Theorem cmnmnd 19317

Description: A commutative monoid is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cmnmnd	⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)

Proof of Theorem cmnmnd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2738	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3	1, 2	iscmn 19309	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd ↔ (𝐺 ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)(𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
4	3	simplbi 497	1 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  Mndcmnd 18300  CMndccmn 19301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ral 3068  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-iota 6376  df-fv 6426  df-ov 7258  df-cmn 19303

This theorem is referenced by:  cmn32  19320  cmn4  19321  cmn12  19322  cmnmndd  19324  rinvmod  19325  mulgnn0di  19342  mulgmhm  19344  ghmcmn  19348  prdscmnd  19377  gsumres  19429  gsumcl2  19430  gsumf1o  19432  gsumsubmcl  19435  gsumadd  19439  gsumsplit  19444  gsummhm  19454  gsummulglem  19457  gsuminv  19462  gsumpr  19471  gsumunsnfd  19473  gsumdifsnd  19477  gsum2d  19488  prdsgsum  19497  srgmnd  19660  gsumvsmul  20102  frlmgsum  20889  frlmup2  20916  islindf4  20955  evlslem3  21200  mdetdiagid  21657  mdetrlin  21659  mdetrsca  21660  gsummatr01lem3  21714  gsummatr01  21716  chpscmat  21899  chp0mat  21903  chpidmat  21904  tmdgsum  23154  tmdgsum2  23155  tsms0  23201  tsmsmhm  23205  tsmsadd  23206  tgptsmscls  23209  tsmssplit  23211  tsmsxplem1  23212  tsmsxplem2  23213  imasdsf1olem  23434  lgseisenlem4  26431  xrge00  31197  gsumvsmul1  31213  gsummptres  31214  xrge0omnd  31239  gsumle  31252  slmdmnd  31361  lbsdiflsp0  31609  xrge0iifmhm  31791  xrge0tmdALT  31798  esum0  31917  esumsnf  31932  esumcocn  31948  gsumge0cl  43799  sge0tsms  43808  gsumdifsndf  45263