Theorem cyccom 19418

Description: Condition for an operation to be commutative. Lemma for cycsubmcom 19419 and cygabl 20105. Formerly part of proof for cygabl 20105. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) (Revised by AV, 20-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
cyccom.c	⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ 𝐶 ∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑐 = (𝑥 · 𝐴))
cyccom.d	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑚 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑚 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)))
cyccom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐶)
cyccom.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐶)
cyccom.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
cyccom	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑐,𝑚,𝑛,𝑥   𝐶,𝑐   𝑋,𝑐,𝑥   𝑌,𝑐,𝑥   𝑚,𝑍,𝑛,𝑐,𝑥   · ,𝑐,𝑚,𝑛,𝑥   + ,𝑚,𝑛,𝑥   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚, 𝑛, 𝑐)   𝐶(𝑥, 𝑚, 𝑛)   + (𝑐)   𝑋(𝑚, 𝑛)   𝑌(𝑚, 𝑛)

Proof of Theorem cyccom

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cyccom.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐶)
2		cyccom.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐶)
3		cyccom.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ 𝐶 ∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑐 = (𝑥 · 𝐴))
4		eqeq1 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝑌 → (𝑐 = (𝑥 · 𝐴) ↔ 𝑌 = (𝑥 · 𝐴)))
5	4	rexbidv 3187	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑌 → (∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑐 = (𝑥 · 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑌 = (𝑥 · 𝐴)))
6	5	rspccv 3574	. . . 4 ⊢ (∀𝑐 ∈ 𝐶 ∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑐 = (𝑥 · 𝐴) → (𝑌 ∈ 𝐶 → ∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑌 = (𝑥 · 𝐴)))
7	3, 6	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ 𝐶 → ∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑌 = (𝑥 · 𝐴)))
8		eqeq1 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑋 → (𝑐 = (𝑥 · 𝐴) ↔ 𝑋 = (𝑥 · 𝐴)))
9	8	rexbidv 3187	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑋 → (∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑐 = (𝑥 · 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑋 = (𝑥 · 𝐴)))
10	9	rspccv 3574	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑐 ∈ 𝐶 ∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑐 = (𝑥 · 𝐴) → (𝑋 ∈ 𝐶 → ∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑋 = (𝑥 · 𝐴)))
11	3, 10	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐶 → ∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑋 = (𝑥 · 𝐴)))
12		oveq1 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴))
13	12	eqeq2d 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑌 = (𝑥 · 𝐴) ↔ 𝑌 = (𝑦 · 𝐴)))
14	13	cbvrexvw 3242	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑌 = (𝑥 · 𝐴) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑍 𝑌 = (𝑦 · 𝐴))
15		reeanv 3235	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑍 ∃𝑦 ∈ 𝑍 (𝑋 = (𝑥 · 𝐴) ∧ 𝑌 = (𝑦 · 𝐴)) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑋 = (𝑥 · 𝐴) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑍 𝑌 = (𝑦 · 𝐴)))
16		cyccom.z	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℂ)
17	16	sseld 3930	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑍 → 𝑥 ∈ ℂ))
18	17	com12 33	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑍 → (𝜑 → 𝑥 ∈ ℂ))
19	18	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍) → (𝜑 → 𝑥 ∈ ℂ))
20	19	impcom 413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍)) → 𝑥 ∈ ℂ)
21	16	sseld 3930	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑍 → 𝑦 ∈ ℂ))
22	21	a1d 26	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑍 → (𝑦 ∈ 𝑍 → 𝑦 ∈ ℂ)))
23	22	imp32 424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍)) → 𝑦 ∈ ℂ)
24	20, 23	addcomd 11512	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
25	24	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝐴) = ((𝑦 + 𝑥) · 𝐴))
26		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍)) → (𝑥 ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍))
27		cyccom.d	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑚 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑚 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)))
28	27	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍)) → ∀𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑚 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑚 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)))
29		oveq1 7427	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (𝑚 + 𝑛) = (𝑥 + 𝑛))
30	29	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → ((𝑚 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑥 + 𝑛) · 𝐴))
31		oveq1 7427	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (𝑚 · 𝐴) = (𝑥 · 𝐴))
32	31	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → ((𝑚 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)) = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)))
33	30, 32	eqeq12d 2777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (((𝑚 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑚 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)) ↔ ((𝑥 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴))))
34		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → (𝑥 + 𝑛) = (𝑥 + 𝑦))
35	34	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → ((𝑥 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑥 + 𝑦) · 𝐴))
