MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumvsmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumvsmul 20772
Description: Pull a scalar multiplication out of a sum of vectors. This theorem properly generalizes gsummulc2 20216, since every ring is a left module over itself. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.) (Revised by AV, 10-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumvsmul.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
gsumvsmul.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘…)
gsumvsmul.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
gsumvsmul.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
gsumvsmul.p + = (+gβ€˜π‘…)
gsumvsmul.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘…)
gsumvsmul.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ LMod)
gsumvsmul.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumvsmul.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐾)
gsumvsmul.y ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
gsumvsmul.n (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ π‘Œ) finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsumvsmul (πœ‘ β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 Β· π‘Œ))) = (𝑋 Β· (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ π‘Œ))))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   𝐡,π‘˜   πœ‘,π‘˜   Β· ,π‘˜   𝑆,π‘˜   π‘˜,𝐾   π‘˜,𝑋   0 ,π‘˜
Allowed substitution hints:   + (π‘˜)   𝑅(π‘˜)   𝑉(π‘˜)   π‘Œ(π‘˜)

Proof of Theorem gsumvsmul
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumvsmul.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
2 gsumvsmul.z . 2 0 = (0gβ€˜π‘…)
3 gsumvsmul.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ LMod)
4 lmodcmn 20756 . . 3 (𝑅 ∈ LMod β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
53, 4syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
6 cmnmnd 19717 . . 3 (𝑅 ∈ CMnd β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
75, 6syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
8 gsumvsmul.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
9 gsumvsmul.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐾)
10 gsumvsmul.s . . . . 5 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘…)
11 gsumvsmul.t . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘…)
12 gsumvsmul.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
131, 10, 11, 12lmodvsghm 20769 . . . 4 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝑋 Β· 𝑦)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
143, 9, 13syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝑋 Β· 𝑦)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
15 ghmmhm 19151 . . 3 ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝑋 Β· 𝑦)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝑋 Β· 𝑦)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))
1614, 15syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝑋 Β· 𝑦)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))
17 gsumvsmul.y . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
18 gsumvsmul.n . 2 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ π‘Œ) finSupp 0 )
19 oveq2 7413 . 2 (𝑦 = π‘Œ β†’ (𝑋 Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))
20 oveq2 7413 . 2 (𝑦 = (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ π‘Œ)) β†’ (𝑋 Β· 𝑦) = (𝑋 Β· (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ π‘Œ))))
211, 2, 5, 7, 8, 16, 17, 18, 19, 20gsummhm2 19859 1 (πœ‘ β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 Β· π‘Œ))) = (𝑋 Β· (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ π‘Œ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   finSupp cfsupp 9363  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  Scalarcsca 17209   ·𝑠 cvsca 17210  0gc0g 17394   Ξ£g cgsu 17395  Mndcmnd 18667   MndHom cmhm 18711   GrpHom cghm 19138  CMndccmn 19700  LModclmod 20706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-ghm 19139  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-ur 20087  df-ring 20140  df-lmod 20708
This theorem is referenced by:  frlmup1  21693  lincscm  47386  lincresunit3lem2  47436
  Copyright terms: Public domain W3C validator