Theorem gsumunsnfd 20026

Description: Append an element to a finite group sum, using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by AV, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumunsnd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumunsnd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumunsnd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumunsnd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsumunsnd.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
gsumunsnd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
gsumunsnd.d	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑀 ∈ 𝐴)
gsumunsnd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsumunsnd.s	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑌)
gsumunsnfd.0	⊢ Ⅎ𝑘𝑌

Assertion

Ref	Expression
gsumunsnfd	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + 𝑌))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem gsumunsnfd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumunsnd.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumunsnd.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		gsumunsnd.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsumunsnd.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
5		snfi 9039	. . . 4 ⊢ {𝑀} ∈ Fin
6		unfi 9154	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑀} ∈ Fin) → (𝐴 ∪ {𝑀}) ∈ Fin)
7	4, 5, 6	sylancl 597	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝑀}) ∈ Fin)
8		elun 4106	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ {𝑀}))
9		gsumunsnd.f	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		elsni 4605	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} → 𝑘 = 𝑀)
11		gsumunsnd.s	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑌)
12	10, 11	sylan2 604	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝑋 = 𝑌)
13		gsumunsnd.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
14	13	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝑌 ∈ 𝐵)
15	12, 14	eqeltrd 2861	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝑋 ∈ 𝐵)
16	9, 15	jaodan 972	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ {𝑀})) → 𝑋 ∈ 𝐵)
17	8, 16	sylan2b 605	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀})) → 𝑋 ∈ 𝐵)
18		gsumunsnd.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑀 ∈ 𝐴)
19		disjsn 4676	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝑀}) = ∅ ↔ ¬ 𝑀 ∈ 𝐴)
20	18, 19	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ {𝑀}) = ∅)
21		eqidd 2762	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝑀}) = (𝐴 ∪ {𝑀}))
22	1, 2, 3, 7, 17, 20, 21	gsummptfidmsplit 19999	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))))
23		cmnmnd 19866	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
24	3, 23	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
25		gsumunsnd.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
26		nfv 1942	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
27		gsumunsnfd.0	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝑌
28	1, 24, 25, 13, 11, 26, 27	gsumsnfd 20020	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋)) = 𝑌)
29	28	oveq2d 7426	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + 𝑌))
30	22, 29	eqtrd 2796	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + 𝑌))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  Ⅎwnfc 2908   ∪ cun 3902   ∩ cin 3903  ∅c0 4285  {csn 4588   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8942  Basecbs 17268  +_gcplusg 17309   Σ_g cgsu 17492  Mndcmnd 18791  CMndccmn 19849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-hash 14367  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-submnd 18841  df-mulg 19133  df-cntz 19386  df-cmn 19851

This theorem is referenced by:  gsumunsnd  20027  gsumunsnf  20028