Theorem gsumunsnfd 19539

Description: Append an element to a finite group sum, using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by AV, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumunsnd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumunsnd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumunsnd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumunsnd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsumunsnd.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
gsumunsnd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
gsumunsnd.d	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑀 ∈ 𝐴)
gsumunsnd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsumunsnd.s	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑌)
gsumunsnfd.0	⊢ Ⅎ𝑘𝑌

Assertion

Ref	Expression
gsumunsnfd	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + 𝑌))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem gsumunsnfd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumunsnd.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumunsnd.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		gsumunsnd.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsumunsnd.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
5		snfi 8804	. . . 4 ⊢ {𝑀} ∈ Fin
6		unfi 8920	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑀} ∈ Fin) → (𝐴 ∪ {𝑀}) ∈ Fin)
7	4, 5, 6	sylancl 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝑀}) ∈ Fin)
8		elun 4087	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ {𝑀}))
9		gsumunsnd.f	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		elsni 4583	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} → 𝑘 = 𝑀)
11		gsumunsnd.s	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑌)
12	10, 11	sylan2 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝑋 = 𝑌)
13		gsumunsnd.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
14	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝑌 ∈ 𝐵)
15	12, 14	eqeltrd 2840	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝑋 ∈ 𝐵)
16	9, 15	jaodan 954	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ {𝑀})) → 𝑋 ∈ 𝐵)
17	8, 16	sylan2b 593	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀})) → 𝑋 ∈ 𝐵)
18		gsumunsnd.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑀 ∈ 𝐴)
19		disjsn 4652	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝑀}) = ∅ ↔ ¬ 𝑀 ∈ 𝐴)
20	18, 19	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ {𝑀}) = ∅)
21		eqidd 2740	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝑀}) = (𝐴 ∪ {𝑀}))
22	1, 2, 3, 7, 17, 20, 21	gsummptfidmsplit 19512	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))))
23		cmnmnd 19383	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
24	3, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
25		gsumunsnd.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
26		nfv 1920	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
27		gsumunsnfd.0	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝑌
28	1, 24, 25, 13, 11, 26, 27	gsumsnfd 19533	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋)) = 𝑌)
29	28	oveq2d 7284	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + 𝑌))
30	22, 29	eqtrd 2779	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + 𝑌))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 843   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  Ⅎwnfc 2888   ∪ cun 3889   ∩ cin 3890  ∅c0 4261  {csn 4566   ↦ cmpt 5161  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  Fincfn 8707  Basecbs 16893  +_gcplusg 16943   Σ_g cgsu 17132  Mndcmnd 18366  CMndccmn 19367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-iin 4932  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-se 5544  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-isom 6439  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-of 7524  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-supp 7962  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-fsupp 9090  df-oi 9230  df-card 9681  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-2 12019  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-fz 13222  df-fzo 13365  df-seq 13703  df-hash 14026  df-sets 16846  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-ress 16923  df-plusg 16956  df-0g 17133  df-gsum 17134  df-mre 17276  df-mrc 17277  df-acs 17279  df-mgm 18307  df-sgrp 18356  df-mnd 18367  df-submnd 18412  df-mulg 18682  df-cntz 18904  df-cmn 19369

This theorem is referenced by:  gsumunsnd  19540  gsumunsnf  19541