MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cyccom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cyccom 18997
Description: Condition for an operation to be commutative. Lemma for cycsubmcom 18998 and cygabl 19669. Formerly part of proof for cygabl 19669. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) (Revised by AV, 20-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
cyccom.c (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ถ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ ๐‘ = (๐‘ฅ ยท ๐ด))
cyccom.d (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘› โˆˆ ๐‘ ((๐‘š + ๐‘›) ยท ๐ด) = ((๐‘š ยท ๐ด) + (๐‘› ยท ๐ด)))
cyccom.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ถ)
cyccom.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ถ)
cyccom.z (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โŠ† โ„‚)
Assertion
Ref Expression
cyccom (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ + ๐‘Œ) = (๐‘Œ + ๐‘‹))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘,๐‘š,๐‘›,๐‘ฅ   ๐ถ,๐‘   ๐‘‹,๐‘,๐‘ฅ   ๐‘Œ,๐‘,๐‘ฅ   ๐‘š,๐‘,๐‘›,๐‘,๐‘ฅ   ยท ,๐‘,๐‘š,๐‘›,๐‘ฅ   + ,๐‘š,๐‘›,๐‘ฅ   ๐œ‘,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘š,๐‘›,๐‘)   ๐ถ(๐‘ฅ,๐‘š,๐‘›)   + (๐‘)   ๐‘‹(๐‘š,๐‘›)   ๐‘Œ(๐‘š,๐‘›)

Proof of Theorem cyccom
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cyccom.y . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ถ)
2 cyccom.x . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ถ)
3 cyccom.c . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ถ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ ๐‘ = (๐‘ฅ ยท ๐ด))
4 eqeq1 2741 . . . . . 6 (๐‘ = ๐‘Œ โ†’ (๐‘ = (๐‘ฅ ยท ๐ด) โ†” ๐‘Œ = (๐‘ฅ ยท ๐ด)))
54rexbidv 3176 . . . . 5 (๐‘ = ๐‘Œ โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ ๐‘ = (๐‘ฅ ยท ๐ด) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ ๐‘Œ = (๐‘ฅ ยท ๐ด)))
65rspccv 3579 . . . 4 (โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ถ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ ๐‘ = (๐‘ฅ ยท ๐ด) โ†’ (๐‘Œ โˆˆ ๐ถ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ ๐‘Œ = (๐‘ฅ ยท ๐ด)))
73, 6syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆˆ ๐ถ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ ๐‘Œ = (๐‘ฅ ยท ๐ด)))
8 eqeq1 2741 . . . . . . . 8 (๐‘ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘ = (๐‘ฅ ยท ๐ด) โ†” ๐‘‹ = (๐‘ฅ ยท ๐ด)))
98rexbidv 3176 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐‘‹ โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ ๐‘ = (๐‘ฅ ยท ๐ด) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ ๐‘‹ = (๐‘ฅ ยท ๐ด)))
109rspccv 3579 . . . . . 6 (โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ถ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ ๐‘ = (๐‘ฅ ยท ๐ด) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ๐ถ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ ๐‘‹ = (๐‘ฅ ยท ๐ด)))
113, 10syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ๐ถ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ ๐‘‹ = (๐‘ฅ ยท ๐ด)))
12 oveq1 7365 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ด) = (๐‘ฆ ยท ๐ด))
1312eqeq2d 2748 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘Œ = (๐‘ฅ ยท ๐ด) โ†” ๐‘Œ = (๐‘ฆ ยท ๐ด)))
1413cbvrexvw 3227 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ ๐‘Œ = (๐‘ฅ ยท ๐ด) โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ ๐‘Œ = (๐‘ฆ ยท ๐ด))
15 reeanv 3218 . . . . . . . 8 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ (๐‘‹ = (๐‘ฅ ยท ๐ด) โˆง ๐‘Œ = (๐‘ฆ ยท ๐ด)) โ†” (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ ๐‘‹ = (๐‘ฅ ยท ๐ด) โˆง โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ ๐‘Œ = (๐‘ฆ ยท ๐ด)))
