MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmsmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tsmsmhm 23513
Description: Apply a continuous group homomorphism to an infinite group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsmhm.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
tsmsmhm.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
tsmsmhm.k 𝐾 = (TopOpenβ€˜π»)
tsmsmhm.1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
tsmsmhm.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
tsmsmhm.3 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ CMnd)
tsmsmhm.4 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ TopSp)
tsmsmhm.5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
tsmsmhm.6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
tsmsmhm.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmsmhm.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
tsmsmhm.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
Assertion
Ref Expression
tsmsmhm (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜π‘‹) ∈ (𝐻 tsums (𝐢 ∘ 𝐹)))

Proof of Theorem tsmsmhm
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsmhm.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
2 tsmsmhm.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
3 tsmsmhm.j . . . . 5 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
42, 3istps 22299 . . . 4 (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
51, 4sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
6 eqid 2733 . . . . 5 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
7 eqid 2733 . . . . 5 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧}) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})
8 eqid 2733 . . . . 5 ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧}) = ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})
9 tsmsmhm.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
106, 7, 8, 9tsmsfbas 23495 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧}) ∈ (fBasβ€˜(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
11 fgcl 23245 . . . 4 (ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧}) ∈ (fBasβ€˜(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})) ∈ (Filβ€˜(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
1210, 11syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})) ∈ (Filβ€˜(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
13 tsmsmhm.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
14 tsmsmhm.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
152, 6, 13, 9, 14tsmslem1 23496 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝐡)
1615fmpttd 7064 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟢𝐡)
17 tsmsmhm.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
182, 3, 6, 8, 1, 9, 14tsmsval 23498 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums 𝐹) = ((𝐽 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})))β€˜(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))))
1917, 18eleqtrd 2836 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((𝐽 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})))β€˜(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))))
20 tsmsmhm.6 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
212, 13, 1, 9, 14tsmscl 23502 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums 𝐹) βŠ† 𝐡)
2221, 17sseldd 3946 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
23 toponuni 22279 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅) β†’ 𝐡 = βˆͺ 𝐽)
245, 23syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 = βˆͺ 𝐽)
2522, 24eleqtrd 2836 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ βˆͺ 𝐽)
26 eqid 2733 . . . . 5 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
2726cncnpi 22645 . . . 4 ((𝐢 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ 𝐢 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘‹))
2820, 25, 27syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘‹))
29 flfcnp 23371 . . 3 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅) ∧ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})) ∈ (Filβ€˜(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟢𝐡) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐽 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})))β€˜(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ 𝐢 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘‹))) β†’ (πΆβ€˜π‘‹) ∈ ((𝐾 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})))β€˜(𝐢 ∘ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))))))
305, 12, 16, 19, 28, 29syl32anc 1379 . 2 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜π‘‹) ∈ ((𝐾 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})))β€˜(𝐢 ∘ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))))))
31 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜π») = (Baseβ€˜π»)
32 tsmsmhm.k . . . 4 𝐾 = (TopOpenβ€˜π»)
33 tsmsmhm.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ CMnd)
34 tsmsmhm.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ TopSp)
3531, 32istps 22299 . . . . . . 7 (𝐻 ∈ TopSp ↔ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π»)))
3634, 35sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π»)))
37 cnf2 22616 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π»)) ∧ 𝐢 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝐢:𝐡⟢(Baseβ€˜π»))
385, 36, 20, 37syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢:𝐡⟢(Baseβ€˜π»))
39 fco 6693 . . . . 5 ((𝐢:𝐡⟢(Baseβ€˜π») ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ (𝐢 ∘ 𝐹):𝐴⟢(Baseβ€˜π»))
4038, 14, 39syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∘ 𝐹):𝐴⟢(Baseβ€˜π»))
4131, 32, 6, 8, 33, 9, 40tsmsval 23498 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐻 tsums (𝐢 ∘ 𝐹)) = ((𝐾 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})))β€˜(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐻 Ξ£g ((𝐢 ∘ 𝐹) β†Ύ 𝑧)))))
4238, 15cofmpt 7079 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∘ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (πΆβ€˜(𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))))
43 resco 6203 . . . . . . . 8 ((𝐢 ∘ 𝐹) β†Ύ 𝑧) = (𝐢 ∘ (𝐹 β†Ύ 𝑧))
4443oveq2i 7369 . . . . . . 7 (𝐻 Ξ£g ((𝐢 ∘ 𝐹) β†Ύ 𝑧)) = (𝐻 Ξ£g (𝐢 ∘ (𝐹 β†Ύ 𝑧)))
45 eqid 2733 . . . . . . . 8 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
4613adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
4733adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝐻 ∈ CMnd)
48 cmnmnd 19584 . . . . . . . . 9 (𝐻 ∈ CMnd β†’ 𝐻 ∈ Mnd)
4947, 48syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝐻 ∈ Mnd)
50 elinel2 4157 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝑧 ∈ Fin)
5150adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝑧 ∈ Fin)
52 tsmsmhm.5 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
5352adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝐢 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
54 elfpw 9301 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑧 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ Fin))
5554simplbi 499 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝑧 βŠ† 𝐴)
56 fssres 6709 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝑧 βŠ† 𝐴) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑧):π‘§βŸΆπ΅)
5714, 55, 56syl2an 597 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑧):π‘§βŸΆπ΅)
58 fvexd 6858 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ V)
5957, 51, 58fdmfifsupp 9320 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑧) finSupp (0gβ€˜πΊ))
602, 45, 46, 49, 51, 53, 57, 59gsummhm 19720 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐢 ∘ (𝐹 β†Ύ 𝑧))) = (πΆβ€˜(𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))))
6144, 60eqtrid 2785 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐻 Ξ£g ((𝐢 ∘ 𝐹) β†Ύ 𝑧)) = (πΆβ€˜(𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))))
6261mpteq2dva 5206 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐻 Ξ£g ((𝐢 ∘ 𝐹) β†Ύ 𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (πΆβ€˜(𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))))
6342, 62eqtr4d 2776 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∘ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐻 Ξ£g ((𝐢 ∘ 𝐹) β†Ύ 𝑧))))
6463fveq2d 6847 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐾 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})))β€˜(𝐢 ∘ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))))) = ((𝐾 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})))β€˜(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐻 Ξ£g ((𝐢 ∘ 𝐹) β†Ύ 𝑧)))))
6541, 64eqtr4d 2776 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐻 tsums (𝐢 ∘ 𝐹)) = ((𝐾 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})))β€˜(𝐢 ∘ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))))))
6630, 65eleqtrrd 2837 1 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜π‘‹) ∈ (𝐻 tsums (𝐢 ∘ 𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3406  Vcvv 3444   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  π’« cpw 4561  βˆͺ cuni 4866   ↦ cmpt 5189  ran crn 5635   β†Ύ cres 5636   ∘ ccom 5638  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Fincfn 8886  Basecbs 17088  TopOpenctopn 17308  0gc0g 17326   Ξ£g cgsu 17327  Mndcmnd 18561   MndHom cmhm 18604  CMndccmn 19567  fBascfbas 20800  filGencfg 20801  TopOnctopon 22275  TopSpctps 22297   Cn ccn 22591   CnP ccnp 22592  Filcfil 23212   fLimf cflf 23302   tsums ctsu 23493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-hash 14237  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-ntr 22387  df-nei 22465  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-tsms 23494
This theorem is referenced by:  tsmsinv  23515  esumcocn  32736
  Copyright terms: Public domain W3C validator