Theorem chpidmat 22803

Description: The characteristic polynomial of the identity matrix. (Contributed by AV, 19-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
chp0mat.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chp0mat.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
chp0mat.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chp0mat.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
chp0mat.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
chp0mat.m	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
chpidmat.i	⊢ 𝐼 = (1r‘𝐴)
chpidmat.s	⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
chpidmat.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
chpidmat.m	⊢ − = (-g‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
chpidmat	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐶‘𝐼) = ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋 − (𝑆‘ 1 ))))

Proof of Theorem chpidmat

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑁 ∈ Fin)
2		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ CRing)
3		crngring 20192	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
4		chp0mat.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5	4	matring 22399	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
6	3, 5	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ Ring)
7		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
8		chpidmat.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (1r‘𝐴)
9	7, 8	ringidcl 20212	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝐼 ∈ (Base‘𝐴))
10	6, 9	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐼 ∈ (Base‘𝐴))
11		chpidmat.1	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
12		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
13	1	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → 𝑁 ∈ Fin)
14	3	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ Ring)
15	14	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → 𝑅 ∈ Ring)
16		simplrl 777	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → 𝑖 ∈ 𝑁)
17		simplrr 778	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → 𝑗 ∈ 𝑁)
18	4, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 8	mat1ov 22404	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → (𝑖𝐼𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 1 , (0g‘𝑅)))
19		ifnefalse 4493	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ≠ 𝑗 → if(𝑖 = 𝑗, 1 , (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
20	19	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → if(𝑖 = 𝑗, 1 , (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
21	18, 20	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → (𝑖𝐼𝑗) = (0g‘𝑅))
22	21	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝐼𝑗) = (0g‘𝑅)))
23	22	ralrimivva 3181	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝐼𝑗) = (0g‘𝑅)))
24		chp0mat.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
25		chp0mat.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
26		chpidmat.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
27		chp0mat.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
28		chp0mat.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
29		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
30	24, 25, 4, 26, 7, 27, 12, 28, 29	chpdmat 22797	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝐼𝑗) = (0g‘𝑅))) → (𝐶‘𝐼) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘(𝑘𝐼𝑘))))))
31	1, 2, 10, 23, 30	syl31anc 1376	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐶‘𝐼) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘(𝑘𝐼𝑘))))))
32	1	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
33	14	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
34		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑁)
35	4, 11, 12, 32, 33, 34, 34, 8	mat1ov 22404	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑘𝐼𝑘) = if(𝑘 = 𝑘, 1 , (0g‘𝑅)))
36		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑘 = 𝑘
37	36	iftruei 4488	. . . . . . . 8 ⊢ if(𝑘 = 𝑘, 1 , (0g‘𝑅)) = 1
38	35, 37	eqtrdi 2788	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑘𝐼𝑘) = 1 )
39	38	fveq2d 6846	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑆‘(𝑘𝐼𝑘)) = (𝑆‘ 1 ))
40	39	oveq2d 7384	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘(𝑘𝐼𝑘))) = (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 )))
41	40	mpteq2dva 5193	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘(𝑘𝐼𝑘)))) = (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 ))))
42	41	oveq2d 7384	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘(𝑘𝐼𝑘))))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 )))))
43	25	ply1crng 22151	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
44	28	crngmgp 20188	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
45		cmnmnd 19738	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
46	43, 44, 45	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Mnd)
47	46	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐺 ∈ Mnd)
48	25	ply1ring 22200	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
49		ringgrp 20185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
51		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
52	27, 25, 51	vr1cl 22170	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
53		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
54	25, 26, 11, 53	ply1scl1 22247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑆‘ 1 ) = (1r‘𝑃))
55	51, 53	ringidcl 20212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (1r‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
56	48, 55	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
57	54, 56	eqeltrd 2837	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑆‘ 1 ) ∈ (Base‘𝑃))
58	50, 52, 57	3jca 1129	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑆‘ 1 ) ∈ (Base‘𝑃)))
59	3, 58	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑆‘ 1 ) ∈ (Base‘𝑃)))
60	59	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑆‘ 1 ) ∈ (Base‘𝑃)))
61	51, 29	grpsubcl 18962	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑆‘ 1 ) ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 )) ∈ (Base‘𝑃))
62	60, 61	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 )) ∈ (Base‘𝑃))
63	28, 51	mgpbas 20092	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝐺)
64	62, 63	eleqtrdi 2847	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 )) ∈ (Base‘𝐺))
65		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
66		chp0mat.m	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
67	65, 66	gsumconst 19875	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 )) ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 )))) = ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 ))))
68		chpidmat.m	. . . . . . . 8 ⊢ − = (-g‘𝑃)
69	68	eqcomi 2746	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝑃) = −
70	69	oveqi 7381	. . . . . 6 ⊢ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 )) = (𝑋 − (𝑆‘ 1 ))
71	70	oveq2i 7379	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 ))) = ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋 − (𝑆‘ 1 )))
72	67, 71	eqtrdi 2788	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 )) ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 )))) = ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋 − (𝑆‘ 1 ))))
73	47, 1, 64, 72	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 )))) = ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋 − (𝑆‘ 1 ))))
74	42, 73	eqtrd 2772	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘(𝑘𝐼𝑘))))) = ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋 − (𝑆‘ 1 ))))
75	31, 74	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐶‘𝐼) = ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋 − (𝑆‘ 1 ))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ifcif 4481   ↦ cmpt 5181  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Fincfn 8895  ♯chash 14265  Basecbs 17148  0_gc0g 17371   Σ_g cgsu 17372  Mndcmnd 18671  Grpcgrp 18875  -_gcsg 18877  ._gcmg 19009  CMndccmn 19721  mulGrpcmgp 20087  1_rcur 20128  Ringcrg 20180  CRingccrg 20181  algSccascl 21819  var₁cv1 22128  Poly₁cpl1 22129   Mat cmat 22363   CharPlyMat cchpmat 22782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1514  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-ot 4591  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-ofr 7633  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-sup 9357  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-word 14449  df-lsw 14498  df-concat 14506  df-s1 14532  df-substr 14577  df-pfx 14607  df-splice 14685  df-reverse 14694  df-s2 14783  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-prds 17379  df-pws 17381  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mhm 18720  df-submnd 18721  df-efmnd 18806  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19010  df-subg 19065  df-ghm 19154  df-gim 19200  df-cntz 19258  df-oppg 19287  df-symg 19311  df-pmtr 19383  df-psgn 19432  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-oppr 20285  df-dvdsr 20305  df-unit 20306  df-invr 20336  df-dvr 20349  df-rhm 20420  df-subrng 20491  df-subrg 20515  df-drng 20676  df-lmod 20825  df-lss 20895  df-sra 21137  df-rgmod 21138  df-cnfld 21322  df-zring 21414  df-zrh 21470  df-dsmm 21699  df-frlm 21714  df-ascl 21822  df-psr 21877  df-mvr 21878  df-mpl 21879  df-opsr 21881  df-psr1 22132  df-vr1 22133  df-ply1 22134  df-mamu 22347  df-mat 22364  df-mdet 22541  df-mat2pmat 22663  df-chpmat 22783

This theorem is referenced by: (None)