MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummatr01lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummatr01lem3 20755
Description: Lemma 1 for gsummatr01 20757. (Contributed by AV, 8-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummatr01.p 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
gsummatr01.r 𝑅 = {𝑟𝑃 ∣ (𝑟𝐾) = 𝐿}
gsummatr01.0 0 = (0g𝐺)
gsummatr01.s 𝑆 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
gsummatr01lem3 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)))) = ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛))))(+g𝐺)(𝐾(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝐾))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑗,𝑛   𝐵,𝑖,𝑗,𝑛   𝑖,𝐺,𝑗,𝑛   𝑖,𝐾,𝑗,𝑛   𝐾,𝑟   𝑖,𝐿,𝑗,𝑛   𝐿,𝑟   𝑖,𝑁,𝑗,𝑛   𝑃,𝑟   𝑄,𝑟   𝑄,𝑖,𝑗,𝑛   𝑅,𝑖,𝑗,𝑛   𝑆,𝑖,𝑗,𝑛   0 ,𝑖,𝑗,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑟)   𝐵(𝑟)   𝑃(𝑖,𝑗,𝑛)   𝑅(𝑟)   𝑆(𝑟)   𝐺(𝑟)   𝑁(𝑟)   0 (𝑟)

Proof of Theorem gsummatr01lem3
StepHypRef Expression
1 eqid 2765 . 2 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2 eqid 2765 . 2 (+g𝐺) = (+g𝐺)
3 simpl 474 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ CMnd)
433ad2ant1 1163 . 2 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → 𝐺 ∈ CMnd)
5 diffi 8403 . . . 4 (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
65adantl 473 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
763ad2ant1 1163 . 2 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
8 eqidd 2766 . . . . 5 (((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗))))
9 eqeq1 2769 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑛 → (𝑖 = 𝐾𝑛 = 𝐾))
109adantr 472 . . . . . . 7 ((𝑖 = 𝑛𝑗 = (𝑄𝑛)) → (𝑖 = 𝐾𝑛 = 𝐾))
11 eqeq1 2769 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑄𝑛) → (𝑗 = 𝐿 ↔ (𝑄𝑛) = 𝐿))
1211ifbid 4267 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑄𝑛) → if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵) = if((𝑄𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵))
1312adantl 473 . . . . . . 7 ((𝑖 = 𝑛𝑗 = (𝑄𝑛)) → if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵) = if((𝑄𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵))
14 oveq12 6855 . . . . . . 7 ((𝑖 = 𝑛𝑗 = (𝑄𝑛)) → (𝑖𝐴𝑗) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
1510, 13, 14ifbieq12d 4272 . . . . . 6 ((𝑖 = 𝑛𝑗 = (𝑄𝑛)) → if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)) = if(𝑛 = 𝐾, if((𝑄𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑛𝐴(𝑄𝑛))))
16 eldifsni 4478 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑛𝐾)
1716neneqd 2942 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ¬ 𝑛 = 𝐾)
1817iffalsed 4256 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → if(𝑛 = 𝐾, if((𝑄𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑛𝐴(𝑄𝑛))) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
1918adantl 473 . . . . . 6 (((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → if(𝑛 = 𝐾, if((𝑄𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑛𝐴(𝑄𝑛))) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
2015, 19sylan9eqr 2821 . . . . 5 ((((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝑖 = 𝑛𝑗 = (𝑄𝑛))) → if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
21 eldifi 3896 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑛𝑁)
2221adantl 473 . . . . 5 (((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → 𝑛𝑁)
23 gsummatr01.p . . . . . . . . . 10 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
24 gsummatr01.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = {𝑟𝑃 ∣ (𝑟𝐾) = 𝐿}
2523, 24gsummatr01lem1 20753 . . . . . . . . 9 ((𝑄𝑅𝑛𝑁) → (𝑄𝑛) ∈ 𝑁)
2625expcom 402 . . . . . . . 8 (𝑛𝑁 → (𝑄𝑅 → (𝑄𝑛) ∈ 𝑁))
