Theorem mdetdiagid 22660

Description: The determinant of a diagonal matrix with identical entries is the power of the entry in the diagonal. (Contributed by AV, 17-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetdiag.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetdiag.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetdiag.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetdiag.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
mdetdiag.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mdetdiagid.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑅)
mdetdiagid.t	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mdetdiagid	⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) → (𝐷‘𝑀) = ((♯‘𝑁) · 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑀,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   0 ,𝑖,𝑗   𝐵,𝑖,𝑗   𝐶,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝑖,𝑋,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐷(𝑖,𝑗)   · (𝑖,𝑗)   𝐺(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mdetdiagid

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑅 ∈ CRing)
2	1	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) → 𝑅 ∈ CRing)
3		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑁 ∈ Fin)
4	3	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) → 𝑁 ∈ Fin)
5		simpl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑀 ∈ 𝐵)
6	5	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) → 𝑀 ∈ 𝐵)
7	2, 4, 6	3jca 1141	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵))
8	7	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )) → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵))
9		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) → (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ))
10		ifnefalse 4492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ≠ 𝑗 → if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) = 0 )
11	10	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) = 0 )
12	9, 11	sylan9eqr 2819	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )) → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )
13	12	exp31 423	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖 ≠ 𝑗 → ((𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )))
14	13	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) → (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )))
15	14	ralimdva 3174	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) → ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )))
16	15	ralimdva 3174	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )))
17	16	imp 410	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ))
18		mdetdiag.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
19		mdetdiag.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
20		mdetdiag.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
21		mdetdiag.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
22		mdetdiag.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
23	18, 19, 20, 21, 22	mdetdiag 22659	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝐷‘𝑀) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘)))))
24	8, 17, 23	sylc 65	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )) → (𝐷‘𝑀) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))))
25		oveq1 7403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑖𝑀𝑗) = (𝑘𝑀𝑗))
26		equequ1 2045	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 = 𝑗 ↔ 𝑘 = 𝑗))
27	26	ifbid 4504	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) = if(𝑘 = 𝑗, 𝑋, 0 ))
28	25, 27	eqeq12d 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) ↔ (𝑘𝑀𝑗) = if(𝑘 = 𝑗, 𝑋, 0 )))
29		oveq2 7404	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑘𝑀𝑗) = (𝑘𝑀𝑘))
30		equequ2 2046	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑘 = 𝑗 ↔ 𝑘 = 𝑘))
31	30	ifbid 4504	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → if(𝑘 = 𝑗, 𝑋, 0 ) = if(𝑘 = 𝑘, 𝑋, 0 ))
32	29, 31	eqeq12d 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑘𝑀𝑗) = if(𝑘 = 𝑗, 𝑋, 0 ) ↔ (𝑘𝑀𝑘) = if(𝑘 = 𝑘, 𝑋, 0 )))
33	28, 32	rspc2v 3592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) → (𝑘𝑀𝑘) = if(𝑘 = 𝑘, 𝑋, 0 )))
34	33	anidms 574	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑁 → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) → (𝑘𝑀𝑘) = if(𝑘 = 𝑘, 𝑋, 0 )))
35	34	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) → (𝑘𝑀𝑘) = if(𝑘 = 𝑘, 𝑋, 0 )))
36	35	imp 410	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )) → (𝑘𝑀𝑘) = if(𝑘 = 𝑘, 𝑋, 0 ))
37		equid 2032	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑘 = 𝑘
38	37	iftruei 4487	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑘 = 𝑘, 𝑋, 0 ) = 𝑋
39	36, 38	eqtrdi 2813	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )) → (𝑘𝑀𝑘) = 𝑋)
40	39	an32s 662	. . . . 5 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑘𝑀𝑘) = 𝑋)
41	40	mpteq2dva 5193	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )) → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋))
42	41	oveq2d 7412	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋)))
43	21	crngmgp 20291	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
44		cmnmnd 19837	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
45	43, 44	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Mnd)
46	45	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ Mnd)
47		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 ∈ 𝐶)
48		mdetdiagid.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑅)
49	21, 48	mgpbas 20191	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝐺)
50		mdetdiagid.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
51	49, 50	gsumconst 19974	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋)) = ((♯‘𝑁) · 𝑋))
52	46, 3, 47, 51	syl2an3an 1441	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋)) = ((♯‘𝑁) · 𝑋))
53	52	adantr 484	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋)) = ((♯‘𝑁) · 𝑋))
54	24, 42, 53	3eqtrd 2801	. 2 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )) → (𝐷‘𝑀) = ((♯‘𝑁) · 𝑋))
55	54	ex 416	1 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) → (𝐷‘𝑀) = ((♯‘𝑁) · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∀wral 3076  ifcif 4480   ↦ cmpt 5181  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Fincfn 8927  ♯chash 14343  Basecbs 17245  0_gc0g 17468   Σ_g cgsu 17469  Mndcmnd 18768  ._gcmg 19109  CMndccmn 19820  mulGrpcmgp 20186  CRingccrg 20284   Mat cmat 22467   maDet cmdat 22644

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-addf 11152  ax-mulf 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-xor 1532  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-ot 4591  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-tpos 8206  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9308  df-sup 9388  df-oi 9458  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-xnn0 12555  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-rp 12994  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-seq 14015  df-exp 14075  df-hash 14344  df-word 14527  df-lsw 14576  df-concat 14584  df-s1 14610  df-substr 14655  df-pfx 14685  df-splice 14763  df-reverse 14772  df-s2 14861  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-starv 17301  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-ip 17304  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-unif 17309  df-hom 17310  df-cco 17311  df-0g 17470  df-gsum 17471  df-prds 17476  df-pws 17478  df-mre 17614  df-mrc 17615  df-acs 17617  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-mhm 18817  df-submnd 18818  df-efmnd 18903  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-mulg 19110  df-subg 19165  df-ghm 19254  df-gim 19299  df-cntz 19357  df-oppg 19386  df-symg 19410  df-pmtr 19482  df-psgn 19531  df-cmn 19822  df-abl 19823  df-mgp 20187  df-rng 20199  df-ur 20232  df-ring 20285  df-cring 20286  df-oppr 20386  df-dvdsr 20406  df-unit 20407  df-invr 20437  df-dvr 20450  df-rhm 20521  df-subrng 20596  df-subrg 20620  df-drng 20781  df-sra 21240  df-rgmod 21241  df-cnfld 21425  df-zring 21499  df-zrh 21555  df-dsmm 21784  df-frlm 21799  df-mat 22468  df-mdet 22645

This theorem is referenced by:  mdet1  22661