Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp1l 1198 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
2 | | cdlemk5.b |
. . . 4
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
3 | | cdlemk5.h |
. . . 4
β’ π» = (LHypβπΎ) |
4 | | cdlemk5.t |
. . . 4
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
5 | | cdlemk5.r |
. . . 4
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
6 | 2, 3, 4, 5 | cdlemftr1 39076 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ π β π») β βπ β π (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ))) |
7 | 1, 6 | syl 17 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β βπ β π (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ))) |
8 | | nfv 1918 |
. . 3
β’
β²π(((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
9 | | nfcv 2904 |
. . . . . 6
β’
β²ππΉ |
10 | | cdlemk5.x |
. . . . . . 7
β’ π = (β©π§ β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπ)) β (π§βπ) = π)) |
11 | | nfra1 3266 |
. . . . . . . 8
β’
β²πβπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπ)) β (π§βπ) = π) |
12 | | nfcv 2904 |
. . . . . . . 8
β’
β²ππ |
13 | 11, 12 | nfriota 7327 |
. . . . . . 7
β’
β²π(β©π§ β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπ)) β (π§βπ) = π)) |
14 | 10, 13 | nfcxfr 2902 |
. . . . . 6
β’
β²ππ |
15 | 9, 14 | nfcsbw 3883 |
. . . . 5
β’
β²πβ¦πΉ / πβ¦π |
16 | | nfcv 2904 |
. . . . 5
β’
β²ππ |
17 | 15, 16 | nffv 6853 |
. . . 4
β’
β²π(β¦πΉ / πβ¦πβπ) |
18 | 17 | nfeq1 2919 |
. . 3
β’
β²π(β¦πΉ / πβ¦πβπ) = (πβπ) |
19 | | simpl1 1192 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ)))) β ((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ))) |
20 | | simpl2 1193 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ)))) β (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π)) |
21 | | simpl3 1194 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ)))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
22 | | simpr 486 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ)))) β (π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ)))) |
23 | | cdlemk5.l |
. . . . . 6
β’ β€ =
(leβπΎ) |
24 | | cdlemk5.j |
. . . . . 6
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
25 | | cdlemk5.m |
. . . . . 6
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
26 | | cdlemk5.a |
. . . . . 6
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
27 | | cdlemk5.z |
. . . . . 6
β’ π = ((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ)))) |
28 | | cdlemk5.y |
. . . . . 6
β’ π = ((π β¨ (π
βπ)) β§ (π β¨ (π
β(π β β‘π)))) |
29 | 2, 23, 24, 25, 26, 3, 4, 5, 27,
28, 10 | cdlemk19xlem 39451 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ)))) β (β¦πΉ / πβ¦πβπ) = (πβπ)) |
30 | 19, 20, 21, 22, 29 | syl121anc 1376 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ)))) β (β¦πΉ / πβ¦πβπ) = (πβπ)) |
31 | 30 | exp32 422 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π β π β ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ)) β (β¦πΉ / πβ¦πβπ) = (πβπ)))) |
32 | 8, 18, 31 | rexlimd 3248 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (βπ β π (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ)) β (β¦πΉ / πβ¦πβπ) = (πβπ))) |
33 | 7, 32 | mpd 15 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (β¦πΉ / πβ¦πβπ) = (πβπ)) |