Theorem gsummulglem 20017

Description: Lemma for gsummulg 20018 and gsummulgz 20019. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummulg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummulg.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummulg.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
gsummulg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsummulg.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
gsummulg.w	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp 0 )
gsummulglem.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummulglem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
gsummulglem.o	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ Abel ∨ 𝑁 ∈ ℕ0))

Assertion

Ref	Expression
gsummulglem	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑁 · 𝑋))) = (𝑁 · (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   · ,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)   0 (𝑘)

Proof of Theorem gsummulglem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummulg.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsummulg.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsummulglem.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		cmnmnd 19873	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
5	3, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
6		gsummulg.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
7		gsummulglem.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
8		gsummulg.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.g‘𝐺)
9	1, 8	mulgghm 19904	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
10		ghmmhm 19302	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐺 MndHom 𝐺))
11	9, 10	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐺 MndHom 𝐺))
12	11	expcom 418	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝐺 ∈ Abel → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐺 MndHom 𝐺)))
13	7, 12	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ Abel → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐺 MndHom 𝐺)))
14	1, 8	mulgmhm 19903	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐺 MndHom 𝐺))
15	14	ex 417	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐺 MndHom 𝐺)))
16	3, 15	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐺 MndHom 𝐺)))
17		gsummulglem.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ Abel ∨ 𝑁 ∈ ℕ0))
18	13, 16, 17	mpjaod 873	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐺 MndHom 𝐺))
19		gsummulg.f	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
20		gsummulg.w	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp 0 )
21		oveq2 7420	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑁 · 𝑥) = (𝑁 · 𝑋))
22		oveq2 7420	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) → (𝑁 · 𝑥) = (𝑁 · (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))))
23	1, 2, 3, 5, 6, 18, 19, 20, 21, 22	gsummhm2 20015	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑁 · 𝑋))) = (𝑁 · (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412   finSupp cfsupp 9319  ℕ₀cn0 12510  ℤcz 12597  Basecbs 17275  0_gc0g 17498   Σ_g cgsu 17499  Mndcmnd 18798   MndHom cmhm 18845  ._gcmg 19139   GrpHom cghm 19289  CMndccmn 19856  Abelcabl 19857

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8155  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-er 8692  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9320  df-oi 9470  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-seq 14045  df-hash 14374  df-0g 17500  df-gsum 17501  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-mhm 18847  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-mulg 19140  df-ghm 19290  df-cntz 19393  df-cmn 19858  df-abl 19859

This theorem is used by:  gsummulg  20018  gsummulgz  20019