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Theorem cmpcref 32767
Description: Equivalent definition of compact space in terms of open cover refinements. Compact spaces are topologies with finite open cover refinements. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
cmpcref Comp = CovHasRefFin

Proof of Theorem cmpcref
Dummy variables 𝑓 𝑗 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)) ∧ 𝑗 = 𝑥) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin))
2 elin 3962 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑦𝑥 ∈ Fin))
31, 2sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)) ∧ 𝑗 = 𝑥) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝑦𝑥 ∈ Fin))
43simpld 496 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)) ∧ 𝑗 = 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑦)
5 elpwi 4607 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑦𝑥𝑦)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)) ∧ 𝑗 = 𝑥) → 𝑥𝑦)
7 elpwi 4607 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑗𝑦𝑗)
87ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)) ∧ 𝑗 = 𝑥) → 𝑦𝑗)
96, 8sstrd 3990 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)) ∧ 𝑗 = 𝑥) → 𝑥𝑗)
10 velpw 4605 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑗𝑥𝑗)
119, 10sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)) ∧ 𝑗 = 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑗)
123simprd 497 . . . . . . . . . 10 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)) ∧ 𝑗 = 𝑥) → 𝑥 ∈ Fin)
1311, 12elind 4192 . . . . . . . . 9 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)) ∧ 𝑗 = 𝑥) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin))
14 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)) ∧ 𝑗 = 𝑥) → 𝑗 = 𝑥)
15 simpllr 775 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)) ∧ 𝑗 = 𝑥) → 𝑗 = 𝑦)
1614, 15eqtr3d 2775 . . . . . . . . . 10 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)) ∧ 𝑗 = 𝑥) → 𝑥 = 𝑦)
17 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 𝑥 = 𝑥
18 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 𝑦 = 𝑦
1917, 18ssref 22997 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑗𝑥𝑦 𝑥 = 𝑦) → 𝑥Ref𝑦)
2011, 6, 16, 19syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)) ∧ 𝑗 = 𝑥) → 𝑥Ref𝑦)
21 breq1 5149 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧Ref𝑦𝑥Ref𝑦))
2221rspcev 3611 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin) ∧ 𝑥Ref𝑦) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)𝑧Ref𝑦)
2313, 20, 22syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)) ∧ 𝑗 = 𝑥) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)𝑧Ref𝑦)
2423r19.29an 3159 . . . . . . 7 ((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin) 𝑗 = 𝑥) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)𝑧Ref𝑦)
25 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) → 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin))
26 vex 3479 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧 ∈ V
27 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧 = 𝑧
2827, 18isref 22994 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ V → (𝑧Ref𝑦 ↔ ( 𝑦 = 𝑧 ∧ ∀𝑢𝑧𝑣𝑦 𝑢𝑣)))
2926, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧Ref𝑦 ↔ ( 𝑦 = 𝑧 ∧ ∀𝑢𝑧𝑣𝑦 𝑢𝑣))
3029simprbi 498 . . . . . . . . . . 11 (𝑧Ref𝑦 → ∀𝑢𝑧𝑣𝑦 𝑢𝑣)
3130adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) → ∀𝑢𝑧𝑣𝑦 𝑢𝑣)
32 sseq2 4006 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = (𝑓𝑢) → (𝑢𝑣𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)))
3332ac6sg 10478 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin) → (∀𝑢𝑧𝑣𝑦 𝑢𝑣 → ∃𝑓(𝑓:𝑧𝑦 ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢))))
3425, 31, 33sylc 65 . . . . . . . . 9 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) → ∃𝑓(𝑓:𝑧𝑦 ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)))
35 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → 𝑓:𝑧𝑦)
3635frnd 6721 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → ran 𝑓𝑦)
37 vex 3479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑓 ∈ V
3837rnex 7897 . . . . . . . . . . . . . . 15 ran 𝑓 ∈ V
3938elpw 4604 . . . . . . . . . . . . . 14 (ran 𝑓 ∈ 𝒫 𝑦 ↔ ran 𝑓𝑦)
4036, 39sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → ran 𝑓 ∈ 𝒫 𝑦)
4135ffnd 6714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → 𝑓 Fn 𝑧)
42 elin 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin) ↔ (𝑧 ∈ 𝒫 𝑗𝑧 ∈ Fin))
4342simprbi 498 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin) → 𝑧 ∈ Fin)
4443ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → 𝑧 ∈ Fin)
45 fnfi 9176 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 Fn 𝑧𝑧 ∈ Fin) → 𝑓 ∈ Fin)
4641, 44, 45syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → 𝑓 ∈ Fin)
47 rnfi 9330 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ Fin → ran 𝑓 ∈ Fin)
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → ran 𝑓 ∈ Fin)
4940, 48elind 4192 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → ran 𝑓 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin))
50 simp-5r 785 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → 𝑗 = 𝑦)
