Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg48 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemg48 37911
Description: Eliminate from cdlemg47 37910. (Contributed by NM, 5-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg46.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemg46.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg46.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg46.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemg48 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) → (𝐹𝐺) = (𝐺𝐹))

Proof of Theorem cdlemg48
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cdlemg46.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 cdlemg46.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 cdlemg46.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4 cdlemg46.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
51, 2, 3, 4cdlemftr1 37741 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑇 ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹)))
653ad2ant1 1130 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) → ∃𝑇 ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹)))
7 simp11 1200 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) ∧ 𝑇 ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
8 simp12l 1283 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) ∧ 𝑇 ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝐹𝑇)
9 simp12r 1284 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) ∧ 𝑇 ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝐺𝑇)
10 simp2 1134 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) ∧ 𝑇 ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝑇)
11 simp13r 1286 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) ∧ 𝑇 ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))
12 simp13l 1285 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) ∧ 𝑇 ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
13 simp3l 1198 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) ∧ 𝑇 ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → ≠ ( I ↾ 𝐵))
14 simp3r 1199 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) ∧ 𝑇 ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))
151, 2, 3, 4cdlemg47 37910 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝐹𝐺) = (𝐺𝐹))
167, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15syl323anc 1397 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) ∧ 𝑇 ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝐹𝐺) = (𝐺𝐹))
1716rexlimdv3a 3272 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) → (∃𝑇 ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹)) → (𝐹𝐺) = (𝐺𝐹)))
186, 17mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) → (𝐹𝐺) = (𝐺𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3007  wrex 3127   I cid 5432  cres 5530  ccom 5532  cfv 6328  Basecbs 16461  HLchlt 36524  LHypclh 37158  LTrncltrn 37275  trLctrl 37332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-riotaBAD 36127
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-iin 4895  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-id 5433  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-undef 7914  df-map 8383  df-proset 17516  df-poset 17534  df-plt 17546  df-lub 17562  df-glb 17563  df-join 17564  df-meet 17565  df-p0 17627  df-p1 17628  df-lat 17634  df-clat 17696  df-oposet 36350  df-ol 36352  df-oml 36353  df-covers 36440  df-ats 36441  df-atl 36472  df-cvlat 36496  df-hlat 36525  df-llines 36672  df-lplanes 36673  df-lvols 36674  df-lines 36675  df-psubsp 36677  df-pmap 36678  df-padd 36970  df-lhyp 37162  df-laut 37163  df-ldil 37278  df-ltrn 37279  df-trl 37333
This theorem is referenced by:  ltrncom  37912
  Copyright terms: Public domain W3C validator