MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpscmat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chpscmat 22335
Description: The characteristic polynomial of a (nonempty!) scalar matrix. (Contributed by AV, 21-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chp0mat.c 𝐢 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chp0mat.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
chp0mat.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chp0mat.x 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
chp0mat.g 𝐺 = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
chp0mat.m ↑ = (.gβ€˜πΊ)
chpscmat.d 𝐷 = {π‘š ∈ (Baseβ€˜π΄) ∣ βˆƒπ‘ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (π‘–π‘šπ‘—) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0gβ€˜π‘…))}
chpscmat.s 𝑆 = (algScβ€˜π‘ƒ)
chpscmat.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
chpscmat (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) β†’ (πΆβ€˜π‘€) = ((β™―β€˜π‘) ↑ (𝑋 βˆ’ (π‘†β€˜πΈ))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐴   𝑖,𝑁,𝑗   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝑖,𝑋,𝑗   𝐴,𝑐,π‘š   𝐷,𝑛   𝑛,𝐸   𝑛,𝐼   𝑀,𝑐,𝑖,𝑗,π‘š,𝑛   𝑁,𝑐,π‘š,𝑛   𝑃,𝑛   𝑅,𝑐,π‘š,𝑛   𝑆,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐢(𝑖,𝑗,π‘š,𝑛,𝑐)   𝐷(𝑖,𝑗,π‘š,𝑐)   𝑃(π‘š,𝑐)   𝑆(𝑖,𝑗,π‘š,𝑐)   𝐸(𝑖,𝑗,π‘š,𝑐)   ↑ (𝑖,𝑗,π‘š,𝑛,𝑐)   𝐺(𝑖,𝑗,π‘š,𝑛,𝑐)   𝐼(𝑖,𝑗,π‘š,𝑐)   βˆ’ (𝑖,𝑗,π‘š,𝑛,𝑐)   𝑋(π‘š,𝑛,𝑐)

Proof of Theorem chpscmat
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 765 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) β†’ 𝑁 ∈ Fin)
2 simplr 767 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
3 elrabi 3676 . . . . . 6 (𝑀 ∈ {π‘š ∈ (Baseβ€˜π΄) ∣ βˆƒπ‘ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (π‘–π‘šπ‘—) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0gβ€˜π‘…))} β†’ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜π΄))
4 chpscmat.d . . . . . 6 𝐷 = {π‘š ∈ (Baseβ€˜π΄) ∣ βˆƒπ‘ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (π‘–π‘šπ‘—) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0gβ€˜π‘…))}
53, 4eleq2s 2851 . . . . 5 (𝑀 ∈ 𝐷 β†’ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜π΄))
653ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸) β†’ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜π΄))
76adantl 482 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) β†’ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜π΄))
8 oveq 7411 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = 𝑀 β†’ (π‘–π‘šπ‘—) = (𝑖𝑀𝑗))
98eqeq1d 2734 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝑀 β†’ ((π‘–π‘šπ‘—) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0gβ€˜π‘…)) ↔ (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0gβ€˜π‘…))))
1092ralbidv 3218 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑀 β†’ (βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (π‘–π‘šπ‘—) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0gβ€˜π‘…)) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0gβ€˜π‘…))))
1110rexbidv 3178 . . . . . . . 8 (π‘š = 𝑀 β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (π‘–π‘šπ‘—) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0gβ€˜π‘…)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0gβ€˜π‘…))))
1211elrab 3682 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ {π‘š ∈ (Baseβ€˜π΄) ∣ βˆƒπ‘ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (π‘–π‘šπ‘—) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0gβ€˜π‘…))} ↔ (𝑀 ∈ (Baseβ€˜π΄) ∧ βˆƒπ‘ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0gβ€˜π‘…))))
13 ifnefalse 4539 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 β‰  𝑗 β†’ if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
1413eqeq2d 2743 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 β‰  𝑗 β†’ ((𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0gβ€˜π‘…)) ↔ (𝑖𝑀𝑗) = (0gβ€˜π‘…)))
1514biimpcd 248 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0gβ€˜π‘…)) β†’ (𝑖 β‰  𝑗 β†’ (𝑖𝑀𝑗) = (0gβ€˜π‘…)))
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑀 ∈ (Baseβ€˜π΄) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ ((𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0gβ€˜π‘…)) β†’ (𝑖 β‰  𝑗 β†’ (𝑖𝑀𝑗) = (0gβ€˜π‘…))))
