MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummulglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummulglem 19898
Description: Lemma for gsummulg 19899 and gsummulgz 19900. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummulg.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
gsummulg.z 0 = (0gโ€˜๐บ)
gsummulg.t ยท = (.gโ€˜๐บ)
gsummulg.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)
gsummulg.f ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
gsummulg.w (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐‘‹) finSupp 0 )
gsummulglem.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ CMnd)
gsummulglem.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
gsummulglem.o (๐œ‘ โ†’ (๐บ โˆˆ Abel โˆจ ๐‘ โˆˆ โ„•0))
Assertion
Ref Expression
gsummulglem (๐œ‘ โ†’ (๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐‘ ยท ๐‘‹))) = (๐‘ ยท (๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐‘‹))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐ต,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘   ๐œ‘,๐‘˜   ยท ,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐บ(๐‘˜)   ๐‘‰(๐‘˜)   ๐‘‹(๐‘˜)   0 (๐‘˜)

Proof of Theorem gsummulglem
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsummulg.b . 2 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
2 gsummulg.z . 2 0 = (0gโ€˜๐บ)
3 gsummulglem.g . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ CMnd)
4 cmnmnd 19754 . . 3 (๐บ โˆˆ CMnd โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
53, 4syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
6 gsummulg.a . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)
7 gsummulglem.n . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
8 gsummulg.t . . . . . . 7 ยท = (.gโ€˜๐บ)
91, 8mulgghm 19785 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ (๐บ GrpHom ๐บ))
10 ghmmhm 19182 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ (๐บ GrpHom ๐บ) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ (๐บ MndHom ๐บ))
119, 10syl 17 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ (๐บ MndHom ๐บ))
1211expcom 412 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐บ โˆˆ Abel โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ (๐บ MndHom ๐บ)))
137, 12syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐บ โˆˆ Abel โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ (๐บ MndHom ๐บ)))
141, 8mulgmhm 19784 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ CMnd โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ (๐บ MndHom ๐บ))
1514ex 411 . . . 4 (๐บ โˆˆ CMnd โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ (๐บ MndHom ๐บ)))
163, 15syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ (๐บ MndHom ๐บ)))
17 gsummulglem.o . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐บ โˆˆ Abel โˆจ ๐‘ โˆˆ โ„•0))
1813, 16, 17mpjaod 858 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ (๐บ MndHom ๐บ))
19 gsummulg.f . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
20 gsummulg.w . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐‘‹) finSupp 0 )
21 oveq2 7423 . 2 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘ ยท ๐‘ฅ) = (๐‘ ยท ๐‘‹))
22 oveq2 7423 . 2 (๐‘ฅ = (๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐‘‹)) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘ฅ) = (๐‘ ยท (๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐‘‹))))
231, 2, 3, 5, 6, 18, 19, 20, 21, 22gsummhm2 19896 1 (๐œ‘ โ†’ (๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐‘ ยท ๐‘‹))) = (๐‘ ยท (๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐‘‹))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆจ wo 845   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5143   โ†ฆ cmpt 5226  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7415   finSupp cfsupp 9383  โ„•0cn0 12500  โ„คcz 12586  Basecbs 17177  0gc0g 17418   ฮฃg cgsu 17419  Mndcmnd 18691   MndHom cmhm 18735  .gcmg 19025   GrpHom cghm 19169  CMndccmn 19737  Abelcabl 19738
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-hash 14320  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mhm 18737  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-mulg 19026  df-ghm 19170  df-cntz 19270  df-cmn 19739  df-abl 19740
This theorem is referenced by:  gsummulg  19899  gsummulgz  19900
  Copyright terms: Public domain W3C validator