Theorem cyccom 18996

Description: Condition for an operation to be commutative. Lemma for cycsubmcom 18997 and cygabl 19668. Formerly part of proof for cygabl 19668. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) (Revised by AV, 20-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
cyccom.c	⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ 𝐶 ∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑐 = (𝑥 · 𝐴))
cyccom.d	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑚 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑚 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)))
cyccom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐶)
cyccom.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐶)
cyccom.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
cyccom	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑐,𝑚,𝑛,𝑥   𝐶,𝑐   𝑋,𝑐,𝑥   𝑌,𝑐,𝑥   𝑚,𝑍,𝑛,𝑐,𝑥   · ,𝑐,𝑚,𝑛,𝑥   + ,𝑚,𝑛,𝑥   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐶(𝑥,𝑚,𝑛)   + (𝑐)   𝑋(𝑚,𝑛)   𝑌(𝑚,𝑛)

Proof of Theorem cyccom

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cyccom.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐶)
2		cyccom.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐶)
3		cyccom.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ 𝐶 ∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑐 = (𝑥 · 𝐴))
4		eqeq1 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝑌 → (𝑐 = (𝑥 · 𝐴) ↔ 𝑌 = (𝑥 · 𝐴)))
5	4	rexbidv 3175	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑌 → (∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑐 = (𝑥 · 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑌 = (𝑥 · 𝐴)))
6	5	rspccv 3578	. . . 4 ⊢ (∀𝑐 ∈ 𝐶 ∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑐 = (𝑥 · 𝐴) → (𝑌 ∈ 𝐶 → ∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑌 = (𝑥 · 𝐴)))
7	3, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ 𝐶 → ∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑌 = (𝑥 · 𝐴)))
8		eqeq1 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑋 → (𝑐 = (𝑥 · 𝐴) ↔ 𝑋 = (𝑥 · 𝐴)))
9	8	rexbidv 3175	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑋 → (∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑐 = (𝑥 · 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑋 = (𝑥 · 𝐴)))
10	9	rspccv 3578	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑐 ∈ 𝐶 ∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑐 = (𝑥 · 𝐴) → (𝑋 ∈ 𝐶 → ∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑋 = (𝑥 · 𝐴)))
11	3, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐶 → ∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑋 = (𝑥 · 𝐴)))
12		oveq1 7364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴))
13	12	eqeq2d 2747	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑌 = (𝑥 · 𝐴) ↔ 𝑌 = (𝑦 · 𝐴)))
14	13	cbvrexvw 3226	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑌 = (𝑥 · 𝐴) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑍 𝑌 = (𝑦 · 𝐴))
15		reeanv 3217	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑍 ∃𝑦 ∈ 𝑍 (𝑋 = (𝑥 · 𝐴) ∧ 𝑌 = (𝑦 · 𝐴)) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑋 = (𝑥 · 𝐴) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑍 𝑌 = (𝑦 · 𝐴)))
16		cyccom.z	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℂ)
17	16	sseld 3943	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑍 → 𝑥 ∈ ℂ))
18	17	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑍 → (𝜑 → 𝑥 ∈ ℂ))
19	18	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍) → (𝜑 → 𝑥 ∈ ℂ))
20	19	impcom 408	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍)) → 𝑥 ∈ ℂ)
21	16	sseld 3943	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑍 → 𝑦 ∈ ℂ))
22	21	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑍 → (𝑦 ∈ 𝑍 → 𝑦 ∈ ℂ)))
23	22	imp32 419	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍)) → 𝑦 ∈ ℂ)
24	20, 23	addcomd 11357	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
25	24	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝐴) = ((𝑦 + 𝑥) · 𝐴))
26		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍)) → (𝑥 ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍))
27		cyccom.d	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑚 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑚 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)))
28	27	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍)) → ∀𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑚 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑚 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)))
29		oveq1 7364	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (𝑚 + 𝑛) = (𝑥 + 𝑛))
30	29	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → ((𝑚 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑥 + 𝑛) · 𝐴))
31		oveq1 7364	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (𝑚 · 𝐴) = (𝑥 · 𝐴))
32	31	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → ((𝑚 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)) = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)))
33	30, 32	eqeq12d 2752	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (((𝑚 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑚 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)) ↔ ((𝑥 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴))))
34		oveq2 7365	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → (𝑥 + 𝑛) = (𝑥 + 𝑦))
35	34	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → ((𝑥 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑥 + 𝑦) · 𝐴))
