MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdscmnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdscmnd 19894
Description: The product of a family of commutative monoids is commutative. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdscmnd.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdscmnd.i (𝜑𝐼𝑊)
prdscmnd.s (𝜑𝑆𝑉)
prdscmnd.r (𝜑𝑅:𝐼⟶CMnd)
Assertion
Ref Expression
prdscmnd (𝜑𝑌 ∈ CMnd)

Proof of Theorem prdscmnd
Dummy variables 𝑐 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2736 . 2 (𝜑 → (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌))
2 eqidd 2736 . 2 (𝜑 → (+g𝑌) = (+g𝑌))
3 prdscmnd.y . . 3 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
4 prdscmnd.i . . 3 (𝜑𝐼𝑊)
5 prdscmnd.s . . 3 (𝜑𝑆𝑉)
6 prdscmnd.r . . . 4 (𝜑𝑅:𝐼⟶CMnd)
7 cmnmnd 19830 . . . . 5 (𝑎 ∈ CMnd → 𝑎 ∈ Mnd)
87ssriv 3999 . . . 4 CMnd ⊆ Mnd
9 fss 6753 . . . 4 ((𝑅:𝐼⟶CMnd ∧ CMnd ⊆ Mnd) → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
106, 8, 9sylancl 586 . . 3 (𝜑𝑅:𝐼⟶Mnd)
113, 4, 5, 10prdsmndd 18796 . 2 (𝜑𝑌 ∈ Mnd)
1263ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝑅:𝐼⟶CMnd)
1312ffvelcdmda 7104 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐𝐼) → (𝑅𝑐) ∈ CMnd)
14 eqid 2735 . . . . . 6 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
155elexd 3502 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ V)
16153ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝑆 ∈ V)
1716adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐𝐼) → 𝑆 ∈ V)
184elexd 3502 . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ∈ V)
19183ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝐼 ∈ V)
2019adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐𝐼) → 𝐼 ∈ V)
216ffnd 6738 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
22213ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝑅 Fn 𝐼)
2322adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
24 simpl2 1191 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑌))
25 simpr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐𝐼) → 𝑐𝐼)
263, 14, 17, 20, 23, 24, 25prdsbasprj 17519 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐𝐼) → (𝑎𝑐) ∈ (Base‘(𝑅𝑐)))
27 simpl3 1192 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐𝐼) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑌))
283, 14, 17, 20, 23, 27, 25prdsbasprj 17519 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐𝐼) → (𝑏𝑐) ∈ (Base‘(𝑅𝑐)))
29 eqid 2735 . . . . . 6 (Base‘(𝑅𝑐)) = (Base‘(𝑅𝑐))
30 eqid 2735 . . . . . 6 (+g‘(𝑅𝑐)) = (+g‘(𝑅𝑐))
3129, 30cmncom 19831 . . . . 5 (((𝑅𝑐) ∈ CMnd ∧ (𝑎𝑐) ∈ (Base‘(𝑅𝑐)) ∧ (𝑏𝑐) ∈ (Base‘(𝑅𝑐))) → ((𝑎𝑐)(+g‘(𝑅𝑐))(𝑏𝑐)) = ((𝑏𝑐)(+g‘(𝑅𝑐))(𝑎𝑐)))
3213, 26, 28, 31syl3anc 1370 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐𝐼) → ((𝑎𝑐)(+g‘(𝑅𝑐))(𝑏𝑐)) = ((𝑏𝑐)(+g‘(𝑅𝑐))(𝑎𝑐)))
3332mpteq2dva 5248 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → (𝑐𝐼 ↦ ((𝑎𝑐)(+g‘(𝑅𝑐))(𝑏𝑐))) = (𝑐𝐼 ↦ ((𝑏𝑐)(+g‘(𝑅𝑐))(𝑎𝑐))))
34 simp2 1136 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑌))
35 simp3 1137 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑌))
36 eqid 2735 . . . 4 (+g𝑌) = (+g𝑌)
373, 14, 16, 19, 22, 34, 35, 36prdsplusgval 17520 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → (𝑎(+g𝑌)𝑏) = (𝑐𝐼 ↦ ((𝑎𝑐)(+g‘(𝑅𝑐))(𝑏𝑐))))
383, 14, 16, 19, 22, 35, 34, 36prdsplusgval 17520 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → (𝑏(+g𝑌)𝑎) = (𝑐𝐼 ↦ ((𝑏𝑐)(+g‘(𝑅𝑐))(𝑎𝑐))))
3933, 37, 383eqtr4d 2785 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → (𝑎(+g𝑌)𝑏) = (𝑏(+g𝑌)𝑎))
401, 2, 11, 39iscmnd 19827 1 (𝜑𝑌 ∈ CMnd)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  wss 3963  cmpt 5231   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  Xscprds 17492  Mndcmnd 18760  CMndccmn 19813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-prds 17494  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-cmn 19815
This theorem is referenced by:  prdsabld  19895  pwscmn  19896  prdsgsum  20014  prdscrngd  20336
  Copyright terms: Public domain W3C validator