MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdscmnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdscmnd 19246
Description: The product of a family of commutative monoids is commutative. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdscmnd.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdscmnd.i (𝜑𝐼𝑊)
prdscmnd.s (𝜑𝑆𝑉)
prdscmnd.r (𝜑𝑅:𝐼⟶CMnd)
Assertion
Ref Expression
prdscmnd (𝜑𝑌 ∈ CMnd)

Proof of Theorem prdscmnd
Dummy variables 𝑐 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2738 . 2 (𝜑 → (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌))
2 eqidd 2738 . 2 (𝜑 → (+g𝑌) = (+g𝑌))
3 prdscmnd.y . . 3 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
4 prdscmnd.i . . 3 (𝜑𝐼𝑊)
5 prdscmnd.s . . 3 (𝜑𝑆𝑉)
6 prdscmnd.r . . . 4 (𝜑𝑅:𝐼⟶CMnd)
7 cmnmnd 19186 . . . . 5 (𝑎 ∈ CMnd → 𝑎 ∈ Mnd)
87ssriv 3905 . . . 4 CMnd ⊆ Mnd
9 fss 6562 . . . 4 ((𝑅:𝐼⟶CMnd ∧ CMnd ⊆ Mnd) → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
106, 8, 9sylancl 589 . . 3 (𝜑𝑅:𝐼⟶Mnd)
113, 4, 5, 10prdsmndd 18206 . 2 (𝜑𝑌 ∈ Mnd)
1263ad2ant1 1135 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝑅:𝐼⟶CMnd)
1312ffvelrnda 6904 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐𝐼) → (𝑅𝑐) ∈ CMnd)
14 eqid 2737 . . . . . 6 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
155elexd 3428 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ V)
16153ad2ant1 1135 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝑆 ∈ V)
1716adantr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐𝐼) → 𝑆 ∈ V)
184elexd 3428 . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ∈ V)
19183ad2ant1 1135 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝐼 ∈ V)
2019adantr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐𝐼) → 𝐼 ∈ V)
216ffnd 6546 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
22213ad2ant1 1135 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝑅 Fn 𝐼)
2322adantr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
24 simpl2 1194 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑌))
25 simpr 488 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐𝐼) → 𝑐𝐼)
263, 14, 17, 20, 23, 24, 25prdsbasprj 16977 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐𝐼) → (𝑎𝑐) ∈ (Base‘(𝑅𝑐)))
27 simpl3 1195 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐𝐼) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑌))
283, 14, 17, 20, 23, 27, 25prdsbasprj 16977 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐𝐼) → (𝑏𝑐) ∈ (Base‘(𝑅𝑐)))
29 eqid 2737 . . . . . 6 (Base‘(𝑅𝑐)) = (Base‘(𝑅𝑐))
30 eqid 2737 . . . . . 6 (+g‘(𝑅𝑐)) = (+g‘(𝑅𝑐))
3129, 30cmncom 19187 . . . . 5 (((𝑅𝑐) ∈ CMnd ∧ (𝑎𝑐) ∈ (Base‘(𝑅𝑐)) ∧ (𝑏𝑐) ∈ (Base‘(𝑅𝑐))) → ((𝑎𝑐)(+g‘(𝑅𝑐))(𝑏𝑐)) = ((𝑏𝑐)(+g‘(𝑅𝑐))(𝑎𝑐)))
3213, 26, 28, 31syl3anc 1373 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐𝐼) → ((𝑎𝑐)(+g‘(𝑅𝑐))(𝑏𝑐)) = ((𝑏𝑐)(+g‘(𝑅𝑐))(𝑎𝑐)))
3332mpteq2dva 5150 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → (𝑐𝐼 ↦ ((𝑎𝑐)(+g‘(𝑅𝑐))(𝑏𝑐))) = (𝑐𝐼 ↦ ((𝑏𝑐)(+g‘(𝑅𝑐))(𝑎𝑐))))
34 simp2 1139 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑌))
35 simp3 1140 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑌))
36 eqid 2737 . . . 4 (+g𝑌) = (+g𝑌)
373, 14, 16, 19, 22, 34, 35, 36prdsplusgval 16978 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → (𝑎(+g𝑌)𝑏) = (𝑐𝐼 ↦ ((𝑎𝑐)(+g‘(𝑅𝑐))(𝑏𝑐))))
383, 14, 16, 19, 22, 35, 34, 36prdsplusgval 16978 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → (𝑏(+g𝑌)𝑎) = (𝑐𝐼 ↦ ((𝑏𝑐)(+g‘(𝑅𝑐))(𝑎𝑐))))
3933, 37, 383eqtr4d 2787 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → (𝑎(+g𝑌)𝑏) = (𝑏(+g𝑌)𝑎))
401, 2, 11, 39iscmnd 19183 1 (𝜑𝑌 ∈ CMnd)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  Vcvv 3408  wss 3866  cmpt 5135   Fn wfn 6375  wf 6376  cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760  +gcplusg 16802  Xscprds 16950  Mndcmnd 18173  CMndccmn 19170
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-map 8510  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-fz 13096  df-struct 16700  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-hom 16826  df-cco 16827  df-0g 16946  df-prds 16952  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-cmn 19172
This theorem is referenced by:  prdsabld  19247  pwscmn  19248  prdsgsum  19366  prdscrngd  19631
  Copyright terms: Public domain W3C validator