MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpscmat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chpscmat 22207
Description: The characteristic polynomial of a (nonempty!) scalar matrix. (Contributed by AV, 21-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chp0mat.c 𝐢 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chp0mat.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
chp0mat.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chp0mat.x 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
chp0mat.g 𝐺 = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
chp0mat.m ↑ = (.gβ€˜πΊ)
chpscmat.d 𝐷 = {π‘š ∈ (Baseβ€˜π΄) ∣ βˆƒπ‘ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (π‘–π‘šπ‘—) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0gβ€˜π‘…))}
chpscmat.s 𝑆 = (algScβ€˜π‘ƒ)
chpscmat.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
chpscmat (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) β†’ (πΆβ€˜π‘€) = ((β™―β€˜π‘) ↑ (𝑋 βˆ’ (π‘†β€˜πΈ))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐴   𝑖,𝑁,𝑗   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝑖,𝑋,𝑗   𝐴,𝑐,π‘š   𝐷,𝑛   𝑛,𝐸   𝑛,𝐼   𝑀,𝑐,𝑖,𝑗,π‘š,𝑛   𝑁,𝑐,π‘š,𝑛   𝑃,𝑛   𝑅,𝑐,π‘š,𝑛   𝑆,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐢(𝑖,𝑗,π‘š,𝑛,𝑐)   𝐷(𝑖,𝑗,π‘š,𝑐)   𝑃(π‘š,𝑐)   𝑆(𝑖,𝑗,π‘š,𝑐)   𝐸(𝑖,𝑗,π‘š,𝑐)   ↑ (𝑖,𝑗,π‘š,𝑛,𝑐)   𝐺(𝑖,𝑗,π‘š,𝑛,𝑐)   𝐼(𝑖,𝑗,π‘š,𝑐)   βˆ’ (𝑖,𝑗,π‘š,𝑛,𝑐)   𝑋(π‘š,𝑛,𝑐)

Proof of Theorem chpscmat
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 766 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) β†’ 𝑁 ∈ Fin)
2 simplr 768 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
3 elrabi 3644 . . . . . 6 (𝑀 ∈ {π‘š ∈ (Baseβ€˜π΄) ∣ βˆƒπ‘ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (π‘–π‘šπ‘—) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0gβ€˜π‘…))} β†’ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜π΄))
4 chpscmat.d . . . . . 6 𝐷 = {π‘š ∈ (Baseβ€˜π΄) ∣ βˆƒπ‘ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (π‘–π‘šπ‘—) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0gβ€˜π‘…))}
53, 4eleq2s 2856 . . . . 5 (𝑀 ∈ 𝐷 β†’ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜π΄))
653ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸) β†’ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜π΄))
76adantl 483 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) β†’ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜π΄))
8 oveq 7368 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = 𝑀 β†’ (π‘–π‘šπ‘—) = (𝑖𝑀𝑗))
98eqeq1d 2739 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝑀 β†’ ((π‘–π‘šπ‘—) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0gβ€˜π‘…)) ↔ (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0gβ€˜π‘…))))
1092ralbidv 3213 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑀 β†’ (βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (π‘–π‘šπ‘—) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0gβ€˜π‘…)) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0gβ€˜π‘…))))
1110rexbidv 3176 . . . . . . . 8 (π‘š = 𝑀 β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (π‘–π‘šπ‘—) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0gβ€˜π‘…)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0gβ€˜π‘…))))
1211elrab 3650 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ {π‘š ∈ (Baseβ€˜π΄) ∣ βˆƒπ‘ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (π‘–π‘šπ‘—) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0gβ€˜π‘…))} ↔ (𝑀 ∈ (Baseβ€˜π΄) ∧ βˆƒπ‘ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0gβ€˜π‘…))))
13 ifnefalse 4503 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 β‰  𝑗 β†’ if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
1413eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 β‰  𝑗 β†’ ((𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0gβ€˜π‘…)) ↔ (𝑖𝑀𝑗) = (0gβ€˜π‘…)))
1514biimpcd 249 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0gβ€˜π‘…)) β†’ (𝑖 β‰  𝑗 β†’ (𝑖𝑀𝑗) = (0gβ€˜π‘…)))
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑀 ∈ (Baseβ€˜π΄) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ ((𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0gβ€˜π‘…)) β†’ (𝑖 β‰  𝑗 β†’ (𝑖𝑀𝑗) = (0gβ€˜π‘…))))
1716ralimdva 3165 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ (Baseβ€˜π΄) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) β†’ (βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0gβ€˜π‘…)) β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖 β‰  𝑗 β†’ (𝑖𝑀𝑗) = (0gβ€˜π‘…))))
