MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmsmhm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tsmsmhm 23650
Description: Apply a continuous group homomorphism to an infinite group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsmhm.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
tsmsmhm.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
tsmsmhm.k 𝐾 = (TopOpenβ€˜π»)
tsmsmhm.1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
tsmsmhm.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
tsmsmhm.3 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ CMnd)
tsmsmhm.4 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ TopSp)
tsmsmhm.5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
tsmsmhm.6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
tsmsmhm.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmsmhm.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
tsmsmhm.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
Assertion
Ref Expression
tsmsmhm (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜π‘‹) ∈ (𝐻 tsums (𝐢 ∘ 𝐹)))
Proof of Theorem tsmsmhm
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsmhm.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
2 tsmsmhm.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
3 tsmsmhm.j . . . . 5 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
42, 3istps 22436 . . . 4 (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
51, 4sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
6 eqid 2733 . . . . 5 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
7 eqid 2733 . . . . 5 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧}) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})
8 eqid 2733 . . . . 5 ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧}) = ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})
9 tsmsmhm.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
106, 7, 8, 9tsmsfbas 23632 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧}) ∈ (fBasβ€˜(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
11 fgcl 23382 . . . 4 (ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧}) ∈ (fBasβ€˜(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})) ∈ (Filβ€˜(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
1210, 11syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})) ∈ (Filβ€˜(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
13 tsmsmhm.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
14 tsmsmhm.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
152, 6, 13, 9, 14tsmslem1 23633 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝐡)
1615fmpttd 7115 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟢𝐡)
17 tsmsmhm.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
182, 3, 6, 8, 1, 9, 14tsmsval 23635 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums 𝐹) = ((𝐽 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})))β€˜(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))))
1917, 18eleqtrd 2836 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((𝐽 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})))β€˜(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))))
20 tsmsmhm.6 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
212, 13, 1, 9, 14tsmscl 23639 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums 𝐹) βŠ† 𝐡)
2221, 17sseldd 3984 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
23 toponuni 22416 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅) β†’ 𝐡 = βˆͺ 𝐽)
245, 23syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 = βˆͺ 𝐽)
2522, 24eleqtrd 2836 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ βˆͺ 𝐽)
26 eqid 2733 . . . . 5 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
2726cncnpi 22782 . . . 4 ((𝐢 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ 𝐢 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘‹))
2820, 25, 27syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘‹))
29 flfcnp 23508 . . 3 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅) ∧ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})) ∈ (Filβ€˜(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟢𝐡) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐽 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})))β€˜(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ 𝐢 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘‹))) β†’ (πΆβ€˜π‘‹) ∈ ((𝐾 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})))β€˜(𝐢 ∘ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))))))
305, 12, 16, 19, 28, 29syl32anc 1379 . 2 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜π‘‹) ∈ ((𝐾 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})))β€˜(𝐢 ∘ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))))))
31 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜π») = (Baseβ€˜π»)
32 tsmsmhm.k . . . 4 𝐾 = (TopOpenβ€˜π»)
33 tsmsmhm.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ CMnd)
34 tsmsmhm.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ TopSp)
3531, 32istps 22436 . . . . . . 7 (𝐻 ∈ TopSp ↔ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π»)))
3634, 35sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π»)))
37 cnf2 22753 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π»)) ∧ 𝐢 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝐢:𝐡⟢(Baseβ€˜π»))
385, 36, 20, 37syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢:𝐡⟢(Baseβ€˜π»))
39 fco 6742 . . . . 5 ((𝐢:𝐡⟢(Baseβ€˜π») ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ (𝐢 ∘ 𝐹):𝐴⟢(Baseβ€˜π»))
4038, 14, 39syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∘ 𝐹):𝐴⟢(Baseβ€˜π»))
4131, 32, 6, 8, 33, 9, 40tsmsval 23635 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐻 tsums (𝐢 ∘ 𝐹)) = ((𝐾 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})))β€˜(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐻 Ξ£g ((𝐢 ∘ 𝐹) β†Ύ 𝑧)))))
4238, 15cofmpt 7130 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∘ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (πΆβ€˜(𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))))
43 resco 6250 . . . . . . . 8 ((𝐢 ∘ 𝐹) β†Ύ 𝑧) = (𝐢 ∘ (𝐹 β†Ύ 𝑧))
4443oveq2i 7420 . . . . . . 7 (𝐻 Ξ£g ((𝐢 ∘ 𝐹) β†Ύ 𝑧)) = (𝐻 Ξ£g (𝐢 ∘ (𝐹 β†Ύ 𝑧)))
45 eqid 2733 . . . . . . . 8 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
4613adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
4733adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝐻 ∈ CMnd)
48 cmnmnd 19665 . . . . . . . . 9 (𝐻 ∈ CMnd β†’ 𝐻 ∈ Mnd)
4947, 48syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝐻 ∈ Mnd)
50 elinel2 4197 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝑧 ∈ Fin)
5150adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝑧 ∈ Fin)
52 tsmsmhm.5 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
5352adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝐢 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
54 elfpw 9354 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑧 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ Fin))
5554simplbi 499 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝑧 βŠ† 𝐴)
56 fssres 6758 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝑧 βŠ† 𝐴) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑧):π‘§βŸΆπ΅)
5714, 55, 56syl2an 597 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑧):π‘§βŸΆπ΅)
58 fvexd 6907 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ V)
5957, 51, 58fdmfifsupp 9373 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑧) finSupp (0gβ€˜πΊ))
602, 45, 46, 49, 51, 53, 57, 59gsummhm 19806 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐢 ∘ (𝐹 β†Ύ 𝑧))) = (πΆβ€˜(𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))))
6144, 60eqtrid 2785 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐻 Ξ£g ((𝐢 ∘ 𝐹) β†Ύ 𝑧)) = (πΆβ€˜(𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))))
6261mpteq2dva 5249 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐻 Ξ£g ((𝐢 ∘ 𝐹) β†Ύ 𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (πΆβ€˜(𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))))
6342, 62eqtr4d 2776 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∘ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐻 Ξ£g ((𝐢 ∘ 𝐹) β†Ύ 𝑧))))
6463fveq2d 6896 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐾 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})))β€˜(𝐢 ∘ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))))) = ((𝐾 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})))β€˜(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐻 Ξ£g ((𝐢 ∘ 𝐹) β†Ύ 𝑧)))))
6541, 64eqtr4d 2776 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐻 tsums (𝐢 ∘ 𝐹)) = ((𝐾 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})))β€˜(𝐢 ∘ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))))))
6630, 65eleqtrrd 2837 1 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜π‘‹) ∈ (𝐻 tsums (𝐢 ∘ 𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3433  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603  βˆͺ cuni 4909   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  Basecbs 17144  TopOpenctopn 17367  0gc0g 17385   Ξ£g cgsu 17386  Mndcmnd 18625   MndHom cmhm 18669  CMndccmn 19648  fBascfbas 20932  filGencfg 20933  TopOnctopon 22412  TopSpctps 22434   Cn ccn 22728   CnP ccnp 22729  Filcfil 23349   fLimf cflf 23439   tsums ctsu 23630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-ntr 22524  df-nei 22602  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-tsms 23631
This theorem is referenced by:  tsmsinv  23652  esumcocn  33109
  Copyright terms: Public domain W3C validator