MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumvsmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumvsmul 20813
Description: Pull a scalar multiplication out of a sum of vectors. This theorem properly generalizes gsummulc2 20257, since every ring is a left module over itself. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.) (Revised by AV, 10-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumvsmul.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
gsumvsmul.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘…)
gsumvsmul.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
gsumvsmul.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
gsumvsmul.p + = (+gβ€˜π‘…)
gsumvsmul.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘…)
gsumvsmul.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ LMod)
gsumvsmul.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumvsmul.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐾)
gsumvsmul.y ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
gsumvsmul.n (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ π‘Œ) finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsumvsmul (πœ‘ β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 Β· π‘Œ))) = (𝑋 Β· (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ π‘Œ))))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   𝐡,π‘˜   πœ‘,π‘˜   Β· ,π‘˜   𝑆,π‘˜   π‘˜,𝐾   π‘˜,𝑋   0 ,π‘˜
Allowed substitution hints:   + (π‘˜)   𝑅(π‘˜)   𝑉(π‘˜)   π‘Œ(π‘˜)

Proof of Theorem gsumvsmul
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumvsmul.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
2 gsumvsmul.z . 2 0 = (0gβ€˜π‘…)
3 gsumvsmul.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ LMod)
4 lmodcmn 20797 . . 3 (𝑅 ∈ LMod β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
53, 4syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
6 cmnmnd 19756 . . 3 (𝑅 ∈ CMnd β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
75, 6syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
8 gsumvsmul.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
9 gsumvsmul.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐾)
10 gsumvsmul.s . . . . 5 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘…)
11 gsumvsmul.t . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘…)
12 gsumvsmul.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
131, 10, 11, 12lmodvsghm 20810 . . . 4 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝑋 Β· 𝑦)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
143, 9, 13syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝑋 Β· 𝑦)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
15 ghmmhm 19184 . . 3 ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝑋 Β· 𝑦)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝑋 Β· 𝑦)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))
1614, 15syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝑋 Β· 𝑦)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))
17 gsumvsmul.y . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
18 gsumvsmul.n . 2 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ π‘Œ) finSupp 0 )
19 oveq2 7424 . 2 (𝑦 = π‘Œ β†’ (𝑋 Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))
20 oveq2 7424 . 2 (𝑦 = (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ π‘Œ)) β†’ (𝑋 Β· 𝑦) = (𝑋 Β· (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ π‘Œ))))
211, 2, 5, 7, 8, 16, 17, 18, 19, 20gsummhm2 19898 1 (πœ‘ β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 Β· π‘Œ))) = (𝑋 Β· (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ π‘Œ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   finSupp cfsupp 9385  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  Scalarcsca 17235   ·𝑠 cvsca 17236  0gc0g 17420   Ξ£g cgsu 17421  Mndcmnd 18693   MndHom cmhm 18737   GrpHom cghm 19171  CMndccmn 19739  LModclmod 20747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-hash 14322  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-ghm 19172  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-ur 20126  df-ring 20179  df-lmod 20749
This theorem is referenced by:  frlmup1  21736  lincscm  47610  lincresunit3lem2  47660
  Copyright terms: Public domain W3C validator