MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetdiagid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetdiagid 22109
Description: The determinant of a diagonal matrix with identical entries is the power of the entry in the diagonal. (Contributed by AV, 17-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetdiag.d ๐ท = (๐‘ maDet ๐‘…)
mdetdiag.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
mdetdiag.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
mdetdiag.g ๐บ = (mulGrpโ€˜๐‘…)
mdetdiag.0 0 = (0gโ€˜๐‘…)
mdetdiagid.c ๐ถ = (Baseโ€˜๐‘…)
mdetdiagid.t ยท = (.gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
mdetdiagid (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ถ)) โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘–๐‘€๐‘—) = if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘‹, 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘€) = ((โ™ฏโ€˜๐‘) ยท ๐‘‹)))
Distinct variable groups:   ๐‘–,๐‘€,๐‘—   ๐‘–,๐‘,๐‘—   0 ,๐‘–,๐‘—   ๐ต,๐‘–,๐‘—   ๐ถ,๐‘–,๐‘—   ๐‘…,๐‘–,๐‘—   ๐‘–,๐‘‹,๐‘—
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘–,๐‘—)   ๐ท(๐‘–,๐‘—)   ยท (๐‘–,๐‘—)   ๐บ(๐‘–,๐‘—)

Proof of Theorem mdetdiagid
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
21adantr 481 . . . . . 6 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ถ)) โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
3 simpr 485 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
43adantr 481 . . . . . 6 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ถ)) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
5 simpl 483 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ถ) โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐ต)
65adantl 482 . . . . . 6 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ถ)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐ต)
72, 4, 63jca 1128 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ถ)) โ†’ (๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต))
87adantr 481 . . . 4 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ถ)) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘–๐‘€๐‘—) = if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘‹, 0 )) โ†’ (๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต))
9 id 22 . . . . . . . . . 10 ((๐‘–๐‘€๐‘—) = if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘‹, 0 ) โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘‹, 0 ))
10 ifnefalse 4540 . . . . . . . . . . 11 (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘‹, 0 ) = 0 )
1110adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ถ)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘– โ‰  ๐‘—) โ†’ if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘‹, 0 ) = 0 )
129, 11sylan9eqr 2794 . . . . . . . . 9 (((((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ถ)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘– โ‰  ๐‘—) โˆง (๐‘–๐‘€๐‘—) = if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘‹, 0 )) โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )
1312exp31 420 . . . . . . . 8 (((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ถ)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ ((๐‘–๐‘€๐‘—) = if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘‹, 0 ) โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )))
1413com23 86 . . . . . . 7 (((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ถ)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘–๐‘€๐‘—) = if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘‹, 0 ) โ†’ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )))
1514ralimdva 3167 . . . . . 6 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ถ)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘–๐‘€๐‘—) = if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘‹, 0 ) โ†’ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )))
1615ralimdva 3167 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ถ)) โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘–๐‘€๐‘—) = if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘‹, 0 ) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )))
1716imp 407 . . . 4 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ถ)) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘–๐‘€๐‘—) = if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘‹, 0 )) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 ))
18 mdetdiag.d . . . . 5 ๐ท = (๐‘ maDet ๐‘…)
19 mdetdiag.a . . . . 5 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
20 mdetdiag.b . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
21 mdetdiag.g . . . . 5 ๐บ = (mulGrpโ€˜๐‘…)
22 mdetdiag.0 . . . . 5 0 = (0gโ€˜๐‘…)
2318, 19, 20, 21, 22mdetdiag 22108 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘€) = (๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘˜๐‘€๐‘˜)))))
248, 17, 23sylc 65 . . 3 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ถ)) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘–๐‘€๐‘—) = if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘‹, 0 )) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘€) = (๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘˜๐‘€๐‘˜))))
25 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘– = ๐‘˜ โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = (๐‘˜๐‘€๐‘—))
26 equequ1 2028 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘– = ๐‘˜ โ†’ (๐‘– = ๐‘— โ†” ๐‘˜ = ๐‘—))
2726ifbid 4551 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘– = ๐‘˜ โ†’ if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘‹, 0 ) = if(๐‘˜ = ๐‘—, ๐‘‹, 0 ))
2825, 27eqeq12d 2748 . . . . . . . . . . 11 (๐‘– = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘–๐‘€๐‘—) = if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘‹, 0 ) โ†” (๐‘˜๐‘€๐‘—) = if(๐‘˜ = ๐‘—, ๐‘‹, 0 )))
