MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsum2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsum2d 19749
Description: Write a sum over a two-dimensional region as a double sum. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by AV, 8-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsum2d.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsum2d.z 0 = (0g𝐺)
gsum2d.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsum2d.a (𝜑𝐴𝑉)
gsum2d.r (𝜑 → Rel 𝐴)
gsum2d.d (𝜑𝐷𝑊)
gsum2d.s (𝜑 → dom 𝐴𝐷)
gsum2d.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
gsum2d.w (𝜑𝐹 finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsum2d (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝑗,𝐹,𝑘   𝑗,𝐺,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝐵,𝑗,𝑘   𝐷,𝑗,𝑘   0 ,𝑗,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑗,𝑘)   𝑊(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem gsum2d
StepHypRef Expression
1 gsum2d.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsum2d.z . . 3 0 = (0g𝐺)
3 gsum2d.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4 gsum2d.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
5 gsum2d.r . . 3 (𝜑 → Rel 𝐴)
6 gsum2d.d . . 3 (𝜑𝐷𝑊)
7 gsum2d.s . . 3 (𝜑 → dom 𝐴𝐷)
8 gsum2d.f . . 3 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
9 gsum2d.w . . 3 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9gsum2dlem2 19748 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ↾ dom (𝐹 supp 0 )))) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ dom (𝐹 supp 0 ) ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
11 suppssdm 8108 . . . . . 6 (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐹
1211, 8fssdm 6688 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
13 relss 5737 . . . . . . 7 ((𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴 → (Rel 𝐴 → Rel (𝐹 supp 0 )))
1412, 5, 13sylc 65 . . . . . 6 (𝜑 → Rel (𝐹 supp 0 ))
15 relssdmrn 6220 . . . . . . 7 (Rel (𝐹 supp 0 ) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (dom (𝐹 supp 0 ) × ran (𝐹 supp 0 )))
16 ssv 3968 . . . . . . . 8 ran (𝐹 supp 0 ) ⊆ V
17 xpss2 5653 . . . . . . . 8 (ran (𝐹 supp 0 ) ⊆ V → (dom (𝐹 supp 0 ) × ran (𝐹 supp 0 )) ⊆ (dom (𝐹 supp 0 ) × V))
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . 7 (dom (𝐹 supp 0 ) × ran (𝐹 supp 0 )) ⊆ (dom (𝐹 supp 0 ) × V)
1915, 18sstrdi 3956 . . . . . 6 (Rel (𝐹 supp 0 ) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (dom (𝐹 supp 0 ) × V))
2014, 19syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (dom (𝐹 supp 0 ) × V))
2112, 20ssind 4192 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐴 ∩ (dom (𝐹 supp 0 ) × V)))
22 df-res 5645 . . . 4 (𝐴 ↾ dom (𝐹 supp 0 )) = (𝐴 ∩ (dom (𝐹 supp 0 ) × V))
2321, 22sseqtrrdi 3995 . . 3 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐴 ↾ dom (𝐹 supp 0 )))
241, 2, 3, 4, 8, 23, 9gsumres 19690 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ↾ dom (𝐹 supp 0 )))) = (𝐺 Σg 𝐹))
25 dmss 5858 . . . . . . 7 ((𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴 → dom (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐴)
2612, 25syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐴)
2726, 7sstrd 3954 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐷)
2827resmptd 5994 . . . 4 (𝜑 → ((𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) ↾ dom (𝐹 supp 0 )) = (𝑗 ∈ dom (𝐹 supp 0 ) ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))))
2928oveq2d 7373 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) ↾ dom (𝐹 supp 0 ))) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ dom (𝐹 supp 0 ) ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9gsum2dlem1 19747 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))) ∈ 𝐵)
3130adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝐷) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))) ∈ 𝐵)
3231fmpttd 7063 . . . 4 (𝜑 → (𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))):𝐷𝐵)
33 vex 3449 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗 ∈ V
34 vex 3449 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘 ∈ V
3533, 34elimasn 6041 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↔ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝐴)
3635biimpi 215 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝐴)
3736ad2antll 727 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 )) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}))) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝐴)
38 eldifn 4087 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 )) → ¬ 𝑗 ∈ dom (𝐹 supp 0 ))
3938ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 )) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}))) → ¬ 𝑗 ∈ dom (𝐹 supp 0 ))
