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Theorem cmpcref 31321
 Description: Equivalent definition of compact space in terms of open cover refinements. Compact spaces are topologies with finite open cover refinements. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
cmpcref Comp = CovHasRefFin

Proof of Theorem cmpcref
Dummy variables 𝑓 𝑗 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)) ∧ 𝑗 = 𝑥) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin))
2 elin 3874 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑦𝑥 ∈ Fin))
31, 2sylib 221 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)) ∧ 𝑗 = 𝑥) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝑦𝑥 ∈ Fin))
43simpld 498 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)) ∧ 𝑗 = 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑦)
5 elpwi 4503 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑦𝑥𝑦)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)) ∧ 𝑗 = 𝑥) → 𝑥𝑦)
7 elpwi 4503 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑗𝑦𝑗)
87ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)) ∧ 𝑗 = 𝑥) → 𝑦𝑗)
96, 8sstrd 3902 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)) ∧ 𝑗 = 𝑥) → 𝑥𝑗)
10 velpw 4499 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑗𝑥𝑗)
119, 10sylibr 237 . . . . . . . . . 10 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)) ∧ 𝑗 = 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑗)
123simprd 499 . . . . . . . . . 10 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)) ∧ 𝑗 = 𝑥) → 𝑥 ∈ Fin)
1311, 12elind 4099 . . . . . . . . 9 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)) ∧ 𝑗 = 𝑥) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin))
14 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)) ∧ 𝑗 = 𝑥) → 𝑗 = 𝑥)
15 simpllr 775 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)) ∧ 𝑗 = 𝑥) → 𝑗 = 𝑦)
1614, 15eqtr3d 2795 . . . . . . . . . 10 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)) ∧ 𝑗 = 𝑥) → 𝑥 = 𝑦)
17 eqid 2758 . . . . . . . . . . 11 𝑥 = 𝑥
18 eqid 2758 . . . . . . . . . . 11 𝑦 = 𝑦
1917, 18ssref 22212 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑗𝑥𝑦 𝑥 = 𝑦) → 𝑥Ref𝑦)
2011, 6, 16, 19syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)) ∧ 𝑗 = 𝑥) → 𝑥Ref𝑦)
21 breq1 5035 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧Ref𝑦𝑥Ref𝑦))
2221rspcev 3541 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin) ∧ 𝑥Ref𝑦) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)𝑧Ref𝑦)
2313, 20, 22syl2anc 587 . . . . . . . 8 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)) ∧ 𝑗 = 𝑥) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)𝑧Ref𝑦)
2423r19.29an 3212 . . . . . . 7 ((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin) 𝑗 = 𝑥) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)𝑧Ref𝑦)
25 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) → 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin))
26 vex 3413 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧 ∈ V
27 eqid 2758 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧 = 𝑧
2827, 18isref 22209 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ V → (𝑧Ref𝑦 ↔ ( 𝑦 = 𝑧 ∧ ∀𝑢𝑧𝑣𝑦 𝑢𝑣)))
2926, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧Ref𝑦 ↔ ( 𝑦 = 𝑧 ∧ ∀𝑢𝑧𝑣𝑦 𝑢𝑣))
3029simprbi 500 . . . . . . . . . . 11 (𝑧Ref𝑦 → ∀𝑢𝑧𝑣𝑦 𝑢𝑣)
3130adantl 485 . . . . . . . . . 10 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) → ∀𝑢𝑧𝑣𝑦 𝑢𝑣)
32 sseq2 3918 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = (𝑓𝑢) → (𝑢𝑣𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)))
3332ac6sg 9948 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin) → (∀𝑢𝑧𝑣𝑦 𝑢𝑣 → ∃𝑓(𝑓:𝑧𝑦 ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢))))
3425, 31, 33sylc 65 . . . . . . . . 9 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) → ∃𝑓(𝑓:𝑧𝑦 ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)))
35 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → 𝑓:𝑧𝑦)
3635frnd 6505 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → ran 𝑓𝑦)
37 vex 3413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑓 ∈ V
3837rnex 7622 . . . . . . . . . . . . . . 15 ran 𝑓 ∈ V
3938elpw 4498 . . . . . . . . . . . . . 14 (ran 𝑓 ∈ 𝒫 𝑦 ↔ ran 𝑓𝑦)
4036, 39sylibr 237 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → ran 𝑓 ∈ 𝒫 𝑦)
4135ffnd 6499 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → 𝑓 Fn 𝑧)
42 elin 3874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin) ↔ (𝑧 ∈ 𝒫 𝑗𝑧 ∈ Fin))
4342simprbi 500 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin) → 𝑧 ∈ Fin)
4443ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → 𝑧 ∈ Fin)
45 fnfi 8829 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 Fn 𝑧𝑧 ∈ Fin) → 𝑓 ∈ Fin)
4641, 44, 45syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → 𝑓 ∈ Fin)
47 rnfi 8840 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ Fin → ran 𝑓 ∈ Fin)
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → ran 𝑓 ∈ Fin)
4940, 48elind 4099 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → ran 𝑓 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin))
50 simp-5r 785 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → 𝑗 = 𝑦)
