Theorem cmnmnd 19770

Description: A commutative monoid is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cmnmnd	⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)

Proof of Theorem cmnmnd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2740	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3	1, 2	iscmn 19762	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd ↔ (𝐺 ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)(𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
4	3	simplbi 497	1 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3054  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Basecbs 17177  +_gcplusg 17218  Mndcmnd 18700  CMndccmn 19753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2712

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-iota 6448  df-fv 6500  df-ov 7366  df-cmn 19755

This theorem is referenced by:  cmn32  19773  cmn4  19774  cmn12  19775  cmnmndd  19777  rinvmod  19779  mulgnn0di  19798  mulgmhm  19800  ghmcmn  19804  prdscmnd  19834  gsumres  19886  gsumcl2  19887  gsumf1o  19889  gsumsubmcl  19892  gsumadd  19896  gsumsplit  19901  gsummhm  19911  gsummulglem  19914  gsuminv  19919  gsumpr  19928  gsumunsnfd  19930  gsumdifsnd  19934  gsum2d  19945  prdsgsum  19954  gsumle  20118  srgmnd  20169  gsumvsmul  20923  xrge0omnd  21427  frlmgsum  21754  frlmup2  21781  islindf4  21820  evlslem3  22063  mdetdiagid  22590  mdetrlin  22592  gsummatr01lem3  22647  gsummatr01  22649  chpscmat  22832  chp0mat  22836  chpidmat  22837  tmdgsum  24085  tmdgsum2  24086  tsms0  24132  tsmsmhm  24136  tsmsadd  24137  tgptsmscls  24140  tsmssplit  24142  tsmsxplem1  24143  tsmsxplem2  24144  imasdsf1olem  24363  lgseisenlem4  27366  xrge00  33100  gsumvsmul1  33139  gsummptres  33140  slmdmnd  33294  psrmonprod  33743  lbsdiflsp0  33817  xrge0iifmhm  34130  xrge0tmdALT  34137  esum0  34240  esumsnf  34255  esumcocn  34271  aks6d1c1  42608  aks6d1c5lem0  42627  aks6d1c5lem3  42629  aks6d1c5lem2  42630  aks6d1c5  42631  gsumge0cl  46821  sge0tsms  46830  gsumdifsndf  48679