Theorem chpidmat 22837

Description: The characteristic polynomial of the identity matrix. (Contributed by AV, 19-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
chp0mat.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chp0mat.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
chp0mat.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chp0mat.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
chp0mat.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
chp0mat.m	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
chpidmat.i	⊢ 𝐼 = (1r‘𝐴)
chpidmat.s	⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
chpidmat.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
chpidmat.m	⊢ − = (-g‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
chpidmat	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐶‘𝐼) = ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋 − (𝑆‘ 1 ))))

Proof of Theorem chpidmat

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑁 ∈ Fin)
2		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ CRing)
3		crngring 20224	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
4		chp0mat.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5	4	matring 22433	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
6	3, 5	sylan2 599	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ Ring)
7		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
8		chpidmat.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (1r‘𝐴)
9	7, 8	ringidcl 20244	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝐼 ∈ (Base‘𝐴))
10	6, 9	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐼 ∈ (Base‘𝐴))
11		chpidmat.1	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
12		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
13	1	ad2antrr 732	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → 𝑁 ∈ Fin)
14	3	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ Ring)
15	14	ad2antrr 732	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → 𝑅 ∈ Ring)
16		simplrl 782	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → 𝑖 ∈ 𝑁)
17		simplrr 783	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → 𝑗 ∈ 𝑁)
18	4, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 8	mat1ov 22438	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → (𝑖𝐼𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 1 , (0g‘𝑅)))
19		ifnefalse 4473	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ≠ 𝑗 → if(𝑖 = 𝑗, 1 , (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
20	19	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → if(𝑖 = 𝑗, 1 , (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
21	18, 20	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → (𝑖𝐼𝑗) = (0g‘𝑅))
22	21	ex 413	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝐼𝑗) = (0g‘𝑅)))
23	22	ralrimivva 3183	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝐼𝑗) = (0g‘𝑅)))
24		chp0mat.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
25		chp0mat.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
26		chpidmat.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
27		chp0mat.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
28		chp0mat.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
29		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
30	24, 25, 4, 26, 7, 27, 12, 28, 29	chpdmat 22831	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝐼𝑗) = (0g‘𝑅))) → (𝐶‘𝐼) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘(𝑘𝐼𝑘))))))
31	1, 2, 10, 23, 30	syl31anc 1381	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐶‘𝐼) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘(𝑘𝐼𝑘))))))
32	1	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
33	14	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
34		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑁)
35	4, 11, 12, 32, 33, 34, 34, 8	mat1ov 22438	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑘𝐼𝑘) = if(𝑘 = 𝑘, 1 , (0g‘𝑅)))
36		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑘 = 𝑘
37	36	iftruei 4468	. . . . . . . 8 ⊢ if(𝑘 = 𝑘, 1 , (0g‘𝑅)) = 1
38	35, 37	eqtrdi 2791	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑘𝐼𝑘) = 1 )
39	38	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑆‘(𝑘𝐼𝑘)) = (𝑆‘ 1 ))
40	39	oveq2d 7379	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘(𝑘𝐼𝑘))) = (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 )))
41	40	mpteq2dva 5172	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘(𝑘𝐼𝑘)))) = (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 ))))
42	41	oveq2d 7379	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘(𝑘𝐼𝑘))))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 )))))
43	25	ply1crng 22190	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
44	28	crngmgp 20220	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
45		cmnmnd 19770	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
46	43, 44, 45	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Mnd)
47	46	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐺 ∈ Mnd)
48	25	ply1ring 22239	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
49		ringgrp 20217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
51		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
52	27, 25, 51	vr1cl 22209	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
53		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
54	25, 26, 11, 53	ply1scl1 22285	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑆‘ 1 ) = (1r‘𝑃))
55	51, 53	ringidcl 20244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (1r‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
56	48, 55	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
57	54, 56	eqeltrd 2840	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑆‘ 1 ) ∈ (Base‘𝑃))
58	50, 52, 57	3jca 1134	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑆‘ 1 ) ∈ (Base‘𝑃)))
59	3, 58	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑆‘ 1 ) ∈ (Base‘𝑃)))
60	59	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑆‘ 1 ) ∈ (Base‘𝑃)))
61	51, 29	grpsubcl 18994	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑆‘ 1 ) ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 )) ∈ (Base‘𝑃))
62	60, 61	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 )) ∈ (Base‘𝑃))
63	28, 51	mgpbas 20124	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝐺)
64	62, 63	eleqtrdi 2850	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 )) ∈ (Base‘𝐺))
65		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
66		chp0mat.m	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
67	65, 66	gsumconst 19907	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 )) ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 )))) = ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 ))))
68		chpidmat.m	. . . . . . . 8 ⊢ − = (-g‘𝑃)
69	68	eqcomi 2749	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝑃) = −
70	69	oveqi 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 )) = (𝑋 − (𝑆‘ 1 ))
71	70	oveq2i 7374	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 ))) = ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋 − (𝑆‘ 1 )))
72	67, 71	eqtrdi 2791	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 )) ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 )))) = ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋 − (𝑆‘ 1 ))))
73	47, 1, 64, 72	syl3anc 1379	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 )))) = ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋 − (𝑆‘ 1 ))))
74	42, 73	eqtrd 2775	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘(𝑘𝐼𝑘))))) = ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋 − (𝑆‘ 1 ))))
75	31, 74	eqtrd 2775	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐶‘𝐼) = ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋 − (𝑆‘ 1 ))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ∀wral 3054  ifcif 4461   ↦ cmpt 5160  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Fincfn 8890  ♯chash 14290  Basecbs 17177  0_gc0g 17400   Σ_g cgsu 17401  Mndcmnd 18700  Grpcgrp 18907  -_gcsg 18909  ._gcmg 19041  CMndccmn 19753  mulGrpcmgp 20119  1_rcur 20160  Ringcrg 20212  CRingccrg 20213  algSccascl 21834  var₁cv1 22168  Poly₁cpl1 22169   Mat cmat 22397   CharPlyMat cchpmat 22816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-addf 11115  ax-mulf 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-xor 1519  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-ot 4571  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-ofr 7628  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-tpos 8173  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-sup 9352  df-oi 9422  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-xnn0 12509  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-rp 12941  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-seq 13962  df-exp 14022  df-hash 14291  df-word 14474  df-lsw 14523  df-concat 14531  df-s1 14557  df-substr 14602  df-pfx 14632  df-splice 14710  df-reverse 14719  df-s2 14808  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-prds 17408  df-pws 17410  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-mhm 18749  df-submnd 18750  df-efmnd 18835  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-sbg 18912  df-mulg 19042  df-subg 19097  df-ghm 19186  df-gim 19232  df-cntz 19290  df-oppg 19319  df-symg 19343  df-pmtr 19415  df-psgn 19464  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-cring 20215  df-oppr 20315  df-dvdsr 20335  df-unit 20336  df-invr 20366  df-dvr 20379  df-rhm 20450  df-subrng 20525  df-subrg 20549  df-drng 20710  df-lmod 20859  df-lss 20929  df-sra 21170  df-rgmod 21171  df-cnfld 21355  df-zring 21429  df-zrh 21485  df-dsmm 21714  df-frlm 21729  df-ascl 21837  df-psr 21891  df-mvr 21892  df-mpl 21893  df-opsr 21895  df-psr1 22172  df-vr1 22173  df-ply1 22174  df-mamu 22381  df-mat 22398  df-mdet 22575  df-mat2pmat 22697  df-chpmat 22817

This theorem is referenced by: (None)