MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpscmat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chpscmat 21586
Description: The characteristic polynomial of a (nonempty!) scalar matrix. (Contributed by AV, 21-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chp0mat.c 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chp0mat.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
chp0mat.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chp0mat.x 𝑋 = (var1𝑅)
chp0mat.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
chp0mat.m = (.g𝐺)
chpscmat.d 𝐷 = {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅))}
chpscmat.s 𝑆 = (algSc‘𝑃)
chpscmat.m = (-g𝑃)
Assertion
Ref Expression
chpscmat (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → (𝐶𝑀) = ((♯‘𝑁) (𝑋 (𝑆𝐸))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐴   𝑖,𝑁,𝑗   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝑖,𝑋,𝑗   𝐴,𝑐,𝑚   𝐷,𝑛   𝑛,𝐸   𝑛,𝐼   𝑀,𝑐,𝑖,𝑗,𝑚,𝑛   𝑁,𝑐,𝑚,𝑛   𝑃,𝑛   𝑅,𝑐,𝑚,𝑛   𝑆,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐶(𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐)   𝐷(𝑖,𝑗,𝑚,𝑐)   𝑃(𝑚,𝑐)   𝑆(𝑖,𝑗,𝑚,𝑐)   𝐸(𝑖,𝑗,𝑚,𝑐)   (𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐)   𝐺(𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐)   𝐼(𝑖,𝑗,𝑚,𝑐)   (𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐)   𝑋(𝑚,𝑛,𝑐)

Proof of Theorem chpscmat
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 767 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → 𝑁 ∈ Fin)
2 simplr 769 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → 𝑅 ∈ CRing)
3 elrabi 3579 . . . . . 6 (𝑀 ∈ {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅))} → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
4 chpscmat.d . . . . . 6 𝐷 = {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅))}
53, 4eleq2s 2851 . . . . 5 (𝑀𝐷𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
653ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
76adantl 485 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
8 oveq 7170 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑀 → (𝑖𝑚𝑗) = (𝑖𝑀𝑗))
98eqeq1d 2740 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑀 → ((𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅)) ↔ (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅))))
1092ralbidv 3111 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑀 → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅)) ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅))))
1110rexbidv 3206 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑀 → (∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅)) ↔ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅))))
1211elrab 3585 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅))} ↔ (𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ∧ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅))))
13 ifnefalse 4423 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖𝑗 → if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅)) = (0g𝑅))
1413eqeq2d 2749 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖𝑗 → ((𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅)) ↔ (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅)))
1514biimpcd 252 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅)) → (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅)))
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅)) → (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅))))
1716ralimdva 3091 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝑖𝑁) → (∀𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅)) → ∀𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅))))
1817ralimdva 3091 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅)) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅))))
1918ex 416 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅)) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅)))))
2019com23 86 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅)))))
2120rexlimdva 3193 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (Base‘𝐴) → (∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅)))))
2221imp 410 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ∧ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅))) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅))))
2312, 22sylbi 220 . . . . . 6 (𝑀 ∈ {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅))} → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅))))
2423, 4eleq2s 2851 . . . . 5 (𝑀𝐷 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅))))
25243ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅))))
2625impcom 411 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅)))
27 chp0mat.c . . . 4 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
28 chp0mat.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
29 chp0mat.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
30 chpscmat.s . . . 4 𝑆 = (algSc‘𝑃)
31 eqid 2738 . . . 4 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
32 chp0mat.x . . . 4 𝑋 = (var1𝑅)
33 eqid 2738 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
34 chp0mat.g . . . 4 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
35 chpscmat.m . . . 4 = (-g𝑃)
3627, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35chpdmat 21585 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅))) → (𝐶𝑀) = (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑋 (𝑆‘(𝑘𝑀𝑘))))))
