MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpscmat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chpscmat 21378
Description: The characteristic polynomial of a (nonempty!) scalar matrix. (Contributed by AV, 21-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chp0mat.c 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chp0mat.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
chp0mat.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chp0mat.x 𝑋 = (var1𝑅)
chp0mat.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
chp0mat.m = (.g𝐺)
chpscmat.d 𝐷 = {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅))}
chpscmat.s 𝑆 = (algSc‘𝑃)
chpscmat.m = (-g𝑃)
Assertion
Ref Expression
chpscmat (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → (𝐶𝑀) = ((♯‘𝑁) (𝑋 (𝑆𝐸))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐴   𝑖,𝑁,𝑗   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝑖,𝑋,𝑗   𝐴,𝑐,𝑚   𝐷,𝑛   𝑛,𝐸   𝑛,𝐼   𝑀,𝑐,𝑖,𝑗,𝑚,𝑛   𝑁,𝑐,𝑚,𝑛   𝑃,𝑛   𝑅,𝑐,𝑚,𝑛   𝑆,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐶(𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐)   𝐷(𝑖,𝑗,𝑚,𝑐)   𝑃(𝑚,𝑐)   𝑆(𝑖,𝑗,𝑚,𝑐)   𝐸(𝑖,𝑗,𝑚,𝑐)   (𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐)   𝐺(𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐)   𝐼(𝑖,𝑗,𝑚,𝑐)   (𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐)   𝑋(𝑚,𝑛,𝑐)

Proof of Theorem chpscmat
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 763 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → 𝑁 ∈ Fin)
2 simplr 765 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → 𝑅 ∈ CRing)
3 elrabi 3672 . . . . . 6 (𝑀 ∈ {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅))} → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
4 chpscmat.d . . . . . 6 𝐷 = {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅))}
53, 4eleq2s 2928 . . . . 5 (𝑀𝐷𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
653ad2ant1 1125 . . . 4 ((𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
76adantl 482 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
8 oveq 7151 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑀 → (𝑖𝑚𝑗) = (𝑖𝑀𝑗))
98eqeq1d 2820 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑀 → ((𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅)) ↔ (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅))))
1092ralbidv 3196 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑀 → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅)) ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅))))
1110rexbidv 3294 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑀 → (∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅)) ↔ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅))))
1211elrab 3677 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅))} ↔ (𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ∧ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅))))
13 ifnefalse 4475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖𝑗 → if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅)) = (0g𝑅))
1413eqeq2d 2829 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖𝑗 → ((𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅)) ↔ (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅)))
1514biimpcd 250 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅)) → (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅)))
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅)) → (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅))))
1716ralimdva 3174 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝑖𝑁) → (∀𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅)) → ∀𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅))))
1817ralimdva 3174 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅)) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅))))
1918ex 413 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅)) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅)))))
2019com23 86 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅)))))
2120rexlimdva 3281 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (Base‘𝐴) → (∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅)))))
2221imp 407 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ∧ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅))) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅))))
2312, 22sylbi 218 . . . . . 6 (𝑀 ∈ {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅))} → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅))))
2423, 4eleq2s 2928 . . . . 5 (𝑀𝐷 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅))))
25243ad2ant1 1125 . . . 4 ((𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅))))
2625impcom 408 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅)))
27 chp0mat.c . . . 4 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
28 chp0mat.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
29 chp0mat.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
30 chpscmat.s . . . 4 𝑆 = (algSc‘𝑃)
31 eqid 2818 . . . 4 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
