Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdlemf 39429
Description: Lemma F in [Crawley] p. 116. If u is an atom under w, there exists a translation whose trace is u. (Contributed by NM, 12-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemf.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemf.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemf.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemf.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemf.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cdlemf (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (π‘…β€˜π‘“) = π‘ˆ)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   ≀ ,𝑓   𝑇,𝑓   π‘ˆ,𝑓   𝑓,π‘Š
Allowed substitution hint:   𝑅(𝑓)
Proof of Theorem cdlemf
Dummy variables 𝑝 π‘ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cdlemf.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
2 eqid 2732 . . 3 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
3 cdlemf.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
4 cdlemf.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
5 eqid 2732 . . 3 (meetβ€˜πΎ) = (meetβ€˜πΎ)
61, 2, 3, 4, 5cdlemf2 39428 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))
7 simp1l 1197 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
8 simp2l 1199 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
9 simp3ll 1244 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) β†’ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)
10 simp2r 1200 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
11 simp3lr 1245 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) β†’ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š)
12 cdlemf.t . . . . . . 7 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
131, 3, 4, 12cdleme50ex 39425 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (π‘“β€˜π‘) = π‘ž)
147, 8, 9, 10, 11, 13syl122anc 1379 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (π‘“β€˜π‘) = π‘ž)
15 simp3r 1202 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴)) ∧ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘“β€˜π‘) = π‘ž)) β†’ (π‘“β€˜π‘) = π‘ž)
1615oveq2d 7424 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴)) ∧ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘“β€˜π‘) = π‘ž)) β†’ (𝑝(joinβ€˜πΎ)(π‘“β€˜π‘)) = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))
1716oveq1d 7423 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴)) ∧ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘“β€˜π‘) = π‘ž)) β†’ ((𝑝(joinβ€˜πΎ)(π‘“β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
18 simp11 1203 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴)) ∧ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘“β€˜π‘) = π‘ž)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
19 simp3l 1201 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴)) ∧ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘“β€˜π‘) = π‘ž)) β†’ 𝑓 ∈ 𝑇)
20 simp13l 1288 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴)) ∧ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘“β€˜π‘) = π‘ž)) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
21 simp2ll 1240 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴)) ∧ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘“β€˜π‘) = π‘ž)) β†’ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)
22 cdlemf.r . . . . . . . . . . . . 13 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
231, 2, 5, 3, 4, 12, 22trlval2 39029 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜π‘“) = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)(π‘“β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
2418, 19, 20, 21, 23syl112anc 1374 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴)) ∧ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘“β€˜π‘) = π‘ž)) β†’ (π‘…β€˜π‘“) = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)(π‘“β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
25 simp2r 1200 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴)) ∧ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘“β€˜π‘) = π‘ž)) β†’ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
2617, 24, 253eqtr4d 2782 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴)) ∧ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘“β€˜π‘) = π‘ž)) β†’ (π‘…β€˜π‘“) = π‘ˆ)
27263exp 1119 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴)) β†’ (((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘“β€˜π‘) = π‘ž) β†’ (π‘…β€˜π‘“) = π‘ˆ)))
28273expia 1121 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘“β€˜π‘) = π‘ž) β†’ (π‘…β€˜π‘“) = π‘ˆ))))
29283imp 1111 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) β†’ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘“β€˜π‘) = π‘ž) β†’ (π‘…β€˜π‘“) = π‘ˆ))
3029expd 416 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) β†’ (𝑓 ∈ 𝑇 β†’ ((π‘“β€˜π‘) = π‘ž β†’ (π‘…β€˜π‘“) = π‘ˆ)))
3130reximdvai 3165 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (π‘“β€˜π‘) = π‘ž β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (π‘…β€˜π‘“) = π‘ˆ))
3214, 31mpd 15 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (π‘…β€˜π‘“) = π‘ˆ)
33323exp 1119 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (π‘…β€˜π‘“) = π‘ˆ)))
3433rexlimdvv 3210 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (π‘…β€˜π‘“) = π‘ˆ))
356, 34mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (π‘…β€˜π‘“) = π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  lecple 17203  joincjn 18263  meetcmee 18264  Atomscatm 38128  HLchlt 38215  LHypclh 38850  LTrncltrn 38967  trLctrl 39024
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-riotaBAD 37818
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-undef 8257  df-map 8821  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-p0 18377  df-p1 18378  df-lat 18384  df-clat 18451  df-oposet 38041  df-ol 38043  df-oml 38044  df-covers 38131  df-ats 38132  df-atl 38163  df-cvlat 38187  df-hlat 38216  df-llines 38364  df-lplanes 38365  df-lvols 38366  df-lines 38367  df-psubsp 38369  df-pmap 38370  df-padd 38662  df-lhyp 38854  df-laut 38855  df-ldil 38970  df-ltrn 38971  df-trl 39025
This theorem is referenced by:  cdlemfnid  39430  trlord  39435  dih1dimb2  40107
  Copyright terms: Public domain W3C validator