Theorem gsuminv 19882

Description: Inverse of a group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsuminv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsuminv.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsuminv.p	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
gsuminv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
gsuminv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsuminv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
gsuminv.n	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsuminv	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐼 ∘ 𝐹)) = (𝐼‘(𝐺 Σg 𝐹)))

Proof of Theorem gsuminv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsuminv.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsuminv.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsuminv.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
4		ablcmn 19723	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
6		cmnmnd 19733	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
8		gsuminv.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
9		gsuminv.p	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
10	1, 9	invghm 19769	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ 𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
11	3, 10	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
12		ghmmhm 19164	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) → 𝐼 ∈ (𝐺 MndHom 𝐺))
13	11, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐺 MndHom 𝐺))
14		gsuminv.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
15		gsuminv.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
16	1, 2, 5, 7, 8, 13, 14, 15	gsummhm 19874	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐼 ∘ 𝐹)) = (𝐼‘(𝐺 Σg 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5115   ∘ ccom 5650  ⟶wf 6515  ‘cfv 6519  (class class class)co 7394   finSupp cfsupp 9330  Basecbs 17185  0_gc0g 17408   Σ_g cgsu 17409  Mndcmnd 18667   MndHom cmhm 18714  inv_gcminusg 18872   GrpHom cghm 19150  CMndccmn 19716  Abelcabl 19717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5242  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718  ax-cnex 11142  ax-resscn 11143  ax-1cn 11144  ax-icn 11145  ax-addcl 11146  ax-addrcl 11147  ax-mulcl 11148  ax-mulrcl 11149  ax-mulcom 11150  ax-addass 11151  ax-mulass 11152  ax-distr 11153  ax-i2m1 11154  ax-1ne0 11155  ax-1rid 11156  ax-rnegex 11157  ax-rrecex 11158  ax-cnre 11159  ax-pre-lttri 11160  ax-pre-lttrn 11161  ax-pre-ltadd 11162  ax-pre-mulgt0 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-nel 3032  df-ral 3047  df-rex 3056  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-pss 3942  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-uni 4880  df-int 4919  df-iun 4965  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5541  df-eprel 5546  df-po 5554  df-so 5555  df-fr 5599  df-se 5600  df-we 5601  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-isom 6528  df-riota 7351  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7851  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8349  df-rdg 8387  df-1o 8443  df-er 8682  df-map 8805  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-fsupp 9331  df-oi 9481  df-card 9910  df-pnf 11228  df-mnf 11229  df-xr 11230  df-ltxr 11231  df-le 11232  df-sub 11425  df-neg 11426  df-nn 12198  df-n0 12459  df-z 12546  df-uz 12810  df-fz 13482  df-fzo 13629  df-seq 13977  df-hash 14306  df-0g 17410  df-gsum 17411  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18716  df-grp 18874  df-minusg 18875  df-ghm 19151  df-cntz 19255  df-cmn 19718  df-abl 19719

This theorem is referenced by:  gsummptfidminv  19883  gsumsub  19884