MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsum2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsum2d 19881
Description: Write a sum over a two-dimensional region as a double sum. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by AV, 8-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsum2d.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsum2d.z 0 = (0g𝐺)
gsum2d.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsum2d.a (𝜑𝐴𝑉)
gsum2d.r (𝜑 → Rel 𝐴)
gsum2d.d (𝜑𝐷𝑊)
gsum2d.s (𝜑 → dom 𝐴𝐷)
gsum2d.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
gsum2d.w (𝜑𝐹 finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsum2d (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝑗,𝐹,𝑘   𝑗,𝐺,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝐵,𝑗,𝑘   𝐷,𝑗,𝑘   0 ,𝑗,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑗,𝑘)   𝑊(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem gsum2d
StepHypRef Expression
1 gsum2d.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsum2d.z . . 3 0 = (0g𝐺)
3 gsum2d.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4 gsum2d.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
5 gsum2d.r . . 3 (𝜑 → Rel 𝐴)
6 gsum2d.d . . 3 (𝜑𝐷𝑊)
7 gsum2d.s . . 3 (𝜑 → dom 𝐴𝐷)
8 gsum2d.f . . 3 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
9 gsum2d.w . . 3 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9gsum2dlem2 19880 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ↾ dom (𝐹 supp 0 )))) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ dom (𝐹 supp 0 ) ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
11 suppssdm 8164 . . . . . 6 (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐹
1211, 8fssdm 6737 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
13 relss 5781 . . . . . . 7 ((𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴 → (Rel 𝐴 → Rel (𝐹 supp 0 )))
1412, 5, 13sylc 65 . . . . . 6 (𝜑 → Rel (𝐹 supp 0 ))
15 relssdmrn 6267 . . . . . . 7 (Rel (𝐹 supp 0 ) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (dom (𝐹 supp 0 ) × ran (𝐹 supp 0 )))
16 ssv 4006 . . . . . . . 8 ran (𝐹 supp 0 ) ⊆ V
17 xpss2 5696 . . . . . . . 8 (ran (𝐹 supp 0 ) ⊆ V → (dom (𝐹 supp 0 ) × ran (𝐹 supp 0 )) ⊆ (dom (𝐹 supp 0 ) × V))
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . 7 (dom (𝐹 supp 0 ) × ran (𝐹 supp 0 )) ⊆ (dom (𝐹 supp 0 ) × V)
1915, 18sstrdi 3994 . . . . . 6 (Rel (𝐹 supp 0 ) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (dom (𝐹 supp 0 ) × V))
2014, 19syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (dom (𝐹 supp 0 ) × V))
2112, 20ssind 4232 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐴 ∩ (dom (𝐹 supp 0 ) × V)))
22 df-res 5688 . . . 4 (𝐴 ↾ dom (𝐹 supp 0 )) = (𝐴 ∩ (dom (𝐹 supp 0 ) × V))
2321, 22sseqtrrdi 4033 . . 3 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐴 ↾ dom (𝐹 supp 0 )))
241, 2, 3, 4, 8, 23, 9gsumres 19822 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ↾ dom (𝐹 supp 0 )))) = (𝐺 Σg 𝐹))
25 dmss 5902 . . . . . . 7 ((𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴 → dom (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐴)
2612, 25syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐴)
2726, 7sstrd 3992 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐷)
2827resmptd 6040 . . . 4 (𝜑 → ((𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) ↾ dom (𝐹 supp 0 )) = (𝑗 ∈ dom (𝐹 supp 0 ) ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))))
2928oveq2d 7427 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) ↾ dom (𝐹 supp 0 ))) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ dom (𝐹 supp 0 ) ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9gsum2dlem1 19879 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))) ∈ 𝐵)
3130adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝐷) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))) ∈ 𝐵)
3231fmpttd 7116 . . . 4 (𝜑 → (𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))):𝐷𝐵)
33 vex 3478 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗 ∈ V
34 vex 3478 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘 ∈ V
3533, 34elimasn 6088 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↔ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝐴)
3635biimpi 215 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝐴)
3736ad2antll 727 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 )) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}))) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝐴)
38 eldifn 4127 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 )) → ¬ 𝑗 ∈ dom (𝐹 supp 0 ))
3938ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 )) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}))) → ¬ 𝑗 ∈ dom (𝐹 supp 0 ))
