Theorem cdlemg48 41539

Description: Eliminate ℎ from cdlemg47 41538. (Contributed by NM, 5-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemg46.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemg46.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg46.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg46.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cdlemg48	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺))) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ 𝐹))

Proof of Theorem cdlemg48

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemg46.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		cdlemg46.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		cdlemg46.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4		cdlemg46.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	cdlemftr1 41369	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃ℎ ∈ 𝑇 (ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹)))
6	5	3ad2ant1 1151	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺))) → ∃ℎ ∈ 𝑇 (ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹)))
7		simp11 1222	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺))) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ (ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
8		simp12l 1305	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺))) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ (ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → 𝐹 ∈ 𝑇)
9		simp12r 1306	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺))) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ (ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → 𝐺 ∈ 𝑇)
10		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺))) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ (ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → ℎ ∈ 𝑇)
11		simp13r 1308	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺))) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ (ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺))
12		simp13l 1307	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺))) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ (ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
13		simp3l 1220	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺))) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ (ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))
14		simp3r 1221	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺))) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ (ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))
15	1, 2, 3, 4	cdlemg47 41538	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ 𝐹))
16	7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	syl323anc 1427	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺))) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ (ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ 𝐹))
17	16	rexlimdv3a 3170	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺))) → (∃ℎ ∈ 𝑇 (ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹)) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ 𝐹)))
18	6, 17	mpd 16	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺))) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ 𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089   I cid 5555   ↾ cres 5663   ∘ ccom 5665  ‘cfv 6536  Basecbs 17273  HLchlt 40152  LHypclh 40786  LTrncltrn 40903  trLctrl 40960

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-riotaBAD 39755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-undef 8265  df-map 8822  df-proset 18354  df-poset 18373  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18492  df-clat 18559  df-oposet 39978  df-ol 39980  df-oml 39981  df-covers 40068  df-ats 40069  df-atl 40100  df-cvlat 40124  df-hlat 40153  df-llines 40300  df-lplanes 40301  df-lvols 40302  df-lines 40303  df-psubsp 40305  df-pmap 40306  df-padd 40598  df-lhyp 40790  df-laut 40791  df-ldil 40906  df-ltrn 40907  df-trl 40961

This theorem is used by:  ltrncom  41540