Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cdleme35.f |
. . 3
β’ πΉ = ((π
β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π))) |
2 | 1 | oveq2i 7373 |
. 2
β’ (π β¨ πΉ) = (π β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π)))) |
3 | | simp11l 1285 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β πΎ β HL) |
4 | | simp13l 1289 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β π β π΄) |
5 | | simp2rl 1243 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β π
β π΄) |
6 | | simp11 1204 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
7 | | simp12 1205 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
8 | | simp2l 1200 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β π β π) |
9 | | cdleme35.l |
. . . . . . 7
β’ β€ =
(leβπΎ) |
10 | | cdleme35.j |
. . . . . . 7
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
11 | | cdleme35.m |
. . . . . . 7
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
12 | | cdleme35.a |
. . . . . . 7
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
13 | | cdleme35.h |
. . . . . . 7
β’ π» = (LHypβπΎ) |
14 | | cdleme35.u |
. . . . . . 7
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
15 | 9, 10, 11, 12, 13, 14 | cdleme0a 38703 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π)) β π β π΄) |
16 | 6, 7, 4, 8, 15 | syl112anc 1375 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β π β π΄) |
17 | | eqid 2737 |
. . . . . 6
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
18 | 17, 10, 12 | hlatjcl 37858 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ π
β π΄ β§ π β π΄) β (π
β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
19 | 3, 5, 16, 18 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β (π
β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
20 | 3 | hllatd 37855 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β πΎ β Lat) |
21 | 17, 12 | atbase 37780 |
. . . . . 6
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
22 | 4, 21 | syl 17 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β π β (BaseβπΎ)) |
23 | | simp12l 1287 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β π β π΄) |
24 | 17, 10, 12 | hlatjcl 37858 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β (π β¨ π
) β (BaseβπΎ)) |
25 | 3, 23, 5, 24 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β (π β¨ π
) β (BaseβπΎ)) |
26 | | simp11r 1286 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β π β π») |
27 | 17, 13 | lhpbase 38490 |
. . . . . . 7
β’ (π β π» β π β (BaseβπΎ)) |
28 | 26, 27 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β π β (BaseβπΎ)) |
29 | 17, 11 | latmcl 18336 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π
) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π
) β§ π) β (BaseβπΎ)) |
30 | 20, 25, 28, 29 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β ((π β¨ π
) β§ π) β (BaseβπΎ)) |
31 | 17, 10 | latjcl 18335 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ ((π β¨ π
) β§ π) β (BaseβπΎ)) β (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π)) β (BaseβπΎ)) |
32 | 20, 22, 30, 31 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π)) β (BaseβπΎ)) |
33 | 17, 9, 10 | latlej1 18344 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ ((π β¨ π
) β§ π) β (BaseβπΎ)) β π β€ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π))) |
34 | 20, 22, 30, 33 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β π β€ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π))) |
35 | 17, 9, 10, 11, 12 | atmod1i1 38349 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ (π
β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π)) β (BaseβπΎ)) β§ π β€ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π))) β (π β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π)))) = ((π β¨ (π
β¨ π)) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π)))) |
36 | 3, 4, 19, 32, 34, 35 | syl131anc 1384 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β (π β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π)))) = ((π β¨ (π
β¨ π)) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π)))) |
37 | 9, 10, 11, 12, 13, 14, 1 | cdleme35b 38942 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π)) β€ (π β¨ (π
β¨ π))) |
38 | 17, 10 | latjcl 18335 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ (π
β¨ π) β (BaseβπΎ)) β (π β¨ (π
β¨ π)) β (BaseβπΎ)) |
39 | 20, 22, 19, 38 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β (π β¨ (π
β¨ π)) β (BaseβπΎ)) |
40 | 17, 9, 11 | latleeqm2 18364 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π)) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ (π
β¨ π)) β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ ((π β¨ π
) β§ π)) β€ (π β¨ (π
β¨ π)) β ((π β¨ (π
β¨ π)) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π))) = (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π)))) |
41 | 20, 32, 39, 40 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β ((π β¨ ((π β¨ π
) β§ π)) β€ (π β¨ (π
β¨ π)) β ((π β¨ (π
β¨ π)) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π))) = (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π)))) |
42 | 37, 41 | mpbid 231 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β ((π β¨ (π
β¨ π)) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π))) = (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π))) |
43 | 36, 42 | eqtrd 2777 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β (π β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π)))) = (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π))) |
44 | 2, 43 | eqtrid 2789 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β (π β¨ πΉ) = (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π))) |