MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpscmat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chpscmat 21442
Description: The characteristic polynomial of a (nonempty!) scalar matrix. (Contributed by AV, 21-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chp0mat.c 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chp0mat.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
chp0mat.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chp0mat.x 𝑋 = (var1𝑅)
chp0mat.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
chp0mat.m = (.g𝐺)
chpscmat.d 𝐷 = {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅))}
chpscmat.s 𝑆 = (algSc‘𝑃)
chpscmat.m = (-g𝑃)
Assertion
Ref Expression
chpscmat (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → (𝐶𝑀) = ((♯‘𝑁) (𝑋 (𝑆𝐸))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐴   𝑖,𝑁,𝑗   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝑖,𝑋,𝑗   𝐴,𝑐,𝑚   𝐷,𝑛   𝑛,𝐸   𝑛,𝐼   𝑀,𝑐,𝑖,𝑗,𝑚,𝑛   𝑁,𝑐,𝑚,𝑛   𝑃,𝑛   𝑅,𝑐,𝑚,𝑛   𝑆,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐶(𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐)   𝐷(𝑖,𝑗,𝑚,𝑐)   𝑃(𝑚,𝑐)   𝑆(𝑖,𝑗,𝑚,𝑐)   𝐸(𝑖,𝑗,𝑚,𝑐)   (𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐)   𝐺(𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐)   𝐼(𝑖,𝑗,𝑚,𝑐)   (𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐)   𝑋(𝑚,𝑛,𝑐)

Proof of Theorem chpscmat
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 765 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → 𝑁 ∈ Fin)
2 simplr 767 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → 𝑅 ∈ CRing)
3 elrabi 3673 . . . . . 6 (𝑀 ∈ {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅))} → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
4 chpscmat.d . . . . . 6 𝐷 = {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅))}
53, 4eleq2s 2929 . . . . 5 (𝑀𝐷𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
653ad2ant1 1127 . . . 4 ((𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
76adantl 484 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
8 oveq 7154 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑀 → (𝑖𝑚𝑗) = (𝑖𝑀𝑗))
98eqeq1d 2821 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑀 → ((𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅)) ↔ (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅))))
1092ralbidv 3197 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑀 → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅)) ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅))))
1110rexbidv 3295 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑀 → (∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅)) ↔ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅))))
1211elrab 3678 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅))} ↔ (𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ∧ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅))))
13 ifnefalse 4477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖𝑗 → if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅)) = (0g𝑅))
1413eqeq2d 2830 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖𝑗 → ((𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅)) ↔ (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅)))
1514biimpcd 251 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅)) → (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅)))
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅)) → (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅))))
1716ralimdva 3175 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝑖𝑁) → (∀𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅)) → ∀𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅))))
1817ralimdva 3175 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅)) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅))))
1918ex 415 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅)) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅)))))
2019com23 86 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅)))))
2120rexlimdva 3282 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (Base‘𝐴) → (∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅)))))
2221imp 409 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ∧ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅))) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅))))
2312, 22sylbi 219 . . . . . 6 (𝑀 ∈ {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅))} → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅))))
2423, 4eleq2s 2929 . . . . 5 (𝑀𝐷 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅))))
25243ad2ant1 1127 . . . 4 ((𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅))))
2625impcom 410 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅)))
27 chp0mat.c . . . 4 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
28 chp0mat.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
29 chp0mat.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
30 chpscmat.s . . . 4 𝑆 = (algSc‘𝑃)
31 eqid 2819 . . . 4 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
32 chp0mat.x . . . 4 𝑋 = (var1𝑅)
33 eqid 2819 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
34 chp0mat.g . . . 4 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
