Theorem cdlemftr1 39905

Description: Part of proof of Lemma G of [Crawley] p. 116, sixth line of third paragraph on p. 117: there is "a translation h, different from the identity, such that tr h ≠ tr f." (Contributed by NM, 25-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemftr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemftr.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemftr.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemftr.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cdlemftr1	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑋   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   𝑅,𝑓   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑓)

Proof of Theorem cdlemftr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemftr.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		cdlemftr.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		cdlemftr.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4		cdlemftr.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	cdlemftr2 39904	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋))
6		3simpa 1147	. . 3 ⊢ ((𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋) → (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋))
7	6	reximi 3083	. 2 ⊢ (∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋) → ∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋))
8	5, 7	syl 17	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  ∃wrex 3069   I cid 5573   ↾ cres 5678  ‘cfv 6543  Basecbs 17151  HLchlt 38687  LHypclh 39322  LTrncltrn 39439  trLctrl 39496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-riotaBAD 38290

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-undef 8264  df-map 8828  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-p0 18388  df-p1 18389  df-lat 18395  df-clat 18462  df-oposet 38513  df-ol 38515  df-oml 38516  df-covers 38603  df-ats 38604  df-atl 38635  df-cvlat 38659  df-hlat 38688  df-llines 38836  df-lplanes 38837  df-lvols 38838  df-lines 38839  df-psubsp 38841  df-pmap 38842  df-padd 39134  df-lhyp 39326  df-laut 39327  df-ldil 39442  df-ltrn 39443  df-trl 39497

This theorem is referenced by:  cdlemftr0  39906  cdlemg48  40075  cdlemk19x  40281