Theorem cmnmnd 19710

Description: A commutative monoid is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cmnmnd	⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)

Proof of Theorem cmnmnd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2731	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3	1, 2	iscmn 19702	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd ↔ (𝐺 ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)(𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
4	3	simplbi 497	1 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  Mndcmnd 18642  CMndccmn 19693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-iota 6437  df-fv 6489  df-ov 7349  df-cmn 19695

This theorem is referenced by:  cmn32  19713  cmn4  19714  cmn12  19715  cmnmndd  19717  rinvmod  19719  mulgnn0di  19738  mulgmhm  19740  ghmcmn  19744  prdscmnd  19774  gsumres  19826  gsumcl2  19827  gsumf1o  19829  gsumsubmcl  19832  gsumadd  19836  gsumsplit  19841  gsummhm  19851  gsummulglem  19854  gsuminv  19859  gsumpr  19868  gsumunsnfd  19870  gsumdifsnd  19874  gsum2d  19885  prdsgsum  19894  gsumle  20058  srgmnd  20109  gsumvsmul  20860  xrge0omnd  21383  frlmgsum  21710  frlmup2  21737  islindf4  21776  evlslem3  22016  mdetdiagid  22516  mdetrlin  22518  gsummatr01lem3  22573  gsummatr01  22575  chpscmat  22758  chp0mat  22762  chpidmat  22763  tmdgsum  24011  tmdgsum2  24012  tsms0  24058  tsmsmhm  24062  tsmsadd  24063  tgptsmscls  24066  tsmssplit  24068  tsmsxplem1  24069  tsmsxplem2  24070  imasdsf1olem  24289  lgseisenlem4  27317  xrge00  32993  gsumvsmul1  33029  gsummptres  33030  slmdmnd  33173  lbsdiflsp0  33637  xrge0iifmhm  33950  xrge0tmdALT  33957  esum0  34060  esumsnf  34075  esumcocn  34091  aks6d1c1  42155  aks6d1c5lem0  42174  aks6d1c5lem3  42176  aks6d1c5lem2  42177  aks6d1c5  42178  gsumge0cl  46415  sge0tsms  46424  gsumdifsndf  48218