MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmsmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tsmsmhm 23631
Description: Apply a continuous group homomorphism to an infinite group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsmhm.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmsmhm.j 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
tsmsmhm.k 𝐾 = (TopOpen‘𝐻)
tsmsmhm.1 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
tsmsmhm.2 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
tsmsmhm.3 (𝜑𝐻 ∈ CMnd)
tsmsmhm.4 (𝜑𝐻 ∈ TopSp)
tsmsmhm.5 (𝜑𝐶 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
tsmsmhm.6 (𝜑𝐶 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
tsmsmhm.a (𝜑𝐴𝑉)
tsmsmhm.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
tsmsmhm.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
Assertion
Ref Expression
tsmsmhm (𝜑 → (𝐶𝑋) ∈ (𝐻 tsums (𝐶𝐹)))

Proof of Theorem tsmsmhm
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsmhm.2 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
2 tsmsmhm.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 tsmsmhm.j . . . . 5 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
42, 3istps 22417 . . . 4 (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
51, 4sylib 217 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
6 eqid 2733 . . . . 5 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
7 eqid 2733 . . . . 5 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧}) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})
8 eqid 2733 . . . . 5 ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧}) = ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})
9 tsmsmhm.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
106, 7, 8, 9tsmsfbas 23613 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧}) ∈ (fBas‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
11 fgcl 23363 . . . 4 (ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧}) ∈ (fBas‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})) ∈ (Fil‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
1210, 11syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})) ∈ (Fil‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
13 tsmsmhm.1 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
14 tsmsmhm.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
152, 6, 13, 9, 14tsmslem1 23614 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝐵)
1615fmpttd 7109 . . 3 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶𝐵)
17 tsmsmhm.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
182, 3, 6, 8, 1, 9, 14tsmsval 23616 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = ((𝐽 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))))
1917, 18eleqtrd 2836 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ((𝐽 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))))
20 tsmsmhm.6 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
212, 13, 1, 9, 14tsmscl 23620 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ⊆ 𝐵)
2221, 17sseldd 3981 . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
23 toponuni 22397 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = 𝐽)
245, 23syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐵 = 𝐽)
2522, 24eleqtrd 2836 . . . 4 (𝜑𝑋 𝐽)
26 eqid 2733 . . . . 5 𝐽 = 𝐽
2726cncnpi 22763 . . . 4 ((𝐶 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑋 𝐽) → 𝐶 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑋))
2820, 25, 27syl2anc 585 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑋))
29 flfcnp 23489 . . 3 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})) ∈ (Fil‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶𝐵) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐽 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ 𝐶 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑋))) → (𝐶𝑋) ∈ ((𝐾 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝐶 ∘ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧))))))
305, 12, 16, 19, 28, 29syl32anc 1379 . 2 (𝜑 → (𝐶𝑋) ∈ ((𝐾 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝐶 ∘ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧))))))
31 eqid 2733 . . . 4 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
32 tsmsmhm.k . . . 4 𝐾 = (TopOpen‘𝐻)
33 tsmsmhm.3 . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ CMnd)
34 tsmsmhm.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 ∈ TopSp)
3531, 32istps 22417 . . . . . . 7 (𝐻 ∈ TopSp ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐻)))
3634, 35sylib 217 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐻)))
37 cnf2 22734 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐻)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐶:𝐵⟶(Base‘𝐻))
385, 36, 20, 37syl3anc 1372 . . . . 5 (𝜑𝐶:𝐵⟶(Base‘𝐻))
39 fco 6737 . . . . 5 ((𝐶:𝐵⟶(Base‘𝐻) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝐶𝐹):𝐴⟶(Base‘𝐻))
4038, 14, 39syl2anc 585 . . . 4 (𝜑 → (𝐶𝐹):𝐴⟶(Base‘𝐻))
4131, 32, 6, 8, 33, 9, 40tsmsval 23616 . . 3 (𝜑 → (𝐻 tsums (𝐶𝐹)) = ((𝐾 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐻 Σg ((𝐶𝐹) ↾ 𝑧)))))
4238, 15cofmpt 7124 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 ∘ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐶‘(𝐺 Σg (𝐹𝑧)))))
43 resco 6245 . . . . . . . 8 ((𝐶𝐹) ↾ 𝑧) = (𝐶 ∘ (𝐹𝑧))
4443oveq2i 7414 . . . . . . 7 (𝐻 Σg ((𝐶𝐹) ↾ 𝑧)) = (𝐻 Σg (𝐶 ∘ (𝐹𝑧)))
45 eqid 2733 . . . . . . . 8 (0g𝐺) = (0g𝐺)
4613adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐺 ∈ CMnd)
4733adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐻 ∈ CMnd)
48 cmnmnd 19657 . . . . . . . . 9 (𝐻 ∈ CMnd → 𝐻 ∈ Mnd)
4947, 48syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐻 ∈ Mnd)
50 elinel2 4194 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑧 ∈ Fin)
5150adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑧 ∈ Fin)
52 tsmsmhm.5 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
5352adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐶 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
54 elfpw 9349 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑧𝐴𝑧 ∈ Fin))
5554simplbi 499 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑧𝐴)
56 fssres 6753 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴𝐵𝑧𝐴) → (𝐹𝑧):𝑧𝐵)
5714, 55, 56syl2an 597 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑧):𝑧𝐵)
58 fvexd 6902 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (0g𝐺) ∈ V)
5957, 51, 58fdmfifsupp 9368 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑧) finSupp (0g𝐺))
602, 45, 46, 49, 51, 53, 57, 59gsummhm 19797 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐻 Σg (𝐶 ∘ (𝐹𝑧))) = (𝐶‘(𝐺 Σg (𝐹𝑧))))
6144, 60eqtrid 2785 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐻 Σg ((𝐶𝐹) ↾ 𝑧)) = (𝐶‘(𝐺 Σg (𝐹𝑧))))
6261mpteq2dva 5246 . . . . 5 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐻 Σg ((𝐶𝐹) ↾ 𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐶‘(𝐺 Σg (𝐹𝑧)))))
6342, 62eqtr4d 2776 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 ∘ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐻 Σg ((𝐶𝐹) ↾ 𝑧))))
6463fveq2d 6891 . . 3 (𝜑 → ((𝐾 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝐶 ∘ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧))))) = ((𝐾 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐻 Σg ((𝐶𝐹) ↾ 𝑧)))))
6541, 64eqtr4d 2776 . 2 (𝜑 → (𝐻 tsums (𝐶𝐹)) = ((𝐾 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝐶 ∘ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧))))))
6630, 65eleqtrrd 2837 1 (𝜑 → (𝐶𝑋) ∈ (𝐻 tsums (𝐶𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  {crab 3433  Vcvv 3475  cin 3945  wss 3946  𝒫 cpw 4600   cuni 4906  cmpt 5229  ran crn 5675  cres 5676  ccom 5678  wf 6535  cfv 6539  (class class class)co 7403  Fincfn 8934  Basecbs 17139  TopOpenctopn 17362  0gc0g 17380   Σg cgsu 17381  Mndcmnd 18620   MndHom cmhm 18664  CMndccmn 19640  fBascfbas 20916  filGencfg 20917  TopOnctopon 22393  TopSpctps 22415   Cn ccn 22709   CnP ccnp 22710  Filcfil 23330   fLimf cflf 23420   tsums ctsu 23611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5283  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-int 4949  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8141  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-er 8698  df-map 8817  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fsupp 9357  df-oi 9500  df-card 9929  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-nn 12208  df-n0 12468  df-z 12554  df-uz 12818  df-fz 13480  df-fzo 13623  df-seq 13962  df-hash 14286  df-0g 17382  df-gsum 17383  df-mgm 18556  df-sgrp 18605  df-mnd 18621  df-mhm 18666  df-cntz 19174  df-cmn 19642  df-fbas 20925  df-fg 20926  df-top 22377  df-topon 22394  df-topsp 22416  df-ntr 22505  df-nei 22583  df-cn 22712  df-cnp 22713  df-fil 23331  df-fm 23423  df-flim 23424  df-flf 23425  df-tsms 23612
This theorem is referenced by:  tsmsinv  23633  esumcocn  33015
  Copyright terms: Public domain W3C validator