35 chpscmat.m . . . 4 = (-g𝑃)
3627, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35chpdmat 21441 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅))) → (𝐶𝑀) = (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑋 (𝑆‘(𝑘𝑀𝑘))))))
371, 2, 7, 26, 36syl31anc 1367 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → (𝐶𝑀) = (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑋 (𝑆‘(𝑘𝑀𝑘))))))
38 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘𝑛 = 𝑘)
3938, 38oveq12d 7166 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛𝑀𝑛) = (𝑘𝑀𝑘))
4039eqeq1d 2821 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 ↔ (𝑘𝑀𝑘) = 𝐸))
4140rspccv 3618 . . . . . . . . 9 (∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 → (𝑘𝑁 → (𝑘𝑀𝑘) = 𝐸))
42413ad2ant3 1129 . . . . . . . 8 ((𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸) → (𝑘𝑁 → (𝑘𝑀𝑘) = 𝐸))
4342adantl 484 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → (𝑘𝑁 → (𝑘𝑀𝑘) = 𝐸))
4443imp 409 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑘𝑀𝑘) = 𝐸)
4544fveq2d 6667 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑆‘(𝑘𝑀𝑘)) = (𝑆𝐸))
4645oveq2d 7164 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑋 (𝑆‘(𝑘𝑀𝑘))) = (𝑋 (𝑆𝐸)))
4746mpteq2dva 5152 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → (𝑘𝑁 ↦ (𝑋 (𝑆‘(𝑘𝑀𝑘)))) = (𝑘𝑁 ↦ (𝑋 (𝑆𝐸))))
4847oveq2d 7164 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑋 (𝑆‘(𝑘𝑀𝑘))))) = (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑋 (𝑆𝐸)))))
4928ply1crng 20358 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
5034crngmgp 19297 . . . . 5 (𝑃 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
51 cmnmnd 18914 . . . . 5 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
5249, 50, 513syl 18 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Mnd)
5352ad2antlr 725 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → 𝐺 ∈ Mnd)
54 crngring 19300 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
5528ply1ring 20408 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
5654, 55syl 17 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Ring)
57 ringgrp 19294 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
5856, 57syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Grp)
5958ad2antlr 725 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → 𝑃 ∈ Grp)
60 eqid 2819 . . . . . . . 8 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
6132, 28, 60vr1cl 20377 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
6254, 61syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
6362ad2antlr 725 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
64 simpr 487 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) → 𝐼𝑁)
65 eqid 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
6656ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) → 𝑃 ∈ Ring)
6766adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) → 𝑃 ∈ Ring)
6828ply1lmod 20412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
6954, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ LMod)
7069ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) → 𝑃 ∈ LMod)
7170adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) → 𝑃 ∈ LMod)
72 eqid 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
7330, 65, 67, 71, 72, 60asclf 20103 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) → 𝑆:(Base‘(Scalar‘𝑃))⟶(Base‘𝑃))
745adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
7574adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
76 eqid 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7729, 76matecl 21026 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼𝑁𝐼𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘𝑅))
7864, 64, 75, 77syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) → (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘𝑅))
7928ply1sca 20413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
8079ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
8180adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
8281eqcomd 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) → (Scalar‘𝑃) = 𝑅)
8382fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝑅))
8478, 83eleqtrrd 2914 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) → (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
8573, 84ffvelrnd 6845 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) → (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼)) ∈ (Base‘𝑃))
86 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐸 = (𝐼𝑀𝐼) → (𝑆𝐸) = (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼)))
8786eqcoms 2827 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼𝑀𝐼) = 𝐸 → (𝑆𝐸) = (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼)))
8887eleq1d 2895 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼𝑀𝐼) = 𝐸 → ((𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃) ↔ (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼)) ∈ (Base‘𝑃)))
8985, 88syl5ibrcom 249 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) → ((𝐼𝑀𝐼) = 𝐸 → (𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃)))
9089adantr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑛 = 𝐼) → ((𝐼𝑀𝐼) = 𝐸 → (𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃)))