16 cyccom.z . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โŠ† โ„‚)
1716sseld 3944 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚))
1817com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐œ‘ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚))
1918adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐œ‘ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚))
2019impcom 409 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
2116sseld 3944 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚))
2221a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)))
2322imp32 420 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
2420, 23addcomd 11358 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ))
2524oveq1d 7373 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐ด) = ((๐‘ฆ + ๐‘ฅ) ยท ๐ด))
26 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘))
27 cyccom.d . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘› โˆˆ ๐‘ ((๐‘š + ๐‘›) ยท ๐ด) = ((๐‘š ยท ๐ด) + (๐‘› ยท ๐ด)))
2827adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘)) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘› โˆˆ ๐‘ ((๐‘š + ๐‘›) ยท ๐ด) = ((๐‘š ยท ๐ด) + (๐‘› ยท ๐ด)))
29 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘š = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘š + ๐‘›) = (๐‘ฅ + ๐‘›))
3029oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘š = ๐‘ฅ โ†’ ((๐‘š + ๐‘›) ยท ๐ด) = ((๐‘ฅ + ๐‘›) ยท ๐ด))
31 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘š = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘š ยท ๐ด) = (๐‘ฅ ยท ๐ด))
3231oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘š = ๐‘ฅ โ†’ ((๐‘š ยท ๐ด) + (๐‘› ยท ๐ด)) = ((๐‘ฅ ยท ๐ด) + (๐‘› ยท ๐ด)))
3330, 32eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘š = ๐‘ฅ โ†’ (((๐‘š + ๐‘›) ยท ๐ด) = ((๐‘š ยท ๐ด) + (๐‘› ยท ๐ด)) โ†” ((๐‘ฅ + ๐‘›) ยท ๐ด) = ((๐‘ฅ ยท ๐ด) + (๐‘› ยท ๐ด))))
34 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘›) = (๐‘ฅ + ๐‘ฆ))
3534oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฅ + ๐‘›) ยท ๐ด) = ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐ด))
36 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘› ยท ๐ด) = (๐‘ฆ ยท ๐ด))
3736oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐ด) + (๐‘› ยท ๐ด)) = ((๐‘ฅ ยท ๐ด) + (๐‘ฆ ยท ๐ด)))
3835, 37eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› = ๐‘ฆ โ†’ (((๐‘ฅ + ๐‘›) ยท ๐ด) = ((๐‘ฅ ยท ๐ด) + (๐‘› ยท ๐ด)) โ†” ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐ด) = ((๐‘ฅ ยท ๐ด) + (๐‘ฆ ยท ๐ด))))
3933, 38rspc2va 3592 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘› โˆˆ ๐‘ ((๐‘š + ๐‘›) ยท ๐ด) = ((๐‘š ยท ๐ด) + (๐‘› ยท ๐ด))) โ†’ ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐ด) = ((๐‘ฅ ยท ๐ด) + (๐‘ฆ ยท ๐ด)))
4026, 28, 39syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐ด) = ((๐‘ฅ ยท ๐ด) + (๐‘ฆ ยท ๐ด)))
4126ancomd 463 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘))
42 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘š = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘š + ๐‘›) = (๐‘ฆ + ๐‘›))
4342oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘š = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘š + ๐‘›) ยท ๐ด) = ((๐‘ฆ + ๐‘›) ยท ๐ด))
44 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘š = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘š ยท ๐ด) = (๐‘ฆ ยท ๐ด))
4544oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘š = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘š ยท ๐ด) + (๐‘› ยท ๐ด)) = ((๐‘ฆ ยท ๐ด) + (๐‘› ยท ๐ด)))
4643, 45eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘š = ๐‘ฆ โ†’ (((๐‘š + ๐‘›) ยท ๐ด) = ((๐‘š ยท ๐ด) + (๐‘› ยท ๐ด)) โ†” ((๐‘ฆ + ๐‘›) ยท ๐ด) = ((๐‘ฆ ยท ๐ด) + (๐‘› ยท ๐ด))))
