Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme25cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme25cl 39228
Description: Show closure of the unique element in cdleme25c 39226. (Contributed by NM, 2-Feb-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme24.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdleme24.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdleme24.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdleme24.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdleme24.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdleme24.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdleme24.u π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
cdleme24.f 𝐹 = ((𝑠 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑠) ∧ π‘Š)))
cdleme24.n 𝑁 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐹 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑠) ∧ π‘Š)))
cdleme25cl.i 𝐼 = (℩𝑒 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑒 = 𝑁))
Assertion
Ref Expression
cdleme25cl ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝐼 ∈ 𝐡)
Distinct variable groups:   𝑒,𝑠,𝐴   𝐡,𝑠,𝑒   𝐻,𝑠   ∨ ,𝑠,𝑒   𝐾,𝑠   ≀ ,𝑠,𝑒   ∧ ,𝑠,𝑒   𝑃,𝑠,𝑒   𝑄,𝑠,𝑒   𝑅,𝑠,𝑒   π‘Š,𝑠,𝑒   𝑒,𝑁   π‘ˆ,𝑠,𝑒
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑒,𝑠)   𝐻(𝑒)   𝐼(𝑒,𝑠)   𝐾(𝑒)   𝑁(𝑠)

Proof of Theorem cdleme25cl
StepHypRef Expression
1 cdleme25cl.i . 2 𝐼 = (℩𝑒 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑒 = 𝑁))
2 cdleme24.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
3 cdleme24.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
4 cdleme24.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
5 cdleme24.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
6 cdleme24.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
7 cdleme24.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
8 cdleme24.u . . . 4 π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
9 cdleme24.f . . . 4 𝐹 = ((𝑠 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑠) ∧ π‘Š)))
10 cdleme24.n . . . 4 𝑁 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐹 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑠) ∧ π‘Š)))
112, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10cdleme25c 39226 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ βˆƒ!𝑒 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑒 = 𝑁))
12 riotacl 7383 . . 3 (βˆƒ!𝑒 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑒 = 𝑁) β†’ (℩𝑒 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑒 = 𝑁)) ∈ 𝐡)
1311, 12syl 17 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (℩𝑒 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑒 = 𝑁)) ∈ 𝐡)
141, 13eqeltrid 2838 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝐼 ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒ!wreu 3375   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  β„©crio 7364  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  lecple 17204  joincjn 18264  meetcmee 18265  Atomscatm 38133  HLchlt 38220  LHypclh 38855
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-p1 18379  df-lat 18385  df-clat 18452  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221  df-llines 38369  df-lplanes 38370  df-lvols 38371  df-lines 38372  df-psubsp 38374  df-pmap 38375  df-padd 38667  df-lhyp 38859
This theorem is referenced by:  cdleme26e  39230  cdleme26eALTN  39232  cdleme26fALTN  39233  cdleme26f  39234  cdleme26f2ALTN  39235  cdleme26f2  39236  cdleme27cl  39237  cdlemefs27cl  39284  cdlemefs32sn1aw  39285  cdleme43fsv1snlem  39291  cdleme41sn3a  39304  cdleme40m  39338  cdleme40n  39339
  Copyright terms: Public domain W3C validator