Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsgsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsgsum 19094
 Description: Finite commutative sums in a product structure are taken componentwise. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsgsum.y 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))
prdsgsum.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
prdsgsum.z 0 = (0g𝑌)
prdsgsum.i (𝜑𝐼𝑉)
prdsgsum.j (𝜑𝐽𝑊)
prdsgsum.s (𝜑𝑆𝑋)
prdsgsum.r ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅 ∈ CMnd)
prdsgsum.f ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐽)) → 𝑈𝐵)
prdsgsum.w (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)) finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
prdsgsum (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐼   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)   0 (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem prdsgsum
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsgsum.y . . . 4 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))
2 eqid 2798 . . . 4 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
3 prdsgsum.s . . . 4 (𝜑𝑆𝑋)
4 prdsgsum.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑉)
5 prdsgsum.r . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅 ∈ CMnd)
65fmpttd 6856 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐼𝑅):𝐼⟶CMnd)
76ffnd 6488 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐼𝑅) Fn 𝐼)
8 prdsgsum.z . . . . 5 0 = (0g𝑌)
91, 4, 3, 6prdscmnd 18974 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ CMnd)
10 prdsgsum.j . . . . 5 (𝜑𝐽𝑊)
11 prdsgsum.f . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐽)) → 𝑈𝐵)
1211anassrs 471 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → 𝑈𝐵)
1312an32s 651 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝐽) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑈𝐵)
1413ralrimiva 3149 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐽) → ∀𝑥𝐼 𝑈𝐵)
155ralrimiva 3149 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 𝑅 ∈ CMnd)
16 prdsgsum.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑅)
171, 2, 3, 4, 15, 16prdsbasmpt2 16747 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥𝐼𝑈) ∈ (Base‘𝑌) ↔ ∀𝑥𝐼 𝑈𝐵))
1817adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐽) → ((𝑥𝐼𝑈) ∈ (Base‘𝑌) ↔ ∀𝑥𝐼 𝑈𝐵))
1914, 18mpbird 260 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐽) → (𝑥𝐼𝑈) ∈ (Base‘𝑌))
2019fmpttd 6856 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)):𝐽⟶(Base‘𝑌))
21 prdsgsum.w . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)) finSupp 0 )
222, 8, 9, 10, 20, 21gsumcl 19028 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) ∈ (Base‘𝑌))
231, 2, 3, 4, 7, 22prdsbasfn 16736 . . 3 (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) Fn 𝐼)
24 nfcv 2955 . . . . 5 𝑥𝑌
25 nfcv 2955 . . . . 5 𝑥 Σg
26 nfcv 2955 . . . . . 6 𝑥𝐽
27 nfmpt1 5128 . . . . . 6 𝑥(𝑥𝐼𝑈)
2826, 27nfmpt 5127 . . . . 5 𝑥(𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))
2924, 25, 28nfov 7165 . . . 4 𝑥(𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)))
3029dffn5f 6711 . . 3 ((𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) Fn 𝐼 ↔ (𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)))‘𝑥)))
3123, 30sylib 221 . 2 (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)))‘𝑥)))
32 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
33 eqid 2798 . . . . . . . 8 (𝑥𝐼𝑈) = (𝑥𝐼𝑈)
3433fvmpt2 6756 . . . . . . 7 ((𝑥𝐼𝑈𝐵) → ((𝑥𝐼𝑈)‘𝑥) = 𝑈)
3532, 12, 34syl2an2r 684 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → ((𝑥𝐼𝑈)‘𝑥) = 𝑈)
3635mpteq2dva 5125 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑦𝐽 ↦ ((𝑥𝐼𝑈)‘𝑥)) = (𝑦𝐽𝑈))
3736oveq2d 7151 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑅 Σg (𝑦𝐽 ↦ ((𝑥𝐼𝑈)‘𝑥))) = (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈)))
389adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑌 ∈ CMnd)
39 cmnmnd 18914 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CMnd → 𝑅 ∈ Mnd)
405, 39syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅 ∈ Mnd)
4110adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐽𝑊)
424adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐼𝑉)
433adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆𝑋)
4440fmpttd 6856 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐼𝑅):𝐼⟶Mnd)
4544adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑥𝐼𝑅):𝐼⟶Mnd)
461, 2, 42, 43, 45, 32prdspjmhm 17985 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ↦ (𝑎𝑥)) ∈ (𝑌 MndHom ((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥)))
47 eqid 2798 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐼𝑅) = (𝑥𝐼𝑅)
4847fvmpt2 6756 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐼𝑅 ∈ CMnd) → ((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥) = 𝑅)
4932, 5, 48syl2anc 587 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥) = 𝑅)
5049oveq2d 7151 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑌 MndHom ((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥)) = (𝑌 MndHom 𝑅))
5146, 50eleqtrd 2892 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ↦ (𝑎𝑥)) ∈ (𝑌 MndHom 𝑅))
5219adantlr 714 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → (𝑥𝐼𝑈) ∈ (Base‘𝑌))
5321adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)) finSupp 0 )
54 fveq1 6644 . . . . 5 (𝑎 = (𝑥𝐼𝑈) → (𝑎𝑥) = ((𝑥𝐼𝑈)‘𝑥))
55 fveq1 6644 . . . . 5 (𝑎 = (𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) → (𝑎𝑥) = ((𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)))‘𝑥))
562, 8, 38, 40, 41, 51, 52, 53, 54, 55gsummhm2 19052 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑅 Σg (𝑦𝐽 ↦ ((𝑥𝐼𝑈)‘𝑥))) = ((𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)))‘𝑥))
5737, 56eqtr3d 2835 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈)) = ((𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)))‘𝑥))
5857mpteq2dva 5125 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)))‘𝑥)))
5931, 58eqtr4d 2836 1 (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110   Fn wfn 6319  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   finSupp cfsupp 8817  Basecbs 16475  0gc0g 16705   Σg cgsu 16706  Xscprds 16711  Mndcmnd 17903   MndHom cmhm 17946  CMndccmn 18898 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-sup 8890  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-hash 13687  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-hom 16581  df-cco 16582  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-prds 16713  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-cntz 18439  df-cmn 18900 This theorem is referenced by:  pwsgsum  19095
 Copyright terms: Public domain W3C validator