4033, 34opeldm 5863 . . . . . . . . . . . 12 (⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 ) → 𝑗 ∈ dom (𝐹 supp 0 ))
4139, 40nsyl 140 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 )) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}))) → ¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 ))
4237, 41eldifd 3921 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 )) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}))) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0 )))
43 df-ov 7360 . . . . . . . . . . 11 (𝑗𝐹𝑘) = (𝐹‘⟨𝑗, 𝑘⟩)
44 ssidd 3967 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
452fvexi 6856 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑0 ∈ V)
478, 44, 4, 46suppssr 8127 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0 ))) → (𝐹‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = 0 )
4843, 47eqtrid 2788 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0 ))) → (𝑗𝐹𝑘) = 0 )
4942, 48syldan 591 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 )) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}))) → (𝑗𝐹𝑘) = 0 )
5049anassrs 468 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 ))) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗})) → (𝑗𝐹𝑘) = 0 )
5150mpteq2dva 5205 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 ))) → (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)) = (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ 0 ))
5251oveq2d 7373 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 ))) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ 0 )))
53 cmnmnd 19579 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
543, 53syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
55 imaexg 7852 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑉 → (𝐴 “ {𝑗}) ∈ V)
564, 55syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 “ {𝑗}) ∈ V)
572gsumz 18646 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐴 “ {𝑗}) ∈ V) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ 0 )) = 0 )
5854, 56, 57syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ 0 )) = 0 )
5958adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 ))) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ 0 )) = 0 )
6052, 59eqtrd 2776 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 ))) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))) = 0 )
6160, 6suppss2 8131 . . . 4 (𝜑 → ((𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) supp 0 ) ⊆ dom (𝐹 supp 0 ))
62 funmpt 6539 . . . . . 6 Fun (𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))
6362a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → Fun (𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))))
649fsuppimpd 9312 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
65 dmfi 9274 . . . . . . 7 ((𝐹 supp 0 ) ∈ Fin → dom (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
6664, 65syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
6766, 61ssfid 9211 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) supp 0 ) ∈ Fin)
686mptexd 7174 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) ∈ V)
69 isfsupp 9309 . . . . . 6 (((𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) finSupp 0 ↔ (Fun (𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) ∧ ((𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) supp 0 ) ∈ Fin)))
7068, 46, 69syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) finSupp 0 ↔ (Fun (𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) ∧ ((𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) supp 0 ) ∈ Fin)))
7163, 67, 70mpbir2and 711 . . . 4 (𝜑 → (𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) finSupp 0 )
721, 2, 3, 6, 32, 61, 71gsumres 19690 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) ↾ dom (𝐹 supp 0 ))) = (𝐺 Σg (𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
7329, 72eqtr3d 2778 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ dom (𝐹 supp 0 ) ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))) = (𝐺 Σg (𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
7410, 24, 733eqtr3d 2784 1 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445  cdif 3907  cin 3909  wss 3910  {csn 4586  cop 4592   class class class wbr 5105  cmpt 5188   × cxp 5631  dom cdm 5633  ran crn 5634  cres 5635  cima 5636  Rel wrel 5638  Fun wfun 6490  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357   supp csupp 8092  Fincfn 8883   finSupp cfsupp 9305  Basecbs 17083  0gc0g 17321   Σg cgsu 17322  Mndcmnd 18556  CMndccmn 19562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564
This theorem is referenced by:  gsum2d2  19751  gsumxp  19753  gsumpart  31897
  Copyright terms: Public domain W3C validator