5127, 18refbas 22210 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧Ref𝑦 𝑦 = 𝑧)
5251ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → 𝑦 = 𝑧)
53 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑢(((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦)
54 nfra1 3147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑢𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)
5553, 54nfan 1900 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑢((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢))
56 rspa 3135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢) ∧ 𝑢𝑧) → 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢))
5756adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) ∧ 𝑢𝑧) → 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢))
5857sseld 3891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) ∧ 𝑢𝑧) → (𝑥𝑢𝑥 ∈ (𝑓𝑢)))
5958ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → (𝑢𝑧 → (𝑥𝑢𝑥 ∈ (𝑓𝑢))))
6055, 59reximdai 3235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → (∃𝑢𝑧 𝑥𝑢 → ∃𝑢𝑧 𝑥 ∈ (𝑓𝑢)))
61 eluni2 4802 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 𝑧 ↔ ∃𝑢𝑧 𝑥𝑢)
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → (𝑥 𝑧 ↔ ∃𝑢𝑧 𝑥𝑢))
63 fnunirn 7004 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 Fn 𝑧 → (𝑥 ran 𝑓 ↔ ∃𝑢𝑧 𝑥 ∈ (𝑓𝑢)))
6441, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → (𝑥 ran 𝑓 ↔ ∃𝑢𝑧 𝑥 ∈ (𝑓𝑢)))
6560, 62, 643imtr4d 297 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → (𝑥 𝑧𝑥 ran 𝑓))
6665ssrdv 3898 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → 𝑧 ran 𝑓)
6752, 66eqsstrd 3930 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → 𝑦 ran 𝑓)
6836unissd 4808 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → ran 𝑓 𝑦)
6967, 68eqssd 3909 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → 𝑦 = ran 𝑓)
7050, 69eqtrd 2793 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → 𝑗 = ran 𝑓)
71 unieq 4809 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ran 𝑓 𝑥 = ran 𝑓)
7271rspceeqv 3556 . . . . . . . . . . . 12 ((ran 𝑓 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin) ∧ 𝑗 = ran 𝑓) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin) 𝑗 = 𝑥)
7349, 70, 72syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin) 𝑗 = 𝑥)
7473expl 461 . . . . . . . . . 10 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) → ((𝑓:𝑧𝑦 ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin) 𝑗 = 𝑥))
7574exlimdv 1934 . . . . . . . . 9 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) → (∃𝑓(𝑓:𝑧𝑦 ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin) 𝑗 = 𝑥))
7634, 75mpd 15 . . . . . . . 8 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin) 𝑗 = 𝑥)
7776r19.29an 3212 . . . . . . 7 ((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)𝑧Ref𝑦) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin) 𝑗 = 𝑥)
7824, 77impbida 800 . . . . . 6 (((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin) 𝑗 = 𝑥 ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)𝑧Ref𝑦))
7978pm5.74da 803 . . . . 5 ((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) → (( 𝑗 = 𝑦 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin) 𝑗 = 𝑥) ↔ ( 𝑗 = 𝑦 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)𝑧Ref𝑦)))
8079ralbidva 3125 . . . 4 (𝑗 ∈ Top → (∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑗( 𝑗 = 𝑦 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin) 𝑗 = 𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑗( 𝑗 = 𝑦 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)𝑧Ref𝑦)))
8180pm5.32i 578 . . 3 ((𝑗 ∈ Top ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑗( 𝑗 = 𝑦 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin) 𝑗 = 𝑥)) ↔ (𝑗 ∈ Top ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑗( 𝑗 = 𝑦 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)𝑧Ref𝑦)))
82 eqid 2758 . . . 4 𝑗 = 𝑗
8382iscmp 22088 . . 3 (𝑗 ∈ Comp ↔ (𝑗 ∈ Top ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑗( 𝑗 = 𝑦 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin) 𝑗 = 𝑥)))
8482iscref 31315 . . 3 (𝑗 ∈ CovHasRefFin ↔ (𝑗 ∈ Top ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑗( 𝑗 = 𝑦 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)𝑧Ref𝑦)))
8581, 83, 843bitr4i 306 . 2 (𝑗 ∈ Comp ↔ 𝑗 ∈ CovHasRefFin)
8685eqriv 2755 1 Comp = CovHasRefFin
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070  ∃wrex 3071  Vcvv 3409   ∩ cin 3857   ⊆ wss 3858  𝒫 cpw 4494  ∪ cuni 4798   class class class wbr 5032  ran crn 5525   Fn wfn 6330  ⟶wf 6331  ‘cfv 6335  Fincfn 8527  Topctop 21593  Compccmp 22086  Refcref 22202  CovHasRefccref 31313 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-reg 9089  ax-inf2 9137  ax-ac2 9923 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-iin 4886  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-isom 6344  df-riota 7108  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-fin 8531  df-r1 9226  df-rank 9227  df-card 9401  df-ac 9576  df-cmp 22087  df-ref 22205  df-cref 31314 This theorem is referenced by:  cmpfiref  31322  cmppcmp  31329
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