1817ralimdva 3165 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ (Baseβ€˜π΄) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0gβ€˜π‘…)) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖 β‰  𝑗 β†’ (𝑖𝑀𝑗) = (0gβ€˜π‘…))))
1918ex 414 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (Baseβ€˜π΄) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0gβ€˜π‘…)) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖 β‰  𝑗 β†’ (𝑖𝑀𝑗) = (0gβ€˜π‘…)))))
2019com23 86 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (Baseβ€˜π΄) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖 β‰  𝑗 β†’ (𝑖𝑀𝑗) = (0gβ€˜π‘…)))))
2120rexlimdva 3153 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (Baseβ€˜π΄) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖 β‰  𝑗 β†’ (𝑖𝑀𝑗) = (0gβ€˜π‘…)))))
2221imp 408 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (Baseβ€˜π΄) ∧ βˆƒπ‘ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖 β‰  𝑗 β†’ (𝑖𝑀𝑗) = (0gβ€˜π‘…))))
2312, 22sylbi 216 . . . . . 6 (𝑀 ∈ {π‘š ∈ (Baseβ€˜π΄) ∣ βˆƒπ‘ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (π‘–π‘šπ‘—) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0gβ€˜π‘…))} β†’ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖 β‰  𝑗 β†’ (𝑖𝑀𝑗) = (0gβ€˜π‘…))))
2423, 4eleq2s 2856 . . . . 5 (𝑀 ∈ 𝐷 β†’ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖 β‰  𝑗 β†’ (𝑖𝑀𝑗) = (0gβ€˜π‘…))))
25243ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸) β†’ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖 β‰  𝑗 β†’ (𝑖𝑀𝑗) = (0gβ€˜π‘…))))
2625impcom 409 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖 β‰  𝑗 β†’ (𝑖𝑀𝑗) = (0gβ€˜π‘…)))
27 chp0mat.c . . . 4 𝐢 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
28 chp0mat.p . . . 4 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
29 chp0mat.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
30 chpscmat.s . . . 4 𝑆 = (algScβ€˜π‘ƒ)
31 eqid 2737 . . . 4 (Baseβ€˜π΄) = (Baseβ€˜π΄)
32 chp0mat.x . . . 4 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
33 eqid 2737 . . . 4 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
34 chp0mat.g . . . 4 𝐺 = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
35 chpscmat.m . . . 4 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ƒ)
3627, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35chpdmat 22206 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜π΄)) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖 β‰  𝑗 β†’ (𝑖𝑀𝑗) = (0gβ€˜π‘…))) β†’ (πΆβ€˜π‘€) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑁 ↦ (𝑋 βˆ’ (π‘†β€˜(π‘˜π‘€π‘˜))))))
371, 2, 7, 26, 36syl31anc 1374 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) β†’ (πΆβ€˜π‘€) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑁 ↦ (𝑋 βˆ’ (π‘†β€˜(π‘˜π‘€π‘˜))))))
38 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘˜ β†’ 𝑛 = π‘˜)
3938, 38oveq12d 7380 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝑛𝑀𝑛) = (π‘˜π‘€π‘˜))
4039eqeq1d 2739 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 ↔ (π‘˜π‘€π‘˜) = 𝐸))
4140rspccv 3581 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 β†’ (π‘˜ ∈ 𝑁 β†’ (π‘˜π‘€π‘˜) = 𝐸))
42413ad2ant3 1136 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑁 β†’ (π‘˜π‘€π‘˜) = 𝐸))
4342adantl 483 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑁 β†’ (π‘˜π‘€π‘˜) = 𝐸))
4443imp 408 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁) β†’ (π‘˜π‘€π‘˜) = 𝐸)
4544fveq2d 6851 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁) β†’ (π‘†β€˜(π‘˜π‘€π‘˜)) = (π‘†β€˜πΈ))
4645oveq2d 7378 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁) β†’ (𝑋 βˆ’ (π‘†β€˜(π‘˜π‘€π‘˜))) = (𝑋 βˆ’ (π‘†β€˜πΈ)))
4746mpteq2dva 5210 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑁 ↦ (𝑋 βˆ’ (π‘†β€˜(π‘˜π‘€π‘˜)))) = (π‘˜ ∈ 𝑁 ↦ (𝑋 βˆ’ (π‘†β€˜πΈ))))
4847oveq2d 7378 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑁 ↦ (𝑋 βˆ’ (π‘†β€˜(π‘˜π‘€π‘˜))))) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑁 ↦ (𝑋 βˆ’ (π‘†β€˜πΈ)))))
4928ply1crng 21585 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑃 ∈ CRing)
5034crngmgp 19979 . . . . 5 (𝑃 ∈ CRing β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
51 cmnmnd 19586 . . . . 5 (𝐺 ∈ CMnd β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
5249, 50, 513syl 18 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
