Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumvsmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumvsmul 19620
 Description: Pull a scalar multiplication out of a sum of vectors. This theorem properly generalizes gsummulc2 19279, since every ring is a left module over itself. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.) (Revised by AV, 10-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumvsmul.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
gsumvsmul.s 𝑆 = (Scalar‘𝑅)
gsumvsmul.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
gsumvsmul.z 0 = (0g𝑅)
gsumvsmul.p + = (+g𝑅)
gsumvsmul.t · = ( ·𝑠𝑅)
gsumvsmul.r (𝜑𝑅 ∈ LMod)
gsumvsmul.a (𝜑𝐴𝑉)
gsumvsmul.x (𝜑𝑋𝐾)
gsumvsmul.y ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑌𝐵)
gsumvsmul.n (𝜑 → (𝑘𝐴𝑌) finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsumvsmul (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = (𝑋 · (𝑅 Σg (𝑘𝐴𝑌))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   · ,𝑘   𝑆,𝑘   𝑘,𝐾   𝑘,𝑋   0 ,𝑘
Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝑅(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem gsumvsmul
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumvsmul.b . 2 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 gsumvsmul.z . 2 0 = (0g𝑅)
3 gsumvsmul.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ LMod)
4 lmodcmn 19604 . . 3 (𝑅 ∈ LMod → 𝑅 ∈ CMnd)
53, 4syl 17 . 2 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
6 cmnmnd 18844 . . 3 (𝑅 ∈ CMnd → 𝑅 ∈ Mnd)
75, 6syl 17 . 2 (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
8 gsumvsmul.a . 2 (𝜑𝐴𝑉)
9 gsumvsmul.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐾)
10 gsumvsmul.s . . . . 5 𝑆 = (Scalar‘𝑅)
11 gsumvsmul.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑅)
12 gsumvsmul.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝑆)
131, 10, 11, 12lmodvsghm 19617 . . . 4 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐾) → (𝑦𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑦)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
143, 9, 13syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑦)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
15 ghmmhm 18300 . . 3 ((𝑦𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑦)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅) → (𝑦𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑦)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))
1614, 15syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑦𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑦)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))
17 gsumvsmul.y . 2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑌𝐵)
18 gsumvsmul.n . 2 (𝜑 → (𝑘𝐴𝑌) finSupp 0 )
19 oveq2 7159 . 2 (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))
20 oveq2 7159 . 2 (𝑦 = (𝑅 Σg (𝑘𝐴𝑌)) → (𝑋 · 𝑦) = (𝑋 · (𝑅 Σg (𝑘𝐴𝑌))))
211, 2, 5, 7, 8, 16, 17, 18, 19, 20gsummhm2 18981 1 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = (𝑋 · (𝑅 Σg (𝑘𝐴𝑌))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5062   ↦ cmpt 5142  ‘cfv 6351  (class class class)co 7151   finSupp cfsupp 8825  Basecbs 16475  +gcplusg 16557  Scalarcsca 16560   ·𝑠 cvsca 16561  0gc0g 16705   Σg cgsu 16706  Mndcmnd 17902   MndHom cmhm 17944   GrpHom cghm 18287  CMndccmn 18828  LModclmod 19556 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-seq 13363  df-hash 13684  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-plusg 16570  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-mhm 17946  df-grp 18038  df-minusg 18039  df-ghm 18288  df-cntz 18379  df-cmn 18830  df-abl 18831  df-mgp 19162  df-ur 19174  df-ring 19221  df-lmod 19558 This theorem is referenced by:  frlmup1  20860  lincscm  44319  lincresunit3lem2  44369
 Copyright terms: Public domain W3C validator