Theorem gsuminv 19859

Description: Inverse of a group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsuminv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsuminv.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsuminv.p	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
gsuminv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
gsuminv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsuminv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
gsuminv.n	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsuminv	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐼 ∘ 𝐹)) = (𝐼‘(𝐺 Σg 𝐹)))

Proof of Theorem gsuminv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsuminv.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsuminv.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsuminv.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
4		ablcmn 19700	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
6		cmnmnd 19710	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
8		gsuminv.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
9		gsuminv.p	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
10	1, 9	invghm 19746	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ 𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
11	3, 10	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
12		ghmmhm 19144	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) → 𝐼 ∈ (𝐺 MndHom 𝐺))
13	11, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐺 MndHom 𝐺))
14		gsuminv.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
15		gsuminv.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
16	1, 2, 5, 7, 8, 13, 14, 15	gsummhm 19851	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐼 ∘ 𝐹)) = (𝐼‘(𝐺 Σg 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5148   ∘ ccom 5680  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412   finSupp cfsupp 9367  Basecbs 17151  0_gc0g 17392   Σ_g cgsu 17393  Mndcmnd 18662   MndHom cmhm 18706  inv_gcminusg 18859   GrpHom cghm 19131  CMndccmn 19693  Abelcabl 19694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-hash 14298  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-mgm 18568  df-sgrp 18647  df-mnd 18663  df-mhm 18708  df-grp 18861  df-minusg 18862  df-ghm 19132  df-cntz 19226  df-cmn 19695  df-abl 19696

This theorem is referenced by:  gsummptfidminv  19860  gsumsub  19861