Theorem cmnmnd 19863

Description: A commutative monoid is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cmnmnd	⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)

Proof of Theorem cmnmnd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2769	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3	1, 2	iscmn 19855	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd ↔ (𝐺 ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)(𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
4	3	simplbi 501	1 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  Basecbs 17265  +_gcplusg 17306  Mndcmnd 18788  CMndccmn 19846

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-ext 2741

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-sb 2098  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-iota 6489  df-fv 6541  df-ov 7411  df-cmn 19848

This theorem is referenced by:  cmn32  19866  cmn4  19867  cmn12  19868  cmnmndd  19870  rinvmod  19872  mulgnn0di  19891  mulgmhm  19893  ghmcmn  19897  prdscmnd  19927  gsumres  19979  gsumcl2  19980  gsumf1o  19982  gsumsubmcl  19985  gsumadd  19989  gsumsplit  19994  gsummhm  20004  gsummulglem  20007  gsuminv  20012  gsumpr  20021  gsumunsnfd  20023  gsumdifsnd  20027  gsum2d  20038  prdsgsum  20047  gsumle  20211  srgmnd  20268  gsumvsmul  21021  xrge0omnd  21560  frlmgsum  21887  frlmup2  21914  islindf4  21953  evlslem3  22196  mdetdiagid  22722  mdetrlin  22724  gsummatr01lem3  22779  gsummatr01  22781  chpscmat  22964  chp0mat  22968  chpidmat  22969  tmdgsum  24217  tmdgsum2  24218  tsms0  24264  tsmsmhm  24268  tsmsadd  24269  tgptsmscls  24272  tsmssplit  24274  tsmsxplem1  24275  tsmsxplem2  24276  imasdsf1olem  24495  lgseisenlem4  27504  xrge00  33271  gsumvsmul1  33308  gsummptres  33309  slmdmnd  33463  psrmonprod  33883  lbsdiflsp0  33957  xrge0iifmhm  34270  xrge0tmdALT  34277  esum0  34380  esumsnf  34395  esumcocn  34411  aks6d1c1  42768  aks6d1c5lem0  42787  aks6d1c5lem3  42789  aks6d1c5lem2  42790  aks6d1c5  42791  gsumge0cl  46970  sge0tsms  46979  gsumdifsndf  48828