Theorem cmnmnd 19140

Description: A commutative monoid is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cmnmnd	⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)

Proof of Theorem cmnmnd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3	1, 2	iscmn 19132	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd ↔ (𝐺 ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)(𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
4	3	simplbi 501	1 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  ∀wral 3051  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  Basecbs 16666  +_gcplusg 16749  Mndcmnd 18127  CMndccmn 19124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-ext 2708

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-sb 2073  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-ral 3056  df-rab 3060  df-v 3400  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-iota 6316  df-fv 6366  df-ov 7194  df-cmn 19126

This theorem is referenced by:  cmn32  19143  cmn4  19144  cmn12  19145  cmnmndd  19147  rinvmod  19148  mulgnn0di  19165  mulgmhm  19167  ghmcmn  19171  prdscmnd  19200  gsumres  19252  gsumcl2  19253  gsumf1o  19255  gsumsubmcl  19258  gsumadd  19262  gsumsplit  19267  gsummhm  19277  gsummulglem  19280  gsuminv  19285  gsumpr  19294  gsumunsnfd  19296  gsumdifsnd  19300  gsum2d  19311  prdsgsum  19320  srgmnd  19478  gsumvsmul  19917  frlmgsum  20688  frlmup2  20715  islindf4  20754  evlslem3  20994  mdetdiagid  21451  mdetrlin  21453  mdetrsca  21454  gsummatr01lem3  21508  gsummatr01  21510  chpscmat  21693  chp0mat  21697  chpidmat  21698  tmdgsum  22946  tmdgsum2  22947  tsms0  22993  tsmsmhm  22997  tsmsadd  22998  tgptsmscls  23001  tsmssplit  23003  tsmsxplem1  23004  tsmsxplem2  23005  imasdsf1olem  23225  lgseisenlem4  26213  xrge00  30968  gsumvsmul1  30984  gsummptres  30985  xrge0omnd  31010  gsumle  31023  slmdmnd  31132  lbsdiflsp0  31375  xrge0iifmhm  31557  xrge0tmdALT  31564  esum0  31683  esumsnf  31698  esumcocn  31714  gsumge0cl  43527  sge0tsms  43536  gsumdifsndf  44991