Theorem cmnmnd 20062

Description: A commutative monoid is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cmnmnd	⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)

Proof of Theorem cmnmnd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3	1, 2	iscmn 20054	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd ↔ (𝐺 ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)(𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
4	3	simplbi 502	1 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431  +_gcplusg 17472  Mndcmnd 18973  CMndccmn 20045

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-iota 6520  df-fv 6574  df-ov 7454  df-cmn 20047

This theorem is used by:  cmn32  20065  cmn4  20066  cmn12  20067  cmnmndd  20069  rinvmod  20071  mulgnn0di  20090  mulgmhm  20092  ghmcmn  20096  prdscmnd  20126  gsumres  20178  gsumcl2  20179  gsumf1o  20181  gsumsubmcl  20184  gsumadd  20188  gsumsplit  20193  gsummhm  20203  gsummulglem  20206  gsuminv  20211  gsumpr  20220  gsumunsnfd  20222  gsumdifsnd  20226  gsum2d  20237  prdsgsum  20246  gsumle  20410  srgmnd  20467  gsumvsmul  21252  xrge0omnd  21805  frlmgsum  22133  frlmup2  22160  islindf4  22199  evlslem3  22444  mdetdiagid  22970  mdetrlin  22972  gsummatr01lem3  23027  gsummatr01  23029  chpscmat  23215  chp0mat  23219  chpidmat  23220  tmdgsum  24469  tmdgsum2  24470  tsms0  24516  tsmsmhm  24520  tsmsadd  24521  tgptsmscls  24524  tsmssplit  24526  tsmsxplem1  24527  tsmsxplem2  24528  imasdsf1olem  24747  lgseisenlem4  27762  xrge00  33674  gsumvsmul1  33711  gsummptres  33712  slmdmnd  33866  psrmonprod  34295  lbsdiflsp0  34369  xrge0iifmhm  34682  xrge0tmdALT  34689  esum0  34792  esumsnf  34807  esumcocn  34823  aks6d1c1  43432  aks6d1c5lem0  43451  aks6d1c5lem3  43453  aks6d1c5lem2  43454  aks6d1c5  43455  gsumge0cl  47654  sge0tsms  47663  gsumdifsndf  49551