Theorem cyccom 19080

Description: Condition for an operation to be commutative. Lemma for cycsubmcom 19081 and cygabl 19759. Formerly part of proof for cygabl 19759. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) (Revised by AV, 20-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
cyccom.c	⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ 𝐶 ∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑐 = (𝑥 · 𝐴))
cyccom.d	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑚 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑚 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)))
cyccom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐶)
cyccom.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐶)
cyccom.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
cyccom	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑐,𝑚,𝑛,𝑥   𝐶,𝑐   𝑋,𝑐,𝑥   𝑌,𝑐,𝑥   𝑚,𝑍,𝑛,𝑐,𝑥   · ,𝑐,𝑚,𝑛,𝑥   + ,𝑚,𝑛,𝑥   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐶(𝑥,𝑚,𝑛)   + (𝑐)   𝑋(𝑚,𝑛)   𝑌(𝑚,𝑛)

Proof of Theorem cyccom

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cyccom.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐶)
2		cyccom.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐶)
3		cyccom.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ 𝐶 ∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑐 = (𝑥 · 𝐴))
4		eqeq1 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝑌 → (𝑐 = (𝑥 · 𝐴) ↔ 𝑌 = (𝑥 · 𝐴)))
5	4	rexbidv 3179	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑌 → (∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑐 = (𝑥 · 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑌 = (𝑥 · 𝐴)))
6	5	rspccv 3610	. . . 4 ⊢ (∀𝑐 ∈ 𝐶 ∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑐 = (𝑥 · 𝐴) → (𝑌 ∈ 𝐶 → ∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑌 = (𝑥 · 𝐴)))
7	3, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ 𝐶 → ∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑌 = (𝑥 · 𝐴)))
8		eqeq1 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑋 → (𝑐 = (𝑥 · 𝐴) ↔ 𝑋 = (𝑥 · 𝐴)))
9	8	rexbidv 3179	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑋 → (∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑐 = (𝑥 · 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑋 = (𝑥 · 𝐴)))
10	9	rspccv 3610	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑐 ∈ 𝐶 ∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑐 = (𝑥 · 𝐴) → (𝑋 ∈ 𝐶 → ∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑋 = (𝑥 · 𝐴)))
11	3, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐶 → ∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑋 = (𝑥 · 𝐴)))
12		oveq1 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴))
13	12	eqeq2d 2744	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑌 = (𝑥 · 𝐴) ↔ 𝑌 = (𝑦 · 𝐴)))
14	13	cbvrexvw 3236	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑌 = (𝑥 · 𝐴) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑍 𝑌 = (𝑦 · 𝐴))
15		reeanv 3227	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑍 ∃𝑦 ∈ 𝑍 (𝑋 = (𝑥 · 𝐴) ∧ 𝑌 = (𝑦 · 𝐴)) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑋 = (𝑥 · 𝐴) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑍 𝑌 = (𝑦 · 𝐴)))
16		cyccom.z	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℂ)
17	16	sseld 3982	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑍 → 𝑥 ∈ ℂ))
18	17	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑍 → (𝜑 → 𝑥 ∈ ℂ))
19	18	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍) → (𝜑 → 𝑥 ∈ ℂ))
20	19	impcom 409	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍)) → 𝑥 ∈ ℂ)
21	16	sseld 3982	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑍 → 𝑦 ∈ ℂ))
22	21	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑍 → (𝑦 ∈ 𝑍 → 𝑦 ∈ ℂ)))
23	22	imp32 420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍)) → 𝑦 ∈ ℂ)
24	20, 23	addcomd 11416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
25	24	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝐴) = ((𝑦 + 𝑥) · 𝐴))
26		simpr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍)) → (𝑥 ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍))
27		cyccom.d	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑚 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑚 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)))
28	27	adantr 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍)) → ∀𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑚 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑚 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)))
29		oveq1 7416	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (𝑚 + 𝑛) = (𝑥 + 𝑛))
30	29	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → ((𝑚 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑥 + 𝑛) · 𝐴))
31		oveq1 7416	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (𝑚 · 𝐴) = (𝑥 · 𝐴))
32	31	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → ((𝑚 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)) = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)))
33	30, 32	eqeq12d 2749	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (((𝑚 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑚 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)) ↔ ((𝑥 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴))))
34		oveq2 7417	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → (𝑥 + 𝑛) = (𝑥 + 𝑦))
35	34	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → ((𝑥 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑥 + 𝑦) · 𝐴))
