MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsgsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsgsum 19766
Description: Finite commutative sums in a product structure are taken componentwise. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsgsum.y π‘Œ = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
prdsgsum.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
prdsgsum.z 0 = (0gβ€˜π‘Œ)
prdsgsum.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
prdsgsum.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ π‘Š)
prdsgsum.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑋)
prdsgsum.r ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
prdsgsum.f ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐡)
prdsgsum.w (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)) finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
prdsgsum (πœ‘ β†’ (π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ π‘ˆ))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐼   π‘₯,𝐽,𝑦   π‘₯,π‘Œ,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯,𝑦)   𝑅(π‘₯,𝑦)   𝑆(π‘₯,𝑦)   π‘ˆ(π‘₯,𝑦)   𝑉(π‘₯,𝑦)   π‘Š(π‘₯,𝑦)   𝑋(π‘₯,𝑦)   0 (π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem prdsgsum
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsgsum.y . . . 4 π‘Œ = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
2 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ)
3 prdsgsum.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑋)
4 prdsgsum.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
5 prdsgsum.r . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
65fmpttd 7067 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅):𝐼⟢CMnd)
76ffnd 6673 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) Fn 𝐼)
8 prdsgsum.z . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘Œ)
91, 4, 3, 6prdscmnd 19647 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ CMnd)
10 prdsgsum.j . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ π‘Š)
11 prdsgsum.f . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐡)
1211anassrs 469 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐡)
1312an32s 651 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐡)
1413ralrimiva 3140 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 π‘ˆ ∈ 𝐡)
155ralrimiva 3140 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝑅 ∈ CMnd)
16 prdsgsum.b . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
171, 2, 3, 4, 15, 16prdsbasmpt2 17372 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 π‘ˆ ∈ 𝐡))
1817adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 π‘ˆ ∈ 𝐡))
1914, 18mpbird 257 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
2019fmpttd 7067 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)):𝐽⟢(Baseβ€˜π‘Œ))
21 prdsgsum.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)) finSupp 0 )
222, 8, 9, 10, 20, 21gsumcl 19700 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
231, 2, 3, 4, 7, 22prdsbasfn 17361 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))) Fn 𝐼)
24 nfcv 2904 . . . . 5 β„²π‘₯π‘Œ
25 nfcv 2904 . . . . 5 β„²π‘₯ Ξ£g
26 nfcv 2904 . . . . . 6 β„²π‘₯𝐽
27 nfmpt1 5217 . . . . . 6 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)
2826, 27nfmpt 5216 . . . . 5 β„²π‘₯(𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))
2924, 25, 28nfov 7391 . . . 4 β„²π‘₯(π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)))
3029dffn5f 6917 . . 3 ((π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))) Fn 𝐼 ↔ (π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)))β€˜π‘₯)))
3123, 30sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)))β€˜π‘₯)))
32 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
33 eqid 2733 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)
3433fvmpt2 6963 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)β€˜π‘₯) = π‘ˆ)
3532, 12, 34syl2an2r 684 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)β€˜π‘₯) = π‘ˆ)
3635mpteq2dva 5209 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)β€˜π‘₯)) = (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ π‘ˆ))
3736oveq2d 7377 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)β€˜π‘₯))) = (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ π‘ˆ)))
389adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ π‘Œ ∈ CMnd)
39 cmnmnd 19587 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CMnd β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
405, 39syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
4110adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐽 ∈ π‘Š)
424adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
433adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑆 ∈ 𝑋)
4440fmpttd 7067 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅):𝐼⟢Mnd)
4544adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅):𝐼⟢Mnd)
461, 2, 42, 43, 45, 32prdspjmhm 18647 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ↦ (π‘Žβ€˜π‘₯)) ∈ (π‘Œ MndHom ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘₯)))
47 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)
4847fvmpt2 6963 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ 𝑅 ∈ CMnd) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘₯) = 𝑅)
4932, 5, 48syl2anc 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘₯) = 𝑅)
5049oveq2d 7377 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘Œ MndHom ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘₯)) = (π‘Œ MndHom 𝑅))
5146, 50eleqtrd 2836 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ↦ (π‘Žβ€˜π‘₯)) ∈ (π‘Œ MndHom 𝑅))
5219adantlr 714 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
5321adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)) finSupp 0 )
54 fveq1 6845 . . . . 5 (π‘Ž = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ) β†’ (π‘Žβ€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)β€˜π‘₯))
55 fveq1 6845 . . . . 5 (π‘Ž = (π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))) β†’ (π‘Žβ€˜π‘₯) = ((π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)))β€˜π‘₯))
562, 8, 38, 40, 41, 51, 52, 53, 54, 55gsummhm2 19724 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)β€˜π‘₯))) = ((π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)))β€˜π‘₯))
5737, 56eqtr3d 2775 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ π‘ˆ)) = ((π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)))β€˜π‘₯))
5857mpteq2dva 5209 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ π‘ˆ))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)))β€˜π‘₯)))
5931, 58eqtr4d 2776 1 (πœ‘ β†’ (π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ π‘ˆ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   finSupp cfsupp 9311  Basecbs 17091  0gc0g 17329   Ξ£g cgsu 17330  Xscprds 17335  Mndcmnd 18564   MndHom cmhm 18607  CMndccmn 19570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-sup 9386  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-hash 14240  df-struct 17027  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-hom 17165  df-cco 17166  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-prds 17337  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-cntz 19105  df-cmn 19572
This theorem is referenced by:  pwsgsum  19767
  Copyright terms: Public domain W3C validator