Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemefs32sn1aw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemefs32sn1aw 39824
Description: Show that ⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘ is an atom not under π‘Š when 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄). (Contributed by NM, 24-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemefs32.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemefs32.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemefs32.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemefs32.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemefs32.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemefs32.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemefs32.u π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
cdlemefs32.d 𝐷 = ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
cdlemefs32.e 𝐸 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐷 ∨ ((𝑠 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
cdlemefs32.i 𝐼 = (℩𝑦 ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑦 = 𝐸))
cdlemefs32.n 𝑁 = if(𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄), 𝐼, 𝐢)
cdlemefs32a1.y π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐷 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
cdlemefs32a1.z 𝑍 = (℩𝑦 ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑦 = π‘Œ))
Assertion
Ref Expression
cdlemefs32sn1aw ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘ ∈ 𝐴 ∧ Β¬ ⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘ ≀ π‘Š))
Distinct variable groups:   𝑑,𝑠,𝑦,𝐴   𝐡,𝑠,𝑑,𝑦   𝑦,𝐷   𝑦,𝐸   𝐻,𝑠,𝑑,𝑦   ∨ ,𝑠,𝑑,𝑦   𝐾,𝑠,𝑑,𝑦   ≀ ,𝑠,𝑑,𝑦   ∧ ,𝑠,𝑑,𝑦   𝑃,𝑠,𝑑,𝑦   𝑄,𝑠,𝑑,𝑦   𝑅,𝑠,𝑑,𝑦   𝑑,π‘ˆ,𝑦   π‘Š,𝑠,𝑑,𝑦   𝑦,π‘Œ   𝐷,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑦,𝑑,𝑠)   𝐷(𝑑)   π‘ˆ(𝑠)   𝐸(𝑑,𝑠)   𝐼(𝑦,𝑑,𝑠)   𝑁(𝑦,𝑑,𝑠)   π‘Œ(𝑑,𝑠)   𝑍(𝑦,𝑑,𝑠)

Proof of Theorem cdlemefs32sn1aw
StepHypRef Expression
1 cdlemefs32.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
21fvexi 6905 . . 3 𝐡 ∈ V
3 nfv 1910 . . . 4 Ⅎ𝑑(((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
4 cdlemefs32a1.z . . . . . . . 8 𝑍 = (℩𝑦 ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑦 = π‘Œ))
5 nfra1 3276 . . . . . . . . 9 β„²π‘‘βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑦 = π‘Œ)
6 nfcv 2898 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑑𝐡
75, 6nfriota 7383 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑑(℩𝑦 ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑦 = π‘Œ))
84, 7nfcxfr 2896 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑𝑍
98nfel1 2914 . . . . . 6 Ⅎ𝑑 𝑍 ∈ 𝐴
10 nfcv 2898 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑑 ≀
11 nfcv 2898 . . . . . . . 8 β„²π‘‘π‘Š
128, 10, 11nfbr 5189 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑 𝑍 ≀ π‘Š
1312nfn 1853 . . . . . 6 Ⅎ𝑑 Β¬ 𝑍 ≀ π‘Š
149, 13nfan 1895 . . . . 5 Ⅎ𝑑(𝑍 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑍 ≀ π‘Š)
1514a1i 11 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ Ⅎ𝑑(𝑍 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑍 ≀ π‘Š))
164a1i 11 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑍 = (℩𝑦 ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑦 = π‘Œ)))
17 eleq1 2816 . . . . . 6 (π‘Œ = 𝑍 β†’ (π‘Œ ∈ 𝐴 ↔ 𝑍 ∈ 𝐴))
18 breq1 5145 . . . . . . 7 (π‘Œ = 𝑍 β†’ (π‘Œ ≀ π‘Š ↔ 𝑍 ≀ π‘Š))
1918notbid 318 . . . . . 6 (π‘Œ = 𝑍 β†’ (Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š ↔ Β¬ 𝑍 ≀ π‘Š))
2017, 19anbi12d 630 . . . . 5 (π‘Œ = 𝑍 β†’ ((π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š) ↔ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑍 ≀ π‘Š)))
2120adantl 481 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ π‘Œ = 𝑍) β†’ ((π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š) ↔ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑍 ≀ π‘Š)))
22 simpl1 1189 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)))
23 simpl2r 1225 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š))
24 simprl 770 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝑑 ∈ 𝐴)
25 simprrl 780 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š)
2624, 25jca 511 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š))
27 simpl2l 1224 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
28 simpl3 1191 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
29 simprrr 781 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
30 cdlemefs32.l . . . . . . . 8 ≀ = (leβ€˜πΎ)
31 cdlemefs32.j . . . . . . . 8 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
32 cdlemefs32.m . . . . . . . 8 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
