Theorem cdlemg48 40720

Description: Eliminate ℎ from cdlemg47 40719. (Contributed by NM, 5-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemg46.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemg46.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg46.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg46.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cdlemg48	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺))) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ 𝐹))

Proof of Theorem cdlemg48

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemg46.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		cdlemg46.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		cdlemg46.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4		cdlemg46.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	cdlemftr1 40550	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃ℎ ∈ 𝑇 (ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹)))
6	5	3ad2ant1 1132	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺))) → ∃ℎ ∈ 𝑇 (ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹)))
7		simp11 1202	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺))) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ (ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
8		simp12l 1285	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺))) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ (ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → 𝐹 ∈ 𝑇)
9		simp12r 1286	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺))) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ (ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → 𝐺 ∈ 𝑇)
10		simp2 1136	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺))) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ (ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → ℎ ∈ 𝑇)
11		simp13r 1288	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺))) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ (ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺))
12		simp13l 1287	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺))) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ (ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
13		simp3l 1200	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺))) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ (ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))
14		simp3r 1201	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺))) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ (ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))
15	1, 2, 3, 4	cdlemg47 40719	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ 𝐹))
16	7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	syl323anc 1399	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺))) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ (ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ 𝐹))
17	16	rexlimdv3a 3157	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺))) → (∃ℎ ∈ 𝑇 (ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹)) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ 𝐹)))
18	6, 17	mpd 15	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺))) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∃wrex 3068   I cid 5582   ↾ cres 5691   ∘ ccom 5693  ‘cfv 6563  Basecbs 17245  HLchlt 39332  LHypclh 39967  LTrncltrn 40084  trLctrl 40141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-riotaBAD 38935

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-undef 8297  df-map 8867  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18490  df-clat 18557  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-llines 39481  df-lplanes 39482  df-lvols 39483  df-lines 39484  df-psubsp 39486  df-pmap 39487  df-padd 39779  df-lhyp 39971  df-laut 39972  df-ldil 40087  df-ltrn 40088  df-trl 40142

This theorem is referenced by:  ltrncom  40721