MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumvsmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumvsmul 19283
Description: Pull a scalar multiplication out of a sum of vectors. This theorem properly generalizes gsummulc2 18961, since every ring is a left module over itself. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.) (Revised by AV, 10-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumvsmul.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
gsumvsmul.s 𝑆 = (Scalar‘𝑅)
gsumvsmul.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
gsumvsmul.z 0 = (0g𝑅)
gsumvsmul.p + = (+g𝑅)
gsumvsmul.t · = ( ·𝑠𝑅)
gsumvsmul.r (𝜑𝑅 ∈ LMod)
gsumvsmul.a (𝜑𝐴𝑉)
gsumvsmul.x (𝜑𝑋𝐾)
gsumvsmul.y ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑌𝐵)
gsumvsmul.n (𝜑 → (𝑘𝐴𝑌) finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsumvsmul (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = (𝑋 · (𝑅 Σg (𝑘𝐴𝑌))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   · ,𝑘   𝑆,𝑘   𝑘,𝐾   𝑘,𝑋   0 ,𝑘
Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝑅(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem gsumvsmul
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumvsmul.b . 2 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 gsumvsmul.z . 2 0 = (0g𝑅)
3 gsumvsmul.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ LMod)
4 lmodcmn 19267 . . 3 (𝑅 ∈ LMod → 𝑅 ∈ CMnd)
53, 4syl 17 . 2 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
6 cmnmnd 18561 . . 3 (𝑅 ∈ CMnd → 𝑅 ∈ Mnd)
75, 6syl 17 . 2 (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
8 gsumvsmul.a . 2 (𝜑𝐴𝑉)
9 gsumvsmul.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐾)
10 gsumvsmul.s . . . . 5 𝑆 = (Scalar‘𝑅)
11 gsumvsmul.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑅)
12 gsumvsmul.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝑆)
131, 10, 11, 12lmodvsghm 19280 . . . 4 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐾) → (𝑦𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑦)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
143, 9, 13syl2anc 581 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑦)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
15 ghmmhm 18021 . . 3 ((𝑦𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑦)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅) → (𝑦𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑦)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))
1614, 15syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑦𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑦)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))
17 gsumvsmul.y . 2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑌𝐵)
18 gsumvsmul.n . 2 (𝜑 → (𝑘𝐴𝑌) finSupp 0 )
19 oveq2 6913 . 2 (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))
20 oveq2 6913 . 2 (𝑦 = (𝑅 Σg (𝑘𝐴𝑌)) → (𝑋 · 𝑦) = (𝑋 · (𝑅 Σg (𝑘𝐴𝑌))))
211, 2, 5, 7, 8, 16, 17, 18, 19, 20gsummhm2 18692 1 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = (𝑋 · (𝑅 Σg (𝑘𝐴𝑌))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166   class class class wbr 4873  cmpt 4952  cfv 6123  (class class class)co 6905   finSupp cfsupp 8544  Basecbs 16222  +gcplusg 16305  Scalarcsca 16308   ·𝑠 cvsca 16309  0gc0g 16453   Σg cgsu 16454  Mndcmnd 17647   MndHom cmhm 17686   GrpHom cghm 18008  CMndccmn 18546  LModclmod 19219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-supp 7560  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-fsupp 8545  df-oi 8684  df-card 9078  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-seq 13096  df-hash 13411  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-plusg 16318  df-0g 16455  df-gsum 16456  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-mhm 17688  df-grp 17779  df-minusg 17780  df-ghm 18009  df-cntz 18100  df-cmn 18548  df-abl 18549  df-mgp 18844  df-ur 18856  df-ring 18903  df-lmod 19221
This theorem is referenced by:  frlmup1  20504  lincscm  43066  lincresunit3lem2  43116
  Copyright terms: Public domain W3C validator