Theorem cdlemftr1 40507

Description: Part of proof of Lemma G of [Crawley] p. 116, sixth line of third paragraph on p. 117: there is "a translation h, different from the identity, such that tr h ≠ tr f." (Contributed by NM, 25-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemftr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemftr.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemftr.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemftr.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cdlemftr1	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑋   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   𝑅,𝑓   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑓)

Proof of Theorem cdlemftr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemftr.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		cdlemftr.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		cdlemftr.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4		cdlemftr.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	cdlemftr2 40506	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋))
6		3simpa 1148	. . 3 ⊢ ((𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋) → (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋))
7	6	reximi 3073	. 2 ⊢ (∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋) → ∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋))
8	5, 7	syl 17	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  ∃wrex 3059   I cid 5544   ↾ cres 5653  ‘cfv 6527  Basecbs 17213  HLchlt 39289  LHypclh 39924  LTrncltrn 40041  trLctrl 40098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5246  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723  ax-riotaBAD 38892

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4881  df-iun 4966  df-iin 4967  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-id 5545  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7356  df-ov 7402  df-oprab 7403  df-mpo 7404  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-undef 8266  df-map 8836  df-proset 18291  df-poset 18310  df-plt 18325  df-lub 18341  df-glb 18342  df-join 18343  df-meet 18344  df-p0 18420  df-p1 18421  df-lat 18427  df-clat 18494  df-oposet 39115  df-ol 39117  df-oml 39118  df-covers 39205  df-ats 39206  df-atl 39237  df-cvlat 39261  df-hlat 39290  df-llines 39438  df-lplanes 39439  df-lvols 39440  df-lines 39441  df-psubsp 39443  df-pmap 39444  df-padd 39736  df-lhyp 39928  df-laut 39929  df-ldil 40044  df-ltrn 40045  df-trl 40099

This theorem is referenced by:  cdlemftr0  40508  cdlemg48  40677  cdlemk19x  40883