Theorem tsms0 24045

Description: The sum of zero is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 24-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsms0.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
tsms0.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
tsms0.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
tsms0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
tsms0	⊢ (𝜑 → 0 ∈ (𝐺 tsums (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0 )))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥, 0

Proof of Theorem tsms0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsms0.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
2		cmnmnd 19751	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
4		tsms0.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		tsms0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
6	5	gsumz 18787	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0 )) = 0 )
7	3, 4, 6	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0 )) = 0 )
8		eqid 2728	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
9		tsms0.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
10	8, 5	mndidcl 18708	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝐺))
11	3, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (Base‘𝐺))
12	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ∈ (Base‘𝐺))
13	12	fmpttd 7125	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0 ):𝐴⟶(Base‘𝐺))
14		fconstmpt 5740	. . . 4 ⊢ (𝐴 × { 0 }) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0 )
15	5	fvexi 6911	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
16	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
17	4, 16	fczfsuppd 9409	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × { 0 }) finSupp 0 )
18	14, 17	eqbrtrrid 5184	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0 ) finSupp 0 )
19	8, 5, 1, 9, 4, 13, 18	tsmsid 24043	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0 )) ∈ (𝐺 tsums (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0 )))
20	7, 19	eqeltrrd 2830	1 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (𝐺 tsums (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3471  {csn 4629   ↦ cmpt 5231   × cxp 5676  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420   finSupp cfsupp 9385  Basecbs 17179  0_gc0g 17420   Σ_g cgsu 17421  Mndcmnd 18693  CMndccmn 19734  TopSpctps 22833   tsums ctsu 24029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-map 8846  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-fsupp 9386  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-hash 14322  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-fbas 21275  df-fg 21276  df-top 22795  df-topon 22812  df-topsp 22834  df-cld 22922  df-ntr 22923  df-cls 22924  df-nei 23001  df-fil 23749  df-fm 23841  df-flim 23842  df-flf 23843  df-tsms 24030

This theorem is referenced by: (None)