Theorem prdscmnd 19992

Description: The product of a family of commutative monoids is commutative. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdscmnd.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdscmnd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdscmnd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdscmnd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶CMnd)

Assertion

Ref	Expression
prdscmnd	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ CMnd)

Proof of Theorem prdscmnd

Dummy variables 𝑐 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2763	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌))
2		eqidd 2763	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌))
3		prdscmnd.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
4		prdscmnd.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		prdscmnd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
6		prdscmnd.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶CMnd)
7		cmnmnd 19928	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ CMnd → 𝑎 ∈ Mnd)
8	7	ssriv 3938	. . . 4 ⊢ CMnd ⊆ Mnd
9		fss 6723	. . . 4 ⊢ ((𝑅:𝐼⟶CMnd ∧ CMnd ⊆ Mnd) → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
10	6, 8, 9	sylancl 598	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
11	3, 4, 5, 10	prdsmndd 18881	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Mnd)
12	6	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝑅:𝐼⟶CMnd)
13	12	ffvelcdmda 7080	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑐) ∈ CMnd)
14		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
15	5	elexd 3476	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
16	15	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝑆 ∈ V)
17	16	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ V)
18	4	elexd 3476	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
19	18	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝐼 ∈ V)
20	19	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ V)
21	6	ffnd 6707	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
22	21	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝑅 Fn 𝐼)
23	22	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
24		simpl2 1211	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑌))
25		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) → 𝑐 ∈ 𝐼)
26	3, 14, 17, 20, 23, 24, 25	prdsbasprj 17561	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) → (𝑎‘𝑐) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑐)))
27		simpl3 1212	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑌))
28	3, 14, 17, 20, 23, 27, 25	prdsbasprj 17561	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) → (𝑏‘𝑐) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑐)))
29		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑅‘𝑐)) = (Base‘(𝑅‘𝑐))
30		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(𝑅‘𝑐)) = (+g‘(𝑅‘𝑐))
31	29, 30	cmncom 19929	. . . . 5 ⊢ (((𝑅‘𝑐) ∈ CMnd ∧ (𝑎‘𝑐) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑐)) ∧ (𝑏‘𝑐) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑐))) → ((𝑎‘𝑐)(+g‘(𝑅‘𝑐))(𝑏‘𝑐)) = ((𝑏‘𝑐)(+g‘(𝑅‘𝑐))(𝑎‘𝑐)))
32	13, 26, 28, 31	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) → ((𝑎‘𝑐)(+g‘(𝑅‘𝑐))(𝑏‘𝑐)) = ((𝑏‘𝑐)(+g‘(𝑅‘𝑐))(𝑎‘𝑐)))
33	32	mpteq2dva 5202	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → (𝑐 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑐)(+g‘(𝑅‘𝑐))(𝑏‘𝑐))) = (𝑐 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑐)(+g‘(𝑅‘𝑐))(𝑎‘𝑐))))
34		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑌))
35		simp3 1156	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑌))
36		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌)
37	3, 14, 16, 19, 22, 34, 35, 36	prdsplusgval 17562	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → (𝑎(+g‘𝑌)𝑏) = (𝑐 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑐)(+g‘(𝑅‘𝑐))(𝑏‘𝑐))))
38	3, 14, 16, 19, 22, 35, 34, 36	prdsplusgval 17562	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → (𝑏(+g‘𝑌)𝑎) = (𝑐 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑐)(+g‘(𝑅‘𝑐))(𝑎‘𝑐))))
39	33, 37, 38	3eqtr4d 2807	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → (𝑎(+g‘𝑌)𝑏) = (𝑏(+g‘𝑌)𝑎))
40	1, 2, 11, 39	iscmnd 19925	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ CMnd)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902   ↦ cmpt 5190   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Basecbs 17305  +_gcplusg 17346  X_scprds 17534  Mndcmnd 18840  CMndccmn 19911

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13564  df-struct 17243  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-hom 17370  df-cco 17371  df-0g 17530  df-prds 17536  df-mgm 18734  df-sgrp 18825  df-mnd 18841  df-cmn 19913

This theorem is used by:  prdsabld  19993  pwscmn  19994  prdsgsum  20112  prdscrngd  20466