Theorem gsum2d 18839

Description: Write a sum over a two-dimensional region as a double sum. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by AV, 8-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsum2d.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsum2d.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsum2d.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsum2d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsum2d.r	⊢ (𝜑 → Rel 𝐴)
gsum2d.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
gsum2d.s	⊢ (𝜑 → dom 𝐴 ⊆ 𝐷)
gsum2d.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
gsum2d.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsum2d	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝑗,𝐹,𝑘   𝑗,𝐺,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝐵,𝑗,𝑘   𝐷,𝑗,𝑘   0 ,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑗,𝑘)   𝑊(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem gsum2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsum2d.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsum2d.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsum2d.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsum2d.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		gsum2d.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → Rel 𝐴)
6		gsum2d.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
7		gsum2d.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 ⊆ 𝐷)
8		gsum2d.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
9		gsum2d.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	gsum2dlem2 18838	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ↾ dom (𝐹 supp 0 )))) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ dom (𝐹 supp 0 ) ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
11		suppssdm 7643	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐹
12	11, 8	fssdm 6358	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
13		relss 5503	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴 → (Rel 𝐴 → Rel (𝐹 supp 0 )))
14	12, 5, 13	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Rel (𝐹 supp 0 ))
15		relssdmrn 5957	. . . . . . 7 ⊢ (Rel (𝐹 supp 0 ) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (dom (𝐹 supp 0 ) × ran (𝐹 supp 0 )))
16		ssv 3880	. . . . . . . 8 ⊢ ran (𝐹 supp 0 ) ⊆ V
17		xpss2 5424	. . . . . . . 8 ⊢ (ran (𝐹 supp 0 ) ⊆ V → (dom (𝐹 supp 0 ) × ran (𝐹 supp 0 )) ⊆ (dom (𝐹 supp 0 ) × V))
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (dom (𝐹 supp 0 ) × ran (𝐹 supp 0 )) ⊆ (dom (𝐹 supp 0 ) × V)
19	15, 18	syl6ss 3869	. . . . . 6 ⊢ (Rel (𝐹 supp 0 ) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (dom (𝐹 supp 0 ) × V))
20	14, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (dom (𝐹 supp 0 ) × V))
21	12, 20	ssind 4095	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐴 ∩ (dom (𝐹 supp 0 ) × V)))
22		df-res 5416	. . . 4 ⊢ (𝐴 ↾ dom (𝐹 supp 0 )) = (𝐴 ∩ (dom (𝐹 supp 0 ) × V))
23	21, 22	syl6sseqr 3907	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐴 ↾ dom (𝐹 supp 0 )))
24	1, 2, 3, 4, 8, 23, 9	gsumres 18781	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ↾ dom (𝐹 supp 0 )))) = (𝐺 Σg 𝐹))
25		dmss 5618	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴 → dom (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐴)
26	12, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐴)
27	26, 7	sstrd 3867	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐷)
28	27	resmptd 5751	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) ↾ dom (𝐹 supp 0 )) = (𝑗 ∈ dom (𝐹 supp 0 ) ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))))
29	28	oveq2d 6990	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) ↾ dom (𝐹 supp 0 ))) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ dom (𝐹 supp 0 ) ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
30	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	gsum2dlem1 18837	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))) ∈ 𝐵)
31	30	adantr 473	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))) ∈ 𝐵)
32	31	fmpttd 6700	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))):𝐷⟶𝐵)
33		vex 3415	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑗 ∈ V
34		vex 3415	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑘 ∈ V
35	33, 34	elimasn 5792	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↔ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝐴)
36	35	biimpi 208	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝐴)
37	36	ad2antll 716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 )) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}))) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝐴)
38		eldifn 3993	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 )) → ¬ 𝑗 ∈ dom (𝐹 supp 0 ))
39	38	ad2antrl 715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 )) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}))) → ¬ 𝑗 ∈ dom (𝐹 supp 0 ))
40	33, 34	opeldm 5623	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 ) → 𝑗 ∈ dom (𝐹 supp 0 ))
41	39, 40	nsyl 138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 )) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}))) → ¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 ))
42	37, 41	eldifd 3839	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 )) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}))) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0 )))
43		df-ov 6977	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗𝐹𝑘) = (𝐹‘⟨𝑗, 𝑘⟩)
44		ssidd 3879	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
45	2	fvexi 6511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ V
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
47	8, 44, 4, 46	suppssr 7661	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0 ))) → (𝐹‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = 0 )
48	43, 47	syl5eq 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0 ))) → (𝑗𝐹𝑘) = 0 )
49	42, 48	syldan 582	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 )) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}))) → (𝑗𝐹𝑘) = 0 )
50	49	anassrs 460	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 ))) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗})) → (𝑗𝐹𝑘) = 0 )
51	50	mpteq2dva 5020	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 ))) → (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)) = (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ 0 ))
52	51	oveq2d 6990	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 ))) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ 0 )))
53		cmnmnd 18675	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
54	3, 53	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
55		imaexg 7433	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 “ {𝑗}) ∈ V)
56	4, 55	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 “ {𝑗}) ∈ V)
57	2	gsumz 17836	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐴 “ {𝑗}) ∈ V) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ 0 )) = 0 )
58	54, 56, 57	syl2anc 576	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ 0 )) = 0 )
59	58	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 ))) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ 0 )) = 0 )
60	52, 59	eqtrd 2811	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 ))) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))) = 0 )
61	60, 6	suppss2 7664	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) supp 0 ) ⊆ dom (𝐹 supp 0 ))
62		funmpt 6224	. . . . . 6 ⊢ Fun (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))
63	62	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))))
64	9	fsuppimpd 8631	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
65		dmfi 8593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 supp 0 ) ∈ Fin → dom (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
66	64, 65	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
67	66, 61	ssfid 8532	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) supp 0 ) ∈ Fin)
68	6	mptexd 6811	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) ∈ V)
69		isfsupp 8628	. . . . . 6 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) finSupp 0 ↔ (Fun (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) ∧ ((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) supp 0 ) ∈ Fin)))
70	68, 46, 69	syl2anc 576	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) finSupp 0 ↔ (Fun (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) ∧ ((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) supp 0 ) ∈ Fin)))
71	63, 67, 70	mpbir2and 700	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) finSupp 0 )
72	1, 2, 3, 6, 32, 61, 71	gsumres 18781	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) ↾ dom (𝐹 supp 0 ))) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
73	29, 72	eqtr3d 2813	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ dom (𝐹 supp 0 ) ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
74	10, 24, 73	3eqtr3d 2819	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2048  Vcvv 3412   ∖ cdif 3825   ∩ cin 3827   ⊆ wss 3828  {csn 4439  ⟨cop 4445   class class class wbr 4927   ↦ cmpt 5006   × cxp 5402  dom cdm 5404  ran crn 5405   ↾ cres 5406   “ cima 5407  Rel wrel 5409  Fun wfun 6180  ⟶wf 6182  ‘cfv 6186  (class class class)co 6974   supp csupp 7630  Fincfn 8302   finSupp cfsupp 8624  Basecbs 16333  0_gc0g 16563   Σ_g cgsu 16564  Mndcmnd 17756  CMndccmn 18660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2747  ax-rep 5047  ax-sep 5058  ax-nul 5065  ax-pow 5117  ax-pr 5184  ax-un 7277  ax-cnex 10387  ax-resscn 10388  ax-1cn 10389  ax-icn 10390  ax-addcl 10391  ax-addrcl 10392  ax-mulcl 10393  ax-mulrcl 10394  ax-mulcom 10395  ax-addass 10396  ax-mulass 10397  ax-distr 10398  ax-i2m1 10399  ax-1ne0 10400  ax-1rid 10401  ax-rnegex 10402  ax-rrecex 10403  ax-cnre 10404  ax-pre-lttri 10405  ax-pre-lttrn 10406  ax-pre-ltadd 10407  ax-pre-mulgt0 10408

