Theorem prdscmnd 19836

Description: The product of a family of commutative monoids is commutative. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdscmnd.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdscmnd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdscmnd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdscmnd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶CMnd)

Assertion

Ref	Expression
prdscmnd	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ CMnd)

Proof of Theorem prdscmnd

Dummy variables 𝑐 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2737	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌))
2		eqidd 2737	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌))
3		prdscmnd.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
4		prdscmnd.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		prdscmnd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
6		prdscmnd.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶CMnd)
7		cmnmnd 19772	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ CMnd → 𝑎 ∈ Mnd)
8	7	ssriv 3925	. . . 4 ⊢ CMnd ⊆ Mnd
9		fss 6684	. . . 4 ⊢ ((𝑅:𝐼⟶CMnd ∧ CMnd ⊆ Mnd) → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
10	6, 8, 9	sylancl 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
11	3, 4, 5, 10	prdsmndd 18738	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Mnd)
12	6	3ad2ant1 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝑅:𝐼⟶CMnd)
13	12	ffvelcdmda 7036	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑐) ∈ CMnd)
14		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
15	5	elexd 3453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
16	15	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝑆 ∈ V)
17	16	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ V)
18	4	elexd 3453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
19	18	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝐼 ∈ V)
20	19	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ V)
21	6	ffnd 6669	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
22	21	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝑅 Fn 𝐼)
23	22	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
24		simpl2 1194	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑌))
25		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) → 𝑐 ∈ 𝐼)
26	3, 14, 17, 20, 23, 24, 25	prdsbasprj 17435	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) → (𝑎‘𝑐) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑐)))
27		simpl3 1195	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑌))
28	3, 14, 17, 20, 23, 27, 25	prdsbasprj 17435	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) → (𝑏‘𝑐) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑐)))
29		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑅‘𝑐)) = (Base‘(𝑅‘𝑐))
30		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(𝑅‘𝑐)) = (+g‘(𝑅‘𝑐))
31	29, 30	cmncom 19773	. . . . 5 ⊢ (((𝑅‘𝑐) ∈ CMnd ∧ (𝑎‘𝑐) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑐)) ∧ (𝑏‘𝑐) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑐))) → ((𝑎‘𝑐)(+g‘(𝑅‘𝑐))(𝑏‘𝑐)) = ((𝑏‘𝑐)(+g‘(𝑅‘𝑐))(𝑎‘𝑐)))
32	13, 26, 28, 31	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) → ((𝑎‘𝑐)(+g‘(𝑅‘𝑐))(𝑏‘𝑐)) = ((𝑏‘𝑐)(+g‘(𝑅‘𝑐))(𝑎‘𝑐)))
33	32	mpteq2dva 5178	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → (𝑐 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑐)(+g‘(𝑅‘𝑐))(𝑏‘𝑐))) = (𝑐 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑐)(+g‘(𝑅‘𝑐))(𝑎‘𝑐))))
34		simp2 1138	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑌))
35		simp3 1139	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑌))
36		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌)
37	3, 14, 16, 19, 22, 34, 35, 36	prdsplusgval 17436	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → (𝑎(+g‘𝑌)𝑏) = (𝑐 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑐)(+g‘(𝑅‘𝑐))(𝑏‘𝑐))))
38	3, 14, 16, 19, 22, 35, 34, 36	prdsplusgval 17436	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → (𝑏(+g‘𝑌)𝑎) = (𝑐 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑐)(+g‘(𝑅‘𝑐))(𝑎‘𝑐))))
39	33, 37, 38	3eqtr4d 2781	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → (𝑎(+g‘𝑌)𝑏) = (𝑏(+g‘𝑌)𝑎))
40	1, 2, 11, 39	iscmnd 19769	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ CMnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   ⊆ wss 3889   ↦ cmpt 5166   Fn wfn 6493  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  X_scprds 17408  Mndcmnd 18702  CMndccmn 19755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-prds 17410  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-cmn 19757

This theorem is referenced by:  prdsabld  19837  pwscmn  19838  prdsgsum  19956  prdscrngd  20301