MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummatr01lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummatr01lem3 20682
Description: Lemma 1 for gsummatr01 20684. (Contributed by AV, 8-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummatr01.p 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
gsummatr01.r 𝑅 = {𝑟𝑃 ∣ (𝑟𝐾) = 𝐿}
gsummatr01.0 0 = (0g𝐺)
gsummatr01.s 𝑆 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
gsummatr01lem3 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)))) = ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛))))(+g𝐺)(𝐾(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝐾))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑗,𝑛   𝐵,𝑖,𝑗,𝑛   𝑖,𝐺,𝑗,𝑛   𝑖,𝐾,𝑗,𝑛   𝐾,𝑟   𝑖,𝐿,𝑗,𝑛   𝐿,𝑟   𝑖,𝑁,𝑗,𝑛   𝑃,𝑟   𝑄,𝑟   𝑄,𝑖,𝑗,𝑛   𝑅,𝑖,𝑗,𝑛   𝑆,𝑖,𝑗,𝑛   0 ,𝑖,𝑗,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑟)   𝐵(𝑟)   𝑃(𝑖,𝑗,𝑛)   𝑅(𝑟)   𝑆(𝑟)   𝐺(𝑟)   𝑁(𝑟)   0 (𝑟)

Proof of Theorem gsummatr01lem3
StepHypRef Expression
1 eqid 2771 . 2 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2 eqid 2771 . 2 (+g𝐺) = (+g𝐺)
3 simpl 468 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ CMnd)
433ad2ant1 1127 . 2 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → 𝐺 ∈ CMnd)
5 diffi 8348 . . . 4 (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
65adantl 467 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
763ad2ant1 1127 . 2 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
8 eqidd 2772 . . . . 5 (((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗))))
9 eqeq1 2775 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑛 → (𝑖 = 𝐾𝑛 = 𝐾))
109adantr 466 . . . . . . 7 ((𝑖 = 𝑛𝑗 = (𝑄𝑛)) → (𝑖 = 𝐾𝑛 = 𝐾))
11 eqeq1 2775 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑄𝑛) → (𝑗 = 𝐿 ↔ (𝑄𝑛) = 𝐿))
1211ifbid 4247 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑄𝑛) → if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵) = if((𝑄𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵))
1312adantl 467 . . . . . . 7 ((𝑖 = 𝑛𝑗 = (𝑄𝑛)) → if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵) = if((𝑄𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵))
14 oveq12 6802 . . . . . . 7 ((𝑖 = 𝑛𝑗 = (𝑄𝑛)) → (𝑖𝐴𝑗) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
1510, 13, 14ifbieq12d 4252 . . . . . 6 ((𝑖 = 𝑛𝑗 = (𝑄𝑛)) → if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)) = if(𝑛 = 𝐾, if((𝑄𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑛𝐴(𝑄𝑛))))
16 eldifsni 4457 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑛𝐾)
1716neneqd 2948 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ¬ 𝑛 = 𝐾)
1817iffalsed 4236 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → if(𝑛 = 𝐾, if((𝑄𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑛𝐴(𝑄𝑛))) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
1918adantl 467 . . . . . 6 (((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → if(𝑛 = 𝐾, if((𝑄𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑛𝐴(𝑄𝑛))) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
2015, 19sylan9eqr 2827 . . . . 5 ((((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝑖 = 𝑛𝑗 = (𝑄𝑛))) → if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
21 eldifi 3883 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑛𝑁)
2221adantl 467 . . . . 5 (((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → 𝑛𝑁)
23 gsummatr01.p . . . . . . . . . 10 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
24 gsummatr01.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = {𝑟𝑃 ∣ (𝑟𝐾) = 𝐿}
2523, 24gsummatr01lem1 20680 . . . . . . . . 9 ((𝑄𝑅𝑛𝑁) → (𝑄𝑛) ∈ 𝑁)
2625expcom 398 . . . . . . . 8 (𝑛𝑁 → (𝑄𝑅 → (𝑄𝑛) ∈ 𝑁))
2726, 21syl11 33 . . . . . . 7 (𝑄𝑅 → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑄𝑛) ∈ 𝑁))
28273ad2ant3 1129 . . . . . 6 ((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑄𝑛) ∈ 𝑁))
2928imp 393 . . . . 5 (((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑄𝑛) ∈ 𝑁)
30 ovexd 6825 . . . . 5 (((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛𝐴(𝑄𝑛)) ∈ V)
318, 20, 22, 29, 30ovmpt2d 6935 . . . 4 (((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
32313ad2antl3 1202 . . 3 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
33 gsummatr01.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (Base‘𝐺)
3433eleq2i 2842 . . . . . . . 8 ((𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ↔ (𝑖𝐴𝑗) ∈ (Base‘𝐺))
35342ralbii 3130 . . . . . . 7 (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ (Base‘𝐺))
3623, 24gsummatr01lem2 20681 . . . . . . . . . . 11 ((𝑄𝑅𝑛𝑁) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ (Base‘𝐺) → (𝑛𝐴(𝑄𝑛)) ∈ (Base‘𝐺)))
3721, 36sylan2 580 . . . . . . . . . 10 ((𝑄𝑅𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ (Base‘𝐺) → (𝑛𝐴(𝑄𝑛)) ∈ (Base‘𝐺)))
3837ex 397 . . . . . . . . 9 (𝑄𝑅 → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ (Base‘𝐺) → (𝑛𝐴(𝑄𝑛)) ∈ (Base‘𝐺))))
39383ad2ant3 1129 . . . . . . . 8 ((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ (Base‘𝐺) → (𝑛𝐴(𝑄𝑛)) ∈ (Base‘𝐺))))
