MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpscmat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chpscmat 20926
Description: The characteristic polynomial of a (nonempty!) scalar matrix. (Contributed by AV, 21-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chp0mat.c 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chp0mat.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
chp0mat.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chp0mat.x 𝑋 = (var1𝑅)
chp0mat.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
chp0mat.m = (.g𝐺)
chpscmat.d 𝐷 = {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅))}
chpscmat.s 𝑆 = (algSc‘𝑃)
chpscmat.m = (-g𝑃)
Assertion
Ref Expression
chpscmat (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → (𝐶𝑀) = ((♯‘𝑁) (𝑋 (𝑆𝐸))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐴   𝑖,𝑁,𝑗   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝑖,𝑋,𝑗   𝐴,𝑐,𝑚   𝐷,𝑛   𝑛,𝐸   𝑛,𝐼   𝑀,𝑐,𝑖,𝑗,𝑚,𝑛   𝑁,𝑐,𝑚,𝑛   𝑃,𝑛   𝑅,𝑐,𝑚,𝑛   𝑆,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐶(𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐)   𝐷(𝑖,𝑗,𝑚,𝑐)   𝑃(𝑚,𝑐)   𝑆(𝑖,𝑗,𝑚,𝑐)   𝐸(𝑖,𝑗,𝑚,𝑐)   (𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐)   𝐺(𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐)   𝐼(𝑖,𝑗,𝑚,𝑐)   (𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐)   𝑋(𝑚,𝑛,𝑐)

Proof of Theorem chpscmat
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 783 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → 𝑁 ∈ Fin)
2 simplr 785 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → 𝑅 ∈ CRing)
3 elrabi 3514 . . . . . 6 (𝑀 ∈ {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅))} → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
4 chpscmat.d . . . . . 6 𝐷 = {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅))}
53, 4eleq2s 2862 . . . . 5 (𝑀𝐷𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
653ad2ant1 1163 . . . 4 ((𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
76adantl 473 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
8 oveq 6848 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑀 → (𝑖𝑚𝑗) = (𝑖𝑀𝑗))
98eqeq1d 2767 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑀 → ((𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅)) ↔ (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅))))
1092ralbidv 3136 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑀 → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅)) ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅))))
1110rexbidv 3199 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑀 → (∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅)) ↔ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅))))
1211elrab 3519 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅))} ↔ (𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ∧ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅))))
13 ifnefalse 4255 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖𝑗 → if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅)) = (0g𝑅))
1413eqeq2d 2775 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖𝑗 → ((𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅)) ↔ (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅)))
1514biimpcd 240 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅)) → (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅)))
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅)) → (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅))))
1716ralimdva 3109 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝑖𝑁) → (∀𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅)) → ∀𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅))))
1817ralimdva 3109 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅)) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅))))
1918ex 401 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅)) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅)))))
2019com23 86 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅)))))
2120rexlimdva 3178 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (Base‘𝐴) → (∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅)))))
2221imp 395 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ∧ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅))) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅))))
2312, 22sylbi 208 . . . . . 6 (𝑀 ∈ {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅))} → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅))))
2423, 4eleq2s 2862 . . . . 5 (𝑀𝐷 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅))))
25243ad2ant1 1163 . . . 4 ((𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅))))
2625impcom 396 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅)))
27 chp0mat.c . . . 4 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
28 chp0mat.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
29 chp0mat.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
30 chpscmat.s . . . 4 𝑆 = (algSc‘𝑃)
31 eqid 2765 . . . 4 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
32 chp0mat.x . . . 4 𝑋 = (var1𝑅)
33 eqid 2765 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
34 chp0mat.g . . . 4 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
