Theorem cdlemftr0 36717

Description: Special case of cdlemf 36712 showing existence of a non-identity translation. (Contributed by NM, 1-Aug-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemftr0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemftr0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemftr0.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cdlemftr0	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑓 ∈ 𝑇 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑓)

Proof of Theorem cdlemftr0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemftr0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		cdlemftr0.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		cdlemftr0.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2777	. . 3 ⊢ ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	cdlemftr1 36716	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) ≠ I ))
6		simpl 476	. . 3 ⊢ ((𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) ≠ I ) → 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵))
7	6	reximi 3191	. 2 ⊢ (∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) ≠ I ) → ∃𝑓 ∈ 𝑇 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵))
8	5, 7	syl 17	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑓 ∈ 𝑇 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2968  ∃wrex 3090   I cid 5260   ↾ cres 5357  ‘cfv 6135  Basecbs 16255  HLchlt 35499  LHypclh 36133  LTrncltrn 36250  trLctrl 36307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-riotaBAD 35102

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-undef 7681  df-map 8142  df-proset 17314  df-poset 17332  df-plt 17344  df-lub 17360  df-glb 17361  df-join 17362  df-meet 17363  df-p0 17425  df-p1 17426  df-lat 17432  df-clat 17494  df-oposet 35325  df-ol 35327  df-oml 35328  df-covers 35415  df-ats 35416  df-atl 35447  df-cvlat 35471  df-hlat 35500  df-llines 35647  df-lplanes 35648  df-lvols 35649  df-lines 35650  df-psubsp 35652  df-pmap 35653  df-padd 35945  df-lhyp 36137  df-laut 36138  df-ldil 36253  df-ltrn 36254  df-trl 36308

This theorem is referenced by:  tendo0mul  36975  tendo0mulr  36976  tendo1ne0  36977  tendoconid  36978  cdleml4N  37128  erngdv  37142  erngdv-rN  37150