371, 2, 7, 26, 36syl31anc 1374 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → (𝐶𝑀) = (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑋 (𝑆‘(𝑘𝑀𝑘))))))
38 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘𝑛 = 𝑘)
3938, 38oveq12d 7182 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛𝑀𝑛) = (𝑘𝑀𝑘))
4039eqeq1d 2740 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 ↔ (𝑘𝑀𝑘) = 𝐸))
4140rspccv 3521 . . . . . . . . 9 (∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 → (𝑘𝑁 → (𝑘𝑀𝑘) = 𝐸))
42413ad2ant3 1136 . . . . . . . 8 ((𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸) → (𝑘𝑁 → (𝑘𝑀𝑘) = 𝐸))
4342adantl 485 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → (𝑘𝑁 → (𝑘𝑀𝑘) = 𝐸))
4443imp 410 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑘𝑀𝑘) = 𝐸)
4544fveq2d 6672 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑆‘(𝑘𝑀𝑘)) = (𝑆𝐸))
4645oveq2d 7180 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑋 (𝑆‘(𝑘𝑀𝑘))) = (𝑋 (𝑆𝐸)))
4746mpteq2dva 5122 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → (𝑘𝑁 ↦ (𝑋 (𝑆‘(𝑘𝑀𝑘)))) = (𝑘𝑁 ↦ (𝑋 (𝑆𝐸))))
4847oveq2d 7180 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑋 (𝑆‘(𝑘𝑀𝑘))))) = (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑋 (𝑆𝐸)))))
4928ply1crng 20966 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
5034crngmgp 19417 . . . . 5 (𝑃 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
51 cmnmnd 19033 . . . . 5 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
5249, 50, 513syl 18 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Mnd)
5352ad2antlr 727 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → 𝐺 ∈ Mnd)
54 crngring 19421 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
5528ply1ring 21016 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
5654, 55syl 17 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Ring)
57 ringgrp 19414 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
5856, 57syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Grp)
5958ad2antlr 727 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → 𝑃 ∈ Grp)
60 eqid 2738 . . . . . . . 8 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
6132, 28, 60vr1cl 20985 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
6254, 61syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
6362ad2antlr 727 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
64 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) → 𝐼𝑁)
65 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
6656ad2antll 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) → 𝑃 ∈ Ring)
6766adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) → 𝑃 ∈ Ring)
6828ply1lmod 21020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
6954, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ LMod)
7069ad2antll 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) → 𝑃 ∈ LMod)
7170adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) → 𝑃 ∈ LMod)
72 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
7330, 65, 67, 71, 72, 60asclf 20688 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) → 𝑆:(Base‘(Scalar‘𝑃))⟶(Base‘𝑃))
745adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
7574adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
76 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7729, 76matecl 21169 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼𝑁𝐼𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘𝑅))
7864, 64, 75, 77syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) → (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘𝑅))
7928ply1sca 21021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
8079ad2antll 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
8180adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
8281eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) → (Scalar‘𝑃) = 𝑅)
8382fveq2d 6672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝑅))
8478, 83eleqtrrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) → (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
8573, 84ffvelrnd 6856 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) → (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼)) ∈ (Base‘𝑃))
86 fveq2 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐸 = (𝐼𝑀𝐼) → (𝑆𝐸) = (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼)))
8786eqcoms 2746 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼𝑀𝐼) = 𝐸 → (𝑆𝐸) = (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼)))
8887eleq1d 2817 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼𝑀𝐼) = 𝐸 → ((𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃) ↔ (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼)) ∈ (Base‘𝑃)))
8985, 88syl5ibrcom 250 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) → ((𝐼𝑀𝐼) = 𝐸 → (𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃)))
9089adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑛 = 𝐼) → ((𝐼𝑀𝐼) = 𝐸 → (𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃)))
91 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝐼𝑛 = 𝐼)
9291, 91oveq12d 7182 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝐼 → (𝑛𝑀𝑛) = (𝐼𝑀𝐼))
9392eqeq1d 2740 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝐼 → ((𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 ↔ (𝐼𝑀𝐼) = 𝐸))