29 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐‘˜๐‘€๐‘—) = (๐‘˜๐‘€๐‘˜))
30 equequ2 2029 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐‘˜ = ๐‘— โ†” ๐‘˜ = ๐‘˜))
3130ifbid 4551 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ if(๐‘˜ = ๐‘—, ๐‘‹, 0 ) = if(๐‘˜ = ๐‘˜, ๐‘‹, 0 ))
3229, 31eqeq12d 2748 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘˜๐‘€๐‘—) = if(๐‘˜ = ๐‘—, ๐‘‹, 0 ) โ†” (๐‘˜๐‘€๐‘˜) = if(๐‘˜ = ๐‘˜, ๐‘‹, 0 )))
3328, 32rspc2v 3622 . . . . . . . . . 10 ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘–๐‘€๐‘—) = if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘‹, 0 ) โ†’ (๐‘˜๐‘€๐‘˜) = if(๐‘˜ = ๐‘˜, ๐‘‹, 0 )))
3433anidms 567 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘–๐‘€๐‘—) = if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘‹, 0 ) โ†’ (๐‘˜๐‘€๐‘˜) = if(๐‘˜ = ๐‘˜, ๐‘‹, 0 )))
3534adantl 482 . . . . . . . 8 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ถ)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘–๐‘€๐‘—) = if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘‹, 0 ) โ†’ (๐‘˜๐‘€๐‘˜) = if(๐‘˜ = ๐‘˜, ๐‘‹, 0 )))
3635imp 407 . . . . . . 7 (((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ถ)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘–๐‘€๐‘—) = if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘‹, 0 )) โ†’ (๐‘˜๐‘€๐‘˜) = if(๐‘˜ = ๐‘˜, ๐‘‹, 0 ))
37 equid 2015 . . . . . . . 8 ๐‘˜ = ๐‘˜
3837iftruei 4535 . . . . . . 7 if(๐‘˜ = ๐‘˜, ๐‘‹, 0 ) = ๐‘‹
3936, 38eqtrdi 2788 . . . . . 6 (((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ถ)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘–๐‘€๐‘—) = if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘‹, 0 )) โ†’ (๐‘˜๐‘€๐‘˜) = ๐‘‹)
4039an32s 650 . . . . 5 (((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ถ)) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘–๐‘€๐‘—) = if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘‹, 0 )) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘˜๐‘€๐‘˜) = ๐‘‹)
4140mpteq2dva 5248 . . . 4 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ถ)) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘–๐‘€๐‘—) = if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘‹, 0 )) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘˜๐‘€๐‘˜)) = (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ๐‘‹))
4241oveq2d 7427 . . 3 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ถ)) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘–๐‘€๐‘—) = if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘‹, 0 )) โ†’ (๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘˜๐‘€๐‘˜))) = (๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ๐‘‹)))
4321crngmgp 20066 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐บ โˆˆ CMnd)
44 cmnmnd 19667 . . . . . . 7 (๐บ โˆˆ CMnd โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
4543, 44syl 17 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
4645adantr 481 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
47 simpr 485 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ถ) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ถ)
48 mdetdiagid.c . . . . . . 7 ๐ถ = (Baseโ€˜๐‘…)
4921, 48mgpbas 19995 . . . . . 6 ๐ถ = (Baseโ€˜๐บ)
50 mdetdiagid.t . . . . . 6 ยท = (.gโ€˜๐บ)
5149, 50gsumconst 19804 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ๐‘‹)) = ((โ™ฏโ€˜๐‘) ยท ๐‘‹))
5246, 3, 47, 51syl2an3an 1422 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ถ)) โ†’ (๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ๐‘‹)) = ((โ™ฏโ€˜๐‘) ยท ๐‘‹))
5352adantr 481 . . 3 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ถ)) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘–๐‘€๐‘—) = if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘‹, 0 )) โ†’ (๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ๐‘‹)) = ((โ™ฏโ€˜๐‘) ยท ๐‘‹))
5424, 42, 533eqtrd 2776 . 2 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ถ)) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘–๐‘€๐‘—) = if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘‹, 0 )) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘€) = ((โ™ฏโ€˜๐‘) ยท ๐‘‹))
5554ex 413 1 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ถ)) โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘–๐‘€๐‘—) = if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘‹, 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘€) = ((โ™ฏโ€˜๐‘) ยท ๐‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  ifcif 4528   โ†ฆ cmpt 5231  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  โ™ฏchash 14292  Basecbs 17146  0gc0g 17387   ฮฃg cgsu 17388  Mndcmnd 18627  .gcmg 18952  CMndccmn 19650  mulGrpcmgp 19989  CRingccrg 20059   Mat cmat 21914   maDet cmdat 22093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-xnn0 12547  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-rp 12977  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-word 14467  df-lsw 14515  df-concat 14523  df-s1 14548  df-substr 14593  df-pfx 14623  df-splice 14702  df-reverse 14711  df-s2 14801  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-prds 17395  df-pws 17397  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-mhm 18673  df-submnd 18674  df-efmnd 18752  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-mulg 18953  df-subg 19005  df-ghm 19092  df-gim 19135  df-cntz 19183  df-oppg 19212  df-symg 19237  df-pmtr 19312  df-psgn 19361  df-cmn 19652  df-abl 19653  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-ring 20060  df-cring 20061  df-oppr 20154  df-dvdsr 20175  df-unit 20176  df-invr 20206  df-dvr 20219  df-rnghom 20255  df-subrg 20321  df-drng 20363  df-sra 20791  df-rgmod 20792  df-cnfld 20951  df-zring 21024  df-zrh 21059  df-dsmm 21293  df-frlm 21308  df-mat 21915  df-mdet 22094
This theorem is referenced by:  mdet1  22110
  Copyright terms: Public domain W3C validator