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Theorem cyccom 18342
 Description: Condition for an operation to be commutative. Lemma for cycsubmcom 18343 and cygabl 19007. Formerly part of proof for cygabl 19007. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) (Revised by AV, 20-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
cyccom.c (𝜑 → ∀𝑐𝐶𝑥𝑍 𝑐 = (𝑥 · 𝐴))
cyccom.d (𝜑 → ∀𝑚𝑍𝑛𝑍 ((𝑚 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑚 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)))
cyccom.x (𝜑𝑋𝐶)
cyccom.y (𝜑𝑌𝐶)
cyccom.z (𝜑𝑍 ⊆ ℂ)
Assertion
Ref Expression
cyccom (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑐,𝑚,𝑛,𝑥   𝐶,𝑐   𝑋,𝑐,𝑥   𝑌,𝑐,𝑥   𝑚,𝑍,𝑛,𝑐,𝑥   · ,𝑐,𝑚,𝑛,𝑥   + ,𝑚,𝑛,𝑥   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐶(𝑥,𝑚,𝑛)   + (𝑐)   𝑋(𝑚,𝑛)   𝑌(𝑚,𝑛)

Proof of Theorem cyccom
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cyccom.y . 2 (𝜑𝑌𝐶)
2 cyccom.x . 2 (𝜑𝑋𝐶)
3 cyccom.c . . . 4 (𝜑 → ∀𝑐𝐶𝑥𝑍 𝑐 = (𝑥 · 𝐴))
4 eqeq1 2802 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑌 → (𝑐 = (𝑥 · 𝐴) ↔ 𝑌 = (𝑥 · 𝐴)))
54rexbidv 3256 . . . . 5 (𝑐 = 𝑌 → (∃𝑥𝑍 𝑐 = (𝑥 · 𝐴) ↔ ∃𝑥𝑍 𝑌 = (𝑥 · 𝐴)))
65rspccv 3568 . . . 4 (∀𝑐𝐶𝑥𝑍 𝑐 = (𝑥 · 𝐴) → (𝑌𝐶 → ∃𝑥𝑍 𝑌 = (𝑥 · 𝐴)))
73, 6syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑌𝐶 → ∃𝑥𝑍 𝑌 = (𝑥 · 𝐴)))
8 eqeq1 2802 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑋 → (𝑐 = (𝑥 · 𝐴) ↔ 𝑋 = (𝑥 · 𝐴)))
98rexbidv 3256 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑋 → (∃𝑥𝑍 𝑐 = (𝑥 · 𝐴) ↔ ∃𝑥𝑍 𝑋 = (𝑥 · 𝐴)))
109rspccv 3568 . . . . . 6 (∀𝑐𝐶𝑥𝑍 𝑐 = (𝑥 · 𝐴) → (𝑋𝐶 → ∃𝑥𝑍 𝑋 = (𝑥 · 𝐴)))
113, 10syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝐶 → ∃𝑥𝑍 𝑋 = (𝑥 · 𝐴)))
12 oveq1 7143 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴))
1312eqeq2d 2809 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑌 = (𝑥 · 𝐴) ↔ 𝑌 = (𝑦 · 𝐴)))
1413cbvrexvw 3397 . . . . . 6 (∃𝑥𝑍 𝑌 = (𝑥 · 𝐴) ↔ ∃𝑦𝑍 𝑌 = (𝑦 · 𝐴))
15 reeanv 3320 . . . . . . . 8 (∃𝑥𝑍𝑦𝑍 (𝑋 = (𝑥 · 𝐴) ∧ 𝑌 = (𝑦 · 𝐴)) ↔ (∃𝑥𝑍 𝑋 = (𝑥 · 𝐴) ∧ ∃𝑦𝑍 𝑌 = (𝑦 · 𝐴)))
16 cyccom.z . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑍 ⊆ ℂ)
1716sseld 3914 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑥𝑍𝑥 ∈ ℂ))
1817com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝑍 → (𝜑𝑥 ∈ ℂ))
1918adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝑍𝑦𝑍) → (𝜑𝑥 ∈ ℂ))
2019impcom 411 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑍𝑦𝑍)) → 𝑥 ∈ ℂ)
2116sseld 3914 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑦𝑍𝑦 ∈ ℂ))
2221a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑥𝑍 → (𝑦𝑍𝑦 ∈ ℂ)))
2322imp32 422 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑍𝑦𝑍)) → 𝑦 ∈ ℂ)
2420, 23addcomd 10834 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑍𝑦𝑍)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
2524oveq1d 7151 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑍𝑦𝑍)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝐴) = ((𝑦 + 𝑥) · 𝐴))
26 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑍𝑦𝑍)) → (𝑥𝑍𝑦𝑍))
27 cyccom.d . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑚𝑍𝑛𝑍 ((𝑚 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑚 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)))
2827adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑍𝑦𝑍)) → ∀𝑚𝑍𝑛𝑍 ((𝑚 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑚 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)))
29 oveq1 7143 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = 𝑥 → (𝑚 + 𝑛) = (𝑥 + 𝑛))
3029oveq1d 7151 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑥 → ((𝑚 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑥 + 𝑛) · 𝐴))
31 oveq1 7143 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = 𝑥 → (𝑚 · 𝐴) = (𝑥 · 𝐴))
3231oveq1d 7151 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑥 → ((𝑚 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)) = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)))
3330, 32eqeq12d 2814 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑥 → (((𝑚 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑚 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)) ↔ ((𝑥 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴))))
34 oveq2 7144 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑦 → (𝑥 + 𝑛) = (𝑥 + 𝑦))
3534oveq1d 7151 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑦 → ((𝑥 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑥 + 𝑦) · 𝐴))
36 oveq1 7143 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑦 → (𝑛 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴))
3736oveq2d 7152 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑦 → ((𝑥 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)) = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑦 · 𝐴)))
3835, 37eqeq12d 2814 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑦 → (((𝑥 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)) ↔ ((𝑥 + 𝑦) · 𝐴) = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑦 · 𝐴))))
3933, 38rspc2va 3582 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥𝑍𝑦𝑍) ∧ ∀𝑚𝑍𝑛𝑍 ((𝑚 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑚 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴))) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝐴) = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑦 · 𝐴)))
4026, 28, 39syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑍𝑦𝑍)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝐴) = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑦 · 𝐴)))
4126ancomd 465 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑍𝑦𝑍)) → (𝑦𝑍𝑥𝑍))
42 oveq1 7143 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = 𝑦 → (𝑚 + 𝑛) = (𝑦 + 𝑛))
4342oveq1d 7151 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑦 → ((𝑚 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑦 + 𝑛) · 𝐴))
44 oveq1 7143 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = 𝑦 → (𝑚 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴))
4544oveq1d 7151 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑦 → ((𝑚 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)) = ((𝑦 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)))
4643, 45eqeq12d 2814 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑦 → (((𝑚 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑚 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)) ↔ ((𝑦 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑦 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴))))
47 oveq2 7144 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑥 → (𝑦 + 𝑛) = (𝑦 + 𝑥))
4847oveq1d 7151 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑥 → ((𝑦 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑦 + 𝑥) · 𝐴))
49 oveq1 7143 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑥 → (𝑛 · 𝐴) = (𝑥 · 𝐴))
5049oveq2d 7152 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑥 → ((𝑦 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)) = ((𝑦 · 𝐴) + (𝑥 · 𝐴)))
5148, 50eqeq12d 2814 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑥 → (((𝑦 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑦 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)) ↔ ((𝑦 + 𝑥) · 𝐴) = ((𝑦 · 𝐴) + (𝑥 · 𝐴))))
5246, 51rspc2va 3582 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦𝑍𝑥𝑍) ∧ ∀𝑚𝑍𝑛𝑍 ((𝑚 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑚 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴))) → ((𝑦 + 𝑥) · 𝐴) = ((𝑦 · 𝐴) + (𝑥 · 𝐴)))
5341, 28, 52syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑍𝑦𝑍)) → ((𝑦 + 𝑥) · 𝐴) = ((𝑦 · 𝐴) + (𝑥 · 𝐴)))
5425, 40, 533eqtr3d 2841 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑍𝑦𝑍)) → ((𝑥 · 𝐴) + (𝑦 · 𝐴)) = ((𝑦 · 𝐴) + (𝑥 · 𝐴)))
55 oveq12 7145 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 = (𝑥 · 𝐴) ∧ 𝑌 = (𝑦 · 𝐴)) → (𝑋 + 𝑌) = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑦 · 𝐴)))
56 oveq12 7145 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑌 = (𝑦 · 𝐴) ∧ 𝑋 = (𝑥 · 𝐴)) → (𝑌 + 𝑋) = ((𝑦 · 𝐴) + (𝑥 · 𝐴)))
5756ancoms 462 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 = (𝑥 · 𝐴) ∧ 𝑌 = (𝑦 · 𝐴)) → (𝑌 + 𝑋) = ((𝑦 · 𝐴) + (𝑥 · 𝐴)))
5855, 57eqeq12d 2814 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 = (𝑥 · 𝐴) ∧ 𝑌 = (𝑦 · 𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋) ↔ ((𝑥 · 𝐴) + (𝑦 · 𝐴)) = ((𝑦 · 𝐴) + (𝑥 · 𝐴))))
5954, 58syl5ibrcom 250 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑍𝑦𝑍)) → ((𝑋 = (𝑥 · 𝐴) ∧ 𝑌 = (𝑦 · 𝐴)) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)))
6059rexlimdvva 3253 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑥𝑍𝑦𝑍 (𝑋 = (𝑥 · 𝐴) ∧ 𝑌 = (𝑦 · 𝐴)) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)))
6115, 60syl5bir 246 . . . . . . 7 (𝜑 → ((∃𝑥𝑍 𝑋 = (𝑥 · 𝐴) ∧ ∃𝑦𝑍 𝑌 = (𝑦 · 𝐴)) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)))
6261expd 419 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑥𝑍 𝑋 = (𝑥 · 𝐴) → (∃𝑦𝑍 𝑌 = (𝑦 · 𝐴) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))))
6314, 62syl7bi 258 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑥𝑍 𝑋 = (𝑥 · 𝐴) → (∃𝑥𝑍 𝑌 = (𝑥 · 𝐴) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))))
6411, 63syld 47 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝐶 → (∃𝑥𝑍 𝑌 = (𝑥 · 𝐴) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))))
6564com23 86 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥𝑍 𝑌 = (𝑥 · 𝐴) → (𝑋𝐶 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))))
667, 65syld 47 . 2 (𝜑 → (𝑌𝐶 → (𝑋𝐶 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))))
671, 2, 66mp2d 49 1 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107   ⊆ wss 3881  (class class class)co 7136  ℂcc 10527   + caddc 10532 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-id 5426  df-po 5439  df-so 5440  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-ov 7139  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-ltxr 10672 This theorem is referenced by:  cycsubmcom  18343  cygabl  19007
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