Theorem gsumvsmul 20924

Description: Pull a scalar multiplication out of a sum of vectors. This theorem properly generalizes gsummulc2 20314, since every ring is a left module over itself. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.) (Revised by AV, 10-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumvsmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
gsumvsmul.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑅)
gsumvsmul.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
gsumvsmul.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
gsumvsmul.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
gsumvsmul.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑅)
gsumvsmul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ LMod)
gsumvsmul.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumvsmul.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
gsumvsmul.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsumvsmul.n	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌) finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumvsmul	⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = (𝑋 · (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   · ,𝑘   𝑆,𝑘   𝑘,𝐾   𝑘,𝑋   0 ,𝑘

Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝑅(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem gsumvsmul

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumvsmul.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		gsumvsmul.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		gsumvsmul.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ LMod)
4		lmodcmn 20908	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ LMod → 𝑅 ∈ CMnd)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
6		cmnmnd 19815	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CMnd → 𝑅 ∈ Mnd)
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
8		gsumvsmul.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
9		gsumvsmul.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
10		gsumvsmul.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑅)
11		gsumvsmul.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑅)
12		gsumvsmul.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
13	1, 10, 11, 12	lmodvsghm 20921	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑦)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
14	3, 9, 13	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑦)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
15		ghmmhm 19244	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑦)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑦)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))
16	14, 15	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑦)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))
17		gsumvsmul.y	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐵)
18		gsumvsmul.n	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌) finSupp 0 )
19		oveq2 7439	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))
20		oveq2 7439	. 2 ⊢ (𝑦 = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌)) → (𝑋 · 𝑦) = (𝑋 · (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌))))
21	1, 2, 5, 7, 8, 16, 17, 18, 19, 20	gsummhm2 19957	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = (𝑋 · (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   finSupp cfsupp 9401  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  Scalarcsca 17300   ·_𝑠 cvsca 17301  0_gc0g 17484   Σ_g cgsu 17485  Mndcmnd 18747   MndHom cmhm 18794   GrpHom cghm 19230  CMndccmn 19798  LModclmod 20858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-ur 20179  df-ring 20232  df-lmod 20860

This theorem is referenced by:  frlmup1  21818  lincscm  48347  lincresunit3lem2  48397