MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetdiagid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetdiagid 20683
Description: The determinant of a diagonal matrix with identical entries is the power of the entry in the diagonal. (Contributed by AV, 17-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetdiag.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetdiag.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetdiag.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetdiag.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
mdetdiag.0 0 = (0g𝑅)
mdetdiagid.c 𝐶 = (Base‘𝑅)
mdetdiagid.t · = (.g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mdetdiagid (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑋𝐶)) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) → (𝐷𝑀) = ((♯‘𝑁) · 𝑋)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   0 ,𝑖,𝑗   𝐵,𝑖,𝑗   𝐶,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝑖,𝑋,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐷(𝑖,𝑗)   · (𝑖,𝑗)   𝐺(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mdetdiagid
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 474 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑅 ∈ CRing)
21adantr 472 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑋𝐶)) → 𝑅 ∈ CRing)
3 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑁 ∈ Fin)
43adantr 472 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑋𝐶)) → 𝑁 ∈ Fin)
5 simpl 474 . . . . . . 7 ((𝑀𝐵𝑋𝐶) → 𝑀𝐵)
65adantl 473 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑋𝐶)) → 𝑀𝐵)
72, 4, 63jca 1158 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑋𝐶)) → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵))
87adantr 472 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑋𝐶)) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )) → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵))
9 id 22 . . . . . . . . . 10 ((𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) → (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ))
10 ifnefalse 4255 . . . . . . . . . . 11 (𝑖𝑗 → if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) = 0 )
1110adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑖𝑗) → if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) = 0 )
129, 11sylan9eqr 2821 . . . . . . . . 9 (((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑖𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )) → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )
1312exp31 410 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑖𝑗 → ((𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )))
1413com23 86 . . . . . . 7 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) → (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )))
1514ralimdva 3109 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑖𝑁) → (∀𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) → ∀𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )))
1615ralimdva 3109 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑋𝐶)) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )))
1716imp 395 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑋𝐶)) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ))
18 mdetdiag.d . . . . 5 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
19 mdetdiag.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
20 mdetdiag.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
21 mdetdiag.g . . . . 5 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
22 mdetdiag.0 . . . . 5 0 = (0g𝑅)
2318, 19, 20, 21, 22mdetdiag 20682 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝐷𝑀) = (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘)))))
248, 17, 23sylc 65 . . 3 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑋𝐶)) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )) → (𝐷𝑀) = (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))))
25 oveq1 6849 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑘 → (𝑖𝑀𝑗) = (𝑘𝑀𝑗))
26 equequ1 2122 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 = 𝑗𝑘 = 𝑗))
2726ifbid 4265 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑘 → if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) = if(𝑘 = 𝑗, 𝑋, 0 ))
2825, 27eqeq12d 2780 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑘 → ((𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) ↔ (𝑘𝑀𝑗) = if(𝑘 = 𝑗, 𝑋, 0 )))
29 oveq2 6850 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑘 → (𝑘𝑀𝑗) = (𝑘𝑀𝑘))
30 equequ2 2123 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑘 → (𝑘 = 𝑗𝑘 = 𝑘))
3130ifbid 4265 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑘 → if(𝑘 = 𝑗, 𝑋, 0 ) = if(𝑘 = 𝑘, 𝑋, 0 ))