1716ralimdva 3167 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ (Baseβ€˜π΄) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) β†’ (βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0gβ€˜π‘…)) β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖 β‰  𝑗 β†’ (𝑖𝑀𝑗) = (0gβ€˜π‘…))))
1817ralimdva 3167 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ (Baseβ€˜π΄) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0gβ€˜π‘…)) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖 β‰  𝑗 β†’ (𝑖𝑀𝑗) = (0gβ€˜π‘…))))
1918ex 413 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (Baseβ€˜π΄) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0gβ€˜π‘…)) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖 β‰  𝑗 β†’ (𝑖𝑀𝑗) = (0gβ€˜π‘…)))))
2019com23 86 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (Baseβ€˜π΄) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖 β‰  𝑗 β†’ (𝑖𝑀𝑗) = (0gβ€˜π‘…)))))
2120rexlimdva 3155 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (Baseβ€˜π΄) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖 β‰  𝑗 β†’ (𝑖𝑀𝑗) = (0gβ€˜π‘…)))))
2221imp 407 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (Baseβ€˜π΄) ∧ βˆƒπ‘ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖 β‰  𝑗 β†’ (𝑖𝑀𝑗) = (0gβ€˜π‘…))))
2312, 22sylbi 216 . . . . . 6 (𝑀 ∈ {π‘š ∈ (Baseβ€˜π΄) ∣ βˆƒπ‘ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (π‘–π‘šπ‘—) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0gβ€˜π‘…))} β†’ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖 β‰  𝑗 β†’ (𝑖𝑀𝑗) = (0gβ€˜π‘…))))
2423, 4eleq2s 2851 . . . . 5 (𝑀 ∈ 𝐷 β†’ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖 β‰  𝑗 β†’ (𝑖𝑀𝑗) = (0gβ€˜π‘…))))
25243ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸) β†’ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖 β‰  𝑗 β†’ (𝑖𝑀𝑗) = (0gβ€˜π‘…))))
2625impcom 408 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖 β‰  𝑗 β†’ (𝑖𝑀𝑗) = (0gβ€˜π‘…)))
27 chp0mat.c . . . 4 𝐢 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
28 chp0mat.p . . . 4 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
29 chp0mat.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
30 chpscmat.s . . . 4 𝑆 = (algScβ€˜π‘ƒ)
31 eqid 2732 . . . 4 (Baseβ€˜π΄) = (Baseβ€˜π΄)
32 chp0mat.x . . . 4 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
33 eqid 2732 . . . 4 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
34 chp0mat.g . . . 4 𝐺 = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
35 chpscmat.m . . . 4 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ƒ)
3627, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35chpdmat 22334 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜π΄)) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖 β‰  𝑗 β†’ (𝑖𝑀𝑗) = (0gβ€˜π‘…))) β†’ (πΆβ€˜π‘€) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑁 ↦ (𝑋 βˆ’ (π‘†β€˜(π‘˜π‘€π‘˜))))))
371, 2, 7, 26, 36syl31anc 1373 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) β†’ (πΆβ€˜π‘€) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑁 ↦ (𝑋 βˆ’ (π‘†β€˜(π‘˜π‘€π‘˜))))))
38 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘˜ β†’ 𝑛 = π‘˜)
3938, 38oveq12d 7423 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝑛𝑀𝑛) = (π‘˜π‘€π‘˜))
4039eqeq1d 2734 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 ↔ (π‘˜π‘€π‘˜) = 𝐸))
4140rspccv 3609 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 β†’ (π‘˜ ∈ 𝑁 β†’ (π‘˜π‘€π‘˜) = 𝐸))
42413ad2ant3 1135 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑁 β†’ (π‘˜π‘€π‘˜) = 𝐸))
4342adantl 482 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑁 β†’ (π‘˜π‘€π‘˜) = 𝐸))
4443imp 407 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁) β†’ (π‘˜π‘€π‘˜) = 𝐸)
4544fveq2d 6892 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁) β†’ (π‘†β€˜(π‘˜π‘€π‘˜)) = (π‘†β€˜πΈ))
4645oveq2d 7421 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁) β†’ (𝑋 βˆ’ (π‘†β€˜(π‘˜π‘€π‘˜))) = (𝑋 βˆ’ (π‘†β€˜πΈ)))
4746mpteq2dva 5247 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑁 ↦ (𝑋 βˆ’ (π‘†β€˜(π‘˜π‘€π‘˜)))) = (π‘˜ ∈ 𝑁 ↦ (𝑋 βˆ’ (π‘†β€˜πΈ))))
4847oveq2d 7421 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑁 ↦ (𝑋 βˆ’ (π‘†β€˜(π‘˜π‘€π‘˜))))) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑁 ↦ (𝑋 βˆ’ (π‘†β€˜πΈ)))))
4928ply1crng 21713 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑃 ∈ CRing)
5034crngmgp 20057 . . . . 5 (𝑃 ∈ CRing β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
51 cmnmnd 19659 . . . . 5 (𝐺 ∈ CMnd β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
