Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemf 39076
Description: Lemma F in [Crawley] p. 116. If u is an atom under w, there exists a translation whose trace is u. (Contributed by NM, 12-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemf.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemf.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemf.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemf.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemf.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cdlemf (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (π‘…β€˜π‘“) = π‘ˆ)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   ≀ ,𝑓   𝑇,𝑓   π‘ˆ,𝑓   𝑓,π‘Š
Allowed substitution hint:   𝑅(𝑓)

Proof of Theorem cdlemf
Dummy variables 𝑝 π‘ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cdlemf.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
2 eqid 2733 . . 3 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
3 cdlemf.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
4 cdlemf.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
5 eqid 2733 . . 3 (meetβ€˜πΎ) = (meetβ€˜πΎ)
61, 2, 3, 4, 5cdlemf2 39075 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))
7 simp1l 1198 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
8 simp2l 1200 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
9 simp3ll 1245 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) β†’ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)
10 simp2r 1201 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
11 simp3lr 1246 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) β†’ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š)
12 cdlemf.t . . . . . . 7 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
131, 3, 4, 12cdleme50ex 39072 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (π‘“β€˜π‘) = π‘ž)
147, 8, 9, 10, 11, 13syl122anc 1380 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (π‘“β€˜π‘) = π‘ž)
15 simp3r 1203 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴)) ∧ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘“β€˜π‘) = π‘ž)) β†’ (π‘“β€˜π‘) = π‘ž)
1615oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴)) ∧ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘“β€˜π‘) = π‘ž)) β†’ (𝑝(joinβ€˜πΎ)(π‘“β€˜π‘)) = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))
1716oveq1d 7376 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴)) ∧ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘“β€˜π‘) = π‘ž)) β†’ ((𝑝(joinβ€˜πΎ)(π‘“β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
18 simp11 1204 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴)) ∧ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘“β€˜π‘) = π‘ž)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
19 simp3l 1202 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴)) ∧ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘“β€˜π‘) = π‘ž)) β†’ 𝑓 ∈ 𝑇)
20 simp13l 1289 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴)) ∧ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘“β€˜π‘) = π‘ž)) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
21 simp2ll 1241 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴)) ∧ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘“β€˜π‘) = π‘ž)) β†’ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)
22 cdlemf.r . . . . . . . . . . . . 13 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
231, 2, 5, 3, 4, 12, 22trlval2 38676 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜π‘“) = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)(π‘“β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
2418, 19, 20, 21, 23syl112anc 1375 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴)) ∧ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘“β€˜π‘) = π‘ž)) β†’ (π‘…β€˜π‘“) = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)(π‘“β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
25 simp2r 1201 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴)) ∧ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘“β€˜π‘) = π‘ž)) β†’ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
2617, 24, 253eqtr4d 2783 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴)) ∧ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘“β€˜π‘) = π‘ž)) β†’ (π‘…β€˜π‘“) = π‘ˆ)
27263exp 1120 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴)) β†’ (((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘“β€˜π‘) = π‘ž) β†’ (π‘…β€˜π‘“) = π‘ˆ)))
28273expia 1122 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘“β€˜π‘) = π‘ž) β†’ (π‘…β€˜π‘“) = π‘ˆ))))
29283imp 1112 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) β†’ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘“β€˜π‘) = π‘ž) β†’ (π‘…β€˜π‘“) = π‘ˆ))
3029expd 417 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) β†’ (𝑓 ∈ 𝑇 β†’ ((π‘“β€˜π‘) = π‘ž β†’ (π‘…β€˜π‘“) = π‘ˆ)))
3130reximdvai 3159 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (π‘“β€˜π‘) = π‘ž β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (π‘…β€˜π‘“) = π‘ˆ))
3214, 31mpd 15 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (π‘…β€˜π‘“) = π‘ˆ)
33323exp 1120 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (π‘…β€˜π‘“) = π‘ˆ)))
3433rexlimdvv 3201 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (π‘…β€˜π‘“) = π‘ˆ))
356, 34mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (π‘…β€˜π‘“) = π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5109  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  lecple 17148  joincjn 18208  meetcmee 18209  Atomscatm 37775  HLchlt 37862  LHypclh 38497  LTrncltrn 38614  trLctrl 38671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-riotaBAD 37465
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-undef 8208  df-map 8773  df-proset 18192  df-poset 18210  df-plt 18227  df-lub 18243  df-glb 18244  df-join 18245  df-meet 18246  df-p0 18322  df-p1 18323  df-lat 18329  df-clat 18396  df-oposet 37688  df-ol 37690  df-oml 37691  df-covers 37778  df-ats 37779  df-atl 37810  df-cvlat 37834  df-hlat 37863  df-llines 38011  df-lplanes 38012  df-lvols 38013  df-lines 38014  df-psubsp 38016  df-pmap 38017  df-padd 38309  df-lhyp 38501  df-laut 38502  df-ldil 38617  df-ltrn 38618  df-trl 38672
This theorem is referenced by:  cdlemfnid  39077  trlord  39082  dih1dimb2  39754
  Copyright terms: Public domain W3C validator