Theorem gsumvsmul 20875

Description: Pull a scalar multiplication out of a sum of vectors. This theorem properly generalizes gsummulc2 20250, since every ring is a left module over itself. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.) (Revised by AV, 10-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumvsmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
gsumvsmul.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑅)
gsumvsmul.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
gsumvsmul.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
gsumvsmul.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
gsumvsmul.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑅)
gsumvsmul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ LMod)
gsumvsmul.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumvsmul.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
gsumvsmul.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsumvsmul.n	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌) finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumvsmul	⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = (𝑋 · (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   · ,𝑘   𝑆,𝑘   𝑘,𝐾   𝑘,𝑋   0 ,𝑘

Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝑅(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem gsumvsmul

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumvsmul.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		gsumvsmul.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		gsumvsmul.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ LMod)
4		lmodcmn 20859	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ LMod → 𝑅 ∈ CMnd)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
6		cmnmnd 19724	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CMnd → 𝑅 ∈ Mnd)
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
8		gsumvsmul.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
9		gsumvsmul.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
10		gsumvsmul.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑅)
11		gsumvsmul.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑅)
12		gsumvsmul.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
13	1, 10, 11, 12	lmodvsghm 20872	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑦)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
14	3, 9, 13	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑦)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
15		ghmmhm 19153	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑦)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑦)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))
16	14, 15	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑦)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))
17		gsumvsmul.y	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐵)
18		gsumvsmul.n	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌) finSupp 0 )
19		oveq2 7364	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))
20		oveq2 7364	. 2 ⊢ (𝑦 = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌)) → (𝑋 · 𝑦) = (𝑋 · (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌))))
21	1, 2, 5, 7, 8, 16, 17, 18, 19, 20	gsummhm2 19866	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = (𝑋 · (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5096   ↦ cmpt 5177  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356   finSupp cfsupp 9262  Basecbs 17134  +_gcplusg 17175  Scalarcsca 17178   ·_𝑠 cvsca 17179  0_gc0g 17357   Σ_g cgsu 17358  Mndcmnd 18657   MndHom cmhm 18704   GrpHom cghm 19139  CMndccmn 19707  LModclmod 20809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-oi 9413  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-seq 13923  df-hash 14252  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-plusg 17188  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18706  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-ghm 19140  df-cntz 19244  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-ur 20115  df-ring 20168  df-lmod 20811

This theorem is referenced by:  frlmup1  21751  lincscm  48618  lincresunit3lem2  48668