Theorem cmnmnd 19827

Description: A commutative monoid is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cmnmnd	⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)

Proof of Theorem cmnmnd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2761	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3	1, 2	iscmn 19819	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd ↔ (𝐺 ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)(𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
4	3	simplbi 500	1 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  Basecbs 17235  +_gcplusg 17276  Mndcmnd 18758  CMndccmn 19810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-ext 2733

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-sb 2090  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-iota 6471  df-fv 6523  df-ov 7393  df-cmn 19812

This theorem is referenced by:  cmn32  19830  cmn4  19831  cmn12  19832  cmnmndd  19834  rinvmod  19836  mulgnn0di  19855  mulgmhm  19857  ghmcmn  19861  prdscmnd  19891  gsumres  19943  gsumcl2  19944  gsumf1o  19946  gsumsubmcl  19949  gsumadd  19953  gsumsplit  19958  gsummhm  19968  gsummulglem  19971  gsuminv  19976  gsumpr  19985  gsumunsnfd  19987  gsumdifsnd  19991  gsum2d  20002  prdsgsum  20011  gsumle  20175  srgmnd  20226  gsumvsmul  20980  xrge0omnd  21484  frlmgsum  21811  frlmup2  21838  islindf4  21877  evlslem3  22120  mdetdiagid  22647  mdetrlin  22649  gsummatr01lem3  22704  gsummatr01  22706  chpscmat  22889  chp0mat  22893  chpidmat  22894  tmdgsum  24142  tmdgsum2  24143  tsms0  24189  tsmsmhm  24193  tsmsadd  24194  tgptsmscls  24197  tsmssplit  24199  tsmsxplem1  24200  tsmsxplem2  24201  imasdsf1olem  24420  lgseisenlem4  27429  xrge00  33152  gsumvsmul1  33191  gsummptres  33192  slmdmnd  33346  psrmonprod  33809  lbsdiflsp0  33883  xrge0iifmhm  34196  xrge0tmdALT  34203  esum0  34306  esumsnf  34321  esumcocn  34337  aks6d1c1  42693  aks6d1c5lem0  42712  aks6d1c5lem3  42714  aks6d1c5lem2  42715  aks6d1c5  42716  gsumge0cl  46905  sge0tsms  46914  gsumdifsndf  48763