9493imbi1d 345 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝐼 → (((𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 → (𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃)) ↔ ((𝐼𝑀𝐼) = 𝐸 → (𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃))))
9594adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑛 = 𝐼) → (((𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 → (𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃)) ↔ ((𝐼𝑀𝐼) = 𝐸 → (𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃))))
9690, 95mpbird 260 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑛 = 𝐼) → ((𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 → (𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃)))
9764, 96rspcimdv 3514 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) → (∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 → (𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃)))
9897ex 416 . . . . . . . . . 10 ((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) → (𝐼𝑁 → (∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 → (𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃))))
9998com23 86 . . . . . . . . 9 ((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) → (∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 → (𝐼𝑁 → (𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃))))
10099ex 416 . . . . . . . 8 (𝑀𝐷 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 → (𝐼𝑁 → (𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃)))))
101100com24 95 . . . . . . 7 (𝑀𝐷 → (𝐼𝑁 → (∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃)))))
1021013imp 1112 . . . . . 6 ((𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃)))
103102impcom 411 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → (𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃))
10460, 35grpsubcl 18290 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋 (𝑆𝐸)) ∈ (Base‘𝑃))
10559, 63, 103, 104syl3anc 1372 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → (𝑋 (𝑆𝐸)) ∈ (Base‘𝑃))
10634, 60mgpbas 19357 . . . 4 (Base‘𝑃) = (Base‘𝐺)
107105, 106eleqtrdi 2843 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → (𝑋 (𝑆𝐸)) ∈ (Base‘𝐺))
108 eqid 2738 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
109 chp0mat.m . . . 4 = (.g𝐺)
110108, 109gsumconst 19166 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ (𝑋 (𝑆𝐸)) ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑋 (𝑆𝐸)))) = ((♯‘𝑁) (𝑋 (𝑆𝐸))))
11153, 1, 107, 110syl3anc 1372 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑋 (𝑆𝐸)))) = ((♯‘𝑁) (𝑋 (𝑆𝐸))))
11237, 48, 1113eqtrd 2777 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → (𝐶𝑀) = ((♯‘𝑁) (𝑋 (𝑆𝐸))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2113  wne 2934  wral 3053  wrex 3054  {crab 3057  ifcif 4411  cmpt 5107  cfv 6333  (class class class)co 7164  Fincfn 8548  chash 13775  Basecbs 16579  Scalarcsca 16664  0gc0g 16809   Σg cgsu 16810  Mndcmnd 18020  Grpcgrp 18212  -gcsg 18214  .gcmg 18335  CMndccmn 19017  mulGrpcmgp 19351  Ringcrg 19409  CRingccrg 19410  LModclmod 19746  algSccascl 20661  var1cv1 20944  Poly1cpl1 20945   Mat cmat 21151   CharPlyMat cchpmat 21570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-addf 10687  ax-mulf 10688
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-xor 1507  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-ot 4522  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-iin 4881  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-isom 6342  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-of 7419  df-ofr 7420  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-supp 7850  df-tpos 7914  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-2o 8125  df-er 8313  df-map 8432  df-pm 8433  df-ixp 8501  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-fsupp 8900  df-sup 8972  df-oi 9040  df-card 9434  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-7 11777  df-8 11778  df-9 11779  df-n0 11970  df-xnn0 12042  df-z 12056  df-dec 12173  df-uz 12318  df-rp 12466  df-fz 12975  df-fzo 13118  df-seq 13454  df-exp 13515  df-hash 13776  df-word 13949  df-lsw 13997  df-concat 14005  df-s1 14032  df-substr 14085  df-pfx 14115  df-splice 14194  df-reverse 14203  df-s2 14292  df-struct 16581  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-sets 16586  df-ress 16587  df-plusg 16674  df-mulr 16675  df-starv 16676  df-sca 16677  df-vsca 16678  df-ip 16679  df-tset 16680  df-ple 16681  df-ds 16683  df-unif 16684  df-hom 16685  df-cco 16686  df-0g 16811  df-gsum 16812  df-prds 16817  df-pws 16819  df-mre 16953  df-mrc 16954  df-acs 16956  df-mgm 17961  df-sgrp 18010  df-mnd 18021  df-mhm 18065  df-submnd 18066  df-efmnd 18143  df-grp 18215  df-minusg 18216  df-sbg 18217  df-mulg 18336  df-subg 18387  df-ghm 18467  df-gim 18510  df-cntz 18558  df-oppg 18585  df-symg 18607  df-pmtr 18681  df-psgn 18730  df-cmn 19019  df-abl 19020  df-mgp 19352  df-ur 19364  df-ring 19411  df-cring 19412  df-oppr 19488  df-dvdsr 19506  df-unit 19507  df-invr 19537  df-dvr 19548  df-rnghom 19582  df-drng 19616  df-subrg 19645  df-lmod 19748  df-lss 19816  df-sra 20056  df-rgmod 20057  df-cnfld 20211  df-zring 20283  df-zrh 20317  df-dsmm 20541  df-frlm 20556  df-ascl 20664  df-psr 20715  df-mvr 20716  df-mpl 20717  df-opsr 20719  df-psr1 20948  df-vr1 20949  df-ply1 20950  df-mamu 21130  df-mat 21152  df-mdet 21329  df-mat2pmat 21451  df-chpmat 21571
This theorem is referenced by:  chpscmat0  21587
  Copyright terms: Public domain W3C validator