Theorem gsuminv 20167

Description: Inverse of a group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsuminv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsuminv.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsuminv.p	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
gsuminv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
gsuminv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsuminv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
gsuminv.n	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsuminv	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐼 ∘ 𝐹)) = (𝐼‘(𝐺 Σg 𝐹)))

Proof of Theorem gsuminv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsuminv.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsuminv.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsuminv.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
4		ablcmn 20008	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
5	3, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
6		cmnmnd 20018	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
7	5, 6	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
8		gsuminv.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
9		gsuminv.p	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
10	1, 9	invghm 20054	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ 𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
11	3, 10	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
12		ghmmhm 19447	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) → 𝐼 ∈ (𝐺 MndHom 𝐺))
13	11, 12	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐺 MndHom 𝐺))
14		gsuminv.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
15		gsuminv.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
16	1, 2, 5, 7, 8, 13, 14, 15	gsummhm 20159	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐼 ∘ 𝐹)) = (𝐼‘(𝐺 Σg 𝐹)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102   ∘ ccom 5654  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422   finSupp cfsupp 9358  Basecbs 17394  0_gc0g 17617   Σ_g cgsu 17618  Mndcmnd 18930   MndHom cmhm 18983  inv_gcminusg 19152   GrpHom cghm 19434  CMndccmn 20001  Abelcabl 20002

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8182  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-er 8722  df-map 8854  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-fsupp 9359  df-oi 9509  df-card 10025  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-nn 12341  df-n0 12612  df-z 12699  df-uz 12971  df-fz 13645  df-fzo 13794  df-seq 14150  df-hash 14480  df-0g 17619  df-gsum 17620  df-mgm 18823  df-sgrp 18915  df-mnd 18931  df-mhm 18985  df-grp 19154  df-minusg 19155  df-ghm 19435  df-cntz 19538  df-cmn 20003  df-abl 20004

This theorem is used by:  gsummptfidminv  20168  gsumsub  20169  gsummulsubdishift2  33678