32 chp0mat.x . . . 4 𝑋 = (var1𝑅)
33 eqid 2818 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
34 chp0mat.g . . . 4 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
35 chpscmat.m . . . 4 = (-g𝑃)
3627, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35chpdmat 21377 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅))) → (𝐶𝑀) = (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑋 (𝑆‘(𝑘𝑀𝑘))))))
371, 2, 7, 26, 36syl31anc 1365 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → (𝐶𝑀) = (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑋 (𝑆‘(𝑘𝑀𝑘))))))
38 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘𝑛 = 𝑘)
3938, 38oveq12d 7163 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛𝑀𝑛) = (𝑘𝑀𝑘))
4039eqeq1d 2820 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 ↔ (𝑘𝑀𝑘) = 𝐸))
4140rspccv 3617 . . . . . . . . 9 (∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 → (𝑘𝑁 → (𝑘𝑀𝑘) = 𝐸))
42413ad2ant3 1127 . . . . . . . 8 ((𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸) → (𝑘𝑁 → (𝑘𝑀𝑘) = 𝐸))
4342adantl 482 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → (𝑘𝑁 → (𝑘𝑀𝑘) = 𝐸))
4443imp 407 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑘𝑀𝑘) = 𝐸)
4544fveq2d 6667 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑆‘(𝑘𝑀𝑘)) = (𝑆𝐸))
4645oveq2d 7161 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑋 (𝑆‘(𝑘𝑀𝑘))) = (𝑋 (𝑆𝐸)))
4746mpteq2dva 5152 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → (𝑘𝑁 ↦ (𝑋 (𝑆‘(𝑘𝑀𝑘)))) = (𝑘𝑁 ↦ (𝑋 (𝑆𝐸))))
4847oveq2d 7161 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑋 (𝑆‘(𝑘𝑀𝑘))))) = (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑋 (𝑆𝐸)))))
4928ply1crng 20294 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
5034crngmgp 19234 . . . . 5 (𝑃 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
51 cmnmnd 18851 . . . . 5 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
5249, 50, 513syl 18 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Mnd)
5352ad2antlr 723 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → 𝐺 ∈ Mnd)
54 crngring 19237 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
5528ply1ring 20344 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
5654, 55syl 17 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Ring)
57 ringgrp 19231 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
5856, 57syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Grp)
5958ad2antlr 723 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → 𝑃 ∈ Grp)
60 eqid 2818 . . . . . . . 8 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
6132, 28, 60vr1cl 20313 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
6254, 61syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
6362ad2antlr 723 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
64 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) → 𝐼𝑁)
65 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
6656ad2antll 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) → 𝑃 ∈ Ring)
6766adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) → 𝑃 ∈ Ring)
6828ply1lmod 20348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
6954, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ LMod)
7069ad2antll 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) → 𝑃 ∈ LMod)
7170adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) → 𝑃 ∈ LMod)
72 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
7330, 65, 67, 71, 72, 60asclf 20039 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) → 𝑆:(Base‘(Scalar‘𝑃))⟶(Base‘𝑃))
745adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
7574adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
76 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7729, 76matecl 20962 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼𝑁𝐼𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘𝑅))
7864, 64, 75, 77syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) → (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘𝑅))
7928ply1sca 20349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
8079ad2antll 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
8180adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
8281eqcomd 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) → (Scalar‘𝑃) = 𝑅)
8382fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝑅))
8478, 83eleqtrrd 2913 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) → (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
8573, 84ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) → (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼)) ∈ (Base‘𝑃))
86 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐸 = (𝐼𝑀𝐼) → (𝑆𝐸) = (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼)))
8786eqcoms 2826 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼𝑀𝐼) = 𝐸 → (𝑆𝐸) = (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼)))
8887eleq1d 2894 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼𝑀𝐼) = 𝐸 → ((𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃) ↔ (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼)) ∈ (Base‘𝑃)))
