Theorem gsum2d 19945

Description: Write a sum over a two-dimensional region as a double sum. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by AV, 8-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsum2d.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsum2d.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsum2d.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsum2d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsum2d.r	⊢ (𝜑 → Rel 𝐴)
gsum2d.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
gsum2d.s	⊢ (𝜑 → dom 𝐴 ⊆ 𝐷)
gsum2d.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
gsum2d.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsum2d	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝑗,𝐹,𝑘   𝑗,𝐺,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝐵,𝑗,𝑘   𝐷,𝑗,𝑘   0 ,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑗,𝑘)   𝑊(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem gsum2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsum2d.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsum2d.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsum2d.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsum2d.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		gsum2d.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → Rel 𝐴)
6		gsum2d.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
7		gsum2d.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 ⊆ 𝐷)
8		gsum2d.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
9		gsum2d.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	gsum2dlem2 19944	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ↾ dom (𝐹 supp 0 )))) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ dom (𝐹 supp 0 ) ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
11		suppssdm 8124	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐹
12	11, 8	fssdm 6681	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
13		relss 5732	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴 → (Rel 𝐴 → Rel (𝐹 supp 0 )))
14	12, 5, 13	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Rel (𝐹 supp 0 ))
15		relssdmrn 6227	. . . . . . 7 ⊢ (Rel (𝐹 supp 0 ) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (dom (𝐹 supp 0 ) × ran (𝐹 supp 0 )))
16		ssv 3946	. . . . . . . 8 ⊢ ran (𝐹 supp 0 ) ⊆ V
17		xpss2 5645	. . . . . . . 8 ⊢ (ran (𝐹 supp 0 ) ⊆ V → (dom (𝐹 supp 0 ) × ran (𝐹 supp 0 )) ⊆ (dom (𝐹 supp 0 ) × V))
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (dom (𝐹 supp 0 ) × ran (𝐹 supp 0 )) ⊆ (dom (𝐹 supp 0 ) × V)
19	15, 18	sstrdi 3934	. . . . . 6 ⊢ (Rel (𝐹 supp 0 ) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (dom (𝐹 supp 0 ) × V))
20	14, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (dom (𝐹 supp 0 ) × V))
21	12, 20	ssind 4176	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐴 ∩ (dom (𝐹 supp 0 ) × V)))
22		df-res 5637	. . . 4 ⊢ (𝐴 ↾ dom (𝐹 supp 0 )) = (𝐴 ∩ (dom (𝐹 supp 0 ) × V))
23	21, 22	sseqtrrdi 3963	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐴 ↾ dom (𝐹 supp 0 )))
24	1, 2, 3, 4, 8, 23, 9	gsumres 19886	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ↾ dom (𝐹 supp 0 )))) = (𝐺 Σg 𝐹))
25		dmss 5851	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴 → dom (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐴)
26	12, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐴)
27	26, 7	sstrd 3932	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐷)
28	27	resmptd 5999	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) ↾ dom (𝐹 supp 0 )) = (𝑗 ∈ dom (𝐹 supp 0 ) ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))))
29	28	oveq2d 7379	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) ↾ dom (𝐹 supp 0 ))) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ dom (𝐹 supp 0 ) ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
30	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	gsum2dlem1 19943	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))) ∈ 𝐵)
31	30	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))) ∈ 𝐵)
32	31	fmpttd 7063	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))):𝐷⟶𝐵)
33		vex 3436	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑗 ∈ V
34		vex 3436	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑘 ∈ V
35	33, 34	elimasn 6049	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↔ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝐴)
36	35	biimpi 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝐴)
37	36	ad2antll 735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 )) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}))) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝐴)
38		eldifn 4069	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 )) → ¬ 𝑗 ∈ dom (𝐹 supp 0 ))
39	38	ad2antrl 734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 )) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}))) → ¬ 𝑗 ∈ dom (𝐹 supp 0 ))
40	33, 34	opeldm 5856	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 ) → 𝑗 ∈ dom (𝐹 supp 0 ))
41	39, 40	nsyl 140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 )) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}))) → ¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 ))
42	37, 41	eldifd 3901	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 )) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}))) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0 )))
43		df-ov 7366	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗𝐹𝑘) = (𝐹‘⟨𝑗, 𝑘⟩)
44		ssidd 3945	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
45	2	fvexi 6848	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ V
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
47	8, 44, 4, 46	suppssr 8142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0 ))) → (𝐹‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = 0 )
48	43, 47	eqtrid 2787	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0 ))) → (𝑗𝐹𝑘) = 0 )
49	42, 48	syldan 597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 )) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}))) → (𝑗𝐹𝑘) = 0 )
50	49	anassrs 468	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 ))) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗})) → (𝑗𝐹𝑘) = 0 )
51	50	mpteq2dva 5172	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 ))) → (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)) = (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ 0 ))
52	51	oveq2d 7379	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 ))) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ 0 )))
53		cmnmnd 19770	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
54	3, 53	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
55		imaexg 7860	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 “ {𝑗}) ∈ V)
56	4, 55	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 “ {𝑗}) ∈ V)
57	2	gsumz 18802	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐴 “ {𝑗}) ∈ V) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ 0 )) = 0 )
58	54, 56, 57	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ 0 )) = 0 )
59	58	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 ))) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ 0 )) = 0 )
60	52, 59	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 ))) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))) = 0 )
61	60, 6	suppss2 8147	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) supp 0 ) ⊆ dom (𝐹 supp 0 ))
62		funmpt 6530	. . . . . 6 ⊢ Fun (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))
63	62	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))))
64	9	fsuppimpd 9279	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
65		dmfi 9242	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 supp 0 ) ∈ Fin → dom (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
66	64, 65	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
67	66, 61	ssfid 9176	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) supp 0 ) ∈ Fin)
68	6	mptexd 7175	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) ∈ V)
69		isfsupp 9275	. . . . . 6 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) finSupp 0 ↔ (Fun (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) ∧ ((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) supp 0 ) ∈ Fin)))
70	68, 46, 69	syl2anc 590	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) finSupp 0 ↔ (Fun (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) ∧ ((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) supp 0 ) ∈ Fin)))
71	63, 67, 70	mpbir2and 719	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) finSupp 0 )
72	1, 2, 3, 6, 32, 61, 71	gsumres 19886	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) ↾ dom (𝐹 supp 0 ))) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
73	29, 72	eqtr3d 2777	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ dom (𝐹 supp 0 ) ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
74	10, 24, 73	3eqtr3d 2783	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3432   ∖ cdif 3887   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  {csn 4562  ⟨cop 4568   class class class wbr 5079   ↦ cmpt 5160   × cxp 5623  dom cdm 5625  ran crn 5626   ↾ cres 5627   “ cima 5628  Rel wrel 5630  Fun wfun 6486  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   supp csupp 8107  Fincfn 8890   finSupp cfsupp 9271  Basecbs 17177  0_gc0g 17400   Σ_g cgsu 17401  Mndcmnd 18700  CMndccmn 19753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-oi 9422  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-seq 13962  df-hash 14291  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-submnd 18750  df-mulg 19042  df-cntz 19290  df-cmn 19755

This theorem is referenced by:  gsum2d2  19947  gsumxp  19949  gsumpart  33151