5352ad2antlr 726 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
54 crngring 19983 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
5528ply1ring 21635 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
5654, 55syl 17 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑃 ∈ Ring)
57 ringgrp 19976 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Grp)
5856, 57syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑃 ∈ Grp)
5958ad2antlr 726 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) β†’ 𝑃 ∈ Grp)
60 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
6132, 28, 60vr1cl 21604 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
6254, 61syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
6362ad2antlr 726 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
64 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) β†’ 𝐼 ∈ 𝑁)
65 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Scalarβ€˜π‘ƒ) = (Scalarβ€˜π‘ƒ)
6656ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
6766adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
6828ply1lmod 21639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ LMod)
6954, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑃 ∈ LMod)
7069ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) β†’ 𝑃 ∈ LMod)
7170adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) β†’ 𝑃 ∈ LMod)
72 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))
7330, 65, 67, 71, 72, 60asclf 21301 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) β†’ 𝑆:(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))⟢(Baseβ€˜π‘ƒ))
745adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) β†’ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜π΄))
7574adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) β†’ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜π΄))
76 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
7729, 76matecl 21790 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜π΄)) β†’ (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
7864, 64, 75, 77syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) β†’ (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
7928ply1sca 21640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
8079ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
8180adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
8281eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) β†’ (Scalarβ€˜π‘ƒ) = 𝑅)
8382fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜π‘…))
8478, 83eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) β†’ (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
8573, 84ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) β†’ (π‘†β€˜(𝐼𝑀𝐼)) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
86 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐸 = (𝐼𝑀𝐼) β†’ (π‘†β€˜πΈ) = (π‘†β€˜(𝐼𝑀𝐼)))
8786eqcoms 2745 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼𝑀𝐼) = 𝐸 β†’ (π‘†β€˜πΈ) = (π‘†β€˜(𝐼𝑀𝐼)))
8887eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼𝑀𝐼) = 𝐸 β†’ ((π‘†β€˜πΈ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ↔ (π‘†β€˜(𝐼𝑀𝐼)) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)))
8985, 88syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) β†’ ((𝐼𝑀𝐼) = 𝐸 β†’ (π‘†β€˜πΈ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)))
9089adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑛 = 𝐼) β†’ ((𝐼𝑀𝐼) = 𝐸 β†’ (π‘†β€˜πΈ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)))
91 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝐼 β†’ 𝑛 = 𝐼)
9291, 91oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝐼 β†’ (𝑛𝑀𝑛) = (𝐼𝑀𝐼))
9392eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝐼 β†’ ((𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 ↔ (𝐼𝑀𝐼) = 𝐸))
9493imbi1d 342 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝐼 β†’ (((𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 β†’ (π‘†β€˜πΈ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ↔ ((𝐼𝑀𝐼) = 𝐸 β†’ (π‘†β€˜πΈ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))))
9594adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑛 = 𝐼) β†’ (((𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 β†’ (π‘†β€˜πΈ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ↔ ((𝐼𝑀𝐼) = 𝐸 β†’ (π‘†β€˜πΈ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))))