8985, 88syl5ibrcom 248 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) → ((𝐼𝑀𝐼) = 𝐸 → (𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃)))
9089adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑛 = 𝐼) → ((𝐼𝑀𝐼) = 𝐸 → (𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃)))
91 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝐼𝑛 = 𝐼)
9291, 91oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝐼 → (𝑛𝑀𝑛) = (𝐼𝑀𝐼))
9392eqeq1d 2820 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝐼 → ((𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 ↔ (𝐼𝑀𝐼) = 𝐸))
9493imbi1d 343 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝐼 → (((𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 → (𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃)) ↔ ((𝐼𝑀𝐼) = 𝐸 → (𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃))))
9594adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑛 = 𝐼) → (((𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 → (𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃)) ↔ ((𝐼𝑀𝐼) = 𝐸 → (𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃))))
9690, 95mpbird 258 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑛 = 𝐼) → ((𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 → (𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃)))
9764, 96rspcimdv 3610 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) → (∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 → (𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃)))
9897ex 413 . . . . . . . . . 10 ((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) → (𝐼𝑁 → (∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 → (𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃))))
9998com23 86 . . . . . . . . 9 ((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) → (∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 → (𝐼𝑁 → (𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃))))
10099ex 413 . . . . . . . 8 (𝑀𝐷 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 → (𝐼𝑁 → (𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃)))))
101100com24 95 . . . . . . 7 (𝑀𝐷 → (𝐼𝑁 → (∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃)))))
1021013imp 1103 . . . . . 6 ((𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃)))
103102impcom 408 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → (𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃))
10460, 35grpsubcl 18117 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋 (𝑆𝐸)) ∈ (Base‘𝑃))
10559, 63, 103, 104syl3anc 1363 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → (𝑋 (𝑆𝐸)) ∈ (Base‘𝑃))
10634, 60mgpbas 19174 . . . 4 (Base‘𝑃) = (Base‘𝐺)
107105, 106eleqtrdi 2920 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → (𝑋 (𝑆𝐸)) ∈ (Base‘𝐺))
108 eqid 2818 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
109 chp0mat.m . . . 4 = (.g𝐺)
110108, 109gsumconst 18983 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ (𝑋 (𝑆𝐸)) ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑋 (𝑆𝐸)))) = ((♯‘𝑁) (𝑋 (𝑆𝐸))))
11153, 1, 107, 110syl3anc 1363 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑋 (𝑆𝐸)))) = ((♯‘𝑁) (𝑋 (𝑆𝐸))))
11237, 48, 1113eqtrd 2857 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → (𝐶𝑀) = ((♯‘𝑁) (𝑋 (𝑆𝐸))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  {crab 3139  ifcif 4463  cmpt 5137  cfv 6348  (class class class)co 7145  Fincfn 8497  chash 13678  Basecbs 16471  Scalarcsca 16556  0gc0g 16701   Σg cgsu 16702  Mndcmnd 17899  Grpcgrp 18041  -gcsg 18043  .gcmg 18162  CMndccmn 18835  mulGrpcmgp 19168  Ringcrg 19226  CRingccrg 19227  LModclmod 19563  algSccascl 20012  var1cv1 20272  Poly1cpl1 20273   Mat cmat 20944   CharPlyMat cchpmat 21362
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-xor 1496  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-ot 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-ofr 7399  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-word 13850  df-lsw 13903  df-concat 13911  df-s1 13938  df-substr 13991  df-pfx 14021  df-splice 14100  df-reverse 14109  df-s2 14198  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-prds 16709  df-pws 16711  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-mulg 18163  df-subg 18214  df-ghm 18294  df-gim 18337  df-cntz 18385  df-oppg 18412  df-symg 18434  df-pmtr 18499  df-psgn 18548  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-cring 19229  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-invr 19351  df-dvr 19362  df-rnghom 19396  df-drng 19433  df-subrg 19462  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-sra 19873  df-rgmod 19874  df-ascl 20015  df-psr 20064  df-mvr 20065  df-mpl 20066  df-opsr 20068  df-psr1 20276  df-vr1 20277  df-ply1 20278  df-cnfld 20474  df-zring 20546  df-zrh 20579  df-dsmm 20804  df-frlm 20819  df-mamu 20923  df-mat 20945  df-mdet 21122  df-mat2pmat 21243  df-chpmat 21363
This theorem is referenced by:  chpscmat0  21379
  Copyright terms: Public domain W3C validator