MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumvsmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumvsmul 20401
Description: Pull a scalar multiplication out of a sum of vectors. This theorem properly generalizes gsummulc2 20036, since every ring is a left module over itself. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.) (Revised by AV, 10-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumvsmul.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
gsumvsmul.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘…)
gsumvsmul.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
gsumvsmul.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
gsumvsmul.p + = (+gβ€˜π‘…)
gsumvsmul.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘…)
gsumvsmul.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ LMod)
gsumvsmul.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumvsmul.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐾)
gsumvsmul.y ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
gsumvsmul.n (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ π‘Œ) finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsumvsmul (πœ‘ β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 Β· π‘Œ))) = (𝑋 Β· (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ π‘Œ))))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   𝐡,π‘˜   πœ‘,π‘˜   Β· ,π‘˜   𝑆,π‘˜   π‘˜,𝐾   π‘˜,𝑋   0 ,π‘˜
Allowed substitution hints:   + (π‘˜)   𝑅(π‘˜)   𝑉(π‘˜)   π‘Œ(π‘˜)

Proof of Theorem gsumvsmul
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumvsmul.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
2 gsumvsmul.z . 2 0 = (0gβ€˜π‘…)
3 gsumvsmul.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ LMod)
4 lmodcmn 20385 . . 3 (𝑅 ∈ LMod β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
53, 4syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
6 cmnmnd 19584 . . 3 (𝑅 ∈ CMnd β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
75, 6syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
8 gsumvsmul.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
9 gsumvsmul.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐾)
10 gsumvsmul.s . . . . 5 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘…)
11 gsumvsmul.t . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘…)
12 gsumvsmul.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
131, 10, 11, 12lmodvsghm 20398 . . . 4 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝑋 Β· 𝑦)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
143, 9, 13syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝑋 Β· 𝑦)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
15 ghmmhm 19023 . . 3 ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝑋 Β· 𝑦)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝑋 Β· 𝑦)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))
1614, 15syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝑋 Β· 𝑦)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))
17 gsumvsmul.y . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
18 gsumvsmul.n . 2 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ π‘Œ) finSupp 0 )
19 oveq2 7366 . 2 (𝑦 = π‘Œ β†’ (𝑋 Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))
20 oveq2 7366 . 2 (𝑦 = (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ π‘Œ)) β†’ (𝑋 Β· 𝑦) = (𝑋 Β· (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ π‘Œ))))
211, 2, 5, 7, 8, 16, 17, 18, 19, 20gsummhm2 19721 1 (πœ‘ β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 Β· π‘Œ))) = (𝑋 Β· (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ π‘Œ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   finSupp cfsupp 9308  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  Scalarcsca 17141   ·𝑠 cvsca 17142  0gc0g 17326   Ξ£g cgsu 17327  Mndcmnd 18561   MndHom cmhm 18604   GrpHom cghm 19010  CMndccmn 19567  LModclmod 20336
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-hash 14237  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-plusg 17151  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-ghm 19011  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-lmod 20338
This theorem is referenced by:  frlmup1  21220  lincscm  46597  lincresunit3lem2  46647
  Copyright terms: Public domain W3C validator