Theorem cmpfiref 33361

Description: Every open cover of a Compact space has a finite refinement. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
cmpfiref.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
cmpfiref	⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑈 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑋 = ∪ 𝑈) → ∃𝑣 ∈ 𝒫 𝐽(𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣Ref𝑈))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐽   𝑣,𝑈

Allowed substitution hint:   𝑋(𝑣)

Proof of Theorem cmpfiref

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmpfiref.x	. 2 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		cmpcref 33360	. 2 ⊢ Comp = CovHasRefFin
3		id 22	. 2 ⊢ (𝑣 ∈ Fin → 𝑣 ∈ Fin)
4	1, 2, 3	crefdf 33358	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑈 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑋 = ∪ 𝑈) → ∃𝑣 ∈ 𝒫 𝐽(𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣Ref𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3943  𝒫 cpw 4597  ∪ cuni 4902   class class class wbr 5141  Fincfn 8941  Compccmp 23245  Refcref 23361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-reg 9589  ax-inf2 9638  ax-ac2 10460

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-fin 8945  df-r1 9761  df-rank 9762  df-card 9936  df-ac 10113  df-cmp 23246  df-ref 23364  df-cref 33353

This theorem is referenced by: (None)