Theorem gsummatr01lem3 22630

Description: Lemma 1 for gsummatr01 22632. (Contributed by AV, 8-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummatr01.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
gsummatr01.r	⊢ 𝑅 = {𝑟 ∈ 𝑃 ∣ (𝑟‘𝐾) = 𝐿}
gsummatr01.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummatr01.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gsummatr01lem3	⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄‘𝑛)))) = ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄‘𝑛))))(+g‘𝐺)(𝐾(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄‘𝐾))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑗,𝑛   𝐵,𝑖,𝑗,𝑛   𝑖,𝐺,𝑗,𝑛   𝑖,𝐾,𝑗,𝑛   𝐾,𝑟   𝑖,𝐿,𝑗,𝑛   𝐿,𝑟   𝑖,𝑁,𝑗,𝑛   𝑃,𝑟   𝑄,𝑟   𝑄,𝑖,𝑗,𝑛   𝑅,𝑖,𝑗,𝑛   𝑆,𝑖,𝑗,𝑛   0 ,𝑖,𝑗,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑟)   𝐵(𝑟)   𝑃(𝑖,𝑗,𝑛)   𝑅(𝑟)   𝑆(𝑟)   𝐺(𝑟)   𝑁(𝑟)   0 (𝑟)

Proof of Theorem gsummatr01lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. 2 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2734	. 2 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ CMnd)
4	3	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) → 𝐺 ∈ CMnd)
5		diffi 9198	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
6	5	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
7	6	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) → (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
8		eqidd 2735	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗))))
9		eqeq1 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (𝑖 = 𝐾 ↔ 𝑛 = 𝐾))
10	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 = 𝑛 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑛)) → (𝑖 = 𝐾 ↔ 𝑛 = 𝐾))
11		eqeq1 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (𝑄‘𝑛) → (𝑗 = 𝐿 ↔ (𝑄‘𝑛) = 𝐿))
12	11	ifbid 4531	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = (𝑄‘𝑛) → if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵) = if((𝑄‘𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵))
13	12	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 = 𝑛 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑛)) → if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵) = if((𝑄‘𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵))
14		oveq12 7423	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 = 𝑛 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑛)) → (𝑖𝐴𝑗) = (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛)))
15	10, 13, 14	ifbieq12d 4536	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 = 𝑛 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑛)) → if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)) = if(𝑛 = 𝐾, if((𝑄‘𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛))))
16		eldifsni 4772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑛 ≠ 𝐾)
17	16	neneqd 2936	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ¬ 𝑛 = 𝐾)
18	17	iffalsed 4518	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → if(𝑛 = 𝐾, if((𝑄‘𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛))) = (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛)))
19	18	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → if(𝑛 = 𝐾, if((𝑄‘𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛))) = (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛)))
20	15, 19	sylan9eqr 2791	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝑖 = 𝑛 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑛))) → if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)) = (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛)))
21		eldifi 4113	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑛 ∈ 𝑁)
22	21	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → 𝑛 ∈ 𝑁)
23		gsummatr01.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
24		gsummatr01.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 = {𝑟 ∈ 𝑃 ∣ (𝑟‘𝐾) = 𝐿}
25	23, 24	gsummatr01lem1 22628	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑅 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → (𝑄‘𝑛) ∈ 𝑁)
26	25	expcom 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑁 → (𝑄 ∈ 𝑅 → (𝑄‘𝑛) ∈ 𝑁))
27	26, 21	syl11 33	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑅 → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑄‘𝑛) ∈ 𝑁))
28	27	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑄‘𝑛) ∈ 𝑁))
29	28	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑄‘𝑛) ∈ 𝑁)
30		ovexd 7449	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛)) ∈ V)
31	8, 20, 22, 29, 30	ovmpod 7568	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄‘𝑛)) = (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛)))
32	31	3ad2antl3 1187	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄‘𝑛)) = (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛)))
33		gsummatr01.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐺)
34	33	eleq2i 2825	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ↔ (𝑖𝐴𝑗) ∈ (Base‘𝐺))
35	34	2ralbii 3115	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ (Base‘𝐺))
36	23, 24	gsummatr01lem2 22629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑅 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ (Base‘𝐺) → (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛)) ∈ (Base‘𝐺)))
37	21, 36	sylan2 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑅 ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ (Base‘𝐺) → (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛)) ∈ (Base‘𝐺)))
38	37	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑅 → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ (Base‘𝐺) → (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛)) ∈ (Base‘𝐺))))
39	38	3ad2ant3 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ (Base‘𝐺) → (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛)) ∈ (Base‘𝐺))))
40	39	com3r 87	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ (Base‘𝐺) → ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛)) ∈ (Base‘𝐺))))
41	35, 40	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 → ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛)) ∈ (Base‘𝐺))))