5249, 50, 513syl 18 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
5352ad2antlr 725 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
54 crngring 20061 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
5528ply1ring 21761 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
5654, 55syl 17 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑃 ∈ Ring)
57 ringgrp 20054 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Grp)
5856, 57syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑃 ∈ Grp)
5958ad2antlr 725 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) β†’ 𝑃 ∈ Grp)
60 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
6132, 28, 60vr1cl 21732 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
6254, 61syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
6362ad2antlr 725 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
64 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) β†’ 𝐼 ∈ 𝑁)
65 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Scalarβ€˜π‘ƒ) = (Scalarβ€˜π‘ƒ)
6656ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
6766adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
6828ply1lmod 21765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ LMod)
6954, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑃 ∈ LMod)
7069ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) β†’ 𝑃 ∈ LMod)
7170adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) β†’ 𝑃 ∈ LMod)
72 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))
7330, 65, 67, 71, 72, 60asclf 21427 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) β†’ 𝑆:(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))⟢(Baseβ€˜π‘ƒ))
745adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) β†’ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜π΄))
7574adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) β†’ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜π΄))
76 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
7729, 76matecl 21918 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜π΄)) β†’ (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
7864, 64, 75, 77syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) β†’ (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
7928ply1sca 21766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
8079ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
8180adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
8281eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) β†’ (Scalarβ€˜π‘ƒ) = 𝑅)
8382fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜π‘…))
8478, 83eleqtrrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) β†’ (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
8573, 84ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) β†’ (π‘†β€˜(𝐼𝑀𝐼)) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
86 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐸 = (𝐼𝑀𝐼) β†’ (π‘†β€˜πΈ) = (π‘†β€˜(𝐼𝑀𝐼)))
8786eqcoms 2740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼𝑀𝐼) = 𝐸 β†’ (π‘†β€˜πΈ) = (π‘†β€˜(𝐼𝑀𝐼)))
8887eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼𝑀𝐼) = 𝐸 β†’ ((π‘†β€˜πΈ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ↔ (π‘†β€˜(𝐼𝑀𝐼)) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)))
8985, 88syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) β†’ ((𝐼𝑀𝐼) = 𝐸 β†’ (π‘†β€˜πΈ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)))
9089adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑛 = 𝐼) β†’ ((𝐼𝑀𝐼) = 𝐸 β†’ (π‘†β€˜πΈ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)))
91 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝐼 β†’ 𝑛 = 𝐼)
9291, 91oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝐼 β†’ (𝑛𝑀𝑛) = (𝐼𝑀𝐼))
9392eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝐼 β†’ ((𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 ↔ (𝐼𝑀𝐼) = 𝐸))
9493imbi1d 341 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝐼 β†’ (((𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 β†’ (π‘†β€˜πΈ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ↔ ((𝐼𝑀𝐼) = 𝐸 β†’ (π‘†β€˜πΈ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))))
9594adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑛 = 𝐼) β†’ (((𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 β†’ (π‘†β€˜πΈ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ↔ ((𝐼𝑀𝐼) = 𝐸 β†’ (π‘†β€˜πΈ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))))