35 chpscmat.m . . . 4 = (-g𝑃)
3627, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35chpdmat 20925 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅))) → (𝐶𝑀) = (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑋 (𝑆‘(𝑘𝑀𝑘))))))
371, 2, 7, 26, 36syl31anc 1492 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → (𝐶𝑀) = (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑋 (𝑆‘(𝑘𝑀𝑘))))))
38 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘𝑛 = 𝑘)
3938, 38oveq12d 6860 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛𝑀𝑛) = (𝑘𝑀𝑘))
4039eqeq1d 2767 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 ↔ (𝑘𝑀𝑘) = 𝐸))
4140rspccv 3458 . . . . . . . . 9 (∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 → (𝑘𝑁 → (𝑘𝑀𝑘) = 𝐸))
42413ad2ant3 1165 . . . . . . . 8 ((𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸) → (𝑘𝑁 → (𝑘𝑀𝑘) = 𝐸))
4342adantl 473 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → (𝑘𝑁 → (𝑘𝑀𝑘) = 𝐸))
4443imp 395 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑘𝑀𝑘) = 𝐸)
4544fveq2d 6379 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑆‘(𝑘𝑀𝑘)) = (𝑆𝐸))
4645oveq2d 6858 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑋 (𝑆‘(𝑘𝑀𝑘))) = (𝑋 (𝑆𝐸)))
4746mpteq2dva 4903 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → (𝑘𝑁 ↦ (𝑋 (𝑆‘(𝑘𝑀𝑘)))) = (𝑘𝑁 ↦ (𝑋 (𝑆𝐸))))
4847oveq2d 6858 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑋 (𝑆‘(𝑘𝑀𝑘))))) = (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑋 (𝑆𝐸)))))
4928ply1crng 19841 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
5034crngmgp 18822 . . . . 5 (𝑃 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
51 cmnmnd 18474 . . . . 5 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
5249, 50, 513syl 18 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Mnd)
5352ad2antlr 718 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → 𝐺 ∈ Mnd)
54 crngring 18825 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
5528ply1ring 19891 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
5654, 55syl 17 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Ring)
57 ringgrp 18819 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
5856, 57syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Grp)
5958ad2antlr 718 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → 𝑃 ∈ Grp)
60 eqid 2765 . . . . . . . 8 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
6132, 28, 60vr1cl 19860 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
6254, 61syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
6362ad2antlr 718 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
64 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) → 𝐼𝑁)
65 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
6656ad2antll 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) → 𝑃 ∈ Ring)
6766adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) → 𝑃 ∈ Ring)
6828ply1lmod 19895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
6954, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ LMod)
7069ad2antll 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) → 𝑃 ∈ LMod)
7170adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) → 𝑃 ∈ LMod)
72 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
7330, 65, 67, 71, 72, 60asclf 19611 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) → 𝑆:(Base‘(Scalar‘𝑃))⟶(Base‘𝑃))
745adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
7574adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
76 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7729, 76matecl 20507 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼𝑁𝐼𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘𝑅))
7864, 64, 75, 77syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) → (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘𝑅))
7928ply1sca 19896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
8079ad2antll 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
8180adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
8281eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) → (Scalar‘𝑃) = 𝑅)
8382fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝑅))
8478, 83eleqtrrd 2847 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) → (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
8573, 84ffvelrnd 6550 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) → (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼)) ∈ (Base‘𝑃))
86 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐸 = (𝐼𝑀𝐼) → (𝑆𝐸) = (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼)))
8786eqcoms 2773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼𝑀𝐼) = 𝐸 → (𝑆𝐸) = (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼)))
8887eleq1d 2829 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼𝑀𝐼) = 𝐸 → ((𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃) ↔ (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼)) ∈ (Base‘𝑃)))
8985, 88syl5ibrcom 238 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) → ((𝐼𝑀𝐼) = 𝐸 → (𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃)))
9089adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑛 = 𝐼) → ((𝐼𝑀𝐼) = 𝐸 → (𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃)))
