MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmnmnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cmnmnd 19584
Description: A commutative monoid is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
cmnmnd (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)

Proof of Theorem cmnmnd
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . 3 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2 eqid 2733 . . 3 (+g𝐺) = (+g𝐺)
31, 2iscmn 19576 . 2 (𝐺 ∈ CMnd ↔ (𝐺 ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)(𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
43simplbi 499 1 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3061  cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  Mndcmnd 18561  CMndccmn 19567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3062  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-iota 6449  df-fv 6505  df-ov 7361  df-cmn 19569
This theorem is referenced by:  cmn32  19587  cmn4  19588  cmn12  19589  cmnmndd  19591  rinvmod  19592  mulgnn0di  19609  mulgmhm  19611  ghmcmn  19615  prdscmnd  19644  gsumres  19695  gsumcl2  19696  gsumf1o  19698  gsumsubmcl  19701  gsumadd  19705  gsumsplit  19710  gsummhm  19720  gsummulglem  19723  gsuminv  19728  gsumpr  19737  gsumunsnfd  19739  gsumdifsnd  19743  gsum2d  19754  prdsgsum  19763  srgmnd  19926  gsumvsmul  20401  frlmgsum  21194  frlmup2  21221  islindf4  21260  evlslem3  21506  mdetdiagid  21965  mdetrlin  21967  mdetrsca  21968  gsummatr01lem3  22022  gsummatr01  22024  chpscmat  22207  chp0mat  22211  chpidmat  22212  tmdgsum  23462  tmdgsum2  23463  tsms0  23509  tsmsmhm  23513  tsmsadd  23514  tgptsmscls  23517  tsmssplit  23519  tsmsxplem1  23520  tsmsxplem2  23521  imasdsf1olem  23742  lgseisenlem4  26742  xrge00  31926  gsumvsmul1  31942  gsummptres  31943  xrge0omnd  31968  gsumle  31981  slmdmnd  32090  lbsdiflsp0  32378  xrge0iifmhm  32577  xrge0tmdALT  32584  esum0  32705  esumsnf  32720  esumcocn  32736  gsumge0cl  44698  sge0tsms  44707  gsumdifsndf  46201
  Copyright terms: Public domain W3C validator