Theorem gsumunsnfd 20176

Description: Append an element to a finite group sum, using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by AV, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumunsnd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumunsnd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumunsnd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumunsnd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsumunsnd.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
gsumunsnd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
gsumunsnd.d	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑀 ∈ 𝐴)
gsumunsnd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsumunsnd.s	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑌)
gsumunsnfd.0	⊢ Ⅎ𝑘𝑌

Assertion

Ref	Expression
gsumunsnfd	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + 𝑌))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem gsumunsnfd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumunsnd.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumunsnd.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		gsumunsnd.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsumunsnd.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
5		snfi 9074	. . . 4 ⊢ {𝑀} ∈ Fin
6		unfi 9189	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑀} ∈ Fin) → (𝐴 ∪ {𝑀}) ∈ Fin)
7	4, 5, 6	sylancl 598	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝑀}) ∈ Fin)
8		elun 4152	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ {𝑀}))
9		gsumunsnd.f	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		elsni 4597	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} → 𝑘 = 𝑀)
11		gsumunsnd.s	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑌)
12	10, 11	sylan2 605	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝑋 = 𝑌)
13		gsumunsnd.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
14	13	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝑌 ∈ 𝐵)
15	12, 14	eqeltrd 2860	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝑋 ∈ 𝐵)
16	9, 15	jaodan 972	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ {𝑀})) → 𝑋 ∈ 𝐵)
17	8, 16	sylan2b 606	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀})) → 𝑋 ∈ 𝐵)
18		gsumunsnd.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑀 ∈ 𝐴)
19		disjsn 4668	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝑀}) = ∅ ↔ ¬ 𝑀 ∈ 𝐴)
20	18, 19	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ {𝑀}) = ∅)
21		eqidd 2761	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝑀}) = (𝐴 ∪ {𝑀}))
22	1, 2, 3, 7, 17, 20, 21	gsummptfidmsplit 20149	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))))
23		cmnmnd 20016	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
24	3, 23	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
25		gsumunsnd.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
26		nfv 1946	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
27		gsumunsnfd.0	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝑌
28	1, 24, 25, 13, 11, 26, 27	gsumsnfd 20170	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋)) = 𝑌)
29	28	oveq2d 7436	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + 𝑌))
30	22, 29	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Ⅎwnfc 2907   ∩ cin 4089   ∪ cun 4149  ∅c0 4278  {csn 4584   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Fincfn 8976  Basecbs 17392  +_gcplusg 17433   Σ_g cgsu 17616  Mndcmnd 18928  CMndccmn 19999

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8180  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9357  df-oi 9507  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-seq 14148  df-hash 14478  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-0g 17617  df-gsum 17618  df-mre 17761  df-mrc 17762  df-acs 17764  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-submnd 18984  df-mulg 19283  df-cntz 19536  df-cmn 20001

This theorem is used by:  gsumunsnd  20177  gsumunsnf  20178