4039com3r 87 . . . . . . 7 (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ (Base‘𝐺) → ((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑛𝐴(𝑄𝑛)) ∈ (Base‘𝐺))))
4135, 40sylbi 207 . . . . . 6 (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 → ((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑛𝐴(𝑄𝑛)) ∈ (Base‘𝐺))))
4241adantr 466 . . . . 5 ((∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) → ((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑛𝐴(𝑄𝑛)) ∈ (Base‘𝐺))))
4342imp31 404 . . . 4 ((((∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛𝐴(𝑄𝑛)) ∈ (Base‘𝐺))
44433adantl1 1171 . . 3 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛𝐴(𝑄𝑛)) ∈ (Base‘𝐺))
4532, 44eqeltrd 2850 . 2 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)) ∈ (Base‘𝐺))
46 simp31 1251 . 2 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → 𝐾𝑁)
47 neldifsnd 4459 . 2 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → ¬ 𝐾 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
48 eqidd 2772 . . . . . 6 ((𝐵𝑆 ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗))))
49 iftrue 4231 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝐾 → if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)) = if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵))
50 eqeq1 2775 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑄𝐾) → (𝑗 = 𝐿 ↔ (𝑄𝐾) = 𝐿))
5150ifbid 4247 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑄𝐾) → if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵) = if((𝑄𝐾) = 𝐿, 0 , 𝐵))
5249, 51sylan9eq 2825 . . . . . . 7 ((𝑖 = 𝐾𝑗 = (𝑄𝐾)) → if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)) = if((𝑄𝐾) = 𝐿, 0 , 𝐵))
5352adantl 467 . . . . . 6 (((𝐵𝑆 ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ (𝑖 = 𝐾𝑗 = (𝑄𝐾))) → if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)) = if((𝑄𝐾) = 𝐿, 0 , 𝐵))
54 simpr1 1233 . . . . . 6 ((𝐵𝑆 ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → 𝐾𝑁)
5523, 24gsummatr01lem1 20680 . . . . . . . . 9 ((𝑄𝑅𝐾𝑁) → (𝑄𝐾) ∈ 𝑁)
5655ancoms 455 . . . . . . . 8 ((𝐾𝑁𝑄𝑅) → (𝑄𝐾) ∈ 𝑁)
57563adant2 1125 . . . . . . 7 ((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) → (𝑄𝐾) ∈ 𝑁)
5857adantl 467 . . . . . 6 ((𝐵𝑆 ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (𝑄𝐾) ∈ 𝑁)
59 gsummatr01.0 . . . . . . . 8 0 = (0g𝐺)
60 fvex 6342 . . . . . . . 8 (0g𝐺) ∈ V
6159, 60eqeltri 2846 . . . . . . 7 0 ∈ V
62 simpl 468 . . . . . . 7 ((𝐵𝑆 ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → 𝐵𝑆)
63 ifexg 4296 . . . . . . 7 (( 0 ∈ V ∧ 𝐵𝑆) → if((𝑄𝐾) = 𝐿, 0 , 𝐵) ∈ V)
6461, 62, 63sylancr 575 . . . . . 6 ((𝐵𝑆 ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → if((𝑄𝐾) = 𝐿, 0 , 𝐵) ∈ V)
6548, 53, 54, 58, 64ovmpt2d 6935 . . . . 5 ((𝐵𝑆 ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (𝐾(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝐾)) = if((𝑄𝐾) = 𝐿, 0 , 𝐵))
6665adantll 693 . . . 4 (((∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (𝐾(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝐾)) = if((𝑄𝐾) = 𝐿, 0 , 𝐵))
67663adant1 1124 . . 3 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (𝐾(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝐾)) = if((𝑄𝐾) = 𝐿, 0 , 𝐵))
68 cmnmnd 18415 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
691, 59mndidcl 17516 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝐺))
7068, 69syl 17 . . . . . 6 (𝐺 ∈ CMnd → 0 ∈ (Base‘𝐺))
7170adantr 466 . . . . 5 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 0 ∈ (Base‘𝐺))
72713ad2ant1 1127 . . . 4 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → 0 ∈ (Base‘𝐺))
7333eleq2i 2842 . . . . . . 7 (𝐵𝑆𝐵 ∈ (Base‘𝐺))
7473biimpi 206 . . . . . 6 (𝐵𝑆𝐵 ∈ (Base‘𝐺))
7574adantl 467 . . . . 5 ((∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) → 𝐵 ∈ (Base‘𝐺))
76753ad2ant2 1128 . . . 4 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → 𝐵 ∈ (Base‘𝐺))
7772, 76ifcld 4270 . . 3 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → if((𝑄𝐾) = 𝐿, 0 , 𝐵) ∈ (Base‘𝐺))
7867, 77eqeltrd 2850 . 2 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (𝐾(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝐾)) ∈ (Base‘𝐺))
79 id 22 . . 3 (𝑛 = 𝐾𝑛 = 𝐾)
80 fveq2 6332 . . 3 (𝑛 = 𝐾 → (𝑄𝑛) = (𝑄𝐾))
8179, 80oveq12d 6811 . 2 (𝑛 = 𝐾 → (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)) = (𝐾(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝐾)))
821, 2, 4, 7, 45, 46, 47, 78, 81gsumunsn 18566 1 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)))) = ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛))))(+g𝐺)(𝐾(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝐾))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  {crab 3065  Vcvv 3351  cdif 3720  cun 3721  ifcif 4225  {csn 4316  cmpt 4863  cfv 6031  (class class class)co 6793  cmpt2 6795  Fincfn 8109  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  0gc0g 16308   Σg cgsu 16309  Mndcmnd 17502  SymGrpcsymg 18004  CMndccmn 18400
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-tset 16168  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17957  df-symg 18005  df-cmn 18402
This theorem is referenced by:  gsummatr01  20684
  Copyright terms: Public domain W3C validator