9690, 95mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑛 = 𝐼) β†’ ((𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 β†’ (π‘†β€˜πΈ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)))
9764, 96rspcimdv 3602 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) β†’ (βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 β†’ (π‘†β€˜πΈ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)))
9897ex 413 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) β†’ (𝐼 ∈ 𝑁 β†’ (βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 β†’ (π‘†β€˜πΈ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))))
9998com23 86 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) β†’ (βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 β†’ (𝐼 ∈ 𝑁 β†’ (π‘†β€˜πΈ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))))
10099ex 413 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ 𝐷 β†’ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 β†’ (𝐼 ∈ 𝑁 β†’ (π‘†β€˜πΈ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)))))
101100com24 95 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ 𝐷 β†’ (𝐼 ∈ 𝑁 β†’ (βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 β†’ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (π‘†β€˜πΈ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)))))
1021013imp 1111 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸) β†’ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (π‘†β€˜πΈ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)))
103102impcom 408 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) β†’ (π‘†β€˜πΈ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
10460, 35grpsubcl 18899 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ (π‘†β€˜πΈ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (𝑋 βˆ’ (π‘†β€˜πΈ)) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
10559, 63, 103, 104syl3anc 1371 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) β†’ (𝑋 βˆ’ (π‘†β€˜πΈ)) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
10634, 60mgpbas 19987 . . . 4 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜πΊ)
107105, 106eleqtrdi 2843 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) β†’ (𝑋 βˆ’ (π‘†β€˜πΈ)) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
108 eqid 2732 . . . 4 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
109 chp0mat.m . . . 4 ↑ = (.gβ€˜πΊ)
110108, 109gsumconst 19796 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ (𝑋 βˆ’ (π‘†β€˜πΈ)) ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑁 ↦ (𝑋 βˆ’ (π‘†β€˜πΈ)))) = ((β™―β€˜π‘) ↑ (𝑋 βˆ’ (π‘†β€˜πΈ))))
11153, 1, 107, 110syl3anc 1371 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑁 ↦ (𝑋 βˆ’ (π‘†β€˜πΈ)))) = ((β™―β€˜π‘) ↑ (𝑋 βˆ’ (π‘†β€˜πΈ))))
11237, 48, 1113eqtrd 2776 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) β†’ (πΆβ€˜π‘€) = ((β™―β€˜π‘) ↑ (𝑋 βˆ’ (π‘†β€˜πΈ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3432  ifcif 4527   ↦ cmpt 5230  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Fincfn 8935  β™―chash 14286  Basecbs 17140  Scalarcsca 17196  0gc0g 17381   Ξ£g cgsu 17382  Mndcmnd 18621  Grpcgrp 18815  -gcsg 18817  .gcmg 18944  CMndccmn 19642  mulGrpcmgp 19981  Ringcrg 20049  CRingccrg 20050  LModclmod 20463  algSccascl 21398  var1cv1 21691  Poly1cpl1 21692   Mat cmat 21898   CharPlyMat cchpmat 22319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-word 14461  df-lsw 14509  df-concat 14517  df-s1 14542  df-substr 14587  df-pfx 14617  df-splice 14696  df-reverse 14705  df-s2 14795  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-efmnd 18746  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-gim 19127  df-cntz 19175  df-oppg 19204  df-symg 19229  df-pmtr 19304  df-psgn 19353  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-dvr 20207  df-rnghom 20243  df-drng 20309  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-cnfld 20937  df-zring 21010  df-zrh 21044  df-dsmm 21278  df-frlm 21293  df-ascl 21401  df-psr 21453  df-mvr 21454  df-mpl 21455  df-opsr 21457  df-psr1 21695  df-vr1 21696  df-ply1 21697  df-mamu 21877  df-mat 21899  df-mdet 22078  df-mat2pmat 22200  df-chpmat 22320
This theorem is referenced by:  chpscmat0  22336
  Copyright terms: Public domain W3C validator