91 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝐼𝑛 = 𝐼)
9291, 91oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝐼 → (𝑛𝑀𝑛) = (𝐼𝑀𝐼))
9392eqeq1d 2767 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝐼 → ((𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 ↔ (𝐼𝑀𝐼) = 𝐸))
9493imbi1d 332 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝐼 → (((𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 → (𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃)) ↔ ((𝐼𝑀𝐼) = 𝐸 → (𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃))))
9594adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑛 = 𝐼) → (((𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 → (𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃)) ↔ ((𝐼𝑀𝐼) = 𝐸 → (𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃))))
9690, 95mpbird 248 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑛 = 𝐼) → ((𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 → (𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃)))
9764, 96rspcimdv 3462 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) → (∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 → (𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃)))
9897ex 401 . . . . . . . . . 10 ((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) → (𝐼𝑁 → (∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 → (𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃))))
9998com23 86 . . . . . . . . 9 ((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) → (∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 → (𝐼𝑁 → (𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃))))
10099ex 401 . . . . . . . 8 (𝑀𝐷 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 → (𝐼𝑁 → (𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃)))))
101100com24 95 . . . . . . 7 (𝑀𝐷 → (𝐼𝑁 → (∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃)))))
1021013imp 1137 . . . . . 6 ((𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃)))
103102impcom 396 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → (𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃))
10460, 35grpsubcl 17762 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋 (𝑆𝐸)) ∈ (Base‘𝑃))
10559, 63, 103, 104syl3anc 1490 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → (𝑋 (𝑆𝐸)) ∈ (Base‘𝑃))
10634, 60mgpbas 18762 . . . 4 (Base‘𝑃) = (Base‘𝐺)
107105, 106syl6eleq 2854 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → (𝑋 (𝑆𝐸)) ∈ (Base‘𝐺))
108 eqid 2765 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
109 chp0mat.m . . . 4 = (.g𝐺)
110108, 109gsumconst 18600 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ (𝑋 (𝑆𝐸)) ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑋 (𝑆𝐸)))) = ((♯‘𝑁) (𝑋 (𝑆𝐸))))
11153, 1, 107, 110syl3anc 1490 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑋 (𝑆𝐸)))) = ((♯‘𝑁) (𝑋 (𝑆𝐸))))
11237, 48, 1113eqtrd 2803 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → (𝐶𝑀) = ((♯‘𝑁) (𝑋 (𝑆𝐸))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  {crab 3059  ifcif 4243  cmpt 4888  cfv 6068  (class class class)co 6842  Fincfn 8160  chash 13321  Basecbs 16130  Scalarcsca 16217  0gc0g 16366   Σg cgsu 16367  Mndcmnd 17560  Grpcgrp 17689  -gcsg 17691  .gcmg 17807  CMndccmn 18459  mulGrpcmgp 18756  Ringcrg 18814  CRingccrg 18815  LModclmod 19132  algSccascl 19585  var1cv1 19819  Poly1cpl1 19820   Mat cmat 20489   CharPlyMat cchpmat 20910
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-xor 1634  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-ot 4343  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-ofr 7096  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-tpos 7555  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-sup 8555  df-oi 8622  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-xnn0 11611  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-rp 12029  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-word 13487  df-lsw 13534  df-concat 13542  df-s1 13567  df-substr 13617  df-pfx 13662  df-splice 13765  df-reverse 13783  df-s2 13877  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-starv 16229  df-sca 16230  df-vsca 16231  df-ip 16232  df-tset 16233  df-ple 16234  df-ds 16236  df-unif 16237  df-hom 16238  df-cco 16239  df-0g 16368  df-gsum 16369  df-prds 16374  df-pws 16376  df-mre 16512  df-mrc 16513  df-acs 16515  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-mhm 17601  df-submnd 17602  df-grp 17692  df-minusg 17693  df-sbg 17694  df-mulg 17808  df-subg 17855  df-ghm 17922  df-gim 17965  df-cntz 18013  df-oppg 18039  df-symg 18061  df-pmtr 18125  df-psgn 18174  df-cmn 18461  df-abl 18462  df-mgp 18757  df-ur 18769  df-ring 18816  df-cring 18817  df-oppr 18890  df-dvdsr 18908  df-unit 18909  df-invr 18939  df-dvr 18950  df-rnghom 18984  df-drng 19018  df-subrg 19047  df-lmod 19134  df-lss 19202  df-sra 19446  df-rgmod 19447  df-ascl 19588  df-psr 19630  df-mvr 19631  df-mpl 19632  df-opsr 19634  df-psr1 19823  df-vr1 19824  df-ply1 19825  df-cnfld 20020  df-zring 20092  df-zrh 20125  df-dsmm 20352  df-frlm 20367  df-mamu 20466  df-mat 20490  df-mdet 20668  df-mat2pmat 20791  df-chpmat 20911
This theorem is referenced by:  chpscmat0  20927
  Copyright terms: Public domain W3C validator