Theorem gsum2d 19888

Description: Write a sum over a two-dimensional region as a double sum. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by AV, 8-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsum2d.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsum2d.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsum2d.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsum2d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsum2d.r	⊢ (𝜑 → Rel 𝐴)
gsum2d.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
gsum2d.s	⊢ (𝜑 → dom 𝐴 ⊆ 𝐷)
gsum2d.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
gsum2d.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsum2d	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝑗,𝐹,𝑘   𝑗,𝐺,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝐵,𝑗,𝑘   𝐷,𝑗,𝑘   0 ,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑗,𝑘)   𝑊(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem gsum2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsum2d.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsum2d.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsum2d.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsum2d.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		gsum2d.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → Rel 𝐴)
6		gsum2d.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
7		gsum2d.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 ⊆ 𝐷)
8		gsum2d.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
9		gsum2d.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	gsum2dlem2 19887	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ↾ dom (𝐹 supp 0 )))) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ dom (𝐹 supp 0 ) ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
11		suppssdm 8115	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐹
12	11, 8	fssdm 6677	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
13		relss 5728	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴 → (Rel 𝐴 → Rel (𝐹 supp 0 )))
14	12, 5, 13	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Rel (𝐹 supp 0 ))
15		relssdmrn 6223	. . . . . . 7 ⊢ (Rel (𝐹 supp 0 ) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (dom (𝐹 supp 0 ) × ran (𝐹 supp 0 )))
16		ssv 3955	. . . . . . . 8 ⊢ ran (𝐹 supp 0 ) ⊆ V
17		xpss2 5641	. . . . . . . 8 ⊢ (ran (𝐹 supp 0 ) ⊆ V → (dom (𝐹 supp 0 ) × ran (𝐹 supp 0 )) ⊆ (dom (𝐹 supp 0 ) × V))
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (dom (𝐹 supp 0 ) × ran (𝐹 supp 0 )) ⊆ (dom (𝐹 supp 0 ) × V)
19	15, 18	sstrdi 3943	. . . . . 6 ⊢ (Rel (𝐹 supp 0 ) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (dom (𝐹 supp 0 ) × V))
20	14, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (dom (𝐹 supp 0 ) × V))
21	12, 20	ssind 4190	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐴 ∩ (dom (𝐹 supp 0 ) × V)))
22		df-res 5633	. . . 4 ⊢ (𝐴 ↾ dom (𝐹 supp 0 )) = (𝐴 ∩ (dom (𝐹 supp 0 ) × V))
23	21, 22	sseqtrrdi 3972	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐴 ↾ dom (𝐹 supp 0 )))
24	1, 2, 3, 4, 8, 23, 9	gsumres 19829	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ↾ dom (𝐹 supp 0 )))) = (𝐺 Σg 𝐹))
25		dmss 5848	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴 → dom (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐴)
26	12, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐴)
27	26, 7	sstrd 3941	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐷)
28	27	resmptd 5995	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) ↾ dom (𝐹 supp 0 )) = (𝑗 ∈ dom (𝐹 supp 0 ) ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))))
29	28	oveq2d 7370	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) ↾ dom (𝐹 supp 0 ))) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ dom (𝐹 supp 0 ) ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
30	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	gsum2dlem1 19886	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))) ∈ 𝐵)
31	30	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))) ∈ 𝐵)
32	31	fmpttd 7056	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))):𝐷⟶𝐵)
33		vex 3441	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑗 ∈ V
34		vex 3441	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑘 ∈ V
35	33, 34	elimasn 6045	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↔ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝐴)
36	35	biimpi 216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝐴)
37	36	ad2antll 729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 )) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}))) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝐴)
38		eldifn 4081	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 )) → ¬ 𝑗 ∈ dom (𝐹 supp 0 ))
39	38	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 )) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}))) → ¬ 𝑗 ∈ dom (𝐹 supp 0 ))
40	33, 34	opeldm 5853	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 ) → 𝑗 ∈ dom (𝐹 supp 0 ))
41	39, 40	nsyl 140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 )) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}))) → ¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 ))
42	37, 41	eldifd 3909	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 )) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}))) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0 )))
43		df-ov 7357	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗𝐹𝑘) = (𝐹‘⟨𝑗, 𝑘⟩)
44		ssidd 3954	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
45	2	fvexi 6844	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ V
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
47	8, 44, 4, 46	suppssr 8133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0 ))) → (𝐹‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = 0 )
48	43, 47	eqtrid 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0 ))) → (𝑗𝐹𝑘) = 0 )
49	42, 48	syldan 591	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 )) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}))) → (𝑗𝐹𝑘) = 0 )
50	49	anassrs 467	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 ))) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗})) → (𝑗𝐹𝑘) = 0 )
51	50	mpteq2dva 5188	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 ))) → (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)) = (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ 0 ))
52	51	oveq2d 7370	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 ))) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ 0 )))
53		cmnmnd 19713	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
54	3, 53	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
55		imaexg 7851	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 “ {𝑗}) ∈ V)
56	4, 55	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 “ {𝑗}) ∈ V)
57	2	gsumz 18748	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐴 “ {𝑗}) ∈ V) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ 0 )) = 0 )
58	54, 56, 57	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ 0 )) = 0 )
59	58	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 ))) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ 0 )) = 0 )
60	52, 59	eqtrd 2768	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 ))) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))) = 0 )
61	60, 6	suppss2 8138	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) supp 0 ) ⊆ dom (𝐹 supp 0 ))
62		funmpt 6526	. . . . . 6 ⊢ Fun (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))
63	62	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))))
64	9	fsuppimpd 9262	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
65		dmfi 9228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 supp 0 ) ∈ Fin → dom (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
66	64, 65	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
67	66, 61	ssfid 9162	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) supp 0 ) ∈ Fin)
68	6	mptexd 7166	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) ∈ V)
69		isfsupp 9258	. . . . . 6 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) finSupp 0 ↔ (Fun (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) ∧ ((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) supp 0 ) ∈ Fin)))
70	68, 46, 69	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) finSupp 0 ↔ (Fun (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) ∧ ((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) supp 0 ) ∈ Fin)))
71	63, 67, 70	mpbir2and 713	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) finSupp 0 )
72	1, 2, 3, 6, 32, 61, 71	gsumres 19829	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) ↾ dom (𝐹 supp 0 ))) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
73	29, 72	eqtr3d 2770	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ dom (𝐹 supp 0 ) ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
74	10, 24, 73	3eqtr3d 2776	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437   ∖ cdif 3895   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898  {csn 4577  ⟨cop 4583   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176   × cxp 5619  dom cdm 5621  ran crn 5622   ↾ cres 5623   “ cima 5624  Rel wrel 5626  Fun wfun 6482  ⟶wf 6484  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354   supp csupp 8098  Fincfn 8877   finSupp cfsupp 9254  Basecbs 17124  0_gc0g 17347   Σ_g cgsu 17348  Mndcmnd 18646  CMndccmn 19696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-of 7618  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-supp 8099  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-2o 8394  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-fsupp 9255  df-oi 9405  df-card 9841  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135  df-2 12197  df-n0 12391  df-z 12478  df-uz 12741  df-fz 13412  df-fzo 13559  df-seq 13913  df-hash 14242  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17125  df-ress 17146  df-plusg 17178  df-0g 17349  df-gsum 17350  df-mre 17492  df-mrc 17493  df-acs 17495  df-mgm 18552  df-sgrp 18631  df-mnd 18647  df-submnd 18696  df-mulg 18985  df-cntz 19233  df-cmn 19698

This theorem is referenced by:  gsum2d2  19890  gsumxp  19892  gsumpart  33046