![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > gsummulglem | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Lemma for gsummulg 19881 and gsummulgz 19882. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.) |
Ref | Expression |
---|---|
gsummulg.b | โข ๐ต = (Baseโ๐บ) |
gsummulg.z | โข 0 = (0gโ๐บ) |
gsummulg.t | โข ยท = (.gโ๐บ) |
gsummulg.a | โข (๐ โ ๐ด โ ๐) |
gsummulg.f | โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ โ ๐ต) |
gsummulg.w | โข (๐ โ (๐ โ ๐ด โฆ ๐) finSupp 0 ) |
gsummulglem.g | โข (๐ โ ๐บ โ CMnd) |
gsummulglem.n | โข (๐ โ ๐ โ โค) |
gsummulglem.o | โข (๐ โ (๐บ โ Abel โจ ๐ โ โ0)) |
Ref | Expression |
---|---|
gsummulglem | โข (๐ โ (๐บ ฮฃg (๐ โ ๐ด โฆ (๐ ยท ๐))) = (๐ ยท (๐บ ฮฃg (๐ โ ๐ด โฆ ๐)))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | gsummulg.b | . 2 โข ๐ต = (Baseโ๐บ) | |
2 | gsummulg.z | . 2 โข 0 = (0gโ๐บ) | |
3 | gsummulglem.g | . 2 โข (๐ โ ๐บ โ CMnd) | |
4 | cmnmnd 19736 | . . 3 โข (๐บ โ CMnd โ ๐บ โ Mnd) | |
5 | 3, 4 | syl 17 | . 2 โข (๐ โ ๐บ โ Mnd) |
6 | gsummulg.a | . 2 โข (๐ โ ๐ด โ ๐) | |
7 | gsummulglem.n | . . . 4 โข (๐ โ ๐ โ โค) | |
8 | gsummulg.t | . . . . . . 7 โข ยท = (.gโ๐บ) | |
9 | 1, 8 | mulgghm 19767 | . . . . . 6 โข ((๐บ โ Abel โง ๐ โ โค) โ (๐ฅ โ ๐ต โฆ (๐ ยท ๐ฅ)) โ (๐บ GrpHom ๐บ)) |
10 | ghmmhm 19164 | . . . . . 6 โข ((๐ฅ โ ๐ต โฆ (๐ ยท ๐ฅ)) โ (๐บ GrpHom ๐บ) โ (๐ฅ โ ๐ต โฆ (๐ ยท ๐ฅ)) โ (๐บ MndHom ๐บ)) | |
11 | 9, 10 | syl 17 | . . . . 5 โข ((๐บ โ Abel โง ๐ โ โค) โ (๐ฅ โ ๐ต โฆ (๐ ยท ๐ฅ)) โ (๐บ MndHom ๐บ)) |
12 | 11 | expcom 413 | . . . 4 โข (๐ โ โค โ (๐บ โ Abel โ (๐ฅ โ ๐ต โฆ (๐ ยท ๐ฅ)) โ (๐บ MndHom ๐บ))) |
13 | 7, 12 | syl 17 | . . 3 โข (๐ โ (๐บ โ Abel โ (๐ฅ โ ๐ต โฆ (๐ ยท ๐ฅ)) โ (๐บ MndHom ๐บ))) |
14 | 1, 8 | mulgmhm 19766 | . . . . 5 โข ((๐บ โ CMnd โง ๐ โ โ0) โ (๐ฅ โ ๐ต โฆ (๐ ยท ๐ฅ)) โ (๐บ MndHom ๐บ)) |
15 | 14 | ex 412 | . . . 4 โข (๐บ โ CMnd โ (๐ โ โ0 โ (๐ฅ โ ๐ต โฆ (๐ ยท ๐ฅ)) โ (๐บ MndHom ๐บ))) |
16 | 3, 15 | syl 17 | . . 3 โข (๐ โ (๐ โ โ0 โ (๐ฅ โ ๐ต โฆ (๐ ยท ๐ฅ)) โ (๐บ MndHom ๐บ))) |
17 | gsummulglem.o | . . 3 โข (๐ โ (๐บ โ Abel โจ ๐ โ โ0)) | |
18 | 13, 16, 17 | mpjaod 859 | . 2 โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ต โฆ (๐ ยท ๐ฅ)) โ (๐บ MndHom ๐บ)) |
19 | gsummulg.f | . 2 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ โ ๐ต) | |
20 | gsummulg.w | . 2 โข (๐ โ (๐ โ ๐ด โฆ ๐) finSupp 0 ) | |
21 | oveq2 7422 | . 2 โข (๐ฅ = ๐ โ (๐ ยท ๐ฅ) = (๐ ยท ๐)) | |
