MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsgsum Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem prdsgsum 19848
Description: Finite commutative sums in a product structure are taken componentwise. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsgsum.y π‘Œ = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
prdsgsum.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
prdsgsum.z 0 = (0gβ€˜π‘Œ)
prdsgsum.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
prdsgsum.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ π‘Š)
prdsgsum.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑋)
prdsgsum.r ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
prdsgsum.f ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐡)
prdsgsum.w (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)) finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
prdsgsum (πœ‘ β†’ (π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ π‘ˆ))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐼   π‘₯,𝐽,𝑦   π‘₯,π‘Œ,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯,𝑦)   𝑅(π‘₯,𝑦)   𝑆(π‘₯,𝑦)   π‘ˆ(π‘₯,𝑦)   𝑉(π‘₯,𝑦)   π‘Š(π‘₯,𝑦)   𝑋(π‘₯,𝑦)   0 (π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem prdsgsum
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsgsum.y . . . 4 π‘Œ = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
2 eqid 2732 . . . 4 (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ)
3 prdsgsum.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑋)
4 prdsgsum.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
5 prdsgsum.r . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
65fmpttd 7114 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅):𝐼⟢CMnd)
76ffnd 6718 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) Fn 𝐼)
8 prdsgsum.z . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘Œ)
91, 4, 3, 6prdscmnd 19728 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ CMnd)
10 prdsgsum.j . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ π‘Š)
11 prdsgsum.f . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐡)
1211anassrs 468 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐡)
1312an32s 650 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐡)
1413ralrimiva 3146 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 π‘ˆ ∈ 𝐡)
155ralrimiva 3146 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝑅 ∈ CMnd)
16 prdsgsum.b . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
171, 2, 3, 4, 15, 16prdsbasmpt2 17427 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 π‘ˆ ∈ 𝐡))
1817adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 π‘ˆ ∈ 𝐡))
1914, 18mpbird 256 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
2019fmpttd 7114 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)):𝐽⟢(Baseβ€˜π‘Œ))
21 prdsgsum.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)) finSupp 0 )
222, 8, 9, 10, 20, 21gsumcl 19782 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
231, 2, 3, 4, 7, 22prdsbasfn 17416 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))) Fn 𝐼)
24 nfcv 2903 . . . . 5 β„²π‘₯π‘Œ
25 nfcv 2903 . . . . 5 β„²π‘₯ Ξ£g
26 nfcv 2903 . . . . . 6 β„²π‘₯𝐽
27 nfmpt1 5256 . . . . . 6 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)
2826, 27nfmpt 5255 . . . . 5 β„²π‘₯(𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))
2924, 25, 28nfov 7438 . . . 4 β„²π‘₯(π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)))
3029dffn5f 6963 . . 3 ((π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))) Fn 𝐼 ↔ (π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)))β€˜π‘₯)))
3123, 30sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)))β€˜π‘₯)))
32 simpr 485 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
33 eqid 2732 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)
3433fvmpt2 7009 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)β€˜π‘₯) = π‘ˆ)
3532, 12, 34syl2an2r 683 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)β€˜π‘₯) = π‘ˆ)
3635mpteq2dva 5248 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)β€˜π‘₯)) = (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ π‘ˆ))
3736oveq2d 7424 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)β€˜π‘₯))) = (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ π‘ˆ)))
389adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ π‘Œ ∈ CMnd)
39 cmnmnd 19664 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CMnd β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
405, 39syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
4110adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐽 ∈ π‘Š)
424adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
433adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑆 ∈ 𝑋)
4440fmpttd 7114 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅):𝐼⟢Mnd)
4544adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅):𝐼⟢Mnd)
461, 2, 42, 43, 45, 32prdspjmhm 18709 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ↦ (π‘Žβ€˜π‘₯)) ∈ (π‘Œ MndHom ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘₯)))
47 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)
4847fvmpt2 7009 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ 𝑅 ∈ CMnd) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘₯) = 𝑅)
4932, 5, 48syl2anc 584 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘₯) = 𝑅)
5049oveq2d 7424 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘Œ MndHom ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘₯)) = (π‘Œ MndHom 𝑅))
5146, 50eleqtrd 2835 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ↦ (π‘Žβ€˜π‘₯)) ∈ (π‘Œ MndHom 𝑅))
5219adantlr 713 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
5321adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)) finSupp 0 )
54 fveq1 6890 . . . . 5 (π‘Ž = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ) β†’ (π‘Žβ€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)β€˜π‘₯))
55 fveq1 6890 . . . . 5 (π‘Ž = (π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))) β†’ (π‘Žβ€˜π‘₯) = ((π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)))β€˜π‘₯))
562, 8, 38, 40, 41, 51, 52, 53, 54, 55gsummhm2 19806 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)β€˜π‘₯))) = ((π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)))β€˜π‘₯))
5737, 56eqtr3d 2774 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ π‘ˆ)) = ((π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)))β€˜π‘₯))
5857mpteq2dva 5248 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ π‘ˆ))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)))β€˜π‘₯)))
5931, 58eqtr4d 2775 1 (πœ‘ β†’ (π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ π‘ˆ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   finSupp cfsupp 9360  Basecbs 17143  0gc0g 17384   Ξ£g cgsu 17385  Xscprds 17390  Mndcmnd 18624   MndHom cmhm 18668  CMndccmn 19647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-hash 14290  df-struct 17079  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-prds 17392  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-cntz 19180  df-cmn 19649
This theorem is referenced by:  pwsgsum  19849
  Copyright terms: Public domain W3C validator