Theorem gsumunsnfd 19877

Description: Append an element to a finite group sum, using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by AV, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumunsnd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumunsnd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumunsnd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumunsnd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsumunsnd.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
gsumunsnd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
gsumunsnd.d	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑀 ∈ 𝐴)
gsumunsnd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsumunsnd.s	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑌)
gsumunsnfd.0	⊢ Ⅎ𝑘𝑌

Assertion

Ref	Expression
gsumunsnfd	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + 𝑌))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem gsumunsnfd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumunsnd.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumunsnd.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		gsumunsnd.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsumunsnd.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
5		snfi 9046	. . . 4 ⊢ {𝑀} ∈ Fin
6		unfi 9174	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑀} ∈ Fin) → (𝐴 ∪ {𝑀}) ∈ Fin)
7	4, 5, 6	sylancl 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝑀}) ∈ Fin)
8		elun 4143	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ {𝑀}))
9		gsumunsnd.f	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		elsni 4640	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} → 𝑘 = 𝑀)
11		gsumunsnd.s	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑌)
12	10, 11	sylan2 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝑋 = 𝑌)
13		gsumunsnd.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
14	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝑌 ∈ 𝐵)
15	12, 14	eqeltrd 2827	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝑋 ∈ 𝐵)
16	9, 15	jaodan 954	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ {𝑀})) → 𝑋 ∈ 𝐵)
17	8, 16	sylan2b 593	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀})) → 𝑋 ∈ 𝐵)
18		gsumunsnd.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑀 ∈ 𝐴)
19		disjsn 4710	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝑀}) = ∅ ↔ ¬ 𝑀 ∈ 𝐴)
20	18, 19	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ {𝑀}) = ∅)
21		eqidd 2727	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝑀}) = (𝐴 ∪ {𝑀}))
22	1, 2, 3, 7, 17, 20, 21	gsummptfidmsplit 19850	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))))
23		cmnmnd 19717	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
24	3, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
25		gsumunsnd.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
26		nfv 1909	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
27		gsumunsnfd.0	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝑌
28	1, 24, 25, 13, 11, 26, 27	gsumsnfd 19871	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋)) = 𝑌)
29	28	oveq2d 7421	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + 𝑌))
30	22, 29	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + 𝑌))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Ⅎwnfc 2877   ∪ cun 3941   ∩ cin 3942  ∅c0 4317  {csn 4623   ↦ cmpt 5224  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  Fincfn 8941  Basecbs 17153  +_gcplusg 17206   Σ_g cgsu 17395  Mndcmnd 18667  CMndccmn 19700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702

This theorem is referenced by:  gsumunsnd  19878  gsumunsnf  19879