Theorem tsms0 24045

Description: The sum of zero is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 24-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsms0.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
tsms0.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
tsms0.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
tsms0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
tsms0	⊢ (𝜑 → 0 ∈ (𝐺 tsums (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0 )))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥, 0

Proof of Theorem tsms0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsms0.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
2		cmnmnd 19694	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
4		tsms0.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		tsms0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
6	5	gsumz 18728	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0 )) = 0 )
7	3, 4, 6	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0 )) = 0 )
8		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
9		tsms0.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
10	8, 5	mndidcl 18641	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝐺))
11	3, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (Base‘𝐺))
12	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ∈ (Base‘𝐺))
13	12	fmpttd 7053	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0 ):𝐴⟶(Base‘𝐺))
14		fconstmpt 5685	. . . 4 ⊢ (𝐴 × { 0 }) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0 )
15	5	fvexi 6840	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
16	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
17	4, 16	fczfsuppd 9295	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × { 0 }) finSupp 0 )
18	14, 17	eqbrtrrid 5131	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0 ) finSupp 0 )
19	8, 5, 1, 9, 4, 13, 18	tsmsid 24043	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0 )) ∈ (𝐺 tsums (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0 )))
20	7, 19	eqeltrrd 2829	1 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (𝐺 tsums (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438  {csn 4579   ↦ cmpt 5176   × cxp 5621  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   finSupp cfsupp 9270  Basecbs 17138  0_gc0g 17361   Σ_g cgsu 17362  Mndcmnd 18626  CMndccmn 19677  TopSpctps 22835   tsums ctsu 24029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-seq 13927  df-hash 14256  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-cntz 19214  df-cmn 19679  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-top 22797  df-topon 22814  df-topsp 22836  df-cld 22922  df-ntr 22923  df-cls 22924  df-nei 23001  df-fil 23749  df-fm 23841  df-flim 23842  df-flf 23843  df-tsms 24030

This theorem is referenced by: (None)