47 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ฆ + ๐‘›) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ))
4847oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› = ๐‘ฅ โ†’ ((๐‘ฆ + ๐‘›) ยท ๐ด) = ((๐‘ฆ + ๐‘ฅ) ยท ๐ด))
49 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘› ยท ๐ด) = (๐‘ฅ ยท ๐ด))
5049oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› = ๐‘ฅ โ†’ ((๐‘ฆ ยท ๐ด) + (๐‘› ยท ๐ด)) = ((๐‘ฆ ยท ๐ด) + (๐‘ฅ ยท ๐ด)))
5148, 50eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› = ๐‘ฅ โ†’ (((๐‘ฆ + ๐‘›) ยท ๐ด) = ((๐‘ฆ ยท ๐ด) + (๐‘› ยท ๐ด)) โ†” ((๐‘ฆ + ๐‘ฅ) ยท ๐ด) = ((๐‘ฆ ยท ๐ด) + (๐‘ฅ ยท ๐ด))))
5246, 51rspc2va 3592 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘› โˆˆ ๐‘ ((๐‘š + ๐‘›) ยท ๐ด) = ((๐‘š ยท ๐ด) + (๐‘› ยท ๐ด))) โ†’ ((๐‘ฆ + ๐‘ฅ) ยท ๐ด) = ((๐‘ฆ ยท ๐ด) + (๐‘ฅ ยท ๐ด)))
5341, 28, 52syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ((๐‘ฆ + ๐‘ฅ) ยท ๐ด) = ((๐‘ฆ ยท ๐ด) + (๐‘ฅ ยท ๐ด)))
5425, 40, 533eqtr3d 2785 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐ด) + (๐‘ฆ ยท ๐ด)) = ((๐‘ฆ ยท ๐ด) + (๐‘ฅ ยท ๐ด)))
55 oveq12 7367 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‹ = (๐‘ฅ ยท ๐ด) โˆง ๐‘Œ = (๐‘ฆ ยท ๐ด)) โ†’ (๐‘‹ + ๐‘Œ) = ((๐‘ฅ ยท ๐ด) + (๐‘ฆ ยท ๐ด)))
56 oveq12 7367 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Œ = (๐‘ฆ ยท ๐ด) โˆง ๐‘‹ = (๐‘ฅ ยท ๐ด)) โ†’ (๐‘Œ + ๐‘‹) = ((๐‘ฆ ยท ๐ด) + (๐‘ฅ ยท ๐ด)))
5756ancoms 460 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‹ = (๐‘ฅ ยท ๐ด) โˆง ๐‘Œ = (๐‘ฆ ยท ๐ด)) โ†’ (๐‘Œ + ๐‘‹) = ((๐‘ฆ ยท ๐ด) + (๐‘ฅ ยท ๐ด)))
5855, 57eqeq12d 2753 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‹ = (๐‘ฅ ยท ๐ด) โˆง ๐‘Œ = (๐‘ฆ ยท ๐ด)) โ†’ ((๐‘‹ + ๐‘Œ) = (๐‘Œ + ๐‘‹) โ†” ((๐‘ฅ ยท ๐ด) + (๐‘ฆ ยท ๐ด)) = ((๐‘ฆ ยท ๐ด) + (๐‘ฅ ยท ๐ด))))
5954, 58syl5ibrcom 247 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ((๐‘‹ = (๐‘ฅ ยท ๐ด) โˆง ๐‘Œ = (๐‘ฆ ยท ๐ด)) โ†’ (๐‘‹ + ๐‘Œ) = (๐‘Œ + ๐‘‹)))
6059rexlimdvva 3206 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ (๐‘‹ = (๐‘ฅ ยท ๐ด) โˆง ๐‘Œ = (๐‘ฆ ยท ๐ด)) โ†’ (๐‘‹ + ๐‘Œ) = (๐‘Œ + ๐‘‹)))
6115, 60biimtrrid 242 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ ๐‘‹ = (๐‘ฅ ยท ๐ด) โˆง โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ ๐‘Œ = (๐‘ฆ ยท ๐ด)) โ†’ (๐‘‹ + ๐‘Œ) = (๐‘Œ + ๐‘‹)))
6261expd 417 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ ๐‘‹ = (๐‘ฅ ยท ๐ด) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ ๐‘Œ = (๐‘ฆ ยท ๐ด) โ†’ (๐‘‹ + ๐‘Œ) = (๐‘Œ + ๐‘‹))))
6314, 62syl7bi 255 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ ๐‘‹ = (๐‘ฅ ยท ๐ด) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ ๐‘Œ = (๐‘ฅ ยท ๐ด) โ†’ (๐‘‹ + ๐‘Œ) = (๐‘Œ + ๐‘‹))))
6411, 63syld 47 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ๐ถ โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ ๐‘Œ = (๐‘ฅ ยท ๐ด) โ†’ (๐‘‹ + ๐‘Œ) = (๐‘Œ + ๐‘‹))))
6564com23 86 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ ๐‘Œ = (๐‘ฅ ยท ๐ด) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ๐ถ โ†’ (๐‘‹ + ๐‘Œ) = (๐‘Œ + ๐‘‹))))
667, 65syld 47 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆˆ ๐ถ โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ๐ถ โ†’ (๐‘‹ + ๐‘Œ) = (๐‘Œ + ๐‘‹))))
671, 2, 66mp2d 49 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ + ๐‘Œ) = (๐‘Œ + ๐‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3065  โˆƒwrex 3074   โŠ† wss 3911  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11050   + caddc 11055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-ltxr 11195
This theorem is referenced by:  cycsubmcom  18998  cygabl  19669
  Copyright terms: Public domain W3C validator