MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsgsum Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem prdsgsum 19897
Description: Finite commutative sums in a product structure are taken componentwise. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsgsum.y π‘Œ = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
prdsgsum.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
prdsgsum.z 0 = (0gβ€˜π‘Œ)
prdsgsum.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
prdsgsum.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ π‘Š)
prdsgsum.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑋)
prdsgsum.r ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
prdsgsum.f ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐡)
prdsgsum.w (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)) finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
prdsgsum (πœ‘ β†’ (π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ π‘ˆ))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐼   π‘₯,𝐽,𝑦   π‘₯,π‘Œ,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯,𝑦)   𝑅(π‘₯,𝑦)   𝑆(π‘₯,𝑦)   π‘ˆ(π‘₯,𝑦)   𝑉(π‘₯,𝑦)   π‘Š(π‘₯,𝑦)   𝑋(π‘₯,𝑦)   0 (π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem prdsgsum
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsgsum.y . . . 4 π‘Œ = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
2 eqid 2724 . . . 4 (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ)
3 prdsgsum.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑋)
4 prdsgsum.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
5 prdsgsum.r . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
65fmpttd 7107 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅):𝐼⟢CMnd)
76ffnd 6709 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) Fn 𝐼)
8 prdsgsum.z . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘Œ)
91, 4, 3, 6prdscmnd 19777 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ CMnd)
10 prdsgsum.j . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ π‘Š)
11 prdsgsum.f . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐡)
1211anassrs 467 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐡)
1312an32s 649 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐡)
1413ralrimiva 3138 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 π‘ˆ ∈ 𝐡)
155ralrimiva 3138 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝑅 ∈ CMnd)
16 prdsgsum.b . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
171, 2, 3, 4, 15, 16prdsbasmpt2 17433 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 π‘ˆ ∈ 𝐡))
1817adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 π‘ˆ ∈ 𝐡))
1914, 18mpbird 257 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
2019fmpttd 7107 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)):𝐽⟢(Baseβ€˜π‘Œ))
21 prdsgsum.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)) finSupp 0 )
222, 8, 9, 10, 20, 21gsumcl 19831 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
231, 2, 3, 4, 7, 22prdsbasfn 17422 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))) Fn 𝐼)
24 nfcv 2895 . . . . 5 β„²π‘₯π‘Œ
25 nfcv 2895 . . . . 5 β„²π‘₯ Ξ£g
26 nfcv 2895 . . . . . 6 β„²π‘₯𝐽
27 nfmpt1 5247 . . . . . 6 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)
2826, 27nfmpt 5246 . . . . 5 β„²π‘₯(𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))
2924, 25, 28nfov 7432 . . . 4 β„²π‘₯(π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)))
3029dffn5f 6954 . . 3 ((π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))) Fn 𝐼 ↔ (π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)))β€˜π‘₯)))
3123, 30sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)))β€˜π‘₯)))
32 simpr 484 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
33 eqid 2724 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)
3433fvmpt2 7000 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)β€˜π‘₯) = π‘ˆ)
3532, 12, 34syl2an2r 682 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)β€˜π‘₯) = π‘ˆ)
3635mpteq2dva 5239 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)β€˜π‘₯)) = (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ π‘ˆ))
3736oveq2d 7418 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)β€˜π‘₯))) = (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ π‘ˆ)))
389adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ π‘Œ ∈ CMnd)
39 cmnmnd 19713 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CMnd β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
405, 39syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
4110adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐽 ∈ π‘Š)
424adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
433adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑆 ∈ 𝑋)
4440fmpttd 7107 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅):𝐼⟢Mnd)
4544adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅):𝐼⟢Mnd)
461, 2, 42, 43, 45, 32prdspjmhm 18750 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ↦ (π‘Žβ€˜π‘₯)) ∈ (π‘Œ MndHom ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘₯)))
47 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)
4847fvmpt2 7000 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ 𝑅 ∈ CMnd) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘₯) = 𝑅)
4932, 5, 48syl2anc 583 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘₯) = 𝑅)
5049oveq2d 7418 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘Œ MndHom ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘₯)) = (π‘Œ MndHom 𝑅))
5146, 50eleqtrd 2827 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ↦ (π‘Žβ€˜π‘₯)) ∈ (π‘Œ MndHom 𝑅))
5219adantlr 712 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
5321adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)) finSupp 0 )
54 fveq1 6881 . . . . 5 (π‘Ž = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ) β†’ (π‘Žβ€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)β€˜π‘₯))
55 fveq1 6881 . . . . 5 (π‘Ž = (π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))) β†’ (π‘Žβ€˜π‘₯) = ((π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)))β€˜π‘₯))
562, 8, 38, 40, 41, 51, 52, 53, 54, 55gsummhm2 19855 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)β€˜π‘₯))) = ((π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)))β€˜π‘₯))
5737, 56eqtr3d 2766 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ π‘ˆ)) = ((π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)))β€˜π‘₯))
5857mpteq2dva 5239 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ π‘ˆ))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)))β€˜π‘₯)))
5931, 58eqtr4d 2767 1 (πœ‘ β†’ (π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ π‘ˆ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053   class class class wbr 5139   ↦ cmpt 5222   Fn wfn 6529  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402   finSupp cfsupp 9358  Basecbs 17149  0gc0g 17390   Ξ£g cgsu 17391  Xscprds 17396  Mndcmnd 18663   MndHom cmhm 18707  CMndccmn 19696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-sup 9434  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-seq 13968  df-hash 14292  df-struct 17085  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-hom 17226  df-cco 17227  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-prds 17398  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-mhm 18709  df-cntz 19229  df-cmn 19698
This theorem is referenced by:  pwsgsum  19898
  Copyright terms: Public domain W3C validator