3229, 31eqeq12d 2780 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑘𝑀𝑗) = if(𝑘 = 𝑗, 𝑋, 0 ) ↔ (𝑘𝑀𝑘) = if(𝑘 = 𝑘, 𝑋, 0 )))
3328, 32rspc2v 3474 . . . . . . . . . 10 ((𝑘𝑁𝑘𝑁) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) → (𝑘𝑀𝑘) = if(𝑘 = 𝑘, 𝑋, 0 )))
3433anidms 562 . . . . . . . . 9 (𝑘𝑁 → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) → (𝑘𝑀𝑘) = if(𝑘 = 𝑘, 𝑋, 0 )))
3534adantl 473 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑘𝑁) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) → (𝑘𝑀𝑘) = if(𝑘 = 𝑘, 𝑋, 0 )))
3635imp 395 . . . . . . 7 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑘𝑁) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )) → (𝑘𝑀𝑘) = if(𝑘 = 𝑘, 𝑋, 0 ))
37 equid 2109 . . . . . . . 8 𝑘 = 𝑘
3837iftruei 4250 . . . . . . 7 if(𝑘 = 𝑘, 𝑋, 0 ) = 𝑋
3936, 38syl6eq 2815 . . . . . 6 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑘𝑁) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )) → (𝑘𝑀𝑘) = 𝑋)
4039an32s 642 . . . . 5 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑋𝐶)) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑘𝑀𝑘) = 𝑋)
4140mpteq2dva 4903 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑋𝐶)) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )) → (𝑘𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘)) = (𝑘𝑁𝑋))
4241oveq2d 6858 . . 3 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑋𝐶)) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )) → (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))) = (𝐺 Σg (𝑘𝑁𝑋)))
4321crngmgp 18822 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
44 cmnmnd 18474 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
4543, 44syl 17 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Mnd)
4645adantr 472 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ Mnd)
4746adantr 472 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑋𝐶)) → 𝐺 ∈ Mnd)
48 simpr 477 . . . . . 6 ((𝑀𝐵𝑋𝐶) → 𝑋𝐶)
4948adantl 473 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑋𝐶)) → 𝑋𝐶)
50 mdetdiagid.c . . . . . . 7 𝐶 = (Base‘𝑅)
5121, 50mgpbas 18762 . . . . . 6 𝐶 = (Base‘𝐺)
52 mdetdiagid.t . . . . . 6 · = (.g𝐺)
5351, 52gsumconst 18600 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑋𝐶) → (𝐺 Σg (𝑘𝑁𝑋)) = ((♯‘𝑁) · 𝑋))
5447, 4, 49, 53syl3anc 1490 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑋𝐶)) → (𝐺 Σg (𝑘𝑁𝑋)) = ((♯‘𝑁) · 𝑋))
5554adantr 472 . . 3 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑋𝐶)) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )) → (𝐺 Σg (𝑘𝑁𝑋)) = ((♯‘𝑁) · 𝑋))
5624, 42, 553eqtrd 2803 . 2 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑋𝐶)) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )) → (𝐷𝑀) = ((♯‘𝑁) · 𝑋))
5756ex 401 1 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑋𝐶)) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) → (𝐷𝑀) = ((♯‘𝑁) · 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  ifcif 4243  cmpt 4888  cfv 6068  (class class class)co 6842  Fincfn 8160  chash 13321  Basecbs 16132  0gc0g 16368   Σg cgsu 16369  Mndcmnd 17562  .gcmg 17809  CMndccmn 18459  mulGrpcmgp 18756  CRingccrg 18815   Mat cmat 20489   maDet cmdat 20667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-xor 1634  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-ot 4343  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-tpos 7555  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-sup 8555  df-oi 8622  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-xnn0 11611  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-rp 12029  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-word 13487  df-lsw 13534  df-concat 13542  df-s1 13567  df-substr 13617  df-pfx 13662  df-splice 13765  df-reverse 13783  df-s2 13879  df-struct 16134  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-sets 16139  df-ress 16140  df-plusg 16229  df-mulr 16230  df-starv 16231  df-sca 16232  df-vsca 16233  df-ip 16234  df-tset 16235  df-ple 16236  df-ds 16238  df-unif 16239  df-hom 16240  df-cco 16241  df-0g 16370  df-gsum 16371  df-prds 16376  df-pws 16378  df-mre 16514  df-mrc 16515  df-acs 16517  df-mgm 17510  df-sgrp 17552  df-mnd 17563  df-mhm 17603  df-submnd 17604  df-grp 17694  df-minusg 17695  df-mulg 17810  df-subg 17857  df-ghm 17924  df-gim 17967  df-cntz 18015  df-oppg 18041  df-symg 18063  df-pmtr 18127  df-psgn 18176  df-cmn 18461  df-abl 18462  df-mgp 18757  df-ur 18769  df-ring 18816  df-cring 18817  df-oppr 18890  df-dvdsr 18908  df-unit 18909  df-invr 18939  df-dvr 18950  df-rnghom 18984  df-drng 19018  df-subrg 19047  df-sra 19446  df-rgmod 19447  df-cnfld 20020  df-zring 20092  df-zrh 20125  df-dsmm 20352  df-frlm 20367  df-mat 20490  df-mdet 20668
This theorem is referenced by:  mdet1  20684
  Copyright terms: Public domain W3C validator