Theorem gsum2d 20030

Description: Write a sum over a two-dimensional region as a double sum. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by AV, 8-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsum2d.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsum2d.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsum2d.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsum2d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsum2d.r	⊢ (𝜑 → Rel 𝐴)
gsum2d.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
gsum2d.s	⊢ (𝜑 → dom 𝐴 ⊆ 𝐷)
gsum2d.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
gsum2d.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsum2d	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝑗,𝐹,𝑘   𝑗,𝐺,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝐵,𝑗,𝑘   𝐷,𝑗,𝑘   0 ,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑗,𝑘)   𝑊(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem gsum2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsum2d.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsum2d.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsum2d.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsum2d.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		gsum2d.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → Rel 𝐴)
6		gsum2d.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
7		gsum2d.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 ⊆ 𝐷)
8		gsum2d.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
9		gsum2d.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	gsum2dlem2 20029	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ↾ dom (𝐹 supp 0 )))) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ dom (𝐹 supp 0 ) ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
11		suppssdm 8161	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐹
12	11, 8	fssdm 6715	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
13		relss 5758	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴 → (Rel 𝐴 → Rel (𝐹 supp 0 )))
14	12, 5, 13	sylc 66	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Rel (𝐹 supp 0 ))
15		relssdmrn 6259	. . . . . . 7 ⊢ (Rel (𝐹 supp 0 ) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (dom (𝐹 supp 0 ) × ran (𝐹 supp 0 )))
16		ssv 3963	. . . . . . . 8 ⊢ ran (𝐹 supp 0 ) ⊆ V
17		xpss2 5671	. . . . . . . 8 ⊢ (ran (𝐹 supp 0 ) ⊆ V → (dom (𝐹 supp 0 ) × ran (𝐹 supp 0 )) ⊆ (dom (𝐹 supp 0 ) × V))
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (dom (𝐹 supp 0 ) × ran (𝐹 supp 0 )) ⊆ (dom (𝐹 supp 0 ) × V)
19	15, 18	sstrdi 3951	. . . . . 6 ⊢ (Rel (𝐹 supp 0 ) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (dom (𝐹 supp 0 ) × V))
20	14, 19	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (dom (𝐹 supp 0 ) × V))
21	12, 20	ssind 4195	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐴 ∩ (dom (𝐹 supp 0 ) × V)))
22		df-res 5663	. . . 4 ⊢ (𝐴 ↾ dom (𝐹 supp 0 )) = (𝐴 ∩ (dom (𝐹 supp 0 ) × V))
23	21, 22	sseqtrrdi 3980	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐴 ↾ dom (𝐹 supp 0 )))
24	1, 2, 3, 4, 8, 23, 9	gsumres 19971	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ↾ dom (𝐹 supp 0 )))) = (𝐺 Σg 𝐹))
25		dmss 5882	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴 → dom (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐴)
26	12, 25	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐴)
27	26, 7	sstrd 3949	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐷)
28	27	resmptd 6032	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) ↾ dom (𝐹 supp 0 )) = (𝑗 ∈ dom (𝐹 supp 0 ) ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))))
29	28	oveq2d 7416	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) ↾ dom (𝐹 supp 0 ))) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ dom (𝐹 supp 0 ) ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
30	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	gsum2dlem1 20028	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))) ∈ 𝐵)
31	30	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))) ∈ 𝐵)
32	31	fmpttd 7100	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))):𝐷⟶𝐵)
33		vex 3461	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑗 ∈ V
34		vex 3461	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑘 ∈ V
35	33, 34	elimasn 6082	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↔ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝐴)
36	35	biimpi 219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝐴)
37	36	ad2antll 741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 )) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}))) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝐴)
38		eldifn 4088	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 )) → ¬ 𝑗 ∈ dom (𝐹 supp 0 ))
39	38	ad2antrl 740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 )) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}))) → ¬ 𝑗 ∈ dom (𝐹 supp 0 ))
40	33, 34	opeldm 5887	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 ) → 𝑗 ∈ dom (𝐹 supp 0 ))
41	39, 40	nsyl 141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 )) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}))) → ¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 ))
42	37, 41	eldifd 3918	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 )) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}))) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0 )))
43		df-ov 7403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗𝐹𝑘) = (𝐹‘⟨𝑗, 𝑘⟩)
44		ssidd 3962	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
45	2	fvexi 6885	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ V
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
47	8, 44, 4, 46	suppssr 8179	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0 ))) → (𝐹‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = 0 )
48	43, 47	eqtrid 2812	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0 ))) → (𝑗𝐹𝑘) = 0 )
49	42, 48	syldan 602	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 )) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}))) → (𝑗𝐹𝑘) = 0 )
50	49	anassrs 472	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 ))) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗})) → (𝑗𝐹𝑘) = 0 )
51	50	mpteq2dva 5197	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 ))) → (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)) = (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ 0 ))
52	51	oveq2d 7416	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 ))) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ 0 )))
53		cmnmnd 19855	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
54	3, 53	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
55		imaexg 7898	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 “ {𝑗}) ∈ V)
56	4, 55	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 “ {𝑗}) ∈ V)
57	2	gsumz 18883	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐴 “ {𝑗}) ∈ V) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ 0 )) = 0 )
58	54, 56, 57	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ 0 )) = 0 )
59	58	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 ))) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ 0 )) = 0 )
60	52, 59	eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 ))) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))) = 0 )
61	60, 6	suppss2 8184	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) supp 0 ) ⊆ dom (𝐹 supp 0 ))
62		funmpt 6563	. . . . . 6 ⊢ Fun (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))
63	62	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))))
64	9	fsuppimpd 9317	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
65		dmfi 9280	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 supp 0 ) ∈ Fin → dom (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
66	64, 65	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
67	66, 61	ssfid 9217	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) supp 0 ) ∈ Fin)
68	6	mptexd 7212	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) ∈ V)
69		isfsupp 9313	. . . . . 6 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) finSupp 0 ↔ (Fun (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) ∧ ((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) supp 0 ) ∈ Fin)))
70	68, 46, 69	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) finSupp 0 ↔ (Fun (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) ∧ ((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) supp 0 ) ∈ Fin)))
71	63, 67, 70	mpbir2and 725	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) finSupp 0 )
72	1, 2, 3, 6, 32, 61, 71	gsumres 19971	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) ↾ dom (𝐹 supp 0 ))) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
73	29, 72	eqtr3d 2802	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ dom (𝐹 supp 0 ) ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
74	10, 24, 73	3eqtr3d 2808	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457   ∖ cdif 3904   ∩ cin 3906   ⊆ wss 3907  {csn 4585  ⟨cop 4591   class class class wbr 5104   ↦ cmpt 5185   × cxp 5649  dom cdm 5651  ran crn 5652   ↾ cres 5653   “ cima 5654  Rel wrel 5656  Fun wfun 6519  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   supp csupp 8144  Fincfn 8931   finSupp cfsupp 9309  Basecbs 17257  0_gc0g 17480   Σ_g cgsu 17481  Mndcmnd 18780  CMndccmn 19838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-fz 13524  df-fzo 13671  df-seq 14026  df-hash 14355  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ress 17279  df-plusg 17311  df-0g 17482  df-gsum 17483  df-mre 17626  df-mrc 17627  df-acs 17629  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-submnd 18830  df-mulg 19122  df-cntz 19375  df-cmn 19840

This theorem is referenced by:  gsum2d2  20032  gsumxp  20034  gsumpart  33291