Theorem chpidmat 22985

Description: The characteristic polynomial of the identity matrix. (Contributed by AV, 19-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
chp0mat.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chp0mat.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
chp0mat.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chp0mat.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
chp0mat.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
chp0mat.m	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
chpidmat.i	⊢ 𝐼 = (1r‘𝐴)
chpidmat.s	⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
chpidmat.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
chpidmat.m	⊢ − = (-g‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
chpidmat	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐶‘𝐼) = ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋 − (𝑆‘ 1 ))))

Proof of Theorem chpidmat

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 487	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑁 ∈ Fin)
2		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ CRing)
3		crngring 20328	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
4		chp0mat.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5	4	matring 22581	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
6	3, 5	sylan2 604	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ Ring)
7		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
8		chpidmat.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (1r‘𝐴)
9	7, 8	ringidcl 20349	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝐼 ∈ (Base‘𝐴))
10	6, 9	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐼 ∈ (Base‘𝐴))
11		chpidmat.1	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
12		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
13	1	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → 𝑁 ∈ Fin)
14	3	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ Ring)
15	14	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → 𝑅 ∈ Ring)
16		simplrl 788	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → 𝑖 ∈ 𝑁)
17		simplrr 789	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → 𝑗 ∈ 𝑁)
18	4, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 8	mat1ov 22586	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → (𝑖𝐼𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 1 , (0g‘𝑅)))
19		ifnefalse 4500	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ≠ 𝑗 → if(𝑖 = 𝑗, 1 , (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
20	19	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → if(𝑖 = 𝑗, 1 , (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
21	18, 20	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → (𝑖𝐼𝑗) = (0g‘𝑅))
22	21	ex 417	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝐼𝑗) = (0g‘𝑅)))
23	22	ralrimivva 3208	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝐼𝑗) = (0g‘𝑅)))
24		chp0mat.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
25		chp0mat.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
26		chpidmat.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
27		chp0mat.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
28		chp0mat.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
29		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
30	24, 25, 4, 26, 7, 27, 12, 28, 29	chpdmat 22979	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝐼𝑗) = (0g‘𝑅))) → (𝐶‘𝐼) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘(𝑘𝐼𝑘))))))
31	1, 2, 10, 23, 30	syl31anc 1400	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐶‘𝐼) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘(𝑘𝐼𝑘))))))
32	1	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
33	14	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
34		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑁)
35	4, 11, 12, 32, 33, 34, 34, 8	mat1ov 22586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑘𝐼𝑘) = if(𝑘 = 𝑘, 1 , (0g‘𝑅)))
36		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑘 = 𝑘
37	36	iftruei 4495	. . . . . . . 8 ⊢ if(𝑘 = 𝑘, 1 , (0g‘𝑅)) = 1
38	35, 37	eqtrdi 2814	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑘𝐼𝑘) = 1 )
39	38	fveq2d 6887	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑆‘(𝑘𝐼𝑘)) = (𝑆‘ 1 ))
40	39	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘(𝑘𝐼𝑘))) = (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 )))
41	40	mpteq2dva 5205	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘(𝑘𝐼𝑘)))) = (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 ))))
42	41	oveq2d 7428	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘(𝑘𝐼𝑘))))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 )))))
43	25	ply1crng 22339	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
44	28	crngmgp 20324	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
45		cmnmnd 19868	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
46	43, 44, 45	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Mnd)
47	46	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐺 ∈ Mnd)
48	25	ply1ring 22388	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
49		ringgrp 20321	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
50	48, 49	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
51		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
52	27, 25, 51	vr1cl 22358	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
53		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
54	25, 26, 11, 53	ply1scl1 22434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑆‘ 1 ) = (1r‘𝑃))
55	51, 53	ringidcl 20349	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (1r‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
56	48, 55	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
57	54, 56	eqeltrd 2863	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑆‘ 1 ) ∈ (Base‘𝑃))
58	50, 52, 57	3jca 1146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑆‘ 1 ) ∈ (Base‘𝑃)))
59	3, 58	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑆‘ 1 ) ∈ (Base‘𝑃)))
60	59	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑆‘ 1 ) ∈ (Base‘𝑃)))
61	51, 29	grpsubcl 19087	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑆‘ 1 ) ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 )) ∈ (Base‘𝑃))
62	60, 61	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 )) ∈ (Base‘𝑃))
63	28, 51	mgpbas 20222	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝐺)
64	62, 63	eleqtrdi 2873	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 )) ∈ (Base‘𝐺))
65		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
66		chp0mat.m	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
67	65, 66	gsumconst 20005	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 )) ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 )))) = ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 ))))
68		chpidmat.m	. . . . . . . 8 ⊢ − = (-g‘𝑃)
69	68	eqcomi 2772	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝑃) = −
70	69	oveqi 7425	. . . . . 6 ⊢ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 )) = (𝑋 − (𝑆‘ 1 ))
71	70	oveq2i 7423	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 ))) = ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋 − (𝑆‘ 1 )))
72	67, 71	eqtrdi 2814	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 )) ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 )))) = ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋 − (𝑆‘ 1 ))))
73	47, 1, 64, 72	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 )))) = ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋 − (𝑆‘ 1 ))))
74	42, 73	eqtrd 2798	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘(𝑘𝐼𝑘))))) = ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋 − (𝑆‘ 1 ))))
75	31, 74	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐶‘𝐼) = ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋 − (𝑆‘ 1 ))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ifcif 4488   ↦ cmpt 5193  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Fincfn 8944  ♯chash 14368  Basecbs 17270  0_gc0g 17493   Σ_g cgsu 17494  Mndcmnd 18793  Grpcgrp 19001  -_gcsg 19003  ._gcmg 19134  CMndccmn 19851  mulGrpcmgp 20217  1_rcur 20264  Ringcrg 20316  CRingccrg 20317  algSccascl 21983  var₁cv1 22317  Poly₁cpl1 22318   Mat cmat 22545   CharPlyMat cchpmat 22964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-addf 11180  ax-mulf 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1542  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-tpos 8223  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-sup 9403  df-oi 9473  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-xnn0 12579  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-rp 13018  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14369  df-word 14553  df-lsw 14602  df-concat 14610  df-s1 14636  df-substr 14681  df-pfx 14711  df-splice 14789  df-reverse 14798  df-s2 14887  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-prds 17501  df-pws 17503  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-mhm 18842  df-submnd 18843  df-efmnd 18929  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-sbg 19006  df-mulg 19135  df-subg 19190  df-ghm 19285  df-gim 19330  df-cntz 19388  df-oppg 19417  df-symg 19441  df-pmtr 19513  df-psgn 19562  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-ring 20318  df-cring 20319  df-oppr 20420  df-dvdsr 20440  df-unit 20441  df-invr 20471  df-dvr 20484  df-rhm 20555  df-subrng 20632  df-subrg 20656  df-drng 20816  df-lmod 20964  df-lss 21034  df-sra 21275  df-rgmod 21276  df-cnfld 21504  df-zring 21578  df-zrh 21634  df-dsmm 21863  df-frlm 21878  df-ascl 21986  df-psr 22040  df-mvr 22041  df-mpl 22042  df-opsr 22044  df-psr1 22321  df-vr1 22322  df-ply1 22323  df-mamu 22529  df-mat 22546  df-mdet 22723  df-mat2pmat 22845  df-chpmat 22965

This theorem is referenced by: (None)