Theorem cdlemftr0 41626

Description: Special case of cdlemf 41621 showing existence of a non-identity translation. (Contributed by NM, 1-Aug-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemftr0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemftr0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemftr0.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cdlemftr0	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑓 ∈ 𝑇 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑓)

Proof of Theorem cdlemftr0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemftr0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		cdlemftr0.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		cdlemftr0.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2760	. . 3 ⊢ ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	cdlemftr1 41625	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) ≠ I ))
6		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) ≠ I ) → 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵))
7	6	reximi 3100	. 2 ⊢ (∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) ≠ I ) → ∃𝑓 ∈ 𝑇 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵))
8	5, 7	syl 18	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑓 ∈ 𝑇 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086   I cid 5544   ↾ cres 5652  ‘cfv 6538  Basecbs 17387  HLchlt 40408  LHypclh 41042  LTrncltrn 41159  trLctrl 41216

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-riotaBAD 40011

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-undef 8290  df-map 8849  df-proset 18468  df-poset 18487  df-plt 18502  df-lub 18518  df-glb 18519  df-join 18520  df-meet 18521  df-p0 18597  df-p1 18598  df-lat 18606  df-clat 18673  df-oposet 40234  df-ol 40236  df-oml 40237  df-covers 40324  df-ats 40325  df-atl 40356  df-cvlat 40380  df-hlat 40409  df-llines 40556  df-lplanes 40557  df-lvols 40558  df-lines 40559  df-psubsp 40561  df-pmap 40562  df-padd 40854  df-lhyp 41046  df-laut 41047  df-ldil 41162  df-ltrn 41163  df-trl 41217

This theorem is used by:  tendo0mul  41884  tendo0mulr  41885  tendo1ne0  41886  tendoconid  41887  cdleml4N  42037  erngdv  42051  erngdv-rN  42059