Theorem tsms0 24067

Description: The sum of zero is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 24-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsms0.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
tsms0.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
tsms0.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
tsms0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
tsms0	⊢ (𝜑 → 0 ∈ (𝐺 tsums (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0 )))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥, 0

Proof of Theorem tsms0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsms0.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
2		cmnmnd 19719	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
4		tsms0.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		tsms0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
6	5	gsumz 18754	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0 )) = 0 )
7	3, 4, 6	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0 )) = 0 )
8		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
9		tsms0.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
10	8, 5	mndidcl 18667	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝐺))
11	3, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (Base‘𝐺))
12	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ∈ (Base‘𝐺))
13	12	fmpttd 7057	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0 ):𝐴⟶(Base‘𝐺))
14		fconstmpt 5683	. . . 4 ⊢ (𝐴 × { 0 }) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0 )
15	5	fvexi 6845	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
16	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
17	4, 16	fczfsuppd 9280	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × { 0 }) finSupp 0 )
18	14, 17	eqbrtrrid 5131	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0 ) finSupp 0 )
19	8, 5, 1, 9, 4, 13, 18	tsmsid 24065	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0 )) ∈ (𝐺 tsums (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0 )))
20	7, 19	eqeltrrd 2834	1 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (𝐺 tsums (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438  {csn 4577   ↦ cmpt 5176   × cxp 5619  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355   finSupp cfsupp 9255  Basecbs 17130  0_gc0g 17353   Σ_g cgsu 17354  Mndcmnd 18652  CMndccmn 19702  TopSpctps 22857   tsums ctsu 24051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-map 8761  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-fin 8882  df-fsupp 9256  df-oi 9406  df-card 9842  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-nn 12136  df-n0 12392  df-z 12479  df-uz 12743  df-fz 13418  df-fzo 13565  df-seq 13919  df-hash 14248  df-0g 17355  df-gsum 17356  df-mgm 18558  df-sgrp 18637  df-mnd 18653  df-cntz 19239  df-cmn 19704  df-fbas 21298  df-fg 21299  df-top 22819  df-topon 22836  df-topsp 22858  df-cld 22944  df-ntr 22945  df-cls 22946  df-nei 23023  df-fil 23771  df-fm 23863  df-flim 23864  df-flf 23865  df-tsms 24052

This theorem is referenced by: (None)