Theorem tsms0 24260

Description: The sum of zero is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 24-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsms0.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
tsms0.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
tsms0.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
tsms0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
tsms0	⊢ (𝜑 → 0 ∈ (𝐺 tsums (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0 )))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥, 0

Proof of Theorem tsms0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsms0.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
2		cmnmnd 19858	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
4		tsms0.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		tsms0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
6	5	gsumz 18885	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0 )) = 0 )
7	3, 4, 6	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0 )) = 0 )
8		eqid 2765	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
9		tsms0.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
10	8, 5	mndidcl 18797	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝐺))
11	3, 10	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (Base‘𝐺))
12	11	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ∈ (Base‘𝐺))
13	12	fmpttd 7100	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0 ):𝐴⟶(Base‘𝐺))
14		fconstmpt 5714	. . . 4 ⊢ (𝐴 × { 0 }) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0 )
15	5	fvexi 6885	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
16	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
17	4, 16	fczfsuppd 9334	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × { 0 }) finSupp 0 )
18	14, 17	eqbrtrrid 5141	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0 ) finSupp 0 )
19	8, 5, 1, 9, 4, 13, 18	tsmsid 24258	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0 )) ∈ (𝐺 tsums (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0 )))
20	7, 19	eqeltrrd 2866	1 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (𝐺 tsums (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457  {csn 4585   ↦ cmpt 5186   × cxp 5650  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   finSupp cfsupp 9309  Basecbs 17259  0_gc0g 17482   Σ_g cgsu 17483  Mndcmnd 18782  CMndccmn 19841  TopSpctps 23050   tsums ctsu 24244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-seq 14029  df-hash 14358  df-0g 17484  df-gsum 17485  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-cntz 19378  df-cmn 19843  df-fbas 21479  df-fg 21480  df-top 23012  df-topon 23029  df-topsp 23051  df-cld 23137  df-ntr 23138  df-cls 23139  df-nei 23216  df-fil 23964  df-fm 24056  df-flim 24057  df-flf 24058  df-tsms 24245

This theorem is referenced by: (None)