Theorem chpidmat 23198

Description: The characteristic polynomial of the identity matrix. (Contributed by AV, 19-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
chp0mat.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chp0mat.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
chp0mat.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chp0mat.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
chp0mat.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
chp0mat.m	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
chpidmat.i	⊢ 𝐼 = (1r‘𝐴)
chpidmat.s	⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
chpidmat.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
chpidmat.m	⊢ − = (-g‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
chpidmat	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐶‘𝐼) = ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋 − (𝑆‘ 1 ))))

Proof of Theorem chpidmat

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑁 ∈ Fin)
2		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ CRing)
3		crngring 20505	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
4		chp0mat.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5	4	matring 22791	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
6	3, 5	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ Ring)
7		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
8		chpidmat.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (1r‘𝐴)
9	7, 8	ringidcl 20527	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝐼 ∈ (Base‘𝐴))
10	6, 9	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐼 ∈ (Base‘𝐴))
11		chpidmat.1	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
12		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
13	1	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → 𝑁 ∈ Fin)
14	3	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ Ring)
15	14	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → 𝑅 ∈ Ring)
16		simplrl 789	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → 𝑖 ∈ 𝑁)
17		simplrr 790	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → 𝑗 ∈ 𝑁)
18	4, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 8	mat1ov 22796	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → (𝑖𝐼𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 1 , (0g‘𝑅)))
19		ifnefalse 4497	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ≠ 𝑗 → if(𝑖 = 𝑗, 1 , (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
20	19	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → if(𝑖 = 𝑗, 1 , (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
21	18, 20	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → (𝑖𝐼𝑗) = (0g‘𝑅))
22	21	ex 418	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝐼𝑗) = (0g‘𝑅)))
23	22	ralrimivva 3209	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝐼𝑗) = (0g‘𝑅)))
24		chp0mat.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
25		chp0mat.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
26		chpidmat.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
27		chp0mat.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
28		chp0mat.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
29		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
30	24, 25, 4, 26, 7, 27, 12, 28, 29	chpdmat 23192	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝐼𝑗) = (0g‘𝑅))) → (𝐶‘𝐼) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘(𝑘𝐼𝑘))))))
31	1, 2, 10, 23, 30	syl31anc 1401	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐶‘𝐼) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘(𝑘𝐼𝑘))))))
32	1	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
33	14	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
34		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑁)
35	4, 11, 12, 32, 33, 34, 34, 8	mat1ov 22796	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑘𝐼𝑘) = if(𝑘 = 𝑘, 1 , (0g‘𝑅)))
36		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑘 = 𝑘
37	36	iftruei 4492	. . . . . . . 8 ⊢ if(𝑘 = 𝑘, 1 , (0g‘𝑅)) = 1
38	35, 37	eqtrdi 2814	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑘𝐼𝑘) = 1 )
39	38	fveq2d 6915	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑆‘(𝑘𝐼𝑘)) = (𝑆‘ 1 ))
40	39	oveq2d 7462	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘(𝑘𝐼𝑘))) = (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 )))
41	40	mpteq2dva 5202	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘(𝑘𝐼𝑘)))) = (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 ))))
42	41	oveq2d 7462	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘(𝑘𝐼𝑘))))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 )))))
43	25	ply1crng 22549	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
44	28	crngmgp 20500	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
45		cmnmnd 20044	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
46	43, 44, 45	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Mnd)
47	46	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐺 ∈ Mnd)
48	25	ply1ring 22598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
49		ringgrp 20497	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
50	48, 49	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
51		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
52	27, 25, 51	vr1cl 22568	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
53		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
54	25, 26, 11, 53	ply1scl1 22644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑆‘ 1 ) = (1r‘𝑃))
55	51, 53	ringidcl 20527	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (1r‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
56	48, 55	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
57	54, 56	eqeltrd 2864	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑆‘ 1 ) ∈ (Base‘𝑃))
58	50, 52, 57	3jca 1146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑆‘ 1 ) ∈ (Base‘𝑃)))
59	3, 58	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑆‘ 1 ) ∈ (Base‘𝑃)))
60	59	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑆‘ 1 ) ∈ (Base‘𝑃)))
61	51, 29	grpsubcl 19262	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑆‘ 1 ) ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 )) ∈ (Base‘𝑃))
62	60, 61	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 )) ∈ (Base‘𝑃))
63	28, 51	mgpbas 20398	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝐺)
64	62, 63	eleqtrdi 2874	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 )) ∈ (Base‘𝐺))
65		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
66		chp0mat.m	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
67	65, 66	gsumconst 20181	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 )) ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 )))) = ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 ))))
68		chpidmat.m	. . . . . . . 8 ⊢ − = (-g‘𝑃)
69	68	eqcomi 2772	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝑃) = −
70	69	oveqi 7459	. . . . . 6 ⊢ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 )) = (𝑋 − (𝑆‘ 1 ))
71	70	oveq2i 7457	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 ))) = ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋 − (𝑆‘ 1 )))
72	67, 71	eqtrdi 2814	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 )) ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 )))) = ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋 − (𝑆‘ 1 ))))
73	47, 1, 64, 72	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 )))) = ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋 − (𝑆‘ 1 ))))
74	42, 73	eqtrd 2798	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘(𝑘𝐼𝑘))))) = ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋 − (𝑆‘ 1 ))))
75	31, 74	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐶‘𝐼) = ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋 − (𝑆‘ 1 ))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ifcif 4485   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  Fincfn 9004  ♯chash 14504  Basecbs 17419  0_gc0g 17642   Σ_g cgsu 17643  Mndcmnd 18955  Grpcgrp 19176  -_gcsg 19178  ._gcmg 19309  CMndccmn 20027  mulGrpcmgp 20393  1_rcur 20440  Ringcrg 20492  CRingccrg 20493  algSccascl 22193  var₁cv1 22527  Poly₁cpl1 22528   Mat cmat 22755   CharPlyMat cchpmat 23177

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-addf 11309  ax-mulf 11310

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1542  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-ot 4862  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-of 7720  df-ofr 7721  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-supp 8208  df-tpos 8274  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8748  df-map 8880  df-pm 8881  df-ixp 8957  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-fsupp 9385  df-sup 9464  df-oi 9534  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-xnn0 12710  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-rp 13151  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-seq 14175  df-exp 14235  df-hash 14505  df-word 14689  df-lsw 14738  df-concat 14746  df-s1 14773  df-substr 14820  df-pfx 14852  df-splice 14930  df-reverse 14939  df-s2 15030  df-struct 17357  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-starv 17475  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-ip 17478  df-tset 17479  df-ple 17480  df-ds 17482  df-unif 17483  df-hom 17484  df-cco 17485  df-0g 17644  df-gsum 17645  df-prds 17650  df-pws 17652  df-mre 17788  df-mrc 17789  df-acs 17791  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-mhm 19010  df-submnd 19011  df-efmnd 19097  df-grp 19179  df-minusg 19180  df-sbg 19181  df-mulg 19310  df-subg 19365  df-ghm 19460  df-gim 19505  df-cntz 19564  df-oppg 19593  df-symg 19617  df-pmtr 19689  df-psgn 19738  df-cmn 20029  df-abl 20030  df-mgp 20394  df-rng 20408  df-ur 20441  df-ring 20494  df-cring 20495  df-oppr 20600  df-dvdsr 20620  df-unit 20621  df-invr 20651  df-dvr 20664  df-rhm 20735  df-subrng 20831  df-subrg 20855  df-drng 21015  df-lmod 21170  df-lss 21240  df-sra 21481  df-rgmod 21482  df-cnfld 21712  df-zring 21786  df-zrh 21842  df-dsmm 22071  df-frlm 22086  df-ascl 22196  df-psr 22250  df-mvr 22251  df-mpl 22252  df-opsr 22254  df-psr1 22531  df-vr1 22532  df-ply1 22533  df-mamu 22739  df-mat 22756  df-mdet 22933  df-mat2pmat 23058  df-chpmat 23178

This theorem is used by: (None)