2726, 21syl11 33 . . . . . . 7 (𝑄𝑅 → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑄𝑛) ∈ 𝑁))
28273ad2ant3 1165 . . . . . 6 ((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑄𝑛) ∈ 𝑁))
2928imp 395 . . . . 5 (((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑄𝑛) ∈ 𝑁)
30 ovexd 6880 . . . . 5 (((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛𝐴(𝑄𝑛)) ∈ V)
318, 20, 22, 29, 30ovmpt2d 6990 . . . 4 (((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
32313ad2antl3 1238 . . 3 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
33 gsummatr01.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (Base‘𝐺)
3433eleq2i 2836 . . . . . . . 8 ((𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ↔ (𝑖𝐴𝑗) ∈ (Base‘𝐺))
35342ralbii 3128 . . . . . . 7 (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ (Base‘𝐺))
3623, 24gsummatr01lem2 20754 . . . . . . . . . . 11 ((𝑄𝑅𝑛𝑁) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ (Base‘𝐺) → (𝑛𝐴(𝑄𝑛)) ∈ (Base‘𝐺)))
3721, 36sylan2 586 . . . . . . . . . 10 ((𝑄𝑅𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ (Base‘𝐺) → (𝑛𝐴(𝑄𝑛)) ∈ (Base‘𝐺)))
3837ex 401 . . . . . . . . 9 (𝑄𝑅 → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ (Base‘𝐺) → (𝑛𝐴(𝑄𝑛)) ∈ (Base‘𝐺))))
39383ad2ant3 1165 . . . . . . . 8 ((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ (Base‘𝐺) → (𝑛𝐴(𝑄𝑛)) ∈ (Base‘𝐺))))
4039com3r 87 . . . . . . 7 (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ (Base‘𝐺) → ((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑛𝐴(𝑄𝑛)) ∈ (Base‘𝐺))))
4135, 40sylbi 208 . . . . . 6 (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 → ((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑛𝐴(𝑄𝑛)) ∈ (Base‘𝐺))))
4241adantr 472 . . . . 5 ((∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) → ((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑛𝐴(𝑄𝑛)) ∈ (Base‘𝐺))))
4342imp31 408 . . . 4 ((((∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛𝐴(𝑄𝑛)) ∈ (Base‘𝐺))
44433adantl1 1207 . . 3 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛𝐴(𝑄𝑛)) ∈ (Base‘𝐺))
4532, 44eqeltrd 2844 . 2 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)) ∈ (Base‘𝐺))
46 simp31 1266 . 2 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → 𝐾𝑁)
47 neldifsnd 4480 . 2 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → ¬ 𝐾 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
48 eqidd 2766 . . . . . 6 ((𝐵𝑆 ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗))))
49 iftrue 4251 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝐾 → if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)) = if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵))
50 eqeq1 2769 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑄𝐾) → (𝑗 = 𝐿 ↔ (𝑄𝐾) = 𝐿))
5150ifbid 4267 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑄𝐾) → if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵) = if((𝑄𝐾) = 𝐿, 0 , 𝐵))
5249, 51sylan9eq 2819 . . . . . . 7 ((𝑖 = 𝐾𝑗 = (𝑄𝐾)) → if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)) = if((𝑄𝐾) = 𝐿, 0 , 𝐵))
5352adantl 473 . . . . . 6 (((𝐵𝑆 ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ (𝑖 = 𝐾𝑗 = (𝑄𝐾))) → if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)) = if((𝑄𝐾) = 𝐿, 0 , 𝐵))
54 simpr1 1248 . . . . . 6 ((𝐵𝑆 ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → 𝐾𝑁)
5523, 24gsummatr01lem1 20753 . . . . . . . . 9 ((𝑄𝑅𝐾𝑁) → (𝑄𝐾) ∈ 𝑁)
5655ancoms 450 . . . . . . . 8 ((𝐾𝑁𝑄𝑅) → (𝑄𝐾) ∈ 𝑁)
57563adant2 1161 . . . . . . 7 ((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) → (𝑄𝐾) ∈ 𝑁)
5857adantl 473 . . . . . 6 ((𝐵𝑆 ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (𝑄𝐾) ∈ 𝑁)
59 gsummatr01.0 . . . . . . . 8 0 = (0g𝐺)