33 cdlemefs32.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
34 cdlemefs32.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
35 cdlemefs32.u . . . . . . . 8 π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
36 cdlemefs32.d . . . . . . . 8 𝐷 = ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
37 cdlemefs32a1.y . . . . . . . 8 π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐷 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
3830, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37cdleme7ga 39658 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ π‘Œ ∈ 𝐴)
3930, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37cdleme7 39659 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)
4038, 39jca 511 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š))
4122, 23, 26, 27, 28, 29, 40syl123anc 1385 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ (π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š))
4241ex 412 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)))
43 simp1 1134 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)))
44 simp2rl 1240 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
45 simp2rr 1241 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)
46 simp2l 1197 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
47 simp3 1136 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
481, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 4cdleme25cl 39767 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
4943, 44, 45, 46, 47, 48syl122anc 1377 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
50 simp11 1201 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
51 simp12 1202 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
52 simp13 1203 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
5330, 31, 33, 34cdlemb2 39451 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
5450, 51, 52, 46, 53syl121anc 1373 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
553, 15, 16, 21, 42, 49, 54riotasv3d 38369 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ 𝐡 ∈ V) β†’ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑍 ≀ π‘Š))
562, 55mpan2 690 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑍 ≀ π‘Š))
57 cdlemefs32.e . . . . . 6 𝐸 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐷 ∨ ((𝑠 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
58 cdlemefs32.i . . . . . 6 𝐼 = (℩𝑦 ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑦 = 𝐸))
59 cdlemefs32.n . . . . . 6 𝑁 = if(𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄), 𝐼, 𝐢)
6057, 58, 59, 37, 4cdleme31sn1c 39798 . . . . 5 ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ ⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘ = 𝑍)
6144, 47, 60syl2anc 583 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ ⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘ = 𝑍)
6261eleq1d 2813 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘ ∈ 𝐴 ↔ 𝑍 ∈ 𝐴))
6361breq1d 5152 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘ ≀ π‘Š ↔ 𝑍 ≀ π‘Š))
6463notbid 318 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (Β¬ ⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘ ≀ π‘Š ↔ Β¬ 𝑍 ≀ π‘Š))
6562, 64anbi12d 630 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ ((⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘ ∈ 𝐴 ∧ Β¬ ⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘ ≀ π‘Š) ↔ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑍 ≀ π‘Š)))
6656, 65mpbird 257 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘ ∈ 𝐴 ∧ Β¬ ⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘ ≀ π‘Š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534  β„²wnf 1778   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065  Vcvv 3469  β¦‹csb 3889  ifcif 4524   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  β„©crio 7369  (class class class)co 7414  Basecbs 17171  lecple 17231  joincjn 18294  meetcmee 18295  Atomscatm 38672  HLchlt 38759  LHypclh 39394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-riotaBAD 38362
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-undef 8272  df-proset 18278  df-poset 18296  df-plt 18313  df-lub 18329  df-glb 18330  df-join 18331  df-meet 18332  df-p0 18408  df-p1 18409  df-lat 18415  df-clat 18482  df-oposet 38585  df-ol 38587  df-oml 38588  df-covers 38675  df-ats 38676  df-atl 38707  df-cvlat 38731  df-hlat 38760  df-llines 38908  df-lplanes 38909  df-lvols 38910  df-lines 38911  df-psubsp 38913  df-pmap 38914  df-padd 39206  df-lhyp 39398
This theorem is referenced by:  cdlemefs32snb  39825  cdleme32sn1awN  39842  cdleme32snaw  39845
  Copyright terms: Public domain W3C validator