Theorem cmpfiref 31780

Description: Every open cover of a Compact space has a finite refinement. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
cmpfiref.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
cmpfiref	⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑈 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑋 = ∪ 𝑈) → ∃𝑣 ∈ 𝒫 𝐽(𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣Ref𝑈))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐽   𝑣,𝑈

Allowed substitution hint:   𝑋(𝑣)

Proof of Theorem cmpfiref

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmpfiref.x	. 2 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		cmpcref 31779	. 2 ⊢ Comp = CovHasRefFin
3		id 22	. 2 ⊢ (𝑣 ∈ Fin → 𝑣 ∈ Fin)
4	1, 2, 3	crefdf 31777	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑈 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑋 = ∪ 𝑈) → ∃𝑣 ∈ 𝒫 𝐽(𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣Ref𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3066   ⊆ wss 3891  𝒫 cpw 4538  ∪ cuni 4844   class class class wbr 5078  Fincfn 8707  Compccmp 22518  Refcref 22634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-reg 9312  ax-inf2 9360  ax-ac2 10203

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-iin 4932  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-se 5544  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-isom 6439  df-riota 7225  df-ov 7271  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-fin 8711  df-r1 9506  df-rank 9507  df-card 9681  df-ac 9856  df-cmp 22519  df-ref 22637  df-cref 31772

This theorem is referenced by: (None)