Theorem mdetdiagid 22546

Description: The determinant of a diagonal matrix with identical entries is the power of the entry in the diagonal. (Contributed by AV, 17-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetdiag.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetdiag.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetdiag.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetdiag.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
mdetdiag.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mdetdiagid.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑅)
mdetdiagid.t	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mdetdiagid	⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) → (𝐷‘𝑀) = ((♯‘𝑁) · 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑀,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   0 ,𝑖,𝑗   𝐵,𝑖,𝑗   𝐶,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝑖,𝑋,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐷(𝑖,𝑗)   · (𝑖,𝑗)   𝐺(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mdetdiagid

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑅 ∈ CRing)
2	1	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) → 𝑅 ∈ CRing)
3		simpr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑁 ∈ Fin)
4	3	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) → 𝑁 ∈ Fin)
5		simpl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑀 ∈ 𝐵)
6	5	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) → 𝑀 ∈ 𝐵)
7	2, 4, 6	3jca 1125	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵))
8	7	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )) → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵))
9		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) → (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ))
10		ifnefalse 4542	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ≠ 𝑗 → if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) = 0 )
11	10	adantl 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) = 0 )
12	9, 11	sylan9eqr 2787	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )) → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )
13	12	exp31 418	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖 ≠ 𝑗 → ((𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )))
14	13	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) → (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )))
15	14	ralimdva 3156	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) → ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )))
16	15	ralimdva 3156	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )))
17	16	imp 405	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ))
18		mdetdiag.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
19		mdetdiag.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
20		mdetdiag.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
21		mdetdiag.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
22		mdetdiag.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
23	18, 19, 20, 21, 22	mdetdiag 22545	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝐷‘𝑀) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘)))))
24	8, 17, 23	sylc 65	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )) → (𝐷‘𝑀) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))))
25		oveq1 7426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑖𝑀𝑗) = (𝑘𝑀𝑗))
26		equequ1 2020	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 = 𝑗 ↔ 𝑘 = 𝑗))
27	26	ifbid 4553	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) = if(𝑘 = 𝑗, 𝑋, 0 ))
28	25, 27	eqeq12d 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) ↔ (𝑘𝑀𝑗) = if(𝑘 = 𝑗, 𝑋, 0 )))
29		oveq2 7427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑘𝑀𝑗) = (𝑘𝑀𝑘))
30		equequ2 2021	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑘 = 𝑗 ↔ 𝑘 = 𝑘))
31	30	ifbid 4553	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → if(𝑘 = 𝑗, 𝑋, 0 ) = if(𝑘 = 𝑘, 𝑋, 0 ))
32	29, 31	eqeq12d 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑘𝑀𝑗) = if(𝑘 = 𝑗, 𝑋, 0 ) ↔ (𝑘𝑀𝑘) = if(𝑘 = 𝑘, 𝑋, 0 )))
33	28, 32	rspc2v 3617	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) → (𝑘𝑀𝑘) = if(𝑘 = 𝑘, 𝑋, 0 )))
34	33	anidms 565	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑁 → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) → (𝑘𝑀𝑘) = if(𝑘 = 𝑘, 𝑋, 0 )))
35	34	adantl 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) → (𝑘𝑀𝑘) = if(𝑘 = 𝑘, 𝑋, 0 )))
36	35	imp 405	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )) → (𝑘𝑀𝑘) = if(𝑘 = 𝑘, 𝑋, 0 ))
37		equid 2007	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑘 = 𝑘
38	37	iftruei 4537	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑘 = 𝑘, 𝑋, 0 ) = 𝑋
39	36, 38	eqtrdi 2781	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )) → (𝑘𝑀𝑘) = 𝑋)
40	39	an32s 650	. . . . 5 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑘𝑀𝑘) = 𝑋)
41	40	mpteq2dva 5249	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )) → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋))
42	41	oveq2d 7435	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋)))
43	21	crngmgp 20193	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
44		cmnmnd 19764	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
45	43, 44	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Mnd)
46	45	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ Mnd)
47		simpr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 ∈ 𝐶)
48		mdetdiagid.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑅)
49	21, 48	mgpbas 20092	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝐺)
50		mdetdiagid.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
51	49, 50	gsumconst 19901	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋)) = ((♯‘𝑁) · 𝑋))
52	46, 3, 47, 51	syl2an3an 1419	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋)) = ((♯‘𝑁) · 𝑋))
53	52	adantr 479	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋)) = ((♯‘𝑁) · 𝑋))
54	24, 42, 53	3eqtrd 2769	. 2 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )) → (𝐷‘𝑀) = ((♯‘𝑁) · 𝑋))
55	54	ex 411	1 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) → (𝐷‘𝑀) = ((♯‘𝑁) · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  ∀wral 3050  ifcif 4530   ↦ cmpt 5232  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  Fincfn 8964  ♯chash 14325  Basecbs 17183  0_gc0g 17424   Σ_g cgsu 17425  Mndcmnd 18697  ._gcmg 19031  CMndccmn 19747  mulGrpcmgp 20086  CRingccrg 20186   Mat cmat 22351   maDet cmdat 22530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-addf 11219  ax-mulf 11220

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-ot 4639  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-sup 9467  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-rp 13010  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-word 14501  df-lsw 14549  df-concat 14557  df-s1 14582  df-substr 14627  df-pfx 14657  df-splice 14736  df-reverse 14745  df-s2 14835  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-starv 17251  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-unif 17259  df-hom 17260  df-cco 17261  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-prds 17432  df-pws 17434  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18743  df-submnd 18744  df-efmnd 18829  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-mulg 19032  df-subg 19086  df-ghm 19176  df-gim 19222  df-cntz 19280  df-oppg 19309  df-symg 19334  df-pmtr 19409  df-psgn 19458  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-cring 20188  df-oppr 20285  df-dvdsr 20308  df-unit 20309  df-invr 20339  df-dvr 20352  df-rhm 20423  df-subrng 20495  df-subrg 20520  df-drng 20638  df-sra 21070  df-rgmod 21071  df-cnfld 21297  df-zring 21390  df-zrh 21446  df-dsmm 21683  df-frlm 21698  df-mat 22352  df-mdet 22531

This theorem is referenced by:  mdet1  22547