22 | oveq2 7422 | . 2 โข (๐ฅ = (๐บ ฮฃg (๐ โ ๐ด โฆ ๐)) โ (๐ ยท ๐ฅ) = (๐ ยท (๐บ ฮฃg (๐ โ ๐ด โฆ ๐)))) | |
23 | 1, 2, 3, 5, 6, 18, 19, 20, 21, 22 | gsummhm2 19878 | 1 โข (๐ โ (๐บ ฮฃg (๐ โ ๐ด โฆ (๐ ยท ๐))) = (๐ ยท (๐บ ฮฃg (๐ โ ๐ด โฆ ๐)))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 โจ wo 846 = wceq 1534 โ wcel 2099 class class class wbr 5142 โฆ cmpt 5225 โcfv 6542 (class class class)co 7414 finSupp cfsupp 9375 โ0cn0 12488 โคcz 12574 Basecbs 17165 0gc0g 17406 ฮฃg cgsu 17407 Mndcmnd 18679 MndHom cmhm 18723 .gcmg 19007 GrpHom cghm 19151 CMndccmn 19719 Abelcabl 19720 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2164 ax-ext 2698 ax-rep 5279 ax-sep 5293 ax-nul 5300 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7732 ax-cnex 11180 ax-resscn 11181 ax-1cn 11182 ax-icn 11183 ax-addcl 11184 ax-addrcl 11185 ax-mulcl 11186 ax-mulrcl 11187 ax-mulcom 11188 ax-addass 11189 ax-mulass 11190 ax-distr 11191 ax-i2m1 11192 ax-1ne0 11193 ax-1rid 11194 ax-rnegex 11195 ax-rrecex 11196 ax-cnre 11197 ax-pre-lttri 11198 ax-pre-lttrn 11199 ax-pre-ltadd 11200 ax-pre-mulgt0 11201 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2705 df-cleq 2719 df-clel 2805 df-nfc 2880 df-ne 2936 df-nel 3042 df-ral 3057 df-rex 3066 df-rmo 3371 df-reu 3372 df-rab 3428 df-v 3471 df-sbc 3775 df-csb 3890 df-dif 3947 df-un 3949 df-in 3951 df-ss 3961 df-pss 3963 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-int 4945 df-iun 4993 df-br 5143 df-opab 5205 df-mpt 5226 df-tr 5260 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-se 5628 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6299 df-ord 6366 df-on 6367 df-lim 6368 df-suc 6369 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-isom 6551 df-riota 7370 df-ov 7417 df-oprab 7418 df-mpo 7419 df-om 7863 df-1st 7985 df-2nd 7986 df-supp 8158 df-frecs 8278 df-wrecs 8309 df-recs 8383 df-rdg 8422 df-1o 8478 df-er 8716 df-map 8836 df-en 8954 df-dom 8955 df-sdom 8956 df-fin 8957 df-fsupp 9376 df-oi 9519 df-card 9948 df-pnf 11266 df-mnf 11267 df-xr 11268 df-ltxr 11269 df-le 11270 df-sub 11462 df-neg 11463 df-nn 12229 df-n0 12489 df-z 12575 df-uz 12839 df-fz 13503 df-fzo 13646 df-seq 13985 df-hash 14308 df-0g 17408 df-gsum 17409 df-mgm 18585 df-sgrp 18664 df-mnd 18680 df-mhm 18725 df-grp 18878 df-minusg 18879 df-mulg 19008 df-ghm 19152 df-cntz 19252 df-cmn 19721 df-abl 19722 |
This theorem is referenced by: gsummulg 19881 gsummulgz 19882 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |