Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemftr1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemftr1 37571
Description: Part of proof of Lemma G of [Crawley] p. 116, sixth line of third paragraph on p. 117: there is "a translation h, different from the identity, such that tr h tr f." (Contributed by NM, 25-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemftr.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemftr.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemftr.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemftr.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemftr1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑓𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑋))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑋   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   𝑅,𝑓   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑓)

Proof of Theorem cdlemftr1
StepHypRef Expression
1 cdlemftr.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 cdlemftr.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 cdlemftr.t . . 3 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4 cdlemftr.r . . 3 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
51, 2, 3, 4cdlemftr2 37570 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑓𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑋))
6 3simpa 1142 . . 3 ((𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑋) → (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑋))
76reximi 3247 . 2 (∃𝑓𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑋) → ∃𝑓𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑋))
85, 7syl 17 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑓𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2106  wne 3020  wrex 3143   I cid 5457  cres 5555  cfv 6351  Basecbs 16475  HLchlt 36354  LHypclh 36988  LTrncltrn 37105  trLctrl 37162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-13 2385  ax-ext 2796  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-riotaBAD 35957
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-id 5458  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-undef 7933  df-map 8401  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-p1 17642  df-lat 17648  df-clat 17710  df-oposet 36180  df-ol 36182  df-oml 36183  df-covers 36270  df-ats 36271  df-atl 36302  df-cvlat 36326  df-hlat 36355  df-llines 36502  df-lplanes 36503  df-lvols 36504  df-lines 36505  df-psubsp 36507  df-pmap 36508  df-padd 36800  df-lhyp 36992  df-laut 36993  df-ldil 37108  df-ltrn 37109  df-trl 37163
This theorem is referenced by:  cdlemftr0  37572  cdlemg48  37741  cdlemk19x  37947
  Copyright terms: Public domain W3C validator