Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp11 1204 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β πΎ β HL) |
2 | 1 | hllatd 37829 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β πΎ β Lat) |
3 | | simp22 1208 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β π β π΄) |
4 | | simp32 1211 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β π β π΄) |
5 | | eqid 2737 |
. . . . . . 7
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
6 | | dalawlem.j |
. . . . . . 7
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
7 | | dalawlem.a |
. . . . . . 7
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
8 | 5, 6, 7 | hlatjcl 37832 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
9 | 1, 3, 4, 8 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
10 | | simp21 1207 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β π β π΄) |
11 | | simp31 1210 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β π β π΄) |
12 | 5, 6, 7 | hlatjcl 37832 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
13 | 1, 10, 11, 12 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
14 | | dalawlem.m |
. . . . . 6
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
15 | 5, 14 | latmcom 18353 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) = ((π β¨ π) β§ (π β¨ π))) |
16 | 2, 9, 13, 15 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) = ((π β¨ π) β§ (π β¨ π))) |
17 | | simp12 1205 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) |
18 | | simp23 1209 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β π
β π΄) |
19 | 6, 7 | hlatjcom 37833 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ π
β π΄ β§ π β π΄) β (π
β¨ π) = (π β¨ π
)) |
20 | 1, 18, 10, 19 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π
β¨ π) = (π β¨ π
)) |
21 | 17, 20 | breqtrd 5132 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
)) |
22 | 16, 21 | eqbrtrd 5128 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
)) |
23 | | simp13 1206 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) |
24 | 16, 23 | eqbrtrd 5128 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) |
25 | | simp33 1212 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β π β π΄) |
26 | | dalawlem.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
27 | 26, 6, 14, 7 | dalawlem8 38344 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)))) |
28 | 1, 22, 24, 3, 10, 18, 4, 11, 25, 27 | syl333anc 1403 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)))) |
29 | 6, 7 | hlatjcom 37833 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
30 | 1, 10, 3, 29 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
31 | 6, 7 | hlatjcom 37833 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
32 | 1, 11, 4, 31 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
33 | 30, 32 | oveq12d 7376 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) = ((π β¨ π) β§ (π β¨ π))) |
34 | 5, 6, 7 | hlatjcl 37832 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β (π β¨ π
) β (BaseβπΎ)) |
35 | 1, 3, 18, 34 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β¨ π
) β (BaseβπΎ)) |
36 | 5, 6, 7 | hlatjcl 37832 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
37 | 1, 4, 25, 36 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
38 | 5, 14 | latmcl 18330 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π
) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ)) |
39 | 2, 35, 37, 38 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ)) |
40 | 5, 6, 7 | hlatjcl 37832 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ π
β π΄ β§ π β π΄) β (π
β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
41 | 1, 18, 10, 40 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π
β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
42 | 5, 6, 7 | hlatjcl 37832 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
43 | 1, 25, 11, 42 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
44 | 5, 14 | latmcl 18330 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ (π
β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) β ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ)) |
45 | 2, 41, 43, 44 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ)) |
46 | 5, 6 | latjcom 18337 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ ((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ) β§ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ)) β (((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π))) = (((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)) β¨ ((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)))) |
47 | 2, 39, 45, 46 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π))) = (((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)) β¨ ((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)))) |
48 | 6, 7 | hlatjcom 37833 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
49 | 1, 25, 11, 48 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
50 | 20, 49 | oveq12d 7376 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)) = ((π β¨ π
) β§ (π β¨ π))) |
51 | 6, 7 | hlatjcom 37833 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β (π β¨ π
) = (π
β¨ π)) |
52 | 1, 3, 18, 51 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β¨ π
) = (π
β¨ π)) |
53 | 6, 7 | hlatjcom 37833 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
54 | 1, 4, 25, 53 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
55 | 52, 54 | oveq12d 7376 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) = ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π))) |
56 | 50, 55 | oveq12d 7376 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)) β¨ ((π β¨ π
) β§ (π β¨ π))) = (((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)))) |
57 | 47, 56 | eqtrd 2777 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π))) = (((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)))) |
58 | 28, 33, 57 | 3brtr4d 5138 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)))) |