36		oveq1 7427	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → (𝑛 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴))
37	36	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → ((𝑥 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)) = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑦 · 𝐴)))
38	35, 37	eqeq12d 2777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → (((𝑥 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)) ↔ ((𝑥 + 𝑦) · 𝐴) = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑦 · 𝐴))))
39	33, 38	rspc2va 3588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑚 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑚 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴))) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝐴) = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑦 · 𝐴)))
40	26, 28, 39	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝐴) = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑦 · 𝐴)))
41	26	ancomd 467	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍)) → (𝑦 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍))
42		oveq1 7427	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (𝑚 + 𝑛) = (𝑦 + 𝑛))
43	42	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → ((𝑚 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑦 + 𝑛) · 𝐴))
44		oveq1 7427	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (𝑚 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴))
45	44	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → ((𝑚 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)) = ((𝑦 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)))
46	43, 45	eqeq12d 2777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (((𝑚 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑚 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)) ↔ ((𝑦 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑦 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴))))
47		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (𝑦 + 𝑛) = (𝑦 + 𝑥))
48	47	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → ((𝑦 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑦 + 𝑥) · 𝐴))
49		oveq1 7427	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (𝑛 · 𝐴) = (𝑥 · 𝐴))
50	49	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → ((𝑦 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)) = ((𝑦 · 𝐴) + (𝑥 · 𝐴)))
51	48, 50	eqeq12d 2777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (((𝑦 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑦 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)) ↔ ((𝑦 + 𝑥) · 𝐴) = ((𝑦 · 𝐴) + (𝑥 · 𝐴))))
52	46, 51	rspc2va 3588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑚 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑚 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴))) → ((𝑦 + 𝑥) · 𝐴) = ((𝑦 · 𝐴) + (𝑥 · 𝐴)))
53	41, 28, 52	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍)) → ((𝑦 + 𝑥) · 𝐴) = ((𝑦 · 𝐴) + (𝑥 · 𝐴)))
54	25, 40, 53	3eqtr3d 2804	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍)) → ((𝑥 · 𝐴) + (𝑦 · 𝐴)) = ((𝑦 · 𝐴) + (𝑥 · 𝐴)))
55		oveq12 7429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 = (𝑥 · 𝐴) ∧ 𝑌 = (𝑦 · 𝐴)) → (𝑋 + 𝑌) = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑦 · 𝐴)))
56		oveq12 7429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑌 = (𝑦 · 𝐴) ∧ 𝑋 = (𝑥 · 𝐴)) → (𝑌 + 𝑋) = ((𝑦 · 𝐴) + (𝑥 · 𝐴)))
57	56	ancoms 464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 = (𝑥 · 𝐴) ∧ 𝑌 = (𝑦 · 𝐴)) → (𝑌 + 𝑋) = ((𝑦 · 𝐴) + (𝑥 · 𝐴)))
58	55, 57	eqeq12d 2777	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 = (𝑥 · 𝐴) ∧ 𝑌 = (𝑦 · 𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋) ↔ ((𝑥 · 𝐴) + (𝑦 · 𝐴)) = ((𝑦 · 𝐴) + (𝑥 · 𝐴))))
59	54, 58	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍)) → ((𝑋 = (𝑥 · 𝐴) ∧ 𝑌 = (𝑦 · 𝐴)) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)))
60	59	rexlimdvva 3220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝑍 ∃𝑦 ∈ 𝑍 (𝑋 = (𝑥 · 𝐴) ∧ 𝑌 = (𝑦 · 𝐴)) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)))
61	15, 60	biimtrrid 246	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑋 = (𝑥 · 𝐴) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑍 𝑌 = (𝑦 · 𝐴)) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)))
62	61	expd 421	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑋 = (𝑥 · 𝐴) → (∃𝑦 ∈ 𝑍 𝑌 = (𝑦 · 𝐴) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))))
63	14, 62	syl7bi 258	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑋 = (𝑥 · 𝐴) → (∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑌 = (𝑥 · 𝐴) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))))
64	11, 63	syld 48	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐶 → (∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑌 = (𝑥 · 𝐴) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))))
65	64	com23 87	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑌 = (𝑥 · 𝐴) → (𝑋 ∈ 𝐶 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))))
66	7, 65	syld 48	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ 𝐶 → (𝑋 ∈ 𝐶 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))))
67	1, 2, 66	mp2d 50	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   ⊆ wss 3899  (class class class)co 7420  ℂcc 11198   + caddc 11203

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-ltxr 11348

This theorem is used by:  cycsubmcom  19419  cygabl  20105