91 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝐼𝑛 = 𝐼)
9291, 91oveq12d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝐼 → (𝑛𝑀𝑛) = (𝐼𝑀𝐼))
9392eqeq1d 2821 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝐼 → ((𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 ↔ (𝐼𝑀𝐼) = 𝐸))
9493imbi1d 344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝐼 → (((𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 → (𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃)) ↔ ((𝐼𝑀𝐼) = 𝐸 → (𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃))))
9594adantl 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑛 = 𝐼) → (((𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 → (𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃)) ↔ ((𝐼𝑀𝐼) = 𝐸 → (𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃))))
9690, 95mpbird 259 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑛 = 𝐼) → ((𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 → (𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃)))
9764, 96rspcimdv 3611 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) ∧ 𝐼𝑁) → (∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 → (𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃)))
9897ex 415 . . . . . . . . . 10 ((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) → (𝐼𝑁 → (∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 → (𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃))))
9998com23 86 . . . . . . . . 9 ((𝑀𝐷 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing)) → (∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 → (𝐼𝑁 → (𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃))))
10099ex 415 . . . . . . . 8 (𝑀𝐷 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 → (𝐼𝑁 → (𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃)))))
101100com24 95 . . . . . . 7 (𝑀𝐷 → (𝐼𝑁 → (∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃)))))
1021013imp 1105 . . . . . 6 ((𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃)))
103102impcom 410 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → (𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃))
10460, 35grpsubcl 18171 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑆𝐸) ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋 (𝑆𝐸)) ∈ (Base‘𝑃))
10559, 63, 103, 104syl3anc 1365 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → (𝑋 (𝑆𝐸)) ∈ (Base‘𝑃))
10634, 60mgpbas 19237 . . . 4 (Base‘𝑃) = (Base‘𝐺)
107105, 106eleqtrdi 2921 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → (𝑋 (𝑆𝐸)) ∈ (Base‘𝐺))
108 eqid 2819 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
109 chp0mat.m . . . 4 = (.g𝐺)
110108, 109gsumconst 19046 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ (𝑋 (𝑆𝐸)) ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑋 (𝑆𝐸)))) = ((♯‘𝑁) (𝑋 (𝑆𝐸))))
11153, 1, 107, 110syl3anc 1365 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑋 (𝑆𝐸)))) = ((♯‘𝑁) (𝑋 (𝑆𝐸))))
11237, 48, 1113eqtrd 2858 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐼𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → (𝐶𝑀) = ((♯‘𝑁) (𝑋 (𝑆𝐸))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3014  wral 3136  wrex 3137  {crab 3140  ifcif 4465  cmpt 5137  cfv 6348  (class class class)co 7148  Fincfn 8501  chash 13682  Basecbs 16475  Scalarcsca 16560  0gc0g 16705   Σg cgsu 16706  Mndcmnd 17903  Grpcgrp 18095  -gcsg 18097  .gcmg 18216  CMndccmn 18898  mulGrpcmgp 19231  Ringcrg 19289  CRingccrg 19290  LModclmod 19626  algSccascl 20076  var1cv1 20336  Poly1cpl1 20337   Mat cmat 21008   CharPlyMat cchpmat 21426
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-addf 10608  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-xor 1498  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-ot 4568  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-ofr 7402  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-tpos 7884  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-sup 8898  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-seq 13362  df-exp 13422  df-hash 13683  df-word 13854  df-lsw 13907  df-concat 13915  df-s1 13942  df-substr 13995  df-pfx 14025  df-splice 14104  df-reverse 14113  df-s2 14202  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-prds 16713  df-pws 16715  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-submnd 17949  df-efmnd 18026  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-mulg 18217  df-subg 18268  df-ghm 18348  df-gim 18391  df-cntz 18439  df-oppg 18466  df-symg 18488  df-pmtr 18562  df-psgn 18611  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-ring 19291  df-cring 19292  df-oppr 19365  df-dvdsr 19383  df-unit 19384  df-invr 19414  df-dvr 19425  df-rnghom 19459  df-drng 19496  df-subrg 19525  df-lmod 19628  df-lss 19696  df-sra 19936  df-rgmod 19937  df-ascl 20079  df-psr 20128  df-mvr 20129  df-mpl 20130  df-opsr 20132  df-psr1 20340  df-vr1 20341  df-ply1 20342  df-cnfld 20538  df-zring 20610  df-zrh 20643  df-dsmm 20868  df-frlm 20883  df-mamu 20987  df-mat 21009  df-mdet 21186  df-mat2pmat 21307  df-chpmat 21427
This theorem is referenced by:  chpscmat0  21443
  Copyright terms: Public domain W3C validator