Theorem mdetdiagid 22543

Description: The determinant of a diagonal matrix with identical entries is the power of the entry in the diagonal. (Contributed by AV, 17-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetdiag.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetdiag.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetdiag.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetdiag.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
mdetdiag.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mdetdiagid.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑅)
mdetdiagid.t	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mdetdiagid	⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) → (𝐷‘𝑀) = ((♯‘𝑁) · 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑀,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   0 ,𝑖,𝑗   𝐵,𝑖,𝑗   𝐶,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝑖,𝑋,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐷(𝑖,𝑗)   · (𝑖,𝑗)   𝐺(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mdetdiagid

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑅 ∈ CRing)
2	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) → 𝑅 ∈ CRing)
3		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑁 ∈ Fin)
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) → 𝑁 ∈ Fin)
5		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑀 ∈ 𝐵)
6	5	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) → 𝑀 ∈ 𝐵)
7	2, 4, 6	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵))
8	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )) → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵))
9		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) → (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ))
10		ifnefalse 4517	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ≠ 𝑗 → if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) = 0 )
11	10	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) = 0 )
12	9, 11	sylan9eqr 2793	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )) → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )
13	12	exp31 419	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖 ≠ 𝑗 → ((𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )))
14	13	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) → (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )))
15	14	ralimdva 3153	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) → ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )))
16	15	ralimdva 3153	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )))
17	16	imp 406	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ))
18		mdetdiag.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
19		mdetdiag.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
20		mdetdiag.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
21		mdetdiag.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
22		mdetdiag.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
23	18, 19, 20, 21, 22	mdetdiag 22542	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝐷‘𝑀) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘)))))
24	8, 17, 23	sylc 65	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )) → (𝐷‘𝑀) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))))
25		oveq1 7417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑖𝑀𝑗) = (𝑘𝑀𝑗))
26		equequ1 2025	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 = 𝑗 ↔ 𝑘 = 𝑗))
27	26	ifbid 4529	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) = if(𝑘 = 𝑗, 𝑋, 0 ))
28	25, 27	eqeq12d 2752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) ↔ (𝑘𝑀𝑗) = if(𝑘 = 𝑗, 𝑋, 0 )))
29		oveq2 7418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑘𝑀𝑗) = (𝑘𝑀𝑘))
30		equequ2 2026	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑘 = 𝑗 ↔ 𝑘 = 𝑘))
31	30	ifbid 4529	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → if(𝑘 = 𝑗, 𝑋, 0 ) = if(𝑘 = 𝑘, 𝑋, 0 ))
32	29, 31	eqeq12d 2752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑘𝑀𝑗) = if(𝑘 = 𝑗, 𝑋, 0 ) ↔ (𝑘𝑀𝑘) = if(𝑘 = 𝑘, 𝑋, 0 )))
33	28, 32	rspc2v 3617	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) → (𝑘𝑀𝑘) = if(𝑘 = 𝑘, 𝑋, 0 )))
34	33	anidms 566	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑁 → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) → (𝑘𝑀𝑘) = if(𝑘 = 𝑘, 𝑋, 0 )))
35	34	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) → (𝑘𝑀𝑘) = if(𝑘 = 𝑘, 𝑋, 0 )))
36	35	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )) → (𝑘𝑀𝑘) = if(𝑘 = 𝑘, 𝑋, 0 ))
37		equid 2012	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑘 = 𝑘
38	37	iftruei 4512	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑘 = 𝑘, 𝑋, 0 ) = 𝑋
39	36, 38	eqtrdi 2787	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )) → (𝑘𝑀𝑘) = 𝑋)
40	39	an32s 652	. . . . 5 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑘𝑀𝑘) = 𝑋)
41	40	mpteq2dva 5219	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )) → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋))
42	41	oveq2d 7426	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋)))
43	21	crngmgp 20206	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
44		cmnmnd 19783	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
45	43, 44	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Mnd)
46	45	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ Mnd)
47		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 ∈ 𝐶)
48		mdetdiagid.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑅)
49	21, 48	mgpbas 20110	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝐺)
50		mdetdiagid.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
51	49, 50	gsumconst 19920	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋)) = ((♯‘𝑁) · 𝑋))
52	46, 3, 47, 51	syl2an3an 1424	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋)) = ((♯‘𝑁) · 𝑋))
53	52	adantr 480	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋)) = ((♯‘𝑁) · 𝑋))
54	24, 42, 53	3eqtrd 2775	. 2 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )) → (𝐷‘𝑀) = ((♯‘𝑁) · 𝑋))
55	54	ex 412	1 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) → (𝐷‘𝑀) = ((♯‘𝑁) · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ifcif 4505   ↦ cmpt 5206  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8964  ♯chash 14353  Basecbs 17233  0_gc0g 17458   Σ_g cgsu 17459  Mndcmnd 18717  ._gcmg 19055  CMndccmn 19766  mulGrpcmgp 20105  CRingccrg 20199   Mat cmat 22350   maDet cmdat 22527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-addf 11213  ax-mulf 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1512  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-ot 4615  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-sup 9459  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-xnn0 12580  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-rp 13014  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14354  df-word 14537  df-lsw 14586  df-concat 14594  df-s1 14619  df-substr 14664  df-pfx 14694  df-splice 14773  df-reverse 14782  df-s2 14872  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-hom 17300  df-cco 17301  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-prds 17466  df-pws 17468  df-mre 17603  df-mrc 17604  df-acs 17606  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-mhm 18766  df-submnd 18767  df-efmnd 18852  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-mulg 19056  df-subg 19111  df-ghm 19201  df-gim 19247  df-cntz 19305  df-oppg 19334  df-symg 19356  df-pmtr 19428  df-psgn 19477  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-ring 20200  df-cring 20201  df-oppr 20302  df-dvdsr 20322  df-unit 20323  df-invr 20353  df-dvr 20366  df-rhm 20437  df-subrng 20511  df-subrg 20535  df-drng 20696  df-sra 21136  df-rgmod 21137  df-cnfld 21321  df-zring 21413  df-zrh 21469  df-dsmm 21697  df-frlm 21712  df-mat 22351  df-mdet 22528

This theorem is referenced by:  mdet1  22544