MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsum2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsum2d 19756
Description: Write a sum over a two-dimensional region as a double sum. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by AV, 8-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsum2d.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsum2d.z 0 = (0g𝐺)
gsum2d.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsum2d.a (𝜑𝐴𝑉)
gsum2d.r (𝜑 → Rel 𝐴)
gsum2d.d (𝜑𝐷𝑊)
gsum2d.s (𝜑 → dom 𝐴𝐷)
gsum2d.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
gsum2d.w (𝜑𝐹 finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsum2d (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝑗,𝐹,𝑘   𝑗,𝐺,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝐵,𝑗,𝑘   𝐷,𝑗,𝑘   0 ,𝑗,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑗,𝑘)   𝑊(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem gsum2d
StepHypRef Expression
1 gsum2d.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsum2d.z . . 3 0 = (0g𝐺)
3 gsum2d.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4 gsum2d.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
5 gsum2d.r . . 3 (𝜑 → Rel 𝐴)
6 gsum2d.d . . 3 (𝜑𝐷𝑊)
7 gsum2d.s . . 3 (𝜑 → dom 𝐴𝐷)
8 gsum2d.f . . 3 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
9 gsum2d.w . . 3 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9gsum2dlem2 19755 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ↾ dom (𝐹 supp 0 )))) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ dom (𝐹 supp 0 ) ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
11 suppssdm 8113 . . . . . 6 (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐹
1211, 8fssdm 6693 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
13 relss 5742 . . . . . . 7 ((𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴 → (Rel 𝐴 → Rel (𝐹 supp 0 )))
1412, 5, 13sylc 65 . . . . . 6 (𝜑 → Rel (𝐹 supp 0 ))
15 relssdmrn 6225 . . . . . . 7 (Rel (𝐹 supp 0 ) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (dom (𝐹 supp 0 ) × ran (𝐹 supp 0 )))
16 ssv 3973 . . . . . . . 8 ran (𝐹 supp 0 ) ⊆ V
17 xpss2 5658 . . . . . . . 8 (ran (𝐹 supp 0 ) ⊆ V → (dom (𝐹 supp 0 ) × ran (𝐹 supp 0 )) ⊆ (dom (𝐹 supp 0 ) × V))
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . 7 (dom (𝐹 supp 0 ) × ran (𝐹 supp 0 )) ⊆ (dom (𝐹 supp 0 ) × V)
1915, 18sstrdi 3961 . . . . . 6 (Rel (𝐹 supp 0 ) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (dom (𝐹 supp 0 ) × V))
2014, 19syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (dom (𝐹 supp 0 ) × V))
2112, 20ssind 4197 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐴 ∩ (dom (𝐹 supp 0 ) × V)))
22 df-res 5650 . . . 4 (𝐴 ↾ dom (𝐹 supp 0 )) = (𝐴 ∩ (dom (𝐹 supp 0 ) × V))
2321, 22sseqtrrdi 4000 . . 3 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐴 ↾ dom (𝐹 supp 0 )))
241, 2, 3, 4, 8, 23, 9gsumres 19697 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ↾ dom (𝐹 supp 0 )))) = (𝐺 Σg 𝐹))
25 dmss 5863 . . . . . . 7 ((𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴 → dom (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐴)
2612, 25syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐴)
2726, 7sstrd 3959 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐷)
2827resmptd 5999 . . . 4 (𝜑 → ((𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) ↾ dom (𝐹 supp 0 )) = (𝑗 ∈ dom (𝐹 supp 0 ) ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))))
2928oveq2d 7378 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) ↾ dom (𝐹 supp 0 ))) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ dom (𝐹 supp 0 ) ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9gsum2dlem1 19754 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))) ∈ 𝐵)
3130adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝐷) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))) ∈ 𝐵)
3231fmpttd 7068 . . . 4 (𝜑 → (𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))):𝐷𝐵)
33 vex 3452 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗 ∈ V
34 vex 3452 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘 ∈ V
3533, 34elimasn 6046 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↔ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝐴)
3635biimpi 215 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝐴)
3736ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 )) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}))) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝐴)
38 eldifn 4092 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 )) → ¬ 𝑗 ∈ dom (𝐹 supp 0 ))
3938ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 )) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}))) → ¬ 𝑗 ∈ dom (𝐹 supp 0 ))
