Theorem prdsgsum 19908

Description: Finite commutative sums in a product structure are taken componentwise. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsgsum.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
prdsgsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
prdsgsum.z	⊢ 0 = (0g‘𝑌)
prdsgsum.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
prdsgsum.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑊)
prdsgsum.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑋)
prdsgsum.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ CMnd)
prdsgsum.f	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝑈 ∈ 𝐵)
prdsgsum.w	⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)) finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
prdsgsum	⊢ (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐼   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)   0 (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem prdsgsum

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsgsum.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
2		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
3		prdsgsum.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑋)
4		prdsgsum.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
5		prdsgsum.r	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ CMnd)
6	5	fmpttd 7058	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅):𝐼⟶CMnd)
7	6	ffnd 6661	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) Fn 𝐼)
8		prdsgsum.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑌)
9	1, 4, 3, 6	prdscmnd 19788	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ CMnd)
10		prdsgsum.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑊)
11		prdsgsum.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝑈 ∈ 𝐵)
12	11	anassrs 467	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑈 ∈ 𝐵)
13	12	an32s 652	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑈 ∈ 𝐵)
14	13	ralrimiva 3126	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑈 ∈ 𝐵)
15	5	ralrimiva 3126	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ CMnd)
16		prdsgsum.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
17	1, 2, 3, 4, 15, 16	prdsbasmpt2 17400	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈) ∈ (Base‘𝑌) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑈 ∈ 𝐵))
18	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈) ∈ (Base‘𝑌) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑈 ∈ 𝐵))
19	14, 18	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈) ∈ (Base‘𝑌))
20	19	fmpttd 7058	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)):𝐽⟶(Base‘𝑌))
21		prdsgsum.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)) finSupp 0 )
22	2, 8, 9, 10, 20, 21	gsumcl 19842	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) ∈ (Base‘𝑌))
23	1, 2, 3, 4, 7, 22	prdsbasfn 17389	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) Fn 𝐼)
24		nfcv 2896	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝑌
25		nfcv 2896	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 Σg
26		nfcv 2896	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐽
27		nfmpt1 5195	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)
28	26, 27	nfmpt 5194	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))
29	24, 25, 28	nfov 7386	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))
30	29	dffn5f 6903	. . 3 ⊢ ((𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) Fn 𝐼 ↔ (𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))‘𝑥)))
31	23, 30	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))‘𝑥)))
32		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
33		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)
34	33	fvmpt2 6950	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)‘𝑥) = 𝑈)
35	32, 12, 34	syl2an2r 685	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)‘𝑥) = 𝑈)
36	35	mpteq2dva 5189	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)‘𝑥)) = (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))
37	36	oveq2d 7372	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)‘𝑥))) = (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈)))
38	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑌 ∈ CMnd)
39		cmnmnd 19724	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CMnd → 𝑅 ∈ Mnd)
40	5, 39	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Mnd)
41	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐽 ∈ 𝑊)
42	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑉)
43	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ 𝑋)
44	40	fmpttd 7058	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅):𝐼⟶Mnd)
45	44	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅):𝐼⟶Mnd)
46	1, 2, 42, 43, 45, 32	prdspjmhm 18752	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ↦ (𝑎‘𝑥)) ∈ (𝑌 MndHom ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥)))
47		eqid 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)
48	47	fvmpt2 6950	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑅 ∈ CMnd) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥) = 𝑅)
49	32, 5, 48	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥) = 𝑅)
50	49	oveq2d 7372	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑌 MndHom ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥)) = (𝑌 MndHom 𝑅))
51	46, 50	eleqtrd 2836	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ↦ (𝑎‘𝑥)) ∈ (𝑌 MndHom 𝑅))
52	19	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈) ∈ (Base‘𝑌))
53	21	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)) finSupp 0 )
54		fveq1 6831	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈) → (𝑎‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)‘𝑥))
55		fveq1 6831	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) → (𝑎‘𝑥) = ((𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))‘𝑥))
56	2, 8, 38, 40, 41, 51, 52, 53, 54, 55	gsummhm2 19866	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)‘𝑥))) = ((𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))‘𝑥))
57	37, 56	eqtr3d 2771	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈)) = ((𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))‘𝑥))
58	57	mpteq2dva 5189	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))‘𝑥)))
59	31, 58	eqtr4d 2772	1 ⊢ (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049   class class class wbr 5096   ↦ cmpt 5177   Fn wfn 6485  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356   finSupp cfsupp 9262  Basecbs 17134  0_gc0g 17357   Σ_g cgsu 17358  X_scprds 17363  Mndcmnd 18657   MndHom cmhm 18704  CMndccmn 19707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8763  df-ixp 8834  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-sup 9343  df-oi 9413  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-seq 13923  df-hash 14252  df-struct 17072  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-hom 17199  df-cco 17200  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-prds 17365  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18706  df-cntz 19244  df-cmn 19709

This theorem is referenced by:  pwsgsum  19909