MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummulglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummulglem 19880
Description: Lemma for gsummulg 19881 and gsummulgz 19882. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummulg.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
gsummulg.z 0 = (0gโ€˜๐บ)
gsummulg.t ยท = (.gโ€˜๐บ)
gsummulg.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)
gsummulg.f ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
gsummulg.w (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐‘‹) finSupp 0 )
gsummulglem.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ CMnd)
gsummulglem.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
gsummulglem.o (๐œ‘ โ†’ (๐บ โˆˆ Abel โˆจ ๐‘ โˆˆ โ„•0))
Assertion
Ref Expression
gsummulglem (๐œ‘ โ†’ (๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐‘ ยท ๐‘‹))) = (๐‘ ยท (๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐‘‹))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐ต,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘   ๐œ‘,๐‘˜   ยท ,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐บ(๐‘˜)   ๐‘‰(๐‘˜)   ๐‘‹(๐‘˜)   0 (๐‘˜)

Proof of Theorem gsummulglem
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsummulg.b . 2 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
2 gsummulg.z . 2 0 = (0gโ€˜๐บ)
3 gsummulglem.g . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ CMnd)
4 cmnmnd 19736 . . 3 (๐บ โˆˆ CMnd โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
53, 4syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
6 gsummulg.a . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)
7 gsummulglem.n . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
8 gsummulg.t . . . . . . 7 ยท = (.gโ€˜๐บ)
91, 8mulgghm 19767 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ (๐บ GrpHom ๐บ))
10 ghmmhm 19164 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ (๐บ GrpHom ๐บ) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ (๐บ MndHom ๐บ))
119, 10syl 17 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ (๐บ MndHom ๐บ))
1211expcom 413 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐บ โˆˆ Abel โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ (๐บ MndHom ๐บ)))
137, 12syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐บ โˆˆ Abel โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ (๐บ MndHom ๐บ)))
141, 8mulgmhm 19766 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ CMnd โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ (๐บ MndHom ๐บ))
1514ex 412 . . . 4 (๐บ โˆˆ CMnd โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ (๐บ MndHom ๐บ)))
163, 15syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ (๐บ MndHom ๐บ)))
17 gsummulglem.o . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐บ โˆˆ Abel โˆจ ๐‘ โˆˆ โ„•0))
1813, 16, 17mpjaod 859 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ (๐บ MndHom ๐บ))
19 gsummulg.f . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
20 gsummulg.w . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐‘‹) finSupp 0 )
21 oveq2 7422 . 2 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘ ยท ๐‘ฅ) = (๐‘ ยท ๐‘‹))
22 oveq2 7422 . 2 (๐‘ฅ = (๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐‘‹)) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘ฅ) = (๐‘ ยท (๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐‘‹))))
231, 2, 3, 5, 6, 18, 19, 20, 21, 22gsummhm2 19878 1 (๐œ‘ โ†’ (๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐‘ ยท ๐‘‹))) = (๐‘ ยท (๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐‘‹))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆจ wo 846   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   class class class wbr 5142   โ†ฆ cmpt 5225  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   finSupp cfsupp 9375  โ„•0cn0 12488  โ„คcz 12574  Basecbs 17165  0gc0g 17406   ฮฃg cgsu 17407  Mndcmnd 18679   MndHom cmhm 18723  .gcmg 19007   GrpHom cghm 19151  CMndccmn 19719  Abelcabl 19720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-seq 13985  df-hash 14308  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-mhm 18725  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-mulg 19008  df-ghm 19152  df-cntz 19252  df-cmn 19721  df-abl 19722
This theorem is referenced by:  gsummulg  19881  gsummulgz  19882
  Copyright terms: Public domain W3C validator