Theorem cdlemftr2 38580

Description: Special case of cdlemf 38577 showing existence of non-identity translation with trace different from any 2 given lattice elements. (Contributed by NM, 25-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemftr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemftr.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemftr.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemftr.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cdlemftr2	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   𝑅,𝑓   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑓)

Proof of Theorem cdlemftr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemftr.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		cdlemftr.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		cdlemftr.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4		cdlemftr.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	cdlemftr3 38579	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌)))
6		simpl 483	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌)) → 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵))
7		simpr1 1193	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌)) → (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋)
8		simpr2 1194	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌)) → (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌)
9	6, 7, 8	3jca 1127	. . 3 ⊢ ((𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌)) → (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌))
10	9	reximi 3178	. 2 ⊢ (∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌)) → ∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌))
11	5, 10	syl 17	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3065   I cid 5488   ↾ cres 5591  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  HLchlt 37364  LHypclh 37998  LTrncltrn 38115  trLctrl 38172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-riotaBAD 36967

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-undef 8089  df-map 8617  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-p0 18143  df-p1 18144  df-lat 18150  df-clat 18217  df-oposet 37190  df-ol 37192  df-oml 37193  df-covers 37280  df-ats 37281  df-atl 37312  df-cvlat 37336  df-hlat 37365  df-llines 37512  df-lplanes 37513  df-lvols 37514  df-lines 37515  df-psubsp 37517  df-pmap 37518  df-padd 37810  df-lhyp 38002  df-laut 38003  df-ldil 38118  df-ltrn 38119  df-trl 38173

This theorem is referenced by:  cdlemftr1  38581  cdlemk26b-3  38919  cdlemk29-3  38925  cdlemk38  38929  cdlemkid5  38949  cdlemkid  38950  cdlemk55b  38974