Theorem gsuminv 19990

Description: Inverse of a group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsuminv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsuminv.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsuminv.p	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
gsuminv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
gsuminv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsuminv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
gsuminv.n	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsuminv	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐼 ∘ 𝐹)) = (𝐼‘(𝐺 Σg 𝐹)))

Proof of Theorem gsuminv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsuminv.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsuminv.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsuminv.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
4		ablcmn 19831	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
6		cmnmnd 19841	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
8		gsuminv.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
9		gsuminv.p	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
10	1, 9	invghm 19877	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ 𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
11	3, 10	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
12		ghmmhm 19268	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) → 𝐼 ∈ (𝐺 MndHom 𝐺))
13	11, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐺 MndHom 𝐺))
14		gsuminv.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
15		gsuminv.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
16	1, 2, 5, 7, 8, 13, 14, 15	gsummhm 19982	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐼 ∘ 𝐹)) = (𝐼‘(𝐺 Σg 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166   ∘ ccom 5704  ⟶wf 6571  ‘cfv 6575  (class class class)co 7450   finSupp cfsupp 9433  Basecbs 17260  0_gc0g 17501   Σ_g cgsu 17502  Mndcmnd 18774   MndHom cmhm 18818  inv_gcminusg 18976   GrpHom cghm 19254  CMndccmn 19824  Abelcabl 19825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-isom 6584  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-om 7906  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-supp 8204  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-1o 8524  df-er 8765  df-map 8888  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-fin 9009  df-fsupp 9434  df-oi 9581  df-card 10010  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12296  df-n0 12556  df-z 12642  df-uz 12906  df-fz 13570  df-fzo 13714  df-seq 14055  df-hash 14382  df-0g 17503  df-gsum 17504  df-mgm 18680  df-sgrp 18759  df-mnd 18775  df-mhm 18820  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-ghm 19255  df-cntz 19359  df-cmn 19826  df-abl 19827

This theorem is referenced by:  gsummptfidminv  19991  gsumsub  19992