Theorem tsms0 23373

Description: The sum of zero is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 24-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsms0.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
tsms0.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
tsms0.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
tsms0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
tsms0	⊢ (𝜑 → 0 ∈ (𝐺 tsums (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0 )))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥, 0

Proof of Theorem tsms0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsms0.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
2		cmnmnd 19474	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
4		tsms0.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		tsms0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
6	5	gsumz 18548	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0 )) = 0 )
7	3, 4, 6	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0 )) = 0 )
8		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
9		tsms0.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
10	8, 5	mndidcl 18474	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝐺))
11	3, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (Base‘𝐺))
12	11	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ∈ (Base‘𝐺))
13	12	fmpttd 7028	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0 ):𝐴⟶(Base‘𝐺))
14		fconstmpt 5667	. . . 4 ⊢ (𝐴 × { 0 }) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0 )
15	5	fvexi 6825	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
16	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
17	4, 16	fczfsuppd 9222	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × { 0 }) finSupp 0 )
18	14, 17	eqbrtrrid 5122	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0 ) finSupp 0 )
19	8, 5, 1, 9, 4, 13, 18	tsmsid 23371	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0 )) ∈ (𝐺 tsums (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0 )))
20	7, 19	eqeltrrd 2838	1 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (𝐺 tsums (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3440  {csn 4570   ↦ cmpt 5169   × cxp 5605  ‘cfv 6465  (class class class)co 7316   finSupp cfsupp 9204  Basecbs 16986  0_gc0g 17224   Σ_g cgsu 17225  Mndcmnd 18459  CMndccmn 19458  TopSpctps 22161   tsums ctsu 23357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629  ax-cnex 11006  ax-resscn 11007  ax-1cn 11008  ax-icn 11009  ax-addcl 11010  ax-addrcl 11011  ax-mulcl 11012  ax-mulrcl 11013  ax-mulcom 11014  ax-addass 11015  ax-mulass 11016  ax-distr 11017  ax-i2m1 11018  ax-1ne0 11019  ax-1rid 11020  ax-rnegex 11021  ax-rrecex 11022  ax-cnre 11023  ax-pre-lttri 11024  ax-pre-lttrn 11025  ax-pre-ltadd 11026  ax-pre-mulgt0 11027

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4850  df-int 4892  df-iun 4938  df-iin 4939  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-tr 5204  df-id 5506  df-eprel 5512  df-po 5520  df-so 5521  df-fr 5562  df-se 5563  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-isom 6474  df-riota 7273  df-ov 7319  df-oprab 7320  df-mpo 7321  df-om 7759  df-1st 7877  df-2nd 7878  df-supp 8026  df-frecs 8145  df-wrecs 8176  df-recs 8250  df-rdg 8289  df-1o 8345  df-er 8547  df-map 8666  df-en 8783  df-dom 8784  df-sdom 8785  df-fin 8786  df-fsupp 9205  df-oi 9345  df-card 9774  df-pnf 11090  df-mnf 11091  df-xr 11092  df-ltxr 11093  df-le 11094  df-sub 11286  df-neg 11287  df-nn 12053  df-n0 12313  df-z 12399  df-uz 12662  df-fz 13319  df-fzo 13462  df-seq 13801  df-hash 14124  df-0g 17226  df-gsum 17227  df-mgm 18400  df-sgrp 18449  df-mnd 18460  df-cntz 18996  df-cmn 19460  df-fbas 20674  df-fg 20675  df-top 22123  df-topon 22140  df-topsp 22162  df-cld 22250  df-ntr 22251  df-cls 22252  df-nei 22329  df-fil 23077  df-fm 23169  df-flim 23170  df-flf 23171  df-tsms 23358

This theorem is referenced by: (None)