Theorem gsummulglem 20069

Description: Lemma for gsummulg 20070 and gsummulgz 20071. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummulg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummulg.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummulg.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
gsummulg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsummulg.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
gsummulg.w	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp 0 )
gsummulglem.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummulglem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
gsummulglem.o	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ Abel ∨ 𝑁 ∈ ℕ0))

Assertion

Ref	Expression
gsummulglem	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑁 · 𝑋))) = (𝑁 · (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   · ,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)   0 (𝑘)

Proof of Theorem gsummulglem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummulg.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsummulg.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsummulglem.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		cmnmnd 19925	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
5	3, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
6		gsummulg.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
7		gsummulglem.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
8		gsummulg.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.g‘𝐺)
9	1, 8	mulgghm 19956	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
10		ghmmhm 19354	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐺 MndHom 𝐺))
11	9, 10	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐺 MndHom 𝐺))
12	11	expcom 419	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝐺 ∈ Abel → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐺 MndHom 𝐺)))
13	7, 12	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ Abel → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐺 MndHom 𝐺)))
14	1, 8	mulgmhm 19955	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐺 MndHom 𝐺))
15	14	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐺 MndHom 𝐺)))
16	3, 15	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐺 MndHom 𝐺)))
17		gsummulglem.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ Abel ∨ 𝑁 ∈ ℕ0))
18	13, 16, 17	mpjaod 874	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐺 MndHom 𝐺))
19		gsummulg.f	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
20		gsummulg.w	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp 0 )
21		oveq2 7424	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑁 · 𝑥) = (𝑁 · 𝑋))
22		oveq2 7424	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) → (𝑁 · 𝑥) = (𝑁 · (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))))
23	1, 2, 3, 5, 6, 18, 19, 20, 21, 22	gsummhm2 20067	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑁 · 𝑋))) = (𝑁 · (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   finSupp cfsupp 9334  ℕ₀cn0 12531  ℤcz 12618  Basecbs 17305  0_gc0g 17528   Σ_g cgsu 17529  Mndcmnd 18838   MndHom cmhm 18890  ._gcmg 19191   GrpHom cghm 19341  CMndccmn 19908  Abelcabl 19909

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-seq 14068  df-hash 14397  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-mhm 18892  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-mulg 19192  df-ghm 19342  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-abl 19911

This theorem is used by:  gsummulg  20070  gsummulgz  20071