Theorem chpidmat 22750

Description: The characteristic polynomial of the identity matrix. (Contributed by AV, 19-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
chp0mat.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chp0mat.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
chp0mat.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chp0mat.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
chp0mat.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
chp0mat.m	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
chpidmat.i	⊢ 𝐼 = (1r‘𝐴)
chpidmat.s	⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
chpidmat.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
chpidmat.m	⊢ − = (-g‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
chpidmat	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐶‘𝐼) = ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋 − (𝑆‘ 1 ))))

Proof of Theorem chpidmat

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑁 ∈ Fin)
2		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ CRing)
3		crngring 20148	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
4		chp0mat.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5	4	matring 22346	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
6	3, 5	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ Ring)
7		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
8		chpidmat.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (1r‘𝐴)
9	7, 8	ringidcl 20168	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝐼 ∈ (Base‘𝐴))
10	6, 9	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐼 ∈ (Base‘𝐴))
11		chpidmat.1	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
12		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
13	1	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → 𝑁 ∈ Fin)
14	3	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ Ring)
15	14	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → 𝑅 ∈ Ring)
16		simplrl 776	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → 𝑖 ∈ 𝑁)
17		simplrr 777	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → 𝑗 ∈ 𝑁)
18	4, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 8	mat1ov 22351	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → (𝑖𝐼𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 1 , (0g‘𝑅)))
19		ifnefalse 4490	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ≠ 𝑗 → if(𝑖 = 𝑗, 1 , (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
20	19	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → if(𝑖 = 𝑗, 1 , (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
21	18, 20	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → (𝑖𝐼𝑗) = (0g‘𝑅))
22	21	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝐼𝑗) = (0g‘𝑅)))
23	22	ralrimivva 3172	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝐼𝑗) = (0g‘𝑅)))
24		chp0mat.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
25		chp0mat.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
26		chpidmat.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
27		chp0mat.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
28		chp0mat.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
29		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
30	24, 25, 4, 26, 7, 27, 12, 28, 29	chpdmat 22744	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝐼𝑗) = (0g‘𝑅))) → (𝐶‘𝐼) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘(𝑘𝐼𝑘))))))
31	1, 2, 10, 23, 30	syl31anc 1375	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐶‘𝐼) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘(𝑘𝐼𝑘))))))
32	1	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
33	14	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
34		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑁)
35	4, 11, 12, 32, 33, 34, 34, 8	mat1ov 22351	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑘𝐼𝑘) = if(𝑘 = 𝑘, 1 , (0g‘𝑅)))
36		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑘 = 𝑘
37	36	iftruei 4485	. . . . . . . 8 ⊢ if(𝑘 = 𝑘, 1 , (0g‘𝑅)) = 1
38	35, 37	eqtrdi 2780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑘𝐼𝑘) = 1 )
39	38	fveq2d 6830	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑆‘(𝑘𝐼𝑘)) = (𝑆‘ 1 ))
40	39	oveq2d 7369	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘(𝑘𝐼𝑘))) = (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 )))
41	40	mpteq2dva 5188	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘(𝑘𝐼𝑘)))) = (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 ))))
42	41	oveq2d 7369	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘(𝑘𝐼𝑘))))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 )))))
43	25	ply1crng 22099	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
44	28	crngmgp 20144	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
45		cmnmnd 19694	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
46	43, 44, 45	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Mnd)
47	46	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐺 ∈ Mnd)
48	25	ply1ring 22148	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
49		ringgrp 20141	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
51		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
52	27, 25, 51	vr1cl 22118	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
53		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
54	25, 26, 11, 53	ply1scl1 22195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑆‘ 1 ) = (1r‘𝑃))
55	51, 53	ringidcl 20168	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (1r‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
56	48, 55	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
57	54, 56	eqeltrd 2828	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑆‘ 1 ) ∈ (Base‘𝑃))
58	50, 52, 57	3jca 1128	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑆‘ 1 ) ∈ (Base‘𝑃)))
59	3, 58	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑆‘ 1 ) ∈ (Base‘𝑃)))
60	59	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑆‘ 1 ) ∈ (Base‘𝑃)))
61	51, 29	grpsubcl 18917	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑆‘ 1 ) ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 )) ∈ (Base‘𝑃))
62	60, 61	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 )) ∈ (Base‘𝑃))
63	28, 51	mgpbas 20048	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝐺)
64	62, 63	eleqtrdi 2838	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 )) ∈ (Base‘𝐺))
65		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
66		chp0mat.m	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
67	65, 66	gsumconst 19831	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 )) ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 )))) = ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 ))))
68		chpidmat.m	. . . . . . . 8 ⊢ − = (-g‘𝑃)
69	68	eqcomi 2738	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝑃) = −
70	69	oveqi 7366	. . . . . 6 ⊢ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 )) = (𝑋 − (𝑆‘ 1 ))
71	70	oveq2i 7364	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 ))) = ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋 − (𝑆‘ 1 )))
72	67, 71	eqtrdi 2780	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 )) ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 )))) = ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋 − (𝑆‘ 1 ))))
73	47, 1, 64, 72	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘ 1 )))) = ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋 − (𝑆‘ 1 ))))
74	42, 73	eqtrd 2764	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)(𝑆‘(𝑘𝐼𝑘))))) = ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋 − (𝑆‘ 1 ))))
75	31, 74	eqtrd 2764	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐶‘𝐼) = ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋 − (𝑆‘ 1 ))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ifcif 4478   ↦ cmpt 5176  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Fincfn 8879  ♯chash 14255  Basecbs 17138  0_gc0g 17361   Σ_g cgsu 17362  Mndcmnd 18626  Grpcgrp 18830  -_gcsg 18832  ._gcmg 18964  CMndccmn 19677  mulGrpcmgp 20043  1_rcur 20084  Ringcrg 20136  CRingccrg 20137  algSccascl 21777  var₁cv1 22076  Poly₁cpl1 22077   Mat cmat 22310   CharPlyMat cchpmat 22729

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-addf 11107  ax-mulf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1512  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-ot 4588  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-sup 9351  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-xnn0 12476  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-rp 12912  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-word 14439  df-lsw 14488  df-concat 14496  df-s1 14521  df-substr 14566  df-pfx 14596  df-splice 14674  df-reverse 14683  df-s2 14773  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-prds 17369  df-pws 17371  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-mhm 18675  df-submnd 18676  df-efmnd 18761  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-sbg 18835  df-mulg 18965  df-subg 19020  df-ghm 19110  df-gim 19156  df-cntz 19214  df-oppg 19243  df-symg 19267  df-pmtr 19339  df-psgn 19388  df-cmn 19679  df-abl 19680  df-mgp 20044  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-cring 20139  df-oppr 20240  df-dvdsr 20260  df-unit 20261  df-invr 20291  df-dvr 20304  df-rhm 20375  df-subrng 20449  df-subrg 20473  df-drng 20634  df-lmod 20783  df-lss 20853  df-sra 21095  df-rgmod 21096  df-cnfld 21280  df-zring 21372  df-zrh 21428  df-dsmm 21657  df-frlm 21672  df-ascl 21780  df-psr 21834  df-mvr 21835  df-mpl 21836  df-opsr 21838  df-psr1 22080  df-vr1 22081  df-ply1 22082  df-mamu 22294  df-mat 22311  df-mdet 22488  df-mat2pmat 22610  df-chpmat 22730

This theorem is referenced by: (None)