Theorem prdscmnd 19783

Description: The product of a family of commutative monoids is commutative. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdscmnd.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdscmnd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdscmnd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdscmnd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶CMnd)

Assertion

Ref	Expression
prdscmnd	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ CMnd)

Proof of Theorem prdscmnd

Dummy variables 𝑐 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2734	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌))
2		eqidd 2734	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌))
3		prdscmnd.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
4		prdscmnd.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		prdscmnd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
6		prdscmnd.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶CMnd)
7		cmnmnd 19719	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ CMnd → 𝑎 ∈ Mnd)
8	7	ssriv 3935	. . . 4 ⊢ CMnd ⊆ Mnd
9		fss 6675	. . . 4 ⊢ ((𝑅:𝐼⟶CMnd ∧ CMnd ⊆ Mnd) → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
10	6, 8, 9	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
11	3, 4, 5, 10	prdsmndd 18688	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Mnd)
12	6	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝑅:𝐼⟶CMnd)
13	12	ffvelcdmda 7026	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑐) ∈ CMnd)
14		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
15	5	elexd 3462	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
16	15	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝑆 ∈ V)
17	16	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ V)
18	4	elexd 3462	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
19	18	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝐼 ∈ V)
20	19	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ V)
21	6	ffnd 6660	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
22	21	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝑅 Fn 𝐼)
23	22	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
24		simpl2 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑌))
25		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) → 𝑐 ∈ 𝐼)
26	3, 14, 17, 20, 23, 24, 25	prdsbasprj 17386	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) → (𝑎‘𝑐) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑐)))
27		simpl3 1194	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑌))
28	3, 14, 17, 20, 23, 27, 25	prdsbasprj 17386	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) → (𝑏‘𝑐) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑐)))
29		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑅‘𝑐)) = (Base‘(𝑅‘𝑐))
30		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(𝑅‘𝑐)) = (+g‘(𝑅‘𝑐))
31	29, 30	cmncom 19720	. . . . 5 ⊢ (((𝑅‘𝑐) ∈ CMnd ∧ (𝑎‘𝑐) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑐)) ∧ (𝑏‘𝑐) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑐))) → ((𝑎‘𝑐)(+g‘(𝑅‘𝑐))(𝑏‘𝑐)) = ((𝑏‘𝑐)(+g‘(𝑅‘𝑐))(𝑎‘𝑐)))
32	13, 26, 28, 31	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) → ((𝑎‘𝑐)(+g‘(𝑅‘𝑐))(𝑏‘𝑐)) = ((𝑏‘𝑐)(+g‘(𝑅‘𝑐))(𝑎‘𝑐)))
33	32	mpteq2dva 5188	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → (𝑐 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑐)(+g‘(𝑅‘𝑐))(𝑏‘𝑐))) = (𝑐 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑐)(+g‘(𝑅‘𝑐))(𝑎‘𝑐))))
34		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑌))
35		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑌))
36		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌)
37	3, 14, 16, 19, 22, 34, 35, 36	prdsplusgval 17387	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → (𝑎(+g‘𝑌)𝑏) = (𝑐 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑐)(+g‘(𝑅‘𝑐))(𝑏‘𝑐))))
38	3, 14, 16, 19, 22, 35, 34, 36	prdsplusgval 17387	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → (𝑏(+g‘𝑌)𝑎) = (𝑐 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑐)(+g‘(𝑅‘𝑐))(𝑎‘𝑐))))
39	33, 37, 38	3eqtr4d 2778	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → (𝑎(+g‘𝑌)𝑏) = (𝑏(+g‘𝑌)𝑎))
40	1, 2, 11, 39	iscmnd 19716	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ CMnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438   ⊆ wss 3899   ↦ cmpt 5176   Fn wfn 6484  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  Basecbs 17130  +_gcplusg 17171  X_scprds 17359  Mndcmnd 18652  CMndccmn 19702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-map 8761  df-ixp 8831  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-fin 8882  df-sup 9336  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-nn 12136  df-2 12198  df-3 12199  df-4 12200  df-5 12201  df-6 12202  df-7 12203  df-8 12204  df-9 12205  df-n0 12392  df-z 12479  df-dec 12599  df-uz 12743  df-fz 13418  df-struct 17068  df-slot 17103  df-ndx 17115  df-base 17131  df-plusg 17184  df-mulr 17185  df-sca 17187  df-vsca 17188  df-ip 17189  df-tset 17190  df-ple 17191  df-ds 17193  df-hom 17195  df-cco 17196  df-0g 17355  df-prds 17361  df-mgm 18558  df-sgrp 18637  df-mnd 18653  df-cmn 19704

This theorem is referenced by:  prdsabld  19784  pwscmn  19785  prdsgsum  19903  prdscrngd  20250