MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsgsum Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem prdsgsum 19935
Description: Finite commutative sums in a product structure are taken componentwise. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsgsum.y π‘Œ = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
prdsgsum.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
prdsgsum.z 0 = (0gβ€˜π‘Œ)
prdsgsum.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
prdsgsum.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ π‘Š)
prdsgsum.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑋)
prdsgsum.r ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
prdsgsum.f ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐡)
prdsgsum.w (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)) finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
prdsgsum (πœ‘ β†’ (π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ π‘ˆ))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐼   π‘₯,𝐽,𝑦   π‘₯,π‘Œ,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯,𝑦)   𝑅(π‘₯,𝑦)   𝑆(π‘₯,𝑦)   π‘ˆ(π‘₯,𝑦)   𝑉(π‘₯,𝑦)   π‘Š(π‘₯,𝑦)   𝑋(π‘₯,𝑦)   0 (π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem prdsgsum
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsgsum.y . . . 4 π‘Œ = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
2 eqid 2728 . . . 4 (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ)
3 prdsgsum.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑋)
4 prdsgsum.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
5 prdsgsum.r . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
65fmpttd 7125 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅):𝐼⟢CMnd)
76ffnd 6723 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) Fn 𝐼)
8 prdsgsum.z . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘Œ)
91, 4, 3, 6prdscmnd 19815 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ CMnd)
10 prdsgsum.j . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ π‘Š)
11 prdsgsum.f . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐡)
1211anassrs 467 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐡)
1312an32s 651 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐡)
1413ralrimiva 3143 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 π‘ˆ ∈ 𝐡)
155ralrimiva 3143 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝑅 ∈ CMnd)
16 prdsgsum.b . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
171, 2, 3, 4, 15, 16prdsbasmpt2 17463 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 π‘ˆ ∈ 𝐡))
1817adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 π‘ˆ ∈ 𝐡))
1914, 18mpbird 257 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
2019fmpttd 7125 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)):𝐽⟢(Baseβ€˜π‘Œ))
21 prdsgsum.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)) finSupp 0 )
222, 8, 9, 10, 20, 21gsumcl 19869 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
231, 2, 3, 4, 7, 22prdsbasfn 17452 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))) Fn 𝐼)
24 nfcv 2899 . . . . 5 β„²π‘₯π‘Œ
25 nfcv 2899 . . . . 5 β„²π‘₯ Ξ£g
26 nfcv 2899 . . . . . 6 β„²π‘₯𝐽
27 nfmpt1 5256 . . . . . 6 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)
2826, 27nfmpt 5255 . . . . 5 β„²π‘₯(𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))
2924, 25, 28nfov 7450 . . . 4 β„²π‘₯(π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)))
3029dffn5f 6970 . . 3 ((π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))) Fn 𝐼 ↔ (π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)))β€˜π‘₯)))
3123, 30sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)))β€˜π‘₯)))
32 simpr 484 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
33 eqid 2728 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)
3433fvmpt2 7016 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)β€˜π‘₯) = π‘ˆ)
3532, 12, 34syl2an2r 684 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)β€˜π‘₯) = π‘ˆ)
3635mpteq2dva 5248 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)β€˜π‘₯)) = (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ π‘ˆ))
3736oveq2d 7436 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)β€˜π‘₯))) = (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ π‘ˆ)))
389adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ π‘Œ ∈ CMnd)
39 cmnmnd 19751 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CMnd β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
405, 39syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
4110adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐽 ∈ π‘Š)
424adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
433adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑆 ∈ 𝑋)
4440fmpttd 7125 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅):𝐼⟢Mnd)
4544adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅):𝐼⟢Mnd)
461, 2, 42, 43, 45, 32prdspjmhm 18780 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ↦ (π‘Žβ€˜π‘₯)) ∈ (π‘Œ MndHom ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘₯)))
47 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)
4847fvmpt2 7016 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ 𝑅 ∈ CMnd) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘₯) = 𝑅)
4932, 5, 48syl2anc 583 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘₯) = 𝑅)
5049oveq2d 7436 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘Œ MndHom ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘₯)) = (π‘Œ MndHom 𝑅))
5146, 50eleqtrd 2831 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ↦ (π‘Žβ€˜π‘₯)) ∈ (π‘Œ MndHom 𝑅))
5219adantlr 714 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
5321adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)) finSupp 0 )
54 fveq1 6896 . . . . 5 (π‘Ž = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ) β†’ (π‘Žβ€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)β€˜π‘₯))
55 fveq1 6896 . . . . 5 (π‘Ž = (π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))) β†’ (π‘Žβ€˜π‘₯) = ((π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)))β€˜π‘₯))
562, 8, 38, 40, 41, 51, 52, 53, 54, 55gsummhm2 19893 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)β€˜π‘₯))) = ((π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)))β€˜π‘₯))
5737, 56eqtr3d 2770 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ π‘ˆ)) = ((π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)))β€˜π‘₯))
5857mpteq2dva 5248 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ π‘ˆ))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)))β€˜π‘₯)))
5931, 58eqtr4d 2771 1 (πœ‘ β†’ (π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ π‘ˆ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3058   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Fn wfn 6543  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   finSupp cfsupp 9385  Basecbs 17179  0gc0g 17420   Ξ£g cgsu 17421  Xscprds 17426  Mndcmnd 18693   MndHom cmhm 18737  CMndccmn 19734
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-map 8846  df-ixp 8916  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-fsupp 9386  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-hash 14322  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-prds 17428  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-cntz 19267  df-cmn 19736
This theorem is referenced by:  pwsgsum  19936
  Copyright terms: Public domain W3C validator