Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme27cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme27cl 39750
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Closure of 𝐢. (Contributed by NM, 6-Feb-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme26.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdleme26.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdleme26.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdleme26.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdleme26.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdleme26.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdleme27.u π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
cdleme27.f 𝐹 = ((𝑠 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑠) ∧ π‘Š)))
cdleme27.z 𝑍 = ((𝑧 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑧) ∧ π‘Š)))
cdleme27.n 𝑁 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑍 ∨ ((𝑠 ∨ 𝑧) ∧ π‘Š)))
cdleme27.d 𝐷 = (℩𝑒 ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑒 = 𝑁))
cdleme27.c 𝐢 = if(𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄), 𝐷, 𝐹)
Assertion
Ref Expression
cdleme27cl (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) β†’ 𝐢 ∈ 𝐡)
Distinct variable groups:   𝑒,𝑠,𝑧,𝐴   𝐡,𝑠,𝑒,𝑧   𝑒,𝐹   𝐻,𝑠,𝑧   ∨ ,𝑠,𝑒,𝑧   𝐾,𝑠,𝑧   ≀ ,𝑠,𝑒,𝑧   ∧ ,𝑠,𝑒,𝑧   𝑒,𝑁   𝑃,𝑠,𝑒,𝑧   𝑄,𝑠,𝑒,𝑧   π‘ˆ,𝑠,𝑒,𝑧   π‘Š,𝑠,𝑒,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑧,𝑒,𝑠)   𝐷(𝑧,𝑒,𝑠)   𝐹(𝑧,𝑠)   𝐻(𝑒)   𝐾(𝑒)   𝑁(𝑧,𝑠)   𝑍(𝑧,𝑒,𝑠)

Proof of Theorem cdleme27cl
StepHypRef Expression
1 cdleme27.c . 2 𝐢 = if(𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄), 𝐷, 𝐹)
2 simpl1 1188 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
3 simpl2l 1223 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
4 simpl2r 1224 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
5 simpl3l 1225 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š))
6 simpl3r 1226 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
7 simpr 484 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
8 cdleme26.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
9 cdleme26.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
10 cdleme26.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
11 cdleme26.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
12 cdleme26.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
13 cdleme26.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
14 cdleme27.u . . . . 5 π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
15 cdleme27.z . . . . 5 𝑍 = ((𝑧 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑧) ∧ π‘Š)))
16 cdleme27.n . . . . 5 𝑁 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑍 ∨ ((𝑠 ∨ 𝑧) ∧ π‘Š)))
17 cdleme27.d . . . . 5 𝐷 = (℩𝑒 ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑒 = 𝑁))
188, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17cdleme25cl 39741 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝐷 ∈ 𝐡)
192, 3, 4, 5, 6, 7, 18syl312anc 1388 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝐷 ∈ 𝐡)
20 simp1l 1194 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
21 simp1r 1195 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
22 simp2ll 1237 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
23 simp2rl 1239 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
24 simp3ll 1241 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) β†’ 𝑠 ∈ 𝐴)
25 cdleme27.f . . . . . 6 𝐹 = ((𝑠 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑠) ∧ π‘Š)))
269, 10, 11, 12, 13, 14, 25, 8cdleme1b 39610 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴)) β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
2720, 21, 22, 23, 24, 26syl23anc 1374 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
2827adantr 480 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
2919, 28ifclda 4558 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) β†’ if(𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄), 𝐷, 𝐹) ∈ 𝐡)
301, 29eqeltrid 2831 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) β†’ 𝐢 ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  ifcif 4523   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  β„©crio 7360  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  lecple 17213  joincjn 18276  meetcmee 18277  Atomscatm 38646  HLchlt 38733  LHypclh 39368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-llines 38882  df-lplanes 38883  df-lvols 38884  df-lines 38885  df-psubsp 38887  df-pmap 38888  df-padd 39180  df-lhyp 39372
This theorem is referenced by:  cdleme27N  39753  cdleme28a  39754  cdleme28b  39755  cdleme29ex  39758  cdleme32fva  39821  cdleme32c  39827  cdleme32e  39829
  Copyright terms: Public domain W3C validator