Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp11 1204 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§)))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
2 | | simp12 1205 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§)))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
3 | | simp13 1206 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§)))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
4 | | simp31 1210 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§)))) β (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) |
5 | | simp21 1207 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§)))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
6 | | simp231 1318 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§)))) β π β π) |
7 | | simp232 1319 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§)))) β Β¬ π β€ (π β¨ π)) |
8 | | simp32l 1299 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§)))) β π
β€ (π β¨ π)) |
9 | 7, 8 | jca 513 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§)))) β (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) |
10 | | simp33 1212 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§)))) β ((π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) |
11 | | cdleme21.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
12 | | cdleme21.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
13 | | cdleme21.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
14 | | cdleme21.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
15 | | cdleme21.h |
. . . 4
β’ π» = (LHypβπΎ) |
16 | | cdleme21.u |
. . . 4
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
17 | | cdleme21.f |
. . . 4
β’ πΉ = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
18 | | cdleme21.b |
. . . 4
β’ π΅ = ((π§ β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π§) β§ π))) |
19 | | cdleme21.d |
. . . 4
β’ π· = ((π
β¨ π) β§ π) |
20 | | cdleme21.e |
. . . 4
β’ πΈ = ((π
β¨ π§) β§ π) |
21 | | cdleme21d.n |
. . . 4
β’ π = ((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ π·)) |
22 | | cdleme21d.z |
. . . 4
β’ π = ((π β¨ π) β§ (π΅ β¨ πΈ)) |
23 | 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22 | cdleme21d 38839 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ ((π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§)))) β π = π) |
24 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 23 | syl323anc 1401 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§)))) β π = π) |
25 | | cdleme21.g |
. . 3
β’ πΊ = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
26 | | cdleme21.y |
. . 3
β’ π = ((π
β¨ π) β§ π) |
27 | | cdleme21.o |
. . 3
β’ π = ((π β¨ π) β§ (πΊ β¨ π)) |
28 | 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 25, 26, 27 | cdleme21e 38840 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§)))) β π = π) |
29 | 24, 28 | eqtr4d 2776 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§)))) β π = π) |