Theorem cmnmnd 19830

Description: A commutative monoid is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cmnmnd	⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)

Proof of Theorem cmnmnd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2735	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3	1, 2	iscmn 19822	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd ↔ (𝐺 ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)(𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
4	3	simplbi 497	1 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298  Mndcmnd 18760  CMndccmn 19813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-iota 6516  df-fv 6571  df-ov 7434  df-cmn 19815

This theorem is referenced by:  cmn32  19833  cmn4  19834  cmn12  19835  cmnmndd  19837  rinvmod  19839  mulgnn0di  19858  mulgmhm  19860  ghmcmn  19864  prdscmnd  19894  gsumres  19946  gsumcl2  19947  gsumf1o  19949  gsumsubmcl  19952  gsumadd  19956  gsumsplit  19961  gsummhm  19971  gsummulglem  19974  gsuminv  19979  gsumpr  19988  gsumunsnfd  19990  gsumdifsnd  19994  gsum2d  20005  prdsgsum  20014  srgmnd  20208  gsumvsmul  20941  frlmgsum  21810  frlmup2  21837  islindf4  21876  evlslem3  22122  mdetdiagid  22622  mdetrlin  22624  gsummatr01lem3  22679  gsummatr01  22681  chpscmat  22864  chp0mat  22868  chpidmat  22869  tmdgsum  24119  tmdgsum2  24120  tsms0  24166  tsmsmhm  24170  tsmsadd  24171  tgptsmscls  24174  tsmssplit  24176  tsmsxplem1  24177  tsmsxplem2  24178  imasdsf1olem  24399  lgseisenlem4  27437  xrge00  33000  gsumvsmul1  33037  gsummptres  33038  xrge0omnd  33071  gsumle  33084  slmdmnd  33195  lbsdiflsp0  33654  xrge0iifmhm  33900  xrge0tmdALT  33907  esum0  34030  esumsnf  34045  esumcocn  34061  aks6d1c1  42098  aks6d1c5lem0  42117  aks6d1c5lem3  42119  aks6d1c5lem2  42120  aks6d1c5  42121  gsumge0cl  46327  sge0tsms  46336  gsumdifsndf  48025