Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme25cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme25cl 39531
Description: Show closure of the unique element in cdleme25c 39529. (Contributed by NM, 2-Feb-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme24.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdleme24.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdleme24.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdleme24.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdleme24.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdleme24.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdleme24.u π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
cdleme24.f 𝐹 = ((𝑠 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑠) ∧ π‘Š)))
cdleme24.n 𝑁 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐹 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑠) ∧ π‘Š)))
cdleme25cl.i 𝐼 = (℩𝑒 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑒 = 𝑁))
Assertion
Ref Expression
cdleme25cl ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝐼 ∈ 𝐡)
Distinct variable groups:   𝑒,𝑠,𝐴   𝐡,𝑠,𝑒   𝐻,𝑠   ∨ ,𝑠,𝑒   𝐾,𝑠   ≀ ,𝑠,𝑒   ∧ ,𝑠,𝑒   𝑃,𝑠,𝑒   𝑄,𝑠,𝑒   𝑅,𝑠,𝑒   π‘Š,𝑠,𝑒   𝑒,𝑁   π‘ˆ,𝑠,𝑒
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑒,𝑠)   𝐻(𝑒)   𝐼(𝑒,𝑠)   𝐾(𝑒)   𝑁(𝑠)

Proof of Theorem cdleme25cl
StepHypRef Expression
1 cdleme25cl.i . 2 𝐼 = (℩𝑒 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑒 = 𝑁))
2 cdleme24.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
3 cdleme24.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
4 cdleme24.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
5 cdleme24.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
6 cdleme24.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
7 cdleme24.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
8 cdleme24.u . . . 4 π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
9 cdleme24.f . . . 4 𝐹 = ((𝑠 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑠) ∧ π‘Š)))
10 cdleme24.n . . . 4 𝑁 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐹 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑠) ∧ π‘Š)))
112, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10cdleme25c 39529 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ βˆƒ!𝑒 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑒 = 𝑁))
12 riotacl 7385 . . 3 (βˆƒ!𝑒 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑒 = 𝑁) β†’ (℩𝑒 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑒 = 𝑁)) ∈ 𝐡)
1311, 12syl 17 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (℩𝑒 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑒 = 𝑁)) ∈ 𝐡)
141, 13eqeltrid 2835 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝐼 ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  βˆƒ!wreu 3372   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  β„©crio 7366  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  lecple 17208  joincjn 18268  meetcmee 18269  Atomscatm 38436  HLchlt 38523  LHypclh 39158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-p1 18383  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 38349  df-ol 38351  df-oml 38352  df-covers 38439  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524  df-llines 38672  df-lplanes 38673  df-lvols 38674  df-lines 38675  df-psubsp 38677  df-pmap 38678  df-padd 38970  df-lhyp 39162
This theorem is referenced by:  cdleme26e  39533  cdleme26eALTN  39535  cdleme26fALTN  39536  cdleme26f  39537  cdleme26f2ALTN  39538  cdleme26f2  39539  cdleme27cl  39540  cdlemefs27cl  39587  cdlemefs32sn1aw  39588  cdleme43fsv1snlem  39594  cdleme41sn3a  39607  cdleme40m  39641  cdleme40n  39642
  Copyright terms: Public domain W3C validator