| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | cyccom.y |
. 2
⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐶) |
| 2 | | cyccom.x |
. 2
⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐶) |
| 3 | | cyccom.c |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ 𝐶 ∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑐 = (𝑥 · 𝐴)) |
| 4 | | eqeq1 2741 |
. . . . . 6
⊢ (𝑐 = 𝑌 → (𝑐 = (𝑥 · 𝐴) ↔ 𝑌 = (𝑥 · 𝐴))) |
| 5 | 4 | rexbidv 3179 |
. . . . 5
⊢ (𝑐 = 𝑌 → (∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑐 = (𝑥 · 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑌 = (𝑥 · 𝐴))) |
| 6 | 5 | rspccv 3619 |
. . . 4
⊢
(∀𝑐 ∈
𝐶 ∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑐 = (𝑥 · 𝐴) → (𝑌 ∈ 𝐶 → ∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑌 = (𝑥 · 𝐴))) |
| 7 | 3, 6 | syl 17 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ 𝐶 → ∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑌 = (𝑥 · 𝐴))) |
| 8 | | eqeq1 2741 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑐 = 𝑋 → (𝑐 = (𝑥 · 𝐴) ↔ 𝑋 = (𝑥 · 𝐴))) |
| 9 | 8 | rexbidv 3179 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑐 = 𝑋 → (∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑐 = (𝑥 · 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑋 = (𝑥 · 𝐴))) |
| 10 | 9 | rspccv 3619 |
. . . . . 6
⊢
(∀𝑐 ∈
𝐶 ∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑐 = (𝑥 · 𝐴) → (𝑋 ∈ 𝐶 → ∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑋 = (𝑥 · 𝐴))) |
| 11 | 3, 10 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐶 → ∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑋 = (𝑥 · 𝐴))) |
| 12 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴)) |
| 13 | 12 | eqeq2d 2748 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑌 = (𝑥 · 𝐴) ↔ 𝑌 = (𝑦 · 𝐴))) |
| 14 | 13 | cbvrexvw 3238 |
. . . . . 6
⊢
(∃𝑥 ∈
𝑍 𝑌 = (𝑥 · 𝐴) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑍 𝑌 = (𝑦 · 𝐴)) |
| 15 | | reeanv 3229 |
. . . . . . . 8
⊢
(∃𝑥 ∈
𝑍 ∃𝑦 ∈ 𝑍 (𝑋 = (𝑥 · 𝐴) ∧ 𝑌 = (𝑦 · 𝐴)) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑋 = (𝑥 · 𝐴) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑍 𝑌 = (𝑦 · 𝐴))) |
| 16 | | cyccom.z |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℂ) |
| 17 | 16 | sseld 3982 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑍 → 𝑥 ∈ ℂ)) |
| 18 | 17 | com12 32 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 ∈ 𝑍 → (𝜑 → 𝑥 ∈ ℂ)) |
| 19 | 18 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑥 ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍) → (𝜑 → 𝑥 ∈ ℂ)) |
| 20 | 19 | impcom 407 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍)) → 𝑥 ∈ ℂ) |
| 21 | 16 | sseld 3982 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑍 → 𝑦 ∈ ℂ)) |
| 22 | 21 | a1d 25 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑍 → (𝑦 ∈ 𝑍 → 𝑦 ∈ ℂ))) |
| 23 | 22 | imp32 418 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍)) → 𝑦 ∈ ℂ) |
| 24 | 20, 23 | addcomd 11463 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥)) |
| 25 | 24 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝐴) = ((𝑦 + 𝑥) · 𝐴)) |
| 26 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍)) → (𝑥 ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍)) |
| 27 | | cyccom.d |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑚 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑚 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴))) |
| 28 | 27 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍)) → ∀𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑚 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑚 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴))) |
| 29 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑚 = 𝑥 → (𝑚 + 𝑛) = (𝑥 + 𝑛)) |
| 30 | 29 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑚 = 𝑥 → ((𝑚 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑥 + 𝑛) · 𝐴)) |
| 31 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑚 = 𝑥 → (𝑚 · 𝐴) = (𝑥 · 𝐴)) |
| 32 | 31 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑚 = 𝑥 → ((𝑚 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)) = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴))) |
| 33 | 30, 32 | eqeq12d 2753 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑚 = 𝑥 → (((𝑚 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑚 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)) ↔ ((𝑥 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)))) |
| 34 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑛 = 𝑦 → (𝑥 + 𝑛) = (𝑥 + 𝑦)) |
| 35 | 34 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑛 = 𝑦 → ((𝑥 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑥 + 𝑦) · 𝐴)) |
| 36 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑛 = 𝑦 → (𝑛 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴)) |
| 37 | 36 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑛 = 𝑦 → ((𝑥 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)) = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑦 · 𝐴))) |
| 38 | 35, 37 | eqeq12d 2753 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑛 = 𝑦 → (((𝑥 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)) ↔ ((𝑥 + 𝑦) · 𝐴) = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑦 · 𝐴)))) |
