Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg24 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdlemg24 40072
Description: Combine cdlemg16z 40043 and cdlemg22 40071. TODO: Fix comment. (Contributed by NM, 24-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg12.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemg12.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemg12.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemg12.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemg12.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemg12.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemg12b.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cdlemg24 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š) = ((𝑄 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) ∧ π‘Š))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘Ÿ   𝐺,π‘Ÿ   ∨ ,π‘Ÿ   ≀ ,π‘Ÿ   𝑃,π‘Ÿ   𝑄,π‘Ÿ   π‘Š,π‘Ÿ   𝐹,π‘Ÿ
Allowed substitution hints:   𝑅(π‘Ÿ)   𝑇(π‘Ÿ)   𝐻(π‘Ÿ)   𝐾(π‘Ÿ)   ∧ (π‘Ÿ)
Proof of Theorem cdlemg24
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)))
2 simpl2 1189 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄))
3 simpr 484 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
4 simpl3l 1225 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))
5 simpl3r 1226 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ Β¬ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))
6 cdlemg12.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
7 cdlemg12.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
8 cdlemg12.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
9 cdlemg12.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
10 cdlemg12.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
11 cdlemg12.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
12 cdlemg12b.r . . . 4 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
136, 7, 8, 9, 10, 11, 12cdlemg22 40071 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š) = ((𝑄 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) ∧ π‘Š))
141, 2, 3, 4, 5, 13syl113anc 1379 . 2 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š) = ((𝑄 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) ∧ π‘Š))
15 simpl1 1188 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) ∧ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)))
16 simpl2 1189 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) ∧ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄))
17 simpr 484 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) ∧ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
18 simpl3l 1225 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) ∧ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))
19 simpl3r 1226 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) ∧ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ Β¬ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))
206, 7, 8, 9, 10, 11, 12cdlemg20 40069 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š) = ((𝑄 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) ∧ π‘Š))
2115, 16, 17, 18, 19, 20syl113anc 1379 . 2 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) ∧ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š) = ((𝑄 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) ∧ π‘Š))
22 simpl1 1188 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) ∧ (Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)))
23 simpl2 1189 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) ∧ (Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄))
24 simprl 768 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) ∧ (Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
25 simprr 770 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) ∧ (Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
266, 7, 8, 9, 10, 11, 12cdlemg16z 40043 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š) = ((𝑄 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) ∧ π‘Š))
2722, 23, 24, 25, 26syl112anc 1371 . 2 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) ∧ (Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š) = ((𝑄 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) ∧ π‘Š))
2814, 21, 27pm2.61ddan 811 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š) = ((𝑄 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) ∧ π‘Š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  lecple 17213  joincjn 18276  meetcmee 18277  Atomscatm 38646  HLchlt 38733  LHypclh 39368  LTrncltrn 39485  trLctrl 39542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-riotaBAD 38336
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-undef 8259  df-map 8824  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-llines 38882  df-lplanes 38883  df-lvols 38884  df-lines 38885  df-psubsp 38887  df-pmap 38888  df-padd 39180  df-lhyp 39372  df-laut 39373  df-ldil 39488  df-ltrn 39489  df-trl 39543
This theorem is referenced by:  cdlemg37  40073
  Copyright terms: Public domain W3C validator