36		oveq1 7416	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → (𝑛 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴))
37	36	oveq2d 7425	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → ((𝑥 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)) = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑦 · 𝐴)))
38	35, 37	eqeq12d 2749	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → (((𝑥 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)) ↔ ((𝑥 + 𝑦) · 𝐴) = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑦 · 𝐴))))
39	33, 38	rspc2va 3624	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑚 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑚 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴))) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝐴) = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑦 · 𝐴)))
40	26, 28, 39	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝐴) = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑦 · 𝐴)))
41	26	ancomd 463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍)) → (𝑦 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍))
42		oveq1 7416	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (𝑚 + 𝑛) = (𝑦 + 𝑛))
43	42	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → ((𝑚 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑦 + 𝑛) · 𝐴))
44		oveq1 7416	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (𝑚 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴))
45	44	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → ((𝑚 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)) = ((𝑦 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)))
46	43, 45	eqeq12d 2749	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (((𝑚 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑚 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)) ↔ ((𝑦 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑦 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴))))
47		oveq2 7417	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (𝑦 + 𝑛) = (𝑦 + 𝑥))
48	47	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → ((𝑦 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑦 + 𝑥) · 𝐴))
49		oveq1 7416	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (𝑛 · 𝐴) = (𝑥 · 𝐴))
50	49	oveq2d 7425	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → ((𝑦 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)) = ((𝑦 · 𝐴) + (𝑥 · 𝐴)))
51	48, 50	eqeq12d 2749	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (((𝑦 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑦 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)) ↔ ((𝑦 + 𝑥) · 𝐴) = ((𝑦 · 𝐴) + (𝑥 · 𝐴))))
52	46, 51	rspc2va 3624	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑚 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑚 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴))) → ((𝑦 + 𝑥) · 𝐴) = ((𝑦 · 𝐴) + (𝑥 · 𝐴)))
53	41, 28, 52	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍)) → ((𝑦 + 𝑥) · 𝐴) = ((𝑦 · 𝐴) + (𝑥 · 𝐴)))
54	25, 40, 53	3eqtr3d 2781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍)) → ((𝑥 · 𝐴) + (𝑦 · 𝐴)) = ((𝑦 · 𝐴) + (𝑥 · 𝐴)))
55		oveq12 7418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 = (𝑥 · 𝐴) ∧ 𝑌 = (𝑦 · 𝐴)) → (𝑋 + 𝑌) = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑦 · 𝐴)))
56		oveq12 7418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑌 = (𝑦 · 𝐴) ∧ 𝑋 = (𝑥 · 𝐴)) → (𝑌 + 𝑋) = ((𝑦 · 𝐴) + (𝑥 · 𝐴)))
57	56	ancoms 460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 = (𝑥 · 𝐴) ∧ 𝑌 = (𝑦 · 𝐴)) → (𝑌 + 𝑋) = ((𝑦 · 𝐴) + (𝑥 · 𝐴)))
58	55, 57	eqeq12d 2749	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 = (𝑥 · 𝐴) ∧ 𝑌 = (𝑦 · 𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋) ↔ ((𝑥 · 𝐴) + (𝑦 · 𝐴)) = ((𝑦 · 𝐴) + (𝑥 · 𝐴))))
59	54, 58	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍)) → ((𝑋 = (𝑥 · 𝐴) ∧ 𝑌 = (𝑦 · 𝐴)) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)))
60	59	rexlimdvva 3212	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝑍 ∃𝑦 ∈ 𝑍 (𝑋 = (𝑥 · 𝐴) ∧ 𝑌 = (𝑦 · 𝐴)) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)))
61	15, 60	biimtrrid 242	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑋 = (𝑥 · 𝐴) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑍 𝑌 = (𝑦 · 𝐴)) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)))
62	61	expd 417	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑋 = (𝑥 · 𝐴) → (∃𝑦 ∈ 𝑍 𝑌 = (𝑦 · 𝐴) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))))
63	14, 62	syl7bi 255	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑋 = (𝑥 · 𝐴) → (∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑌 = (𝑥 · 𝐴) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))))
64	11, 63	syld 47	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐶 → (∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑌 = (𝑥 · 𝐴) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))))
65	64	com23 86	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑌 = (𝑥 · 𝐴) → (𝑋 ∈ 𝐶 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))))
66	7, 65	syld 47	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ 𝐶 → (𝑋 ∈ 𝐶 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))))
67	1, 2, 66	mp2d 49	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  ∃wrex 3071   ⊆ wss 3949  (class class class)co 7409  ℂcc 11108   + caddc 11113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253

This theorem is referenced by:  cycsubmcom  19081  cygabl  19759