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Theorem dalawlem8 39262
Description: Lemma for dalaw 39270. Special case to eliminate the requirement Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) in dalawlem1 39255. (Contributed by NM, 6-Oct-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalawlem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dalawlem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dalawlem.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
dalawlem.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
dalawlem8 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≀ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆))))
Proof of Theorem dalawlem8
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . 2 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2 dalawlem.l . 2 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 simp11 1200 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
43hllatd 38747 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
5 simp21 1203 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
6 simp22 1204 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
7 dalawlem.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
8 dalawlem.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
91, 7, 8hlatjcl 38750 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
103, 5, 6, 9syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
11 simp31 1206 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
12 simp32 1207 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ 𝑇 ∈ 𝐴)
131, 7, 8hlatjcl 38750 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) β†’ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
143, 11, 12, 13syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
15 dalawlem.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
161, 15latmcl 18405 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
174, 10, 14, 16syl3anc 1368 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
181, 8atbase 38672 . . . . . 6 (𝑇 ∈ 𝐴 β†’ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1912, 18syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
201, 7latjcl 18404 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
214, 10, 19, 20syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
221, 8atbase 38672 . . . . 5 (𝑆 ∈ 𝐴 β†’ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2311, 22syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
241, 15latmcl 18405 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
254, 21, 23, 24syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
261, 7latjcl 18404 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
274, 10, 23, 26syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
281, 15latmcl 18405 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑆) ∧ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
294, 27, 19, 28syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑆) ∧ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
301, 7latjcl 18404 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑆) ∧ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ∨ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑆) ∧ 𝑇)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
314, 25, 29, 30syl3anc 1368 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ∨ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑆) ∧ 𝑇)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
32 simp23 1205 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
331, 7, 8hlatjcl 38750 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
343, 6, 32, 33syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
35 simp33 1208 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
361, 7, 8hlatjcl 38750 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
373, 12, 35, 36syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
381, 15latmcl 18405 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
394, 34, 37, 38syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
401, 7, 8hlatjcl 38750 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑅 ∨ 𝑃) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
413, 32, 5, 40syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (𝑅 ∨ 𝑃) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
421, 7, 8hlatjcl 38750 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ (π‘ˆ ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
433, 35, 11, 42syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (π‘ˆ ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
441, 15latmcl 18405 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∨ 𝑃) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
454, 41, 43, 44syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
461, 7latjcl 18404 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
474, 39, 45, 46syl3anc 1368 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
482, 7, 15, 8dalawlem2 39256 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≀ ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ∨ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑆) ∧ 𝑇)))
493, 5, 6, 11, 12, 48syl122anc 1376 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≀ ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ∨ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑆) ∧ 𝑇)))
502, 7, 15, 8dalawlem6 39260 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ≀ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆))))
512, 7, 15, 8dalawlem7 39261 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑆) ∧ 𝑇) ≀ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆))))
521, 2, 7latjle12 18415 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑆) ∧ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ≀ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑆) ∧ 𝑇) ≀ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆)))) ↔ ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ∨ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑆) ∧ 𝑇)) ≀ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆)))))
534, 25, 29, 47, 52syl13anc 1369 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ≀ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑆) ∧ 𝑇) ≀ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆)))) ↔ ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ∨ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑆) ∧ 𝑇)) ≀ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆)))))
5450, 51, 53mpbi2and 709 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ∨ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑆) ∧ 𝑇)) ≀ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆))))
551, 2, 4, 17, 31, 47, 49, 54lattrd 18411 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≀ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  lecple 17213  joincjn 18276  meetcmee 18277  Latclat 18396  Atomscatm 38646  HLchlt 38733
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-psubsp 38887  df-pmap 38888  df-padd 39180
This theorem is referenced by:  dalawlem9  39263  dalawlem10  39264
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