Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsms0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tsms0 22745
 Description: The sum of zero is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 24-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tsms0.z 0 = (0g𝐺)
tsms0.1 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
tsms0.2 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
tsms0.a (𝜑𝐴𝑉)
Assertion
Ref Expression
tsms0 (𝜑0 ∈ (𝐺 tsums (𝑥𝐴0 )))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥, 0

Proof of Theorem tsms0
StepHypRef Expression
1 tsms0.1 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
2 cmnmnd 18913 . . . 4 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
4 tsms0.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
5 tsms0.z . . . 4 0 = (0g𝐺)
65gsumz 17991 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑉) → (𝐺 Σg (𝑥𝐴0 )) = 0 )
73, 4, 6syl2anc 587 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥𝐴0 )) = 0 )
8 eqid 2822 . . 3 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
9 tsms0.2 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
108, 5mndidcl 17917 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝐺))
113, 10syl 17 . . . . 5 (𝜑0 ∈ (Base‘𝐺))
1211adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ∈ (Base‘𝐺))
1312fmpttd 6861 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴0 ):𝐴⟶(Base‘𝐺))
14 fconstmpt 5591 . . . 4 (𝐴 × { 0 }) = (𝑥𝐴0 )
155fvexi 6666 . . . . . 6 0 ∈ V
1615a1i 11 . . . . 5 (𝜑0 ∈ V)
174, 16fczfsuppd 8839 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 × { 0 }) finSupp 0 )
1814, 17eqbrtrrid 5078 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴0 ) finSupp 0 )
198, 5, 1, 9, 4, 13, 18tsmsid 22743 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥𝐴0 )) ∈ (𝐺 tsums (𝑥𝐴0 )))
207, 19eqeltrrd 2915 1 (𝜑0 ∈ (𝐺 tsums (𝑥𝐴0 )))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  Vcvv 3469  {csn 4539   ↦ cmpt 5122   × cxp 5530  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140   finSupp cfsupp 8821  Basecbs 16474  0gc0g 16704   Σg cgsu 16705  Mndcmnd 17902  CMndccmn 18897  TopSpctps 21535   tsums ctsu 22729 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-hash 13687  df-0g 16706  df-gsum 16707  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-cntz 18438  df-cmn 18899  df-fbas 20086  df-fg 20087  df-top 21497  df-topon 21514  df-topsp 21536  df-cld 21622  df-ntr 21623  df-cls 21624  df-nei 21701  df-fil 22449  df-fm 22541  df-flim 22542  df-flf 22543  df-tsms 22730 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator