MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsgsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsgsum 18818
Description: Finite commutative sums in a product structure are taken componentwise. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsgsum.y 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))
prdsgsum.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
prdsgsum.z 0 = (0g𝑌)
prdsgsum.i (𝜑𝐼𝑉)
prdsgsum.j (𝜑𝐽𝑊)
prdsgsum.s (𝜑𝑆𝑋)
prdsgsum.r ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅 ∈ CMnd)
prdsgsum.f ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐽)) → 𝑈𝐵)
prdsgsum.w (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)) finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
prdsgsum (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐼   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)   0 (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem prdsgsum
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsgsum.y . . . 4 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))
2 eqid 2794 . . . 4 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
3 prdsgsum.s . . . 4 (𝜑𝑆𝑋)
4 prdsgsum.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑉)
5 prdsgsum.r . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅 ∈ CMnd)
65fmpttd 6745 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐼𝑅):𝐼⟶CMnd)
76ffnd 6386 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐼𝑅) Fn 𝐼)
8 prdsgsum.z . . . . 5 0 = (0g𝑌)
91, 4, 3, 6prdscmnd 18704 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ CMnd)
10 prdsgsum.j . . . . 5 (𝜑𝐽𝑊)
11 prdsgsum.f . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐽)) → 𝑈𝐵)
1211anassrs 468 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → 𝑈𝐵)
1312an32s 648 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝐽) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑈𝐵)
1413ralrimiva 3148 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐽) → ∀𝑥𝐼 𝑈𝐵)
155ralrimiva 3148 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 𝑅 ∈ CMnd)
16 prdsgsum.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑅)
171, 2, 3, 4, 15, 16prdsbasmpt2 16584 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥𝐼𝑈) ∈ (Base‘𝑌) ↔ ∀𝑥𝐼 𝑈𝐵))
1817adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐽) → ((𝑥𝐼𝑈) ∈ (Base‘𝑌) ↔ ∀𝑥𝐼 𝑈𝐵))
1914, 18mpbird 258 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐽) → (𝑥𝐼𝑈) ∈ (Base‘𝑌))
2019fmpttd 6745 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)):𝐽⟶(Base‘𝑌))
21 prdsgsum.w . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)) finSupp 0 )
222, 8, 9, 10, 20, 21gsumcl 18756 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) ∈ (Base‘𝑌))
231, 2, 3, 4, 7, 22prdsbasfn 16573 . . 3 (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) Fn 𝐼)
24 nfcv 2948 . . . . 5 𝑥𝑌
25 nfcv 2948 . . . . 5 𝑥 Σg
26 nfcv 2948 . . . . . 6 𝑥𝐽
27 nfmpt1 5061 . . . . . 6 𝑥(𝑥𝐼𝑈)
2826, 27nfmpt 5060 . . . . 5 𝑥(𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))
2924, 25, 28nfov 7049 . . . 4 𝑥(𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)))
3029dffn5f 6607 . . 3 ((𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) Fn 𝐼 ↔ (𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)))‘𝑥)))
3123, 30sylib 219 . 2 (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)))‘𝑥)))
32 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
33 eqid 2794 . . . . . . . 8 (𝑥𝐼𝑈) = (𝑥𝐼𝑈)
3433fvmpt2 6648 . . . . . . 7 ((𝑥𝐼𝑈𝐵) → ((𝑥𝐼𝑈)‘𝑥) = 𝑈)
3532, 12, 34syl2an2r 681 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → ((𝑥𝐼𝑈)‘𝑥) = 𝑈)
3635mpteq2dva 5058 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑦𝐽 ↦ ((𝑥𝐼𝑈)‘𝑥)) = (𝑦𝐽𝑈))
3736oveq2d 7035 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑅 Σg (𝑦𝐽 ↦ ((𝑥𝐼𝑈)‘𝑥))) = (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈)))
389adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑌 ∈ CMnd)
39 cmnmnd 18648 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CMnd → 𝑅 ∈ Mnd)
405, 39syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅 ∈ Mnd)
4110adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐽𝑊)
424adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐼𝑉)
433adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆𝑋)
4440fmpttd 6745 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐼𝑅):𝐼⟶Mnd)
4544adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑥𝐼𝑅):𝐼⟶Mnd)
461, 2, 42, 43, 45, 32prdspjmhm 17806 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ↦ (𝑎𝑥)) ∈ (𝑌 MndHom ((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥)))
47 eqid 2794 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐼𝑅) = (𝑥𝐼𝑅)
4847fvmpt2 6648 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐼𝑅 ∈ CMnd) → ((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥) = 𝑅)
4932, 5, 48syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥) = 𝑅)
5049oveq2d 7035 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑌 MndHom ((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥)) = (𝑌 MndHom 𝑅))
5146, 50eleqtrd 2884 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ↦ (𝑎𝑥)) ∈ (𝑌 MndHom 𝑅))
5219adantlr 711 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → (𝑥𝐼𝑈) ∈ (Base‘𝑌))
5321adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)) finSupp 0 )
54 fveq1 6540 . . . . 5 (𝑎 = (𝑥𝐼𝑈) → (𝑎𝑥) = ((𝑥𝐼𝑈)‘𝑥))
55 fveq1 6540 . . . . 5 (𝑎 = (𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) → (𝑎𝑥) = ((𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)))‘𝑥))
562, 8, 38, 40, 41, 51, 52, 53, 54, 55gsummhm2 18779 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑅 Σg (𝑦𝐽 ↦ ((𝑥𝐼𝑈)‘𝑥))) = ((𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)))‘𝑥))
5737, 56eqtr3d 2832 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈)) = ((𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)))‘𝑥))
5857mpteq2dva 5058 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)))‘𝑥)))
5931, 58eqtr4d 2833 1 (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1522  wcel 2080  wral 3104   class class class wbr 4964  cmpt 5043   Fn wfn 6223  wf 6224  cfv 6228  (class class class)co 7019   finSupp cfsupp 8682  Basecbs 16312  0gc0g 16542   Σg cgsu 16543  Xscprds 16548  Mndcmnd 17733   MndHom cmhm 17772  CMndccmn 18633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-rep 5084  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322  ax-cnex 10442  ax-resscn 10443  ax-1cn 10444  ax-icn 10445  ax-addcl 10446  ax-addrcl 10447  ax-mulcl 10448  ax-mulrcl 10449  ax-mulcom 10450  ax-addass 10451  ax-mulass 10452  ax-distr 10453  ax-i2m1 10454  ax-1ne0 10455  ax-1rid 10456  ax-rnegex 10457  ax-rrecex 10458  ax-cnre 10459  ax-pre-lttri 10460  ax-pre-lttrn 10461  ax-pre-ltadd 10462  ax-pre-mulgt0 10463
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-nel 3090  df-ral 3109  df-rex 3110  df-reu 3111  df-rmo 3112  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-tp 4479  df-op 4481  df-uni 4748  df-int 4785  df-iun 4829  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-tr 5067  df-id 5351  df-eprel 5356  df-po 5365  df-so 5366  df-fr 5405  df-se 5406  df-we 5407  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-pred 6026  df-ord 6072  df-on 6073  df-lim 6074  df-suc 6075  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-f1 6233  df-fo 6234  df-f1o 6235  df-fv 6236  df-isom 6237  df-riota 6980  df-ov 7022  df-oprab 7023  df-mpo 7024  df-om 7440  df-1st 7548  df-2nd 7549  df-supp 7685  df-wrecs 7801  df-recs 7863  df-rdg 7901  df-1o 7956  df-oadd 7960  df-er 8142  df-map 8261  df-ixp 8314  df-en 8361  df-dom 8362  df-sdom 8363  df-fin 8364  df-fsupp 8683  df-sup 8755  df-oi 8823  df-card 9217  df-pnf 10526  df-mnf 10527  df-xr 10528  df-ltxr 10529  df-le 10530  df-sub 10721  df-neg 10722  df-nn 11489  df-2 11550  df-3 11551  df-4 11552  df-5 11553  df-6 11554  df-7 11555  df-8 11556  df-9 11557  df-n0 11748  df-z 11832  df-dec 11949  df-uz 12094  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-seq 13220  df-hash 13541  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-ip 16412  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-hom 16418  df-cco 16419  df-0g 16544  df-gsum 16545  df-prds 16550  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-mhm 17774  df-cntz 18188  df-cmn 18635
This theorem is referenced by:  pwsgsum  18819
  Copyright terms: Public domain W3C validator