5127, 18refbas 22995 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧Ref𝑦 𝑦 = 𝑧)
5251ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → 𝑦 = 𝑧)
53 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑢(((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦)
54 nfra1 3282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑢𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)
5553, 54nfan 1903 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑢((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢))
56 rspa 3246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢) ∧ 𝑢𝑧) → 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢))
5756adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) ∧ 𝑢𝑧) → 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢))
5857sseld 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) ∧ 𝑢𝑧) → (𝑥𝑢𝑥 ∈ (𝑓𝑢)))
5958ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → (𝑢𝑧 → (𝑥𝑢𝑥 ∈ (𝑓𝑢))))
6055, 59reximdai 3259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → (∃𝑢𝑧 𝑥𝑢 → ∃𝑢𝑧 𝑥 ∈ (𝑓𝑢)))
61 eluni2 4910 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 𝑧 ↔ ∃𝑢𝑧 𝑥𝑢)
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → (𝑥 𝑧 ↔ ∃𝑢𝑧 𝑥𝑢))
63 fnunirn 7247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 Fn 𝑧 → (𝑥 ran 𝑓 ↔ ∃𝑢𝑧 𝑥 ∈ (𝑓𝑢)))
6441, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → (𝑥 ran 𝑓 ↔ ∃𝑢𝑧 𝑥 ∈ (𝑓𝑢)))
6560, 62, 643imtr4d 294 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → (𝑥 𝑧𝑥 ran 𝑓))
6665ssrdv 3986 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → 𝑧 ran 𝑓)
6752, 66eqsstrd 4018 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → 𝑦 ran 𝑓)
6836unissd 4916 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → ran 𝑓 𝑦)
6967, 68eqssd 3997 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → 𝑦 = ran 𝑓)
7050, 69eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → 𝑗 = ran 𝑓)
71 unieq 4917 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ran 𝑓 𝑥 = ran 𝑓)
7271rspceeqv 3631 . . . . . . . . . . . 12 ((ran 𝑓 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin) ∧ 𝑗 = ran 𝑓) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin) 𝑗 = 𝑥)
7349, 70, 72syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin) 𝑗 = 𝑥)
7473expl 459 . . . . . . . . . 10 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) → ((𝑓:𝑧𝑦 ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin) 𝑗 = 𝑥))
7574exlimdv 1937 . . . . . . . . 9 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) → (∃𝑓(𝑓:𝑧𝑦 ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin) 𝑗 = 𝑥))
7634, 75mpd 15 . . . . . . . 8 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin) 𝑗 = 𝑥)
7776r19.29an 3159 . . . . . . 7 ((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)𝑧Ref𝑦) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin) 𝑗 = 𝑥)
7824, 77impbida 800 . . . . . 6 (((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin) 𝑗 = 𝑥 ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)𝑧Ref𝑦))
7978pm5.74da 803 . . . . 5 ((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) → (( 𝑗 = 𝑦 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin) 𝑗 = 𝑥) ↔ ( 𝑗 = 𝑦 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)𝑧Ref𝑦)))
8079ralbidva 3176 . . . 4 (𝑗 ∈ Top → (∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑗( 𝑗 = 𝑦 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin) 𝑗 = 𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑗( 𝑗 = 𝑦 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)𝑧Ref𝑦)))
8180pm5.32i 576 . . 3 ((𝑗 ∈ Top ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑗( 𝑗 = 𝑦 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin) 𝑗 = 𝑥)) ↔ (𝑗 ∈ Top ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑗( 𝑗 = 𝑦 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)𝑧Ref𝑦)))
82 eqid 2733 . . . 4 𝑗 = 𝑗
8382iscmp 22873 . . 3 (𝑗 ∈ Comp ↔ (𝑗 ∈ Top ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑗( 𝑗 = 𝑦 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin) 𝑗 = 𝑥)))
8482iscref 32761 . . 3 (𝑗 ∈ CovHasRefFin ↔ (𝑗 ∈ Top ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑗( 𝑗 = 𝑦 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)𝑧Ref𝑦)))
8581, 83, 843bitr4i 303 . 2 (𝑗 ∈ Comp ↔ 𝑗 ∈ CovHasRefFin)
8685eqriv 2730 1 Comp = CovHasRefFin
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  wral 3062  wrex 3071  Vcvv 3475  cin 3945  wss 3946  𝒫 cpw 4600   cuni 4906   class class class wbr 5146  ran crn 5675   Fn wfn 6534  wf 6535  cfv 6539  Fincfn 8934  Topctop 22376  Compccmp 22871  Refcref 22987  CovHasRefccref 32759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5283  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-reg 9582  ax-inf2 9631  ax-ac2 10453
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-int 4949  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7359  df-ov 7406  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-fin 8938  df-r1 9754  df-rank 9755  df-card 9929  df-ac 10106  df-cmp 22872  df-ref 22990  df-cref 32760
This theorem is referenced by:  cmpfiref  32768  cmppcmp  32775
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