42	41	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛)) ∈ (Base‘𝐺))))
43	42	imp31 417	. . . 4 ⊢ ((((∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛)) ∈ (Base‘𝐺))
44	43	3adantl1 1166	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛)) ∈ (Base‘𝐺))
45	32, 44	eqeltrd 2833	. 2 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄‘𝑛)) ∈ (Base‘𝐺))
46		simp31 1209	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) → 𝐾 ∈ 𝑁)
47		neldifsnd 4775	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) → ¬ 𝐾 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
48		eqidd 2735	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗))))
49		iftrue 4513	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝐾 → if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)) = if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵))
50		eqeq1 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (𝑄‘𝐾) → (𝑗 = 𝐿 ↔ (𝑄‘𝐾) = 𝐿))
51	50	ifbid 4531	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = (𝑄‘𝐾) → if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵) = if((𝑄‘𝐾) = 𝐿, 0 , 𝐵))
52	49, 51	sylan9eq 2789	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 = 𝐾 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝐾)) → if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)) = if((𝑄‘𝐾) = 𝐿, 0 , 𝐵))
53	52	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑖 = 𝐾 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝐾))) → if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)) = if((𝑄‘𝐾) = 𝐿, 0 , 𝐵))
54		simpr1 1194	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) → 𝐾 ∈ 𝑁)
55	23, 24	gsummatr01lem1 22628	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑅 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑄‘𝐾) ∈ 𝑁)
56	55	ancoms 458	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅) → (𝑄‘𝐾) ∈ 𝑁)
57	56	3adant2 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅) → (𝑄‘𝐾) ∈ 𝑁)
58	57	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) → (𝑄‘𝐾) ∈ 𝑁)
59		gsummatr01.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
60	59	fvexi 6901	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
61		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) → 𝐵 ∈ 𝑆)
62		ifexg 4557	. . . . . . 7 ⊢ (( 0 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → if((𝑄‘𝐾) = 𝐿, 0 , 𝐵) ∈ V)
63	60, 61, 62	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) → if((𝑄‘𝐾) = 𝐿, 0 , 𝐵) ∈ V)
64	48, 53, 54, 58, 63	ovmpod 7568	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) → (𝐾(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄‘𝐾)) = if((𝑄‘𝐾) = 𝐿, 0 , 𝐵))
65	64	adantll 714	. . . 4 ⊢ (((∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) → (𝐾(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄‘𝐾)) = if((𝑄‘𝐾) = 𝐿, 0 , 𝐵))
66	65	3adant1 1130	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) → (𝐾(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄‘𝐾)) = if((𝑄‘𝐾) = 𝐿, 0 , 𝐵))
67		cmnmnd 19788	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
68	1, 59	mndidcl 18736	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝐺))
69	67, 68	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 0 ∈ (Base‘𝐺))
70	69	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 0 ∈ (Base‘𝐺))
71	70	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) → 0 ∈ (Base‘𝐺))
72	33	eleq2i 2825	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑆 ↔ 𝐵 ∈ (Base‘𝐺))
73	72	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑆 → 𝐵 ∈ (Base‘𝐺))
74	73	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ (Base‘𝐺))
75	74	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) → 𝐵 ∈ (Base‘𝐺))
76	71, 75	ifcld 4554	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) → if((𝑄‘𝐾) = 𝐿, 0 , 𝐵) ∈ (Base‘𝐺))
77	66, 76	eqeltrd 2833	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) → (𝐾(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄‘𝐾)) ∈ (Base‘𝐺))
78		id 22	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → 𝑛 = 𝐾)
79		fveq2 6887	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → (𝑄‘𝑛) = (𝑄‘𝐾))
80	78, 79	oveq12d 7432	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄‘𝑛)) = (𝐾(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄‘𝐾)))
81	1, 2, 4, 7, 45, 46, 47, 77, 80	gsumunsn 19951	1 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄‘𝑛)))) = ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄‘𝑛))))(+g‘𝐺)(𝐾(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄‘𝐾))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3050  {crab 3420  Vcvv 3464   ∖ cdif 3930   ∪ cun 3931  ifcif 4507  {csn 4608   ↦ cmpt 5207  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414   ∈ cmpo 7416  Fincfn 8968  Basecbs 17230  +_gcplusg 17277  0_gc0g 17460   Σ_g cgsu 17461  Mndcmnd 18721  SymGrpcsymg 19359  CMndccmn 19771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5261  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-tp 4613  df-op 4615  df-uni 4890  df-int 4929  df-iun 4975  df-iin 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7680  df-om 7871  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-supp 8169  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-1o 8489  df-2o 8490  df-er 8728  df-map 8851  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-fsupp 9385  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12250  df-2 12312  df-3 12313  df-4 12314  df-5 12315  df-6 12316  df-7 12317  df-8 12318  df-9 12319  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12862  df-fz 13531  df-fzo 13678  df-seq 14026  df-hash 14353  df-struct 17167  df-sets 17184  df-slot 17202  df-ndx 17214  df-base 17231  df-ress 17257  df-plusg 17290  df-tset 17296  df-0g 17462  df-gsum 17463  df-mre 17605  df-mrc 17606  df-acs 17608  df-mgm 18627  df-sgrp 18706  df-mnd 18722  df-submnd 18771  df-efmnd 18856  df-mulg 19060  df-cntz 19309  df-symg 19360  df-cmn 19773

This theorem is referenced by:  gsummatr01  22632