Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdlemf 39434
Description: Lemma F in [Crawley] p. 116. If u is an atom under w, there exists a translation whose trace is u. (Contributed by NM, 12-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemf.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemf.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemf.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemf.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemf.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cdlemf (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (π‘…β€˜π‘“) = π‘ˆ)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   ≀ ,𝑓   𝑇,𝑓   π‘ˆ,𝑓   𝑓,π‘Š
Allowed substitution hint:   𝑅(𝑓)
Proof of Theorem cdlemf
Dummy variables 𝑝 π‘ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cdlemf.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
2 eqid 2733 . . 3 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
3 cdlemf.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
4 cdlemf.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
5 eqid 2733 . . 3 (meetβ€˜πΎ) = (meetβ€˜πΎ)
61, 2, 3, 4, 5cdlemf2 39433 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))
7 simp1l 1198 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
8 simp2l 1200 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
9 simp3ll 1245 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) β†’ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)
10 simp2r 1201 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
11 simp3lr 1246 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) β†’ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š)
12 cdlemf.t . . . . . . 7 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
131, 3, 4, 12cdleme50ex 39430 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (π‘“β€˜π‘) = π‘ž)
147, 8, 9, 10, 11, 13syl122anc 1380 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (π‘“β€˜π‘) = π‘ž)
15 simp3r 1203 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴)) ∧ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘“β€˜π‘) = π‘ž)) β†’ (π‘“β€˜π‘) = π‘ž)
1615oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴)) ∧ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘“β€˜π‘) = π‘ž)) β†’ (𝑝(joinβ€˜πΎ)(π‘“β€˜π‘)) = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))
1716oveq1d 7424 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴)) ∧ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘“β€˜π‘) = π‘ž)) β†’ ((𝑝(joinβ€˜πΎ)(π‘“β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
18 simp11 1204 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴)) ∧ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘“β€˜π‘) = π‘ž)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
19 simp3l 1202 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴)) ∧ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘“β€˜π‘) = π‘ž)) β†’ 𝑓 ∈ 𝑇)
20 simp13l 1289 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴)) ∧ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘“β€˜π‘) = π‘ž)) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
21 simp2ll 1241 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴)) ∧ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘“β€˜π‘) = π‘ž)) β†’ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)
22 cdlemf.r . . . . . . . . . . . . 13 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
231, 2, 5, 3, 4, 12, 22trlval2 39034 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜π‘“) = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)(π‘“β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
2418, 19, 20, 21, 23syl112anc 1375 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴)) ∧ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘“β€˜π‘) = π‘ž)) β†’ (π‘…β€˜π‘“) = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)(π‘“β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
25 simp2r 1201 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴)) ∧ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘“β€˜π‘) = π‘ž)) β†’ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
2617, 24, 253eqtr4d 2783 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴)) ∧ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘“β€˜π‘) = π‘ž)) β†’ (π‘…β€˜π‘“) = π‘ˆ)
27263exp 1120 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴)) β†’ (((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘“β€˜π‘) = π‘ž) β†’ (π‘…β€˜π‘“) = π‘ˆ)))
28273expia 1122 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘“β€˜π‘) = π‘ž) β†’ (π‘…β€˜π‘“) = π‘ˆ))))
29283imp 1112 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) β†’ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘“β€˜π‘) = π‘ž) β†’ (π‘…β€˜π‘“) = π‘ˆ))
3029expd 417 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) β†’ (𝑓 ∈ 𝑇 β†’ ((π‘“β€˜π‘) = π‘ž β†’ (π‘…β€˜π‘“) = π‘ˆ)))
3130reximdvai 3166 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (π‘“β€˜π‘) = π‘ž β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (π‘…β€˜π‘“) = π‘ˆ))
3214, 31mpd 15 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (π‘…β€˜π‘“) = π‘ˆ)
33323exp 1120 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (π‘…β€˜π‘“) = π‘ˆ)))
3433rexlimdvv 3211 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (π‘…β€˜π‘“) = π‘ˆ))
356, 34mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (π‘…β€˜π‘“) = π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3071   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  lecple 17204  joincjn 18264  meetcmee 18265  Atomscatm 38133  HLchlt 38220  LHypclh 38855  LTrncltrn 38972  trLctrl 39029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-riotaBAD 37823
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-undef 8258  df-map 8822  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-p1 18379  df-lat 18385  df-clat 18452  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221  df-llines 38369  df-lplanes 38370  df-lvols 38371  df-lines 38372  df-psubsp 38374  df-pmap 38375  df-padd 38667  df-lhyp 38859  df-laut 38860  df-ldil 38975  df-ltrn 38976  df-trl 39030
This theorem is referenced by:  cdlemfnid  39435  trlord  39440  dih1dimb2  40112
  Copyright terms: Public domain W3C validator