36		oveq1 7364	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → (𝑛 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴))
37	36	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → ((𝑥 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)) = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑦 · 𝐴)))
38	35, 37	eqeq12d 2752	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → (((𝑥 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)) ↔ ((𝑥 + 𝑦) · 𝐴) = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑦 · 𝐴))))
39	33, 38	rspc2va 3591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑚 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑚 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴))) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝐴) = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑦 · 𝐴)))
40	26, 28, 39	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝐴) = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑦 · 𝐴)))
41	26	ancomd 462	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍)) → (𝑦 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍))
42		oveq1 7364	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (𝑚 + 𝑛) = (𝑦 + 𝑛))
43	42	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → ((𝑚 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑦 + 𝑛) · 𝐴))
44		oveq1 7364	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (𝑚 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴))
45	44	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → ((𝑚 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)) = ((𝑦 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)))
46	43, 45	eqeq12d 2752	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (((𝑚 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑚 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)) ↔ ((𝑦 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑦 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴))))
47		oveq2 7365	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (𝑦 + 𝑛) = (𝑦 + 𝑥))
48	47	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → ((𝑦 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑦 + 𝑥) · 𝐴))
49		oveq1 7364	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (𝑛 · 𝐴) = (𝑥 · 𝐴))
50	49	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → ((𝑦 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)) = ((𝑦 · 𝐴) + (𝑥 · 𝐴)))
51	48, 50	eqeq12d 2752	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (((𝑦 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑦 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)) ↔ ((𝑦 + 𝑥) · 𝐴) = ((𝑦 · 𝐴) + (𝑥 · 𝐴))))
52	46, 51	rspc2va 3591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑚 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑚 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴))) → ((𝑦 + 𝑥) · 𝐴) = ((𝑦 · 𝐴) + (𝑥 · 𝐴)))
53	41, 28, 52	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍)) → ((𝑦 + 𝑥) · 𝐴) = ((𝑦 · 𝐴) + (𝑥 · 𝐴)))
54	25, 40, 53	3eqtr3d 2784	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍)) → ((𝑥 · 𝐴) + (𝑦 · 𝐴)) = ((𝑦 · 𝐴) + (𝑥 · 𝐴)))
55		oveq12 7366	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 = (𝑥 · 𝐴) ∧ 𝑌 = (𝑦 · 𝐴)) → (𝑋 + 𝑌) = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑦 · 𝐴)))
56		oveq12 7366	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑌 = (𝑦 · 𝐴) ∧ 𝑋 = (𝑥 · 𝐴)) → (𝑌 + 𝑋) = ((𝑦 · 𝐴) + (𝑥 · 𝐴)))
57	56	ancoms 459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 = (𝑥 · 𝐴) ∧ 𝑌 = (𝑦 · 𝐴)) → (𝑌 + 𝑋) = ((𝑦 · 𝐴) + (𝑥 · 𝐴)))
58	55, 57	eqeq12d 2752	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 = (𝑥 · 𝐴) ∧ 𝑌 = (𝑦 · 𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋) ↔ ((𝑥 · 𝐴) + (𝑦 · 𝐴)) = ((𝑦 · 𝐴) + (𝑥 · 𝐴))))
59	54, 58	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍)) → ((𝑋 = (𝑥 · 𝐴) ∧ 𝑌 = (𝑦 · 𝐴)) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)))
60	59	rexlimdvva 3205	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝑍 ∃𝑦 ∈ 𝑍 (𝑋 = (𝑥 · 𝐴) ∧ 𝑌 = (𝑦 · 𝐴)) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)))
61	15, 60	biimtrrid 242	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑋 = (𝑥 · 𝐴) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑍 𝑌 = (𝑦 · 𝐴)) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)))
62	61	expd 416	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑋 = (𝑥 · 𝐴) → (∃𝑦 ∈ 𝑍 𝑌 = (𝑦 · 𝐴) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))))
63	14, 62	syl7bi 254	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑋 = (𝑥 · 𝐴) → (∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑌 = (𝑥 · 𝐴) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))))
64	11, 63	syld 47	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐶 → (∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑌 = (𝑥 · 𝐴) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))))
65	64	com23 86	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑌 = (𝑥 · 𝐴) → (𝑋 ∈ 𝐶 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))))
66	7, 65	syld 47	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ 𝐶 → (𝑋 ∈ 𝐶 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))))
67	1, 2, 66	mp2d 49	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3073   ⊆ wss 3910  (class class class)co 7357  ℂcc 11049   + caddc 11054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-ltxr 11194

This theorem is referenced by:  cycsubmcom  18997  cygabl  19668