MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumunsnfd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumunsnfd 18801
Description: Append an element to a finite group sum, using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by AV, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumunsnd.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumunsnd.p + = (+g𝐺)
gsumunsnd.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsumunsnd.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
gsumunsnd.f ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑋𝐵)
gsumunsnd.m (𝜑𝑀𝑉)
gsumunsnd.d (𝜑 → ¬ 𝑀𝐴)
gsumunsnd.y (𝜑𝑌𝐵)
gsumunsnd.s ((𝜑𝑘 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑌)
gsumunsnfd.0 𝑘𝑌
Assertion
Ref Expression
gsumunsnfd (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) + 𝑌))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem gsumunsnfd
StepHypRef Expression
1 gsumunsnd.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsumunsnd.p . . 3 + = (+g𝐺)
3 gsumunsnd.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4 gsumunsnd.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
5 snfi 8449 . . . 4 {𝑀} ∈ Fin
6 unfi 8638 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑀} ∈ Fin) → (𝐴 ∪ {𝑀}) ∈ Fin)
74, 5, 6sylancl 586 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝑀}) ∈ Fin)
8 elun 4052 . . . 4 (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↔ (𝑘𝐴𝑘 ∈ {𝑀}))
9 gsumunsnd.f . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑋𝐵)
10 elsni 4495 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ {𝑀} → 𝑘 = 𝑀)
11 gsumunsnd.s . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑌)
1210, 11sylan2 592 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝑋 = 𝑌)
13 gsumunsnd.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝐵)
1413adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝑌𝐵)
1512, 14eqeltrd 2885 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝑋𝐵)
169, 15jaodan 952 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴𝑘 ∈ {𝑀})) → 𝑋𝐵)
178, 16sylan2b 593 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀})) → 𝑋𝐵)
18 gsumunsnd.d . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑀𝐴)
19 disjsn 4560 . . . 4 ((𝐴 ∩ {𝑀}) = ∅ ↔ ¬ 𝑀𝐴)
2018, 19sylibr 235 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∩ {𝑀}) = ∅)
21 eqidd 2798 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝑀}) = (𝐴 ∪ {𝑀}))
221, 2, 3, 7, 17, 20, 21gsummptfidmsplit 18774 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))))
23 cmnmnd 18652 . . . . 5 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
243, 23syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
25 gsumunsnd.m . . . 4 (𝜑𝑀𝑉)
26 nfv 1896 . . . 4 𝑘𝜑
27 gsumunsnfd.0 . . . 4 𝑘𝑌
281, 24, 25, 13, 11, 26, 27gsumsnfd 18795 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋)) = 𝑌)
2928oveq2d 7039 . 2 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) + 𝑌))
3022, 29eqtrd 2833 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) + 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 842   = wceq 1525  wcel 2083  wnfc 2935  cun 3863  cin 3864  c0 4217  {csn 4478  cmpt 5047  cfv 6232  (class class class)co 7023  Fincfn 8364  Basecbs 16316  +gcplusg 16398   Σg cgsu 16547  Mndcmnd 17737  CMndccmn 18637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-iin 4834  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-se 5410  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-isom 6241  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-of 7274  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-supp 7689  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-oadd 7964  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-fsupp 8687  df-oi 8827  df-card 9221  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-2 11554  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098  df-fz 12747  df-fzo 12888  df-seq 13224  df-hash 13545  df-ndx 16319  df-slot 16320  df-base 16322  df-sets 16323  df-ress 16324  df-plusg 16411  df-0g 16548  df-gsum 16549  df-mre 16690  df-mrc 16691  df-acs 16693  df-mgm 17685  df-sgrp 17727  df-mnd 17738  df-submnd 17779  df-mulg 17986  df-cntz 18192  df-cmn 18639
This theorem is referenced by:  gsumunsnd  18802  gsumunsnf  18803
  Copyright terms: Public domain W3C validator