MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsms0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tsms0 23990
Description: The sum of zero is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 24-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tsms0.z 0 = (0g𝐺)
tsms0.1 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
tsms0.2 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
tsms0.a (𝜑𝐴𝑉)
Assertion
Ref Expression
tsms0 (𝜑0 ∈ (𝐺 tsums (𝑥𝐴0 )))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥, 0

Proof of Theorem tsms0
StepHypRef Expression
1 tsms0.1 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
2 cmnmnd 19713 . . . 4 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
4 tsms0.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
5 tsms0.z . . . 4 0 = (0g𝐺)
65gsumz 18757 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑉) → (𝐺 Σg (𝑥𝐴0 )) = 0 )
73, 4, 6syl2anc 583 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥𝐴0 )) = 0 )
8 eqid 2724 . . 3 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
9 tsms0.2 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
108, 5mndidcl 18678 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝐺))
113, 10syl 17 . . . . 5 (𝜑0 ∈ (Base‘𝐺))
1211adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ∈ (Base‘𝐺))
1312fmpttd 7107 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴0 ):𝐴⟶(Base‘𝐺))
14 fconstmpt 5729 . . . 4 (𝐴 × { 0 }) = (𝑥𝐴0 )
155fvexi 6896 . . . . . 6 0 ∈ V
1615a1i 11 . . . . 5 (𝜑0 ∈ V)
174, 16fczfsuppd 9378 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 × { 0 }) finSupp 0 )
1814, 17eqbrtrrid 5175 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴0 ) finSupp 0 )
198, 5, 1, 9, 4, 13, 18tsmsid 23988 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥𝐴0 )) ∈ (𝐺 tsums (𝑥𝐴0 )))
207, 19eqeltrrd 2826 1 (𝜑0 ∈ (𝐺 tsums (𝑥𝐴0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3466  {csn 4621  cmpt 5222   × cxp 5665  cfv 6534  (class class class)co 7402   finSupp cfsupp 9358  Basecbs 17149  0gc0g 17390   Σg cgsu 17391  Mndcmnd 18663  CMndccmn 19696  TopSpctps 22778   tsums ctsu 23974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-seq 13968  df-hash 14292  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-fbas 21231  df-fg 21232  df-top 22740  df-topon 22757  df-topsp 22779  df-cld 22867  df-ntr 22868  df-cls 22869  df-nei 22946  df-fil 23694  df-fm 23786  df-flim 23787  df-flf 23788  df-tsms 23975
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator