Theorem tsmsmhm 24376

Description: Apply a continuous group homomorphism to an infinite group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmsmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmsmhm.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
tsmsmhm.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘𝐻)
tsmsmhm.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
tsmsmhm.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
tsmsmhm.3	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ CMnd)
tsmsmhm.4	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ TopSp)
tsmsmhm.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
tsmsmhm.6	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
tsmsmhm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmsmhm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
tsmsmhm.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
tsmsmhm	⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑋) ∈ (𝐻 tsums (𝐶 ∘ 𝐹)))

Proof of Theorem tsmsmhm

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmsmhm.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
2		tsmsmhm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		tsmsmhm.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
4	2, 3	istps 23163	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
5	1, 4	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
6		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
7		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧}) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})
8		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧}) = ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})
9		tsmsmhm.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
10	6, 7, 8, 9	tsmsfbas 24358	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧}) ∈ (fBas‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
11		fgcl 24108	. . . 4 ⊢ (ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧}) ∈ (fBas‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})) ∈ (Fil‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
12	10, 11	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})) ∈ (Fil‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
13		tsmsmhm.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
14		tsmsmhm.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
15	2, 6, 13, 9, 14	tsmslem1 24359	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝐵)
16	15	fmpttd 7111	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶𝐵)
17		tsmsmhm.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
18	2, 3, 6, 8, 1, 9, 14	tsmsval 24361	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = ((𝐽 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))))
19	17, 18	eleqtrd 2864	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((𝐽 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))))
20		tsmsmhm.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
21	2, 13, 1, 9, 14	tsmscl 24365	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ⊆ 𝐵)
22	21, 17	sseldd 3935	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
23		toponuni 23143	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)
24	5, 23	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ∪ 𝐽)
25	22, 24	eleqtrd 2864	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ∪ 𝐽)
26		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
27	26	cncnpi 23507	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ ∪ 𝐽) → 𝐶 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑋))
28	20, 25, 27	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑋))
29		flfcnp 24234	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})) ∈ (Fil‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶𝐵) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐽 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ 𝐶 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑋))) → (𝐶‘𝑋) ∈ ((𝐾 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝐶 ∘ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))))))
30	5, 12, 16, 19, 28, 29	syl32anc 1405	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑋) ∈ ((𝐾 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝐶 ∘ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))))))
31		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
32		tsmsmhm.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘𝐻)
33		tsmsmhm.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ CMnd)
34		tsmsmhm.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ TopSp)
35	31, 32	istps 23163	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ TopSp ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐻)))
36	34, 35	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐻)))
37		cnf2 23478	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐻)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐶:𝐵⟶(Base‘𝐻))
38	5, 36, 20, 37	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶:𝐵⟶(Base‘𝐻))
39		fco 6731	. . . . 5 ⊢ ((𝐶:𝐵⟶(Base‘𝐻) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐶 ∘ 𝐹):𝐴⟶(Base‘𝐻))
40	38, 14, 39	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∘ 𝐹):𝐴⟶(Base‘𝐻))
41	31, 32, 6, 8, 33, 9, 40	tsmsval 24361	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 tsums (𝐶 ∘ 𝐹)) = ((𝐾 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐻 Σg ((𝐶 ∘ 𝐹) ↾ 𝑧)))))
42	38, 15	cofmpt 7129	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∘ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐶‘(𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))))
43		resco 6250	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∘ 𝐹) ↾ 𝑧) = (𝐶 ∘ (𝐹 ↾ 𝑧))
44	43	oveq2i 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 Σg ((𝐶 ∘ 𝐹) ↾ 𝑧)) = (𝐻 Σg (𝐶 ∘ (𝐹 ↾ 𝑧)))
45		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
46	13	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐺 ∈ CMnd)
47	33	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐻 ∈ CMnd)
48		cmnmnd 19928	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ∈ CMnd → 𝐻 ∈ Mnd)
49	47, 48	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐻 ∈ Mnd)
50		elinel2 4151	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑧 ∈ Fin)
51	50	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑧 ∈ Fin)
52		tsmsmhm.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
53	52	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐶 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
54		elfpw 9324	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ Fin))
55	54	simplbi 502	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑧 ⊆ 𝐴)
56		fssres 6745	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝑧):𝑧⟶𝐵)
57	14, 55, 56	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑧):𝑧⟶𝐵)
58		fvexd 6897	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (0g‘𝐺) ∈ V)
59	57, 51, 58	fdmfifsupp 9348	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑧) finSupp (0g‘𝐺))
60	2, 45, 46, 49, 51, 53, 57, 59	gsummhm 20069	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐻 Σg (𝐶 ∘ (𝐹 ↾ 𝑧))) = (𝐶‘(𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))))
61	44, 60	eqtrid 2809	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐻 Σg ((𝐶 ∘ 𝐹) ↾ 𝑧)) = (𝐶‘(𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))))
62	61	mpteq2dva 5202	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐻 Σg ((𝐶 ∘ 𝐹) ↾ 𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐶‘(𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))))
63	42, 62	eqtr4d 2800	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∘ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐻 Σg ((𝐶 ∘ 𝐹) ↾ 𝑧))))
64	63	fveq2d 6886	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝐶 ∘ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))))) = ((𝐾 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐻 Σg ((𝐶 ∘ 𝐹) ↾ 𝑧)))))
65	41, 64	eqtr4d 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 tsums (𝐶 ∘ 𝐹)) = ((𝐾 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝐶 ∘ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))))))
66	30, 65	eleqtrrd 2865	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑋) ∈ (𝐻 tsums (𝐶 ∘ 𝐹)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3414  Vcvv 3453   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  𝒫 cpw 4560  ∪ cuni 4870   ↦ cmpt 5190  ran crn 5660   ↾ cres 5661   ∘ ccom 5663  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Fincfn 8955  Basecbs 17305  TopOpenctopn 17510  0_gc0g 17528   Σ_g cgsu 17529  Mndcmnd 18840   MndHom cmhm 18893  CMndccmn 19911  fBascfbas 21577  filGencfg 21578  TopOnctopon 23139  TopSpctps 23161   Cn ccn 23453   CnP ccnp 23454  Filcfil 24075   fLimf cflf 24165   tsums ctsu 24356

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-seq 14068  df-hash 14397  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-mgm 18734  df-sgrp 18825  df-mnd 18841  df-mhm 18895  df-cntz 19448  df-cmn 19913  df-fbas 21586  df-fg 21587  df-top 23123  df-topon 23140  df-topsp 23162  df-ntr 23249  df-nei 23327  df-cn 23456  df-cnp 23457  df-fil 24076  df-fm 24168  df-flim 24169  df-flf 24170  df-tsms 24357

This theorem is used by:  tsmsinv  24378  esumcocn  34592