Theorem gsumvsmul 20920

Description: Pull a scalar multiplication out of a sum of vectors. This theorem properly generalizes gsummulc2 20291, since every ring is a left module over itself. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.) (Revised by AV, 10-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumvsmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
gsumvsmul.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑅)
gsumvsmul.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
gsumvsmul.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
gsumvsmul.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
gsumvsmul.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑅)
gsumvsmul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ LMod)
gsumvsmul.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumvsmul.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
gsumvsmul.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsumvsmul.n	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌) finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumvsmul	⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = (𝑋 · (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   · ,𝑘   𝑆,𝑘   𝑘,𝐾   𝑘,𝑋   0 ,𝑘

Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝑅(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem gsumvsmul

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumvsmul.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		gsumvsmul.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		gsumvsmul.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ LMod)
4		lmodcmn 20904	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ LMod → 𝑅 ∈ CMnd)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
6		cmnmnd 19767	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CMnd → 𝑅 ∈ Mnd)
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
8		gsumvsmul.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
9		gsumvsmul.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
10		gsumvsmul.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑅)
11		gsumvsmul.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑅)
12		gsumvsmul.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
13	1, 10, 11, 12	lmodvsghm 20917	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑦)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
14	3, 9, 13	syl2anc 591	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑦)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
15		ghmmhm 19196	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑦)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑦)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))
16	14, 15	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑦)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))
17		gsumvsmul.y	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐵)
18		gsumvsmul.n	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌) finSupp 0 )
19		oveq2 7368	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))
20		oveq2 7368	. 2 ⊢ (𝑦 = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌)) → (𝑋 · 𝑦) = (𝑋 · (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌))))
21	1, 2, 5, 7, 8, 16, 17, 18, 19, 20	gsummhm2 19909	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = (𝑋 · (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   class class class wbr 5075   ↦ cmpt 5156  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360   finSupp cfsupp 9268  Basecbs 17174  +_gcplusg 17215  Scalarcsca 17218   ·_𝑠 cvsca 17219  0_gc0g 17397   Σ_g cgsu 17398  Mndcmnd 18697   MndHom cmhm 18744   GrpHom cghm 19182  CMndccmn 19750  LModclmod 20854

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-oi 9419  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-hash 14288  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-plusg 17228  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-ghm 19183  df-cntz 19287  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-ur 20158  df-ring 20211  df-lmod 20856

This theorem is referenced by:  frlmup1  21777  lincscm  48935  lincresunit3lem2  48985