4033, 34opeldm 5907 . . . . . . . . . . . 12 (⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 ) → 𝑗 ∈ dom (𝐹 supp 0 ))
4139, 40nsyl 140 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 )) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}))) → ¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 ))
4237, 41eldifd 3959 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 )) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}))) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0 )))
43 df-ov 7414 . . . . . . . . . . 11 (𝑗𝐹𝑘) = (𝐹‘⟨𝑗, 𝑘⟩)
44 ssidd 4005 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
452fvexi 6905 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑0 ∈ V)
478, 44, 4, 46suppssr 8183 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0 ))) → (𝐹‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = 0 )
4843, 47eqtrid 2784 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0 ))) → (𝑗𝐹𝑘) = 0 )
4942, 48syldan 591 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 )) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}))) → (𝑗𝐹𝑘) = 0 )
5049anassrs 468 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 ))) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗})) → (𝑗𝐹𝑘) = 0 )
5150mpteq2dva 5248 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 ))) → (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)) = (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ 0 ))
5251oveq2d 7427 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 ))) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ 0 )))
53 cmnmnd 19706 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
543, 53syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
55 imaexg 7908 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑉 → (𝐴 “ {𝑗}) ∈ V)
564, 55syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 “ {𝑗}) ∈ V)
572gsumz 18753 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐴 “ {𝑗}) ∈ V) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ 0 )) = 0 )
5854, 56, 57syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ 0 )) = 0 )
5958adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 ))) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ 0 )) = 0 )
6052, 59eqtrd 2772 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 ))) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))) = 0 )
6160, 6suppss2 8187 . . . 4 (𝜑 → ((𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) supp 0 ) ⊆ dom (𝐹 supp 0 ))
62 funmpt 6586 . . . . . 6 Fun (𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))
6362a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → Fun (𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))))
649fsuppimpd 9371 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
65 dmfi 9332 . . . . . . 7 ((𝐹 supp 0 ) ∈ Fin → dom (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
6664, 65syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
6766, 61ssfid 9269 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) supp 0 ) ∈ Fin)
686mptexd 7228 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) ∈ V)
69 isfsupp 9367 . . . . . 6 (((𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) finSupp 0 ↔ (Fun (𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) ∧ ((𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) supp 0 ) ∈ Fin)))
7068, 46, 69syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) finSupp 0 ↔ (Fun (𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) ∧ ((𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) supp 0 ) ∈ Fin)))
7163, 67, 70mpbir2and 711 . . . 4 (𝜑 → (𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) finSupp 0 )
721, 2, 3, 6, 32, 61, 71gsumres 19822 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) ↾ dom (𝐹 supp 0 ))) = (𝐺 Σg (𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
7329, 72eqtr3d 2774 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ dom (𝐹 supp 0 ) ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))) = (𝐺 Σg (𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
7410, 24, 733eqtr3d 2780 1 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3474  cdif 3945  cin 3947  wss 3948  {csn 4628  cop 4634   class class class wbr 5148  cmpt 5231   × cxp 5674  dom cdm 5676  ran crn 5677  cres 5678  cima 5679  Rel wrel 5681  Fun wfun 6537  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7411   supp csupp 8148  Fincfn 8941   finSupp cfsupp 9363  Basecbs 17148  0gc0g 17389   Σg cgsu 17390  Mndcmnd 18659  CMndccmn 19689
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691
This theorem is referenced by:  gsum2d2  19883  gsumxp  19885  gsumpart  32465
  Copyright terms: Public domain W3C validator