Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpl1 1192 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ π β π β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) = (π β¨ π)) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
2 | | simpl2 1193 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ π β π β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) = (π β¨ π)) β ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π)) |
3 | | simpl31 1255 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ π β π β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) = (π β¨ π)) β πΊ β π) |
4 | | simpr 486 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ π β π β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) = (π β¨ π)) β ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) = (π β¨ π)) |
5 | | cdlemg12.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
6 | | cdlemg12.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
7 | | cdlemg12.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
8 | | cdlemg12.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
9 | | cdlemg12.h |
. . . 4
β’ π» = (LHypβπΎ) |
10 | | cdlemg12.t |
. . . 4
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
11 | 5, 6, 7, 8, 9, 10 | cdlemg8 39123 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) = (π β¨ π))) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π) = ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π)) |
12 | 1, 2, 3, 4, 11 | syl112anc 1375 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ π β π β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) = (π β¨ π)) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π) = ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π)) |
13 | | simpl1 1192 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ π β π β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π)) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
14 | | simpl21 1252 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ π β π β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π)) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
15 | | simpl22 1253 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ π β π β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π)) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
16 | | simpl23 1254 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ π β π β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π)) β πΉ β π) |
17 | | simpl31 1255 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ π β π β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π)) β πΊ β π) |
18 | | simpl32 1256 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ π β π β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π)) β π β π) |
19 | | simpr 486 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ π β π β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π)) β ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π)) |
20 | | simpl33 1257 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ π β π β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π)) β Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π))) |
21 | | cdlemg12b.r |
. . . 4
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
22 | 5, 6, 7, 8, 9, 10,
21 | cdlemg24 39180 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π) = ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π)) |
23 | 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 22 | syl332anc 1402 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ π β π β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π)) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π) = ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π)) |
24 | 12, 23 | pm2.61dane 3033 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ π β π β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π) = ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π)) |