Theorem cmnmnd 19752

Description: A commutative monoid is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cmnmnd	⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)

Proof of Theorem cmnmnd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2728	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2728	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3	1, 2	iscmn 19744	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd ↔ (𝐺 ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)(𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
4	3	simplbi 497	1 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3058  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180  +_gcplusg 17233  Mndcmnd 18694  CMndccmn 19735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-ext 2699

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-sb 2061  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-iota 6500  df-fv 6556  df-ov 7423  df-cmn 19737

This theorem is referenced by:  cmn32  19755  cmn4  19756  cmn12  19757  cmnmndd  19759  rinvmod  19761  mulgnn0di  19780  mulgmhm  19782  ghmcmn  19786  prdscmnd  19816  gsumres  19868  gsumcl2  19869  gsumf1o  19871  gsumsubmcl  19874  gsumadd  19878  gsumsplit  19883  gsummhm  19893  gsummulglem  19896  gsuminv  19901  gsumpr  19910  gsumunsnfd  19912  gsumdifsnd  19916  gsum2d  19927  prdsgsum  19936  srgmnd  20130  gsumvsmul  20809  frlmgsum  21706  frlmup2  21733  islindf4  21772  evlslem3  22026  mdetdiagid  22515  mdetrlin  22517  gsummatr01lem3  22572  gsummatr01  22574  chpscmat  22757  chp0mat  22761  chpidmat  22762  tmdgsum  24012  tmdgsum2  24013  tsms0  24059  tsmsmhm  24063  tsmsadd  24064  tgptsmscls  24067  tsmssplit  24069  tsmsxplem1  24070  tsmsxplem2  24071  imasdsf1olem  24292  lgseisenlem4  27324  xrge00  32755  gsumvsmul1  32778  gsummptres  32779  xrge0omnd  32804  gsumle  32817  slmdmnd  32926  lbsdiflsp0  33324  xrge0iifmhm  33540  xrge0tmdALT  33547  esum0  33668  esumsnf  33683  esumcocn  33699  aks6d1c1  41587  aks6d1c5lem0  41606  aks6d1c5lem3  41608  aks6d1c5lem2  41609  aks6d1c5  41610  gsumge0cl  45759  sge0tsms  45768  gsumdifsndf  47243