Theorem gsumvsmul 19691

Description: Pull a scalar multiplication out of a sum of vectors. This theorem properly generalizes gsummulc2 19353, since every ring is a left module over itself. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.) (Revised by AV, 10-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumvsmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
gsumvsmul.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑅)
gsumvsmul.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
gsumvsmul.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
gsumvsmul.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
gsumvsmul.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑅)
gsumvsmul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ LMod)
gsumvsmul.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumvsmul.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
gsumvsmul.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsumvsmul.n	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌) finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumvsmul	⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = (𝑋 · (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   · ,𝑘   𝑆,𝑘   𝑘,𝐾   𝑘,𝑋   0 ,𝑘

Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝑅(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem gsumvsmul

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumvsmul.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		gsumvsmul.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		gsumvsmul.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ LMod)
4		lmodcmn 19675	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ LMod → 𝑅 ∈ CMnd)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
6		cmnmnd 18914	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CMnd → 𝑅 ∈ Mnd)
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
8		gsumvsmul.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
9		gsumvsmul.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
10		gsumvsmul.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑅)
11		gsumvsmul.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑅)
12		gsumvsmul.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
13	1, 10, 11, 12	lmodvsghm 19688	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑦)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
14	3, 9, 13	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑦)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
15		ghmmhm 18360	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑦)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑦)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))
16	14, 15	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑦)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))
17		gsumvsmul.y	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐵)
18		gsumvsmul.n	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌) finSupp 0 )
19		oveq2 7143	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))
20		oveq2 7143	. 2 ⊢ (𝑦 = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌)) → (𝑋 · 𝑦) = (𝑋 · (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌))))
21	1, 2, 5, 7, 8, 16, 17, 18, 19, 20	gsummhm2 19052	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = (𝑋 · (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   finSupp cfsupp 8817  Basecbs 16475  +_gcplusg 16557  Scalarcsca 16560   ·_𝑠 cvsca 16561  0_gc0g 16705   Σ_g cgsu 16706  Mndcmnd 17903   MndHom cmhm 17946   GrpHom cghm 18347  CMndccmn 18898  LModclmod 19627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-hash 13687  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-plusg 16570  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-ghm 18348  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-lmod 19629

This theorem is referenced by:  frlmup1  20487  lincscm  44839  lincresunit3lem2  44889