9690, 95mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑛 = 𝐼) β†’ ((𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 β†’ (π‘†β€˜πΈ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)))
9764, 96rspcimdv 3574 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) β†’ (βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 β†’ (π‘†β€˜πΈ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)))
9897ex 414 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) β†’ (𝐼 ∈ 𝑁 β†’ (βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 β†’ (π‘†β€˜πΈ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))))
9998com23 86 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) β†’ (βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 β†’ (𝐼 ∈ 𝑁 β†’ (π‘†β€˜πΈ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))))
10099ex 414 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ 𝐷 β†’ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 β†’ (𝐼 ∈ 𝑁 β†’ (π‘†β€˜πΈ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)))))
101100com24 95 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ 𝐷 β†’ (𝐼 ∈ 𝑁 β†’ (βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 β†’ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (π‘†β€˜πΈ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)))))
1021013imp 1112 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸) β†’ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (π‘†β€˜πΈ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)))
103102impcom 409 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) β†’ (π‘†β€˜πΈ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
10460, 35grpsubcl 18834 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ (π‘†β€˜πΈ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (𝑋 βˆ’ (π‘†β€˜πΈ)) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
10559, 63, 103, 104syl3anc 1372 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) β†’ (𝑋 βˆ’ (π‘†β€˜πΈ)) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
10634, 60mgpbas 19909 . . . 4 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜πΊ)
107105, 106eleqtrdi 2848 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) β†’ (𝑋 βˆ’ (π‘†β€˜πΈ)) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
108 eqid 2737 . . . 4 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
109 chp0mat.m . . . 4 ↑ = (.gβ€˜πΊ)
110108, 109gsumconst 19718 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ (𝑋 βˆ’ (π‘†β€˜πΈ)) ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑁 ↦ (𝑋 βˆ’ (π‘†β€˜πΈ)))) = ((β™―β€˜π‘) ↑ (𝑋 βˆ’ (π‘†β€˜πΈ))))
11153, 1, 107, 110syl3anc 1372 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑁 ↦ (𝑋 βˆ’ (π‘†β€˜πΈ)))) = ((β™―β€˜π‘) ↑ (𝑋 βˆ’ (π‘†β€˜πΈ))))
11237, 48, 1113eqtrd 2781 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) β†’ (πΆβ€˜π‘€) = ((β™―β€˜π‘) ↑ (𝑋 βˆ’ (π‘†β€˜πΈ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  {crab 3410  ifcif 4491   ↦ cmpt 5193  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  β™―chash 14237  Basecbs 17090  Scalarcsca 17143  0gc0g 17328   Ξ£g cgsu 17329  Mndcmnd 18563  Grpcgrp 18755  -gcsg 18757  .gcmg 18879  CMndccmn 19569  mulGrpcmgp 19903  Ringcrg 19971  CRingccrg 19972  LModclmod 20338  algSccascl 21274  var1cv1 21563  Poly1cpl1 21564   Mat cmat 21770   CharPlyMat cchpmat 22191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-xor 1511  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-sup 9385  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-word 14410  df-lsw 14458  df-concat 14466  df-s1 14491  df-substr 14536  df-pfx 14566  df-splice 14645  df-reverse 14654  df-s2 14744  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-prds 17336  df-pws 17338  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-efmnd 18686  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-ghm 19013  df-gim 19056  df-cntz 19104  df-oppg 19131  df-symg 19156  df-pmtr 19231  df-psgn 19280  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-invr 20108  df-dvr 20119  df-rnghom 20155  df-drng 20201  df-subrg 20236  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-cnfld 20813  df-zring 20886  df-zrh 20920  df-dsmm 21154  df-frlm 21169  df-ascl 21277  df-psr 21327  df-mvr 21328  df-mpl 21329  df-opsr 21331  df-psr1 21567  df-vr1 21568  df-ply1 21569  df-mamu 21749  df-mat 21771  df-mdet 21950  df-mat2pmat 22072  df-chpmat 22192
This theorem is referenced by:  chpscmat0  22208
  Copyright terms: Public domain W3C validator