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2756  df-cleq 2768  df-clel 2843  df-nfc 2915  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3090  df-rex 3091  df-reu 3092  df-rmo 3093  df-rab 3094  df-v 3414  df-sbc 3681  df-csb 3786  df-dif 3831  df-un 3833  df-in 3835  df-ss 3842  df-pss 3844  df-nul 4178  df-if 4349  df-pw 4422  df-sn 4440  df-pr 4442  df-tp 4444  df-op 4446  df-uni 4711  df-int 4748  df-iun 4792  df-iin 4793  df-br 4928  df-opab 4990  df-mpt 5007  df-tr 5029  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-se 5364  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-isom 6195  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-of 7225  df-om 7395  df-1st 7498  df-2nd 7499  df-supp 7631  df-wrecs 7747  df-recs 7809  df-rdg 7847  df-1o 7901  df-oadd 7905  df-er 8085  df-en 8303  df-dom 8304  df-sdom 8305  df-fin 8306  df-fsupp 8625  df-oi 8765  df-card 9158  df-pnf 10472  df-mnf 10473  df-xr 10474  df-ltxr 10475  df-le 10476  df-sub 10668  df-neg 10669  df-nn 11436  df-2 11500  df-n0 11705  df-z 11791  df-uz 12056  df-fz 12706  df-fzo 12847  df-seq 13182  df-hash 13503  df-ndx 16336  df-slot 16337  df-base 16339  df-sets 16340  df-ress 16341  df-plusg 16428  df-0g 16565  df-gsum 16566  df-mre 16709  df-mrc 16710  df-acs 16712  df-mgm 17704  df-sgrp 17746  df-mnd 17757  df-submnd 17798  df-mulg 18006  df-cntz 18212  df-cmn 18662

This theorem is referenced by:  gsum2d2  18841  gsumxp  18843