MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsgsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsgsum 20014
Description: Finite commutative sums in a product structure are taken componentwise. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsgsum.y 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))
prdsgsum.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
prdsgsum.z 0 = (0g𝑌)
prdsgsum.i (𝜑𝐼𝑉)
prdsgsum.j (𝜑𝐽𝑊)
prdsgsum.s (𝜑𝑆𝑋)
prdsgsum.r ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅 ∈ CMnd)
prdsgsum.f ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐽)) → 𝑈𝐵)
prdsgsum.w (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)) finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
prdsgsum (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐼   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)   0 (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem prdsgsum
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsgsum.y . . . 4 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))
2 eqid 2735 . . . 4 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
3 prdsgsum.s . . . 4 (𝜑𝑆𝑋)
4 prdsgsum.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑉)
5 prdsgsum.r . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅 ∈ CMnd)
65fmpttd 7135 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐼𝑅):𝐼⟶CMnd)
76ffnd 6738 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐼𝑅) Fn 𝐼)
8 prdsgsum.z . . . . 5 0 = (0g𝑌)
91, 4, 3, 6prdscmnd 19894 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ CMnd)
10 prdsgsum.j . . . . 5 (𝜑𝐽𝑊)
11 prdsgsum.f . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐽)) → 𝑈𝐵)
1211anassrs 467 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → 𝑈𝐵)
1312an32s 652 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝐽) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑈𝐵)
1413ralrimiva 3144 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐽) → ∀𝑥𝐼 𝑈𝐵)
155ralrimiva 3144 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 𝑅 ∈ CMnd)
16 prdsgsum.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑅)
171, 2, 3, 4, 15, 16prdsbasmpt2 17529 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥𝐼𝑈) ∈ (Base‘𝑌) ↔ ∀𝑥𝐼 𝑈𝐵))
1817adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐽) → ((𝑥𝐼𝑈) ∈ (Base‘𝑌) ↔ ∀𝑥𝐼 𝑈𝐵))
1914, 18mpbird 257 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐽) → (𝑥𝐼𝑈) ∈ (Base‘𝑌))
2019fmpttd 7135 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)):𝐽⟶(Base‘𝑌))
21 prdsgsum.w . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)) finSupp 0 )
222, 8, 9, 10, 20, 21gsumcl 19948 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) ∈ (Base‘𝑌))
231, 2, 3, 4, 7, 22prdsbasfn 17518 . . 3 (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) Fn 𝐼)
24 nfcv 2903 . . . . 5 𝑥𝑌
25 nfcv 2903 . . . . 5 𝑥 Σg
26 nfcv 2903 . . . . . 6 𝑥𝐽
27 nfmpt1 5256 . . . . . 6 𝑥(𝑥𝐼𝑈)
2826, 27nfmpt 5255 . . . . 5 𝑥(𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))
2924, 25, 28nfov 7461 . . . 4 𝑥(𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)))
3029dffn5f 6980 . . 3 ((𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) Fn 𝐼 ↔ (𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)))‘𝑥)))
3123, 30sylib 218 . 2 (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)))‘𝑥)))
32 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
33 eqid 2735 . . . . . . . 8 (𝑥𝐼𝑈) = (𝑥𝐼𝑈)
3433fvmpt2 7027 . . . . . . 7 ((𝑥𝐼𝑈𝐵) → ((𝑥𝐼𝑈)‘𝑥) = 𝑈)
3532, 12, 34syl2an2r 685 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → ((𝑥𝐼𝑈)‘𝑥) = 𝑈)
3635mpteq2dva 5248 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑦𝐽 ↦ ((𝑥𝐼𝑈)‘𝑥)) = (𝑦𝐽𝑈))
3736oveq2d 7447 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑅 Σg (𝑦𝐽 ↦ ((𝑥𝐼𝑈)‘𝑥))) = (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈)))
389adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑌 ∈ CMnd)
39 cmnmnd 19830 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CMnd → 𝑅 ∈ Mnd)
405, 39syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅 ∈ Mnd)
4110adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐽𝑊)
424adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐼𝑉)
433adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆𝑋)
4440fmpttd 7135 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐼𝑅):𝐼⟶Mnd)
4544adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑥𝐼𝑅):𝐼⟶Mnd)
461, 2, 42, 43, 45, 32prdspjmhm 18855 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ↦ (𝑎𝑥)) ∈ (𝑌 MndHom ((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥)))
47 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐼𝑅) = (𝑥𝐼𝑅)
4847fvmpt2 7027 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐼𝑅 ∈ CMnd) → ((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥) = 𝑅)
4932, 5, 48syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥) = 𝑅)
5049oveq2d 7447 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑌 MndHom ((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥)) = (𝑌 MndHom 𝑅))
5146, 50eleqtrd 2841 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ↦ (𝑎𝑥)) ∈ (𝑌 MndHom 𝑅))
5219adantlr 715 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → (𝑥𝐼𝑈) ∈ (Base‘𝑌))
5321adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)) finSupp 0 )
54 fveq1 6906 . . . . 5 (𝑎 = (𝑥𝐼𝑈) → (𝑎𝑥) = ((𝑥𝐼𝑈)‘𝑥))
55 fveq1 6906 . . . . 5 (𝑎 = (𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) → (𝑎𝑥) = ((𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)))‘𝑥))
562, 8, 38, 40, 41, 51, 52, 53, 54, 55gsummhm2 19972 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑅 Σg (𝑦𝐽 ↦ ((𝑥𝐼𝑈)‘𝑥))) = ((𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)))‘𝑥))
5737, 56eqtr3d 2777 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈)) = ((𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)))‘𝑥))
5857mpteq2dva 5248 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)))‘𝑥)))
5931, 58eqtr4d 2778 1 (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059   class class class wbr 5148  cmpt 5231   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431   finSupp cfsupp 9399  Basecbs 17245  0gc0g 17486   Σg cgsu 17487  Xscprds 17492  Mndcmnd 18760   MndHom cmhm 18807  CMndccmn 19813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-cntz 19348  df-cmn 19815
This theorem is referenced by:  pwsgsum  20015
  Copyright terms: Public domain W3C validator