Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | fveq2 6843 |
. . . 4
β’ (π
= π β (πΉβπ
) = (πΉβπ)) |
2 | | fveq2 6843 |
. . . 4
β’ (π
= π β (πΊβπ
) = (πΊβπ)) |
3 | 1, 2 | eqeq12d 2753 |
. . 3
β’ (π
= π β ((πΉβπ
) = (πΊβπ
) β (πΉβπ) = (πΊβπ))) |
4 | | simpll1 1213 |
. . . 4
β’
((((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ π
β π) β ((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄)) |
5 | | simpl21 1252 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β§ π
β€ (π β¨ π)) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
6 | 5 | adantr 482 |
. . . 4
β’
((((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ π
β π) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
7 | | simpl22 1253 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β§ π
β€ (π β¨ π)) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
8 | 7 | adantr 482 |
. . . 4
β’
((((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ π
β π) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
9 | | simp23 1209 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β π β π) |
10 | 9 | ad2antrr 725 |
. . . . 5
β’
((((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ π
β π) β π β π) |
11 | | simplr 768 |
. . . . 5
β’
((((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ π
β π) β π
β€ (π β¨ π)) |
12 | | simpr 486 |
. . . . 5
β’
((((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ π
β π) β π
β π) |
13 | 10, 11, 12 | 3jca 1129 |
. . . 4
β’
((((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ π
β π) β (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) |
14 | | simpll3 1215 |
. . . 4
β’
((((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ π
β π) β ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) |
15 | | cdlemd4.l |
. . . . 5
β’ β€ =
(leβπΎ) |
16 | | cdlemd4.j |
. . . . 5
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
17 | | cdlemd4.a |
. . . . 5
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
18 | | cdlemd4.h |
. . . . 5
β’ π» = (LHypβπΎ) |
19 | | cdlemd4.t |
. . . . 5
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
20 | 15, 16, 17, 18, 19 | cdlemd4 38667 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β (πΉβπ
) = (πΊβπ
)) |
21 | 4, 6, 8, 13, 14, 20 | syl131anc 1384 |
. . 3
β’
((((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ π
β π) β (πΉβπ
) = (πΊβπ
)) |
22 | | simpl3l 1229 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β§ π
β€ (π β¨ π)) β (πΉβπ) = (πΊβπ)) |
23 | 3, 21, 22 | pm2.61ne 3031 |
. 2
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β§ π
β€ (π β¨ π)) β (πΉβπ
) = (πΊβπ
)) |
24 | | simpl1 1192 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β ((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄)) |
25 | | simpl21 1252 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
26 | | simpl22 1253 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
27 | | simpl23 1254 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β π β π) |
28 | | simpr 486 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β Β¬ π
β€ (π β¨ π)) |
29 | 27, 28 | jca 513 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) |
30 | | simpl3 1194 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) |
31 | 15, 16, 17, 18, 19 | cdlemd2 38665 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β (πΉβπ
) = (πΊβπ
)) |
32 | 24, 25, 26, 29, 30, 31 | syl131anc 1384 |
. 2
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β (πΉβπ
) = (πΊβπ
)) |
33 | 23, 32 | pm2.61dan 812 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β (πΉβπ
) = (πΊβπ
)) |