Theorem gsumvsmul 21025

Description: Pull a scalar multiplication out of a sum of vectors. This theorem properly generalizes gsummulc2 20398, since every ring is a left module over itself. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.) (Revised by AV, 10-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumvsmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
gsumvsmul.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑅)
gsumvsmul.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
gsumvsmul.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
gsumvsmul.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
gsumvsmul.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑅)
gsumvsmul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ LMod)
gsumvsmul.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumvsmul.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
gsumvsmul.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsumvsmul.n	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌) finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumvsmul	⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = (𝑋 · (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   · ,𝑘   𝑆,𝑘   𝑘,𝐾   𝑘,𝑋   0 ,𝑘

Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝑅(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem gsumvsmul

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumvsmul.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		gsumvsmul.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		gsumvsmul.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ LMod)
4		lmodcmn 21009	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ LMod → 𝑅 ∈ CMnd)
5	3, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
6		cmnmnd 19867	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CMnd → 𝑅 ∈ Mnd)
7	5, 6	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
8		gsumvsmul.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
9		gsumvsmul.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
10		gsumvsmul.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑅)
11		gsumvsmul.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑅)
12		gsumvsmul.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
13	1, 10, 11, 12	lmodvsghm 21022	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑦)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
14	3, 9, 13	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑦)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
15		ghmmhm 19296	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑦)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑦)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))
16	14, 15	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑦)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))
17		gsumvsmul.y	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐵)
18		gsumvsmul.n	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌) finSupp 0 )
19		oveq2 7419	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))
20		oveq2 7419	. 2 ⊢ (𝑦 = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌)) → (𝑋 · 𝑦) = (𝑋 · (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌))))
21	1, 2, 5, 7, 8, 16, 17, 18, 19, 20	gsummhm2 20009	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = (𝑋 · (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   finSupp cfsupp 9321  Basecbs 17269  +_gcplusg 17310  Scalarcsca 17313   ·_𝑠 cvsca 17314  0_gc0g 17492   Σ_g cgsu 17493  Mndcmnd 18792   MndHom cmhm 18839   GrpHom cghm 19283  CMndccmn 19850  LModclmod 20959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-hash 14367  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-plusg 17323  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-mhm 18841  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-ghm 19284  df-cntz 19387  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-ur 20264  df-ring 20317  df-lmod 20961

This theorem is referenced by:  frlmup1  21917  lincscm  49130  lincresunit3lem2  49180