MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmsmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tsmsmhm 24154
Description: Apply a continuous group homomorphism to an infinite group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsmhm.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmsmhm.j 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
tsmsmhm.k 𝐾 = (TopOpen‘𝐻)
tsmsmhm.1 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
tsmsmhm.2 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
tsmsmhm.3 (𝜑𝐻 ∈ CMnd)
tsmsmhm.4 (𝜑𝐻 ∈ TopSp)
tsmsmhm.5 (𝜑𝐶 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
tsmsmhm.6 (𝜑𝐶 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
tsmsmhm.a (𝜑𝐴𝑉)
tsmsmhm.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
tsmsmhm.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
Assertion
Ref Expression
tsmsmhm (𝜑 → (𝐶𝑋) ∈ (𝐻 tsums (𝐶𝐹)))

Proof of Theorem tsmsmhm
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsmhm.2 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
2 tsmsmhm.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 tsmsmhm.j . . . . 5 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
42, 3istps 22940 . . . 4 (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
51, 4sylib 218 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
6 eqid 2737 . . . . 5 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
7 eqid 2737 . . . . 5 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧}) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})
8 eqid 2737 . . . . 5 ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧}) = ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})
9 tsmsmhm.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
106, 7, 8, 9tsmsfbas 24136 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧}) ∈ (fBas‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
11 fgcl 23886 . . . 4 (ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧}) ∈ (fBas‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})) ∈ (Fil‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
1210, 11syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})) ∈ (Fil‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
13 tsmsmhm.1 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
14 tsmsmhm.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
152, 6, 13, 9, 14tsmslem1 24137 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝐵)
1615fmpttd 7135 . . 3 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶𝐵)
17 tsmsmhm.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
182, 3, 6, 8, 1, 9, 14tsmsval 24139 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = ((𝐽 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))))
1917, 18eleqtrd 2843 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ((𝐽 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))))
20 tsmsmhm.6 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
212, 13, 1, 9, 14tsmscl 24143 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ⊆ 𝐵)
2221, 17sseldd 3984 . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
23 toponuni 22920 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = 𝐽)
245, 23syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐵 = 𝐽)
2522, 24eleqtrd 2843 . . . 4 (𝜑𝑋 𝐽)
26 eqid 2737 . . . . 5 𝐽 = 𝐽
2726cncnpi 23286 . . . 4 ((𝐶 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑋 𝐽) → 𝐶 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑋))
2820, 25, 27syl2anc 584 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑋))
29 flfcnp 24012 . . 3 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})) ∈ (Fil‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶𝐵) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐽 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ 𝐶 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑋))) → (𝐶𝑋) ∈ ((𝐾 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝐶 ∘ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧))))))
305, 12, 16, 19, 28, 29syl32anc 1380 . 2 (𝜑 → (𝐶𝑋) ∈ ((𝐾 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝐶 ∘ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧))))))
31 eqid 2737 . . . 4 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
32 tsmsmhm.k . . . 4 𝐾 = (TopOpen‘𝐻)
33 tsmsmhm.3 . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ CMnd)
34 tsmsmhm.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 ∈ TopSp)
3531, 32istps 22940 . . . . . . 7 (𝐻 ∈ TopSp ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐻)))
3634, 35sylib 218 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐻)))
37 cnf2 23257 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐻)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐶:𝐵⟶(Base‘𝐻))
385, 36, 20, 37syl3anc 1373 . . . . 5 (𝜑𝐶:𝐵⟶(Base‘𝐻))
39 fco 6760 . . . . 5 ((𝐶:𝐵⟶(Base‘𝐻) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝐶𝐹):𝐴⟶(Base‘𝐻))
4038, 14, 39syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐶𝐹):𝐴⟶(Base‘𝐻))
4131, 32, 6, 8, 33, 9, 40tsmsval 24139 . . 3 (𝜑 → (𝐻 tsums (𝐶𝐹)) = ((𝐾 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐻 Σg ((𝐶𝐹) ↾ 𝑧)))))
4238, 15cofmpt 7152 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 ∘ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐶‘(𝐺 Σg (𝐹𝑧)))))
43 resco 6270 . . . . . . . 8 ((𝐶𝐹) ↾ 𝑧) = (𝐶 ∘ (𝐹𝑧))
4443oveq2i 7442 . . . . . . 7 (𝐻 Σg ((𝐶𝐹) ↾ 𝑧)) = (𝐻 Σg (𝐶 ∘ (𝐹𝑧)))
45 eqid 2737 . . . . . . . 8 (0g𝐺) = (0g𝐺)
4613adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐺 ∈ CMnd)
4733adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐻 ∈ CMnd)
48 cmnmnd 19815 . . . . . . . . 9 (𝐻 ∈ CMnd → 𝐻 ∈ Mnd)
4947, 48syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐻 ∈ Mnd)
50 elinel2 4202 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑧 ∈ Fin)
5150adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑧 ∈ Fin)
52 tsmsmhm.5 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
5352adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐶 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
54 elfpw 9394 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑧𝐴𝑧 ∈ Fin))
5554simplbi 497 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑧𝐴)
56 fssres 6774 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴𝐵𝑧𝐴) → (𝐹𝑧):𝑧𝐵)
5714, 55, 56syl2an 596 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑧):𝑧𝐵)
58 fvexd 6921 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (0g𝐺) ∈ V)
5957, 51, 58fdmfifsupp 9415 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑧) finSupp (0g𝐺))
602, 45, 46, 49, 51, 53, 57, 59gsummhm 19956 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐻 Σg (𝐶 ∘ (𝐹𝑧))) = (𝐶‘(𝐺 Σg (𝐹𝑧))))
6144, 60eqtrid 2789 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐻 Σg ((𝐶𝐹) ↾ 𝑧)) = (𝐶‘(𝐺 Σg (𝐹𝑧))))
6261mpteq2dva 5242 . . . . 5 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐻 Σg ((𝐶𝐹) ↾ 𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐶‘(𝐺 Σg (𝐹𝑧)))))
6342, 62eqtr4d 2780 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 ∘ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐻 Σg ((𝐶𝐹) ↾ 𝑧))))
6463fveq2d 6910 . . 3 (𝜑 → ((𝐾 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝐶 ∘ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧))))) = ((𝐾 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐻 Σg ((𝐶𝐹) ↾ 𝑧)))))
6541, 64eqtr4d 2780 . 2 (𝜑 → (𝐻 tsums (𝐶𝐹)) = ((𝐾 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝐶 ∘ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧))))))
6630, 65eleqtrrd 2844 1 (𝜑 → (𝐶𝑋) ∈ (𝐻 tsums (𝐶𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  {crab 3436  Vcvv 3480  cin 3950  wss 3951  𝒫 cpw 4600   cuni 4907  cmpt 5225  ran crn 5686  cres 5687  ccom 5689  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  Basecbs 17247  TopOpenctopn 17466  0gc0g 17484   Σg cgsu 17485  Mndcmnd 18747   MndHom cmhm 18794  CMndccmn 19798  fBascfbas 21352  filGencfg 21353  TopOnctopon 22916  TopSpctps 22938   Cn ccn 23232   CnP ccnp 23233  Filcfil 23853   fLimf cflf 23943   tsums ctsu 24134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-ntr 23028  df-nei 23106  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-tsms 24135
This theorem is referenced by:  tsmsinv  24156  esumcocn  34081
  Copyright terms: Public domain W3C validator