Theorem prdsgsum 19956

Description: Finite commutative sums in a product structure are taken componentwise. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsgsum.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
prdsgsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
prdsgsum.z	⊢ 0 = (0g‘𝑌)
prdsgsum.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
prdsgsum.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑊)
prdsgsum.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑋)
prdsgsum.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ CMnd)
prdsgsum.f	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝑈 ∈ 𝐵)
prdsgsum.w	⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)) finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
prdsgsum	⊢ (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐼   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)   0 (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem prdsgsum

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsgsum.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
2		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
3		prdsgsum.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑋)
4		prdsgsum.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
5		prdsgsum.r	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ CMnd)
6	5	fmpttd 7067	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅):𝐼⟶CMnd)
7	6	ffnd 6669	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) Fn 𝐼)
8		prdsgsum.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑌)
9	1, 4, 3, 6	prdscmnd 19836	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ CMnd)
10		prdsgsum.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑊)
11		prdsgsum.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝑈 ∈ 𝐵)
12	11	anassrs 467	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑈 ∈ 𝐵)
13	12	an32s 653	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑈 ∈ 𝐵)
14	13	ralrimiva 3129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑈 ∈ 𝐵)
15	5	ralrimiva 3129	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ CMnd)
16		prdsgsum.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
17	1, 2, 3, 4, 15, 16	prdsbasmpt2 17445	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈) ∈ (Base‘𝑌) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑈 ∈ 𝐵))
18	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈) ∈ (Base‘𝑌) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑈 ∈ 𝐵))
19	14, 18	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈) ∈ (Base‘𝑌))
20	19	fmpttd 7067	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)):𝐽⟶(Base‘𝑌))
21		prdsgsum.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)) finSupp 0 )
22	2, 8, 9, 10, 20, 21	gsumcl 19890	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) ∈ (Base‘𝑌))
23	1, 2, 3, 4, 7, 22	prdsbasfn 17434	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) Fn 𝐼)
24		nfcv 2898	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝑌
25		nfcv 2898	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 Σg
26		nfcv 2898	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐽
27		nfmpt1 5184	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)
28	26, 27	nfmpt 5183	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))
29	24, 25, 28	nfov 7397	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))
30	29	dffn5f 6911	. . 3 ⊢ ((𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) Fn 𝐼 ↔ (𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))‘𝑥)))
31	23, 30	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))‘𝑥)))
32		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
33		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)
34	33	fvmpt2 6959	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)‘𝑥) = 𝑈)
35	32, 12, 34	syl2an2r 686	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)‘𝑥) = 𝑈)
36	35	mpteq2dva 5178	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)‘𝑥)) = (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))
37	36	oveq2d 7383	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)‘𝑥))) = (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈)))
38	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑌 ∈ CMnd)
39		cmnmnd 19772	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CMnd → 𝑅 ∈ Mnd)
40	5, 39	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Mnd)
41	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐽 ∈ 𝑊)
42	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑉)
43	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ 𝑋)
44	40	fmpttd 7067	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅):𝐼⟶Mnd)
45	44	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅):𝐼⟶Mnd)
46	1, 2, 42, 43, 45, 32	prdspjmhm 18797	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ↦ (𝑎‘𝑥)) ∈ (𝑌 MndHom ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥)))
47		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)
48	47	fvmpt2 6959	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑅 ∈ CMnd) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥) = 𝑅)
49	32, 5, 48	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥) = 𝑅)
50	49	oveq2d 7383	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑌 MndHom ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥)) = (𝑌 MndHom 𝑅))
51	46, 50	eleqtrd 2838	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ↦ (𝑎‘𝑥)) ∈ (𝑌 MndHom 𝑅))
52	19	adantlr 716	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈) ∈ (Base‘𝑌))
53	21	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)) finSupp 0 )
54		fveq1 6839	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈) → (𝑎‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)‘𝑥))
55		fveq1 6839	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) → (𝑎‘𝑥) = ((𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))‘𝑥))
56	2, 8, 38, 40, 41, 51, 52, 53, 54, 55	gsummhm2 19914	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)‘𝑥))) = ((𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))‘𝑥))
57	37, 56	eqtr3d 2773	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈)) = ((𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))‘𝑥))
58	57	mpteq2dva 5178	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))‘𝑥)))
59	31, 58	eqtr4d 2774	1 ⊢ (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166   Fn wfn 6493  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   finSupp cfsupp 9274  Basecbs 17179  0_gc0g 17402   Σ_g cgsu 17403  X_scprds 17408  Mndcmnd 18702   MndHom cmhm 18749  CMndccmn 19755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-sup 9355  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-hash 14293  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-prds 17410  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18751  df-cntz 19292  df-cmn 19757

This theorem is referenced by:  pwsgsum  19957