4033, 34opeldm 5868 . . . . . . . . . . . 12 (⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 ) → 𝑗 ∈ dom (𝐹 supp 0 ))
4139, 40nsyl 140 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 )) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}))) → ¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 ))
4237, 41eldifd 3926 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 )) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}))) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0 )))
43 df-ov 7365 . . . . . . . . . . 11 (𝑗𝐹𝑘) = (𝐹‘⟨𝑗, 𝑘⟩)
44 ssidd 3972 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
452fvexi 6861 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑0 ∈ V)
478, 44, 4, 46suppssr 8132 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0 ))) → (𝐹‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = 0 )
4843, 47eqtrid 2789 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0 ))) → (𝑗𝐹𝑘) = 0 )
4942, 48syldan 592 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 )) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}))) → (𝑗𝐹𝑘) = 0 )
5049anassrs 469 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 ))) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗})) → (𝑗𝐹𝑘) = 0 )
5150mpteq2dva 5210 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 ))) → (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)) = (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ 0 ))
5251oveq2d 7378 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 ))) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ 0 )))
53 cmnmnd 19586 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
543, 53syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
55 imaexg 7857 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑉 → (𝐴 “ {𝑗}) ∈ V)
564, 55syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 “ {𝑗}) ∈ V)
572gsumz 18653 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐴 “ {𝑗}) ∈ V) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ 0 )) = 0 )
5854, 56, 57syl2anc 585 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ 0 )) = 0 )
5958adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 ))) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ 0 )) = 0 )
6052, 59eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 ))) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))) = 0 )
6160, 6suppss2 8136 . . . 4 (𝜑 → ((𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) supp 0 ) ⊆ dom (𝐹 supp 0 ))
62 funmpt 6544 . . . . . 6 Fun (𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))
6362a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → Fun (𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))))
649fsuppimpd 9319 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
65 dmfi 9281 . . . . . . 7 ((𝐹 supp 0 ) ∈ Fin → dom (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
6664, 65syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
6766, 61ssfid 9218 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) supp 0 ) ∈ Fin)
686mptexd 7179 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) ∈ V)
69 isfsupp 9316 . . . . . 6 (((𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) finSupp 0 ↔ (Fun (𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) ∧ ((𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) supp 0 ) ∈ Fin)))
7068, 46, 69syl2anc 585 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) finSupp 0 ↔ (Fun (𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) ∧ ((𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) supp 0 ) ∈ Fin)))
7163, 67, 70mpbir2and 712 . . . 4 (𝜑 → (𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) finSupp 0 )
721, 2, 3, 6, 32, 61, 71gsumres 19697 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) ↾ dom (𝐹 supp 0 ))) = (𝐺 Σg (𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
7329, 72eqtr3d 2779 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ dom (𝐹 supp 0 ) ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))) = (𝐺 Σg (𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
7410, 24, 733eqtr3d 2785 1 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3448  cdif 3912  cin 3914  wss 3915  {csn 4591  cop 4597   class class class wbr 5110  cmpt 5193   × cxp 5636  dom cdm 5638  ran crn 5639  cres 5640  cima 5641  Rel wrel 5643  Fun wfun 6495  wf 6497  cfv 6501  (class class class)co 7362   supp csupp 8097  Fincfn 8890   finSupp cfsupp 9312  Basecbs 17090  0gc0g 17328   Σg cgsu 17329  Mndcmnd 18563  CMndccmn 19569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-hash 14238  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571
This theorem is referenced by:  gsum2d2  19758  gsumxp  19760  gsumpart  31939
  Copyright terms: Public domain W3C validator