| 39 | 33, 38 | rspc2va 3634 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑥 ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑚 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑚 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴))) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝐴) = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑦 · 𝐴))) |
| 40 | 26, 28, 39 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝐴) = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑦 · 𝐴))) |
| 41 | 26 | ancomd 461 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍)) → (𝑦 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍)) |
| 42 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑚 = 𝑦 → (𝑚 + 𝑛) = (𝑦 + 𝑛)) |
| 43 | 42 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑚 = 𝑦 → ((𝑚 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑦 + 𝑛) · 𝐴)) |
| 44 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑚 = 𝑦 → (𝑚 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴)) |
| 45 | 44 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑚 = 𝑦 → ((𝑚 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)) = ((𝑦 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴))) |
| 46 | 43, 45 | eqeq12d 2753 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑚 = 𝑦 → (((𝑚 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑚 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)) ↔ ((𝑦 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑦 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)))) |
| 47 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑛 = 𝑥 → (𝑦 + 𝑛) = (𝑦 + 𝑥)) |
| 48 | 47 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑛 = 𝑥 → ((𝑦 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑦 + 𝑥) · 𝐴)) |
| 49 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑛 = 𝑥 → (𝑛 · 𝐴) = (𝑥 · 𝐴)) |
| 50 | 49 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑛 = 𝑥 → ((𝑦 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)) = ((𝑦 · 𝐴) + (𝑥 · 𝐴))) |
| 51 | 48, 50 | eqeq12d 2753 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑛 = 𝑥 → (((𝑦 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑦 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)) ↔ ((𝑦 + 𝑥) · 𝐴) = ((𝑦 · 𝐴) + (𝑥 · 𝐴)))) |
| 52 | 46, 51 | rspc2va 3634 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑦 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑚 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑚 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴))) → ((𝑦 + 𝑥) · 𝐴) = ((𝑦 · 𝐴) + (𝑥 · 𝐴))) |
| 53 | 41, 28, 52 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍)) → ((𝑦 + 𝑥) · 𝐴) = ((𝑦 · 𝐴) + (𝑥 · 𝐴))) |
| 54 | 25, 40, 53 | 3eqtr3d 2785 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍)) → ((𝑥 · 𝐴) + (𝑦 · 𝐴)) = ((𝑦 · 𝐴) + (𝑥 · 𝐴))) |
| 55 | | oveq12 7440 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑋 = (𝑥 · 𝐴) ∧ 𝑌 = (𝑦 · 𝐴)) → (𝑋 + 𝑌) = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑦 · 𝐴))) |
| 56 | | oveq12 7440 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑌 = (𝑦 · 𝐴) ∧ 𝑋 = (𝑥 · 𝐴)) → (𝑌 + 𝑋) = ((𝑦 · 𝐴) + (𝑥 · 𝐴))) |
| 57 | 56 | ancoms 458 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑋 = (𝑥 · 𝐴) ∧ 𝑌 = (𝑦 · 𝐴)) → (𝑌 + 𝑋) = ((𝑦 · 𝐴) + (𝑥 · 𝐴))) |
| 58 | 55, 57 | eqeq12d 2753 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑋 = (𝑥 · 𝐴) ∧ 𝑌 = (𝑦 · 𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋) ↔ ((𝑥 · 𝐴) + (𝑦 · 𝐴)) = ((𝑦 · 𝐴) + (𝑥 · 𝐴)))) |
| 59 | 54, 58 | syl5ibrcom 247 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ 𝑍)) → ((𝑋 = (𝑥 · 𝐴) ∧ 𝑌 = (𝑦 · 𝐴)) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))) |
| 60 | 59 | rexlimdvva 3213 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝑍 ∃𝑦 ∈ 𝑍 (𝑋 = (𝑥 · 𝐴) ∧ 𝑌 = (𝑦 · 𝐴)) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))) |
| 61 | 15, 60 | biimtrrid 243 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑋 = (𝑥 · 𝐴) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑍 𝑌 = (𝑦 · 𝐴)) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))) |
| 62 | 61 | expd 415 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑋 = (𝑥 · 𝐴) → (∃𝑦 ∈ 𝑍 𝑌 = (𝑦 · 𝐴) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)))) |
| 63 | 14, 62 | syl7bi 255 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑋 = (𝑥 · 𝐴) → (∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑌 = (𝑥 · 𝐴) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)))) |
| 64 | 11, 63 | syld 47 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐶 → (∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑌 = (𝑥 · 𝐴) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)))) |
| 65 | 64 | com23 86 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝑍 𝑌 = (𝑥 · 𝐴) → (𝑋 ∈ 𝐶 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)))) |
| 66 | 7, 65 | syld 47 |
. 2
⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ 𝐶 → (𝑋 ∈ 𝐶 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)))) |
| 67 | 1, 2, 66 | mp2d 49 |
1
⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)) |