Theorem prdsgsum 19497

Description: Finite commutative sums in a product structure are taken componentwise. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsgsum.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
prdsgsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
prdsgsum.z	⊢ 0 = (0g‘𝑌)
prdsgsum.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
prdsgsum.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑊)
prdsgsum.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑋)
prdsgsum.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ CMnd)
prdsgsum.f	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝑈 ∈ 𝐵)
prdsgsum.w	⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)) finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
prdsgsum	⊢ (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐼   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)   0 (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem prdsgsum

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsgsum.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
2		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
3		prdsgsum.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑋)
4		prdsgsum.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
5		prdsgsum.r	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ CMnd)
6	5	fmpttd 6971	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅):𝐼⟶CMnd)
7	6	ffnd 6585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) Fn 𝐼)
8		prdsgsum.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑌)
9	1, 4, 3, 6	prdscmnd 19377	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ CMnd)
10		prdsgsum.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑊)
11		prdsgsum.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝑈 ∈ 𝐵)
12	11	anassrs 467	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑈 ∈ 𝐵)
13	12	an32s 648	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑈 ∈ 𝐵)
14	13	ralrimiva 3107	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑈 ∈ 𝐵)
15	5	ralrimiva 3107	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ CMnd)
16		prdsgsum.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
17	1, 2, 3, 4, 15, 16	prdsbasmpt2 17110	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈) ∈ (Base‘𝑌) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑈 ∈ 𝐵))
18	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈) ∈ (Base‘𝑌) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑈 ∈ 𝐵))
19	14, 18	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈) ∈ (Base‘𝑌))
20	19	fmpttd 6971	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)):𝐽⟶(Base‘𝑌))
21		prdsgsum.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)) finSupp 0 )
22	2, 8, 9, 10, 20, 21	gsumcl 19431	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) ∈ (Base‘𝑌))
23	1, 2, 3, 4, 7, 22	prdsbasfn 17099	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) Fn 𝐼)
24		nfcv 2906	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝑌
25		nfcv 2906	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 Σg
26		nfcv 2906	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐽
27		nfmpt1 5178	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)
28	26, 27	nfmpt 5177	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))
29	24, 25, 28	nfov 7285	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))
30	29	dffn5f 6822	. . 3 ⊢ ((𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) Fn 𝐼 ↔ (𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))‘𝑥)))
31	23, 30	sylib 217	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))‘𝑥)))
32		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
33		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)
34	33	fvmpt2 6868	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)‘𝑥) = 𝑈)
35	32, 12, 34	syl2an2r 681	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)‘𝑥) = 𝑈)
36	35	mpteq2dva 5170	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)‘𝑥)) = (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))
37	36	oveq2d 7271	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)‘𝑥))) = (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈)))
38	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑌 ∈ CMnd)
39		cmnmnd 19317	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CMnd → 𝑅 ∈ Mnd)
40	5, 39	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Mnd)
41	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐽 ∈ 𝑊)
42	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑉)
43	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ 𝑋)
44	40	fmpttd 6971	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅):𝐼⟶Mnd)
45	44	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅):𝐼⟶Mnd)
46	1, 2, 42, 43, 45, 32	prdspjmhm 18382	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ↦ (𝑎‘𝑥)) ∈ (𝑌 MndHom ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥)))
47		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)
48	47	fvmpt2 6868	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑅 ∈ CMnd) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥) = 𝑅)
49	32, 5, 48	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥) = 𝑅)
50	49	oveq2d 7271	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑌 MndHom ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥)) = (𝑌 MndHom 𝑅))
51	46, 50	eleqtrd 2841	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ↦ (𝑎‘𝑥)) ∈ (𝑌 MndHom 𝑅))
52	19	adantlr 711	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈) ∈ (Base‘𝑌))
53	21	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)) finSupp 0 )
54		fveq1 6755	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈) → (𝑎‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)‘𝑥))
55		fveq1 6755	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) → (𝑎‘𝑥) = ((𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))‘𝑥))
56	2, 8, 38, 40, 41, 51, 52, 53, 54, 55	gsummhm2 19455	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)‘𝑥))) = ((𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))‘𝑥))
57	37, 56	eqtr3d 2780	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈)) = ((𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))‘𝑥))
58	57	mpteq2dva 5170	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))‘𝑥)))
59	31, 58	eqtr4d 2781	1 ⊢ (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   finSupp cfsupp 9058  Basecbs 16840  0_gc0g 17067   Σ_g cgsu 17068  X_scprds 17073  Mndcmnd 18300   MndHom cmhm 18343  CMndccmn 19301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-struct 16776  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-hom 16912  df-cco 16913  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-prds 17075  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-cntz 18838  df-cmn 19303

This theorem is referenced by:  pwsgsum  19498