Theorem gsuminv 20015

Description: Inverse of a group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsuminv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsuminv.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsuminv.p	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
gsuminv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
gsuminv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsuminv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
gsuminv.n	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsuminv	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐼 ∘ 𝐹)) = (𝐼‘(𝐺 Σg 𝐹)))

Proof of Theorem gsuminv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsuminv.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsuminv.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsuminv.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
4		ablcmn 19856	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
5	3, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
6		cmnmnd 19866	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
7	5, 6	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
8		gsuminv.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
9		gsuminv.p	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
10	1, 9	invghm 19902	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ 𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
11	3, 10	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
12		ghmmhm 19295	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) → 𝐼 ∈ (𝐺 MndHom 𝐺))
13	11, 12	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐺 MndHom 𝐺))
14		gsuminv.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
15		gsuminv.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
16	1, 2, 5, 7, 8, 13, 14, 15	gsummhm 20007	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐼 ∘ 𝐹)) = (𝐼‘(𝐺 Σg 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5113   ∘ ccom 5666  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   finSupp cfsupp 9320  Basecbs 17268  0_gc0g 17491   Σ_g cgsu 17492  Mndcmnd 18791   MndHom cmhm 18838  inv_gcminusg 19000   GrpHom cghm 19282  CMndccmn 19849  Abelcabl 19850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-seq 14037  df-hash 14366  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-mhm 18840  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-ghm 19283  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-abl 19852

This theorem is referenced by:  gsummptfidminv  20016  gsumsub  20017  gsummulsubdishift2  33329