6059fvexi 6393 . . . . . . 7 0 ∈ V
61 simpl 474 . . . . . . 7 ((𝐵𝑆 ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → 𝐵𝑆)
62 ifexg 4292 . . . . . . 7 (( 0 ∈ V ∧ 𝐵𝑆) → if((𝑄𝐾) = 𝐿, 0 , 𝐵) ∈ V)
6360, 61, 62sylancr 581 . . . . . 6 ((𝐵𝑆 ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → if((𝑄𝐾) = 𝐿, 0 , 𝐵) ∈ V)
6448, 53, 54, 58, 63ovmpt2d 6990 . . . . 5 ((𝐵𝑆 ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (𝐾(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝐾)) = if((𝑄𝐾) = 𝐿, 0 , 𝐵))
6564adantll 705 . . . 4 (((∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (𝐾(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝐾)) = if((𝑄𝐾) = 𝐿, 0 , 𝐵))
66653adant1 1160 . . 3 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (𝐾(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝐾)) = if((𝑄𝐾) = 𝐿, 0 , 𝐵))
67 cmnmnd 18488 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
681, 59mndidcl 17588 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝐺))
6967, 68syl 17 . . . . . 6 (𝐺 ∈ CMnd → 0 ∈ (Base‘𝐺))
7069adantr 472 . . . . 5 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 0 ∈ (Base‘𝐺))
71703ad2ant1 1163 . . . 4 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → 0 ∈ (Base‘𝐺))
7233eleq2i 2836 . . . . . . 7 (𝐵𝑆𝐵 ∈ (Base‘𝐺))
7372biimpi 207 . . . . . 6 (𝐵𝑆𝐵 ∈ (Base‘𝐺))
7473adantl 473 . . . . 5 ((∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) → 𝐵 ∈ (Base‘𝐺))
75743ad2ant2 1164 . . . 4 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → 𝐵 ∈ (Base‘𝐺))
7671, 75ifcld 4290 . . 3 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → if((𝑄𝐾) = 𝐿, 0 , 𝐵) ∈ (Base‘𝐺))
7766, 76eqeltrd 2844 . 2 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (𝐾(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝐾)) ∈ (Base‘𝐺))
78 id 22 . . 3 (𝑛 = 𝐾𝑛 = 𝐾)
79 fveq2 6379 . . 3 (𝑛 = 𝐾 → (𝑄𝑛) = (𝑄𝐾))
8078, 79oveq12d 6864 . 2 (𝑛 = 𝐾 → (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)) = (𝐾(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝐾)))
811, 2, 4, 7, 45, 46, 47, 77, 80gsumunsn 18639 1 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)))) = ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛))))(+g𝐺)(𝐾(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝐾))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  {crab 3059  Vcvv 3350  cdif 3731  cun 3732  ifcif 4245  {csn 4336  cmpt 4890  cfv 6070  (class class class)co 6846  cmpt2 6848  Fincfn 8164  Basecbs 16144  +gcplusg 16228  0gc0g 16380   Σg cgsu 16381  Mndcmnd 17574  SymGrpcsymg 18074  CMndccmn 18473
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-inf2 8757  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-iin 4681  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-of 7099  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-supp 7502  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-1o 7768  df-oadd 7772  df-er 7951  df-map 8066  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-fin 8168  df-fsupp 8487  df-oi 8626  df-card 9020  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10526  df-neg 10527  df-nn 11279  df-2 11339  df-3 11340  df-4 11341  df-5 11342  df-6 11343  df-7 11344  df-8 11345  df-9 11346  df-n0 11543  df-z 11629  df-uz 11892  df-fz 12539  df-fzo 12679  df-seq 13014  df-hash 13327  df-struct 16146  df-ndx 16147  df-slot 16148  df-base 16150  df-sets 16151  df-ress 16152  df-plusg 16241  df-tset 16247  df-0g 16382  df-gsum 16383  df-mre 16526  df-mrc 16527  df-acs 16529  df-mgm 17522  df-sgrp 17564  df-mnd 17575  df-submnd 17616  df-mulg 17822  df-cntz 18027  df-symg 18075  df-cmn 18475
This theorem is referenced by:  gsummatr01  20757
  Copyright terms: Public domain W3C validator