Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | eqid 2737 |
. 2
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
2 | | dalawlem.l |
. 2
β’ β€ =
(leβπΎ) |
3 | | simp11 1204 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β πΎ β HL) |
4 | 3 | hllatd 37829 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β πΎ β Lat) |
5 | | simp21 1207 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β π β π΄) |
6 | | simp22 1208 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β π β π΄) |
7 | | dalawlem.j |
. . . . 5
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
8 | | dalawlem.a |
. . . . 5
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
9 | 1, 7, 8 | hlatjcl 37832 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
10 | 3, 5, 6, 9 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
11 | | simp31 1210 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β π β π΄) |
12 | | simp32 1211 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β π β π΄) |
13 | 1, 7, 8 | hlatjcl 37832 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
14 | 3, 11, 12, 13 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
15 | | dalawlem.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
16 | 1, 15 | latmcl 18330 |
. . 3
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ)) |
17 | 4, 10, 14, 16 | syl3anc 1372 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ)) |
18 | 1, 8 | atbase 37754 |
. . . . . 6
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
19 | 12, 18 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β π β (BaseβπΎ)) |
20 | 1, 7 | latjcl 18329 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
21 | 4, 10, 19, 20 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
22 | 1, 8 | atbase 37754 |
. . . . 5
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
23 | 11, 22 | syl 17 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β π β (BaseβπΎ)) |
24 | 1, 15 | latmcl 18330 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ ((π β¨ π) β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β (((π β¨ π) β¨ π) β§ π) β (BaseβπΎ)) |
25 | 4, 21, 23, 24 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (((π β¨ π) β¨ π) β§ π) β (BaseβπΎ)) |
26 | 1, 7 | latjcl 18329 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
27 | 4, 10, 23, 26 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
28 | 1, 15 | latmcl 18330 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ ((π β¨ π) β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β (((π β¨ π) β¨ π) β§ π) β (BaseβπΎ)) |
29 | 4, 27, 19, 28 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (((π β¨ π) β¨ π) β§ π) β (BaseβπΎ)) |
30 | 1, 7 | latjcl 18329 |
. . 3
β’ ((πΎ β Lat β§ (((π β¨ π) β¨ π) β§ π) β (BaseβπΎ) β§ (((π β¨ π) β¨ π) β§ π) β (BaseβπΎ)) β ((((π β¨ π) β¨ π) β§ π) β¨ (((π β¨ π) β¨ π) β§ π)) β (BaseβπΎ)) |
31 | 4, 25, 29, 30 | syl3anc 1372 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((((π β¨ π) β¨ π) β§ π) β¨ (((π β¨ π) β¨ π) β§ π)) β (BaseβπΎ)) |
32 | | simp23 1209 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β π
β π΄) |
33 | 1, 7, 8 | hlatjcl 37832 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β (π β¨ π
) β (BaseβπΎ)) |
34 | 3, 6, 32, 33 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β¨ π
) β (BaseβπΎ)) |
35 | | simp33 1212 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β π β π΄) |
36 | 1, 7, 8 | hlatjcl 37832 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
37 | 3, 12, 35, 36 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
38 | 1, 15 | latmcl 18330 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π
) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ)) |
39 | 4, 34, 37, 38 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ)) |
40 | 1, 7, 8 | hlatjcl 37832 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ π
β π΄ β§ π β π΄) β (π
β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
41 | 3, 32, 5, 40 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π
β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
42 | 1, 7, 8 | hlatjcl 37832 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
43 | 3, 35, 11, 42 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
44 | 1, 15 | latmcl 18330 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ (π
β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) β ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ)) |
45 | 4, 41, 43, 44 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ)) |
46 | 1, 7 | latjcl 18329 |
. . 3
β’ ((πΎ β Lat β§ ((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ) β§ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ)) β (((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π))) β (BaseβπΎ)) |
47 | 4, 39, 45, 46 | syl3anc 1372 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π))) β (BaseβπΎ)) |
48 | 2, 7, 15, 8 | dalawlem2 38338 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ ((((π β¨ π) β¨ π) β§ π) β¨ (((π β¨ π) β¨ π) β§ π))) |
49 | 3, 5, 6, 11, 12, 48 | syl122anc 1380 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ ((((π β¨ π) β¨ π) β§ π) β¨ (((π β¨ π) β¨ π) β§ π))) |
50 | 2, 7, 15, 8 | dalawlem6 38342 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (((π β¨ π) β¨ π) β§ π) β€ (((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)))) |
51 | 2, 7, 15, 8 | dalawlem7 38343 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (((π β¨ π) β¨ π) β§ π) β€ (((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)))) |
52 | 1, 2, 7 | latjle12 18340 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ ((((π β¨ π) β¨ π) β§ π) β (BaseβπΎ) β§ (((π β¨ π) β¨ π) β§ π) β (BaseβπΎ) β§ (((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π))) β (BaseβπΎ))) β (((((π β¨ π) β¨ π) β§ π) β€ (((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π))) β§ (((π β¨ π) β¨ π) β§ π) β€ (((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)))) β ((((π β¨ π) β¨ π) β§ π) β¨ (((π β¨ π) β¨ π) β§ π)) β€ (((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π))))) |
53 | 4, 25, 29, 47, 52 | syl13anc 1373 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (((((π β¨ π) β¨ π) β§ π) β€ (((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π))) β§ (((π β¨ π) β¨ π) β§ π) β€ (((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)))) β ((((π β¨ π) β¨ π) β§ π) β¨ (((π β¨ π) β¨ π) β§ π)) β€ (((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π))))) |
54 | 50, 51, 53 | mpbi2and 711 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((((π β¨ π) β¨ π) β§ π) β¨ (((π β¨ π) β¨ π) β§ π)) β€ (((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)))) |
55 | 1, 2, 4, 17, 31, 47, 49, 54 | lattrd 18336 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)))) |