MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmnmnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cmnmnd 18917
Description: A commutative monoid is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
cmnmnd (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)

Proof of Theorem cmnmnd
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2801 . . 3 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2 eqid 2801 . . 3 (+g𝐺) = (+g𝐺)
31, 2iscmn 18909 . 2 (𝐺 ∈ CMnd ↔ (𝐺 ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)(𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
43simplbi 501 1 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2112  wral 3109  cfv 6328  (class class class)co 7139  Basecbs 16478  +gcplusg 16560  Mndcmnd 17906  CMndccmn 18901
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ral 3114  df-rab 3118  df-v 3446  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-iota 6287  df-fv 6336  df-ov 7142  df-cmn 18903
This theorem is referenced by:  cmn32  18920  cmn4  18921  cmn12  18922  cmnmndd  18924  rinvmod  18925  mulgnn0di  18942  mulgmhm  18944  ghmcmn  18948  prdscmnd  18977  gsumres  19029  gsumcl2  19030  gsumf1o  19032  gsumsubmcl  19035  gsumadd  19039  gsumsplit  19044  gsummhm  19054  gsummulglem  19057  gsuminv  19062  gsumpr  19071  gsumunsnfd  19073  gsumdifsnd  19077  gsum2d  19088  prdsgsum  19097  srgmnd  19255  gsumvsmul  19694  frlmgsum  20464  frlmup2  20491  islindf4  20530  psrbagev1  20752  evlslem3  20755  evlslem1  20757  mdetdiagid  21208  mdetrlin  21210  mdetrsca  21211  gsummatr01lem3  21265  gsummatr01  21267  chpscmat  21450  chp0mat  21454  chpidmat  21455  tmdgsum  22703  tmdgsum2  22704  tsms0  22750  tsmsmhm  22754  tsmsadd  22755  tgptsmscls  22758  tsmssplit  22760  tsmsxplem1  22761  tsmsxplem2  22762  imasdsf1olem  22983  lgseisenlem4  25965  xrge00  30723  gsumvsmul1  30739  gsummptres  30740  xrge0omnd  30765  gsumle  30778  slmdmnd  30887  lbsdiflsp0  31110  xrge0iifmhm  31290  xrge0tmdALT  31297  esum0  31416  esumsnf  31431  esumcocn  31447  gsumge0cl  42997  sge0tsms  43006  gsumdifsndf  44428
  Copyright terms: Public domain W3C validator