Theorem mdetdiagid 21205

Description: The determinant of a diagonal matrix with identical entries is the power of the entry in the diagonal. (Contributed by AV, 17-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetdiag.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetdiag.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetdiag.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetdiag.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
mdetdiag.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mdetdiagid.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑅)
mdetdiagid.t	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mdetdiagid	⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) → (𝐷‘𝑀) = ((♯‘𝑁) · 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑀,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   0 ,𝑖,𝑗   𝐵,𝑖,𝑗   𝐶,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝑖,𝑋,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐷(𝑖,𝑗)   · (𝑖,𝑗)   𝐺(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mdetdiagid

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑅 ∈ CRing)
2	1	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) → 𝑅 ∈ CRing)
3		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑁 ∈ Fin)
4	3	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) → 𝑁 ∈ Fin)
5		simpl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑀 ∈ 𝐵)
6	5	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) → 𝑀 ∈ 𝐵)
7	2, 4, 6	3jca 1125	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵))
8	7	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )) → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵))
9		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) → (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ))
10		ifnefalse 4437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ≠ 𝑗 → if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) = 0 )
11	10	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) = 0 )
12	9, 11	sylan9eqr 2855	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )) → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )
13	12	exp31 423	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖 ≠ 𝑗 → ((𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )))
14	13	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) → (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )))
15	14	ralimdva 3144	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) → ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )))
16	15	ralimdva 3144	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )))
17	16	imp 410	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ))
18		mdetdiag.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
19		mdetdiag.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
20		mdetdiag.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
21		mdetdiag.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
22		mdetdiag.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
23	18, 19, 20, 21, 22	mdetdiag 21204	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝐷‘𝑀) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘)))))
24	8, 17, 23	sylc 65	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )) → (𝐷‘𝑀) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))))
25		oveq1 7142	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑖𝑀𝑗) = (𝑘𝑀𝑗))
26		equequ1 2032	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 = 𝑗 ↔ 𝑘 = 𝑗))
27	26	ifbid 4447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) = if(𝑘 = 𝑗, 𝑋, 0 ))
28	25, 27	eqeq12d 2814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) ↔ (𝑘𝑀𝑗) = if(𝑘 = 𝑗, 𝑋, 0 )))
29		oveq2 7143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑘𝑀𝑗) = (𝑘𝑀𝑘))
30		equequ2 2033	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑘 = 𝑗 ↔ 𝑘 = 𝑘))
31	30	ifbid 4447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → if(𝑘 = 𝑗, 𝑋, 0 ) = if(𝑘 = 𝑘, 𝑋, 0 ))
32	29, 31	eqeq12d 2814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑘𝑀𝑗) = if(𝑘 = 𝑗, 𝑋, 0 ) ↔ (𝑘𝑀𝑘) = if(𝑘 = 𝑘, 𝑋, 0 )))
33	28, 32	rspc2v 3581	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) → (𝑘𝑀𝑘) = if(𝑘 = 𝑘, 𝑋, 0 )))
34	33	anidms 570	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑁 → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) → (𝑘𝑀𝑘) = if(𝑘 = 𝑘, 𝑋, 0 )))
35	34	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) → (𝑘𝑀𝑘) = if(𝑘 = 𝑘, 𝑋, 0 )))
36	35	imp 410	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )) → (𝑘𝑀𝑘) = if(𝑘 = 𝑘, 𝑋, 0 ))
37		equid 2019	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑘 = 𝑘
38	37	iftruei 4432	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑘 = 𝑘, 𝑋, 0 ) = 𝑋
39	36, 38	eqtrdi 2849	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )) → (𝑘𝑀𝑘) = 𝑋)
40	39	an32s 651	. . . . 5 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑘𝑀𝑘) = 𝑋)
41	40	mpteq2dva 5125	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )) → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋))
42	41	oveq2d 7151	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋)))
43	21	crngmgp 19298	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
44		cmnmnd 18914	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
45	43, 44	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Mnd)
46	45	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ Mnd)
47		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 ∈ 𝐶)
48		mdetdiagid.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑅)
49	21, 48	mgpbas 19238	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝐺)
50		mdetdiagid.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
51	49, 50	gsumconst 19047	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋)) = ((♯‘𝑁) · 𝑋))
52	46, 3, 47, 51	syl2an3an 1419	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋)) = ((♯‘𝑁) · 𝑋))
53	52	adantr 484	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋)) = ((♯‘𝑁) · 𝑋))
54	24, 42, 53	3eqtrd 2837	. 2 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )) → (𝐷‘𝑀) = ((♯‘𝑁) · 𝑋))
55	54	ex 416	1 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) → (𝐷‘𝑀) = ((♯‘𝑁) · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ifcif 4425   ↦ cmpt 5110  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Fincfn 8492  ♯chash 13686  Basecbs 16475  0_gc0g 16705   Σ_g cgsu 16706  Mndcmnd 17903  ._gcmg 18216  CMndccmn 18898  mulGrpcmgp 19232  CRingccrg 19291   Mat cmat 21012   maDet cmdat 21189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-addf 10605  ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1503  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-ot 4534  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-sup 8890  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-word 13858  df-lsw 13906  df-concat 13914  df-s1 13941  df-substr 13994  df-pfx 14024  df-splice 14103  df-reverse 14112  df-s2 14201  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-prds 16713  df-pws 16715  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-submnd 17949  df-efmnd 18026  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-mulg 18217  df-subg 18268  df-ghm 18348  df-gim 18391  df-cntz 18439  df-oppg 18466  df-symg 18488  df-pmtr 18562  df-psgn 18611  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-cring 19293  df-oppr 19369  df-dvdsr 19387  df-unit 19388  df-invr 19418  df-dvr 19429  df-rnghom 19463  df-drng 19497  df-subrg 19526  df-sra 19937  df-rgmod 19938  df-cnfld 20092  df-zring 20164  df-zrh 20197  df-dsmm 20421  df-frlm 20436  df-mat 21013  df-mdet 21190

This theorem is referenced by:  mdet1  21206