ‘cfv 6555  ωcom 7898   ≼ cdom 8996  SAlgcsalg 47521  OutMeascome 47702  CaraGenccaragen 47704

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-inf2 9666  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-disj 5074  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-oadd 8505  df-omul 8506  df-er 8742  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-sup 9458  df-inf 9459  df-oi 9528  df-card 10044  df-acn 10047  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-q 13100  df-rp 13145  df-xadd 13266  df-ico 13506  df-icc 13507  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-seq 14169  df-exp 14229  df-hash 14499  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-clim 15681  df-sum 15880  df-salg 47522  df-sumge0 47576  df-ome 47703  df-caragen 47705

This theorem is used by:  caratheodory  47741