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Theorem dalawlem8 38344
Description: Lemma for dalaw 38352. Special case to eliminate the requirement Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) in dalawlem1 38337. (Contributed by NM, 6-Oct-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalawlem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dalawlem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dalawlem.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
dalawlem.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
dalawlem8 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≀ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆))))

Proof of Theorem dalawlem8
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . 2 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2 dalawlem.l . 2 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 simp11 1204 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
43hllatd 37829 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
5 simp21 1207 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
6 simp22 1208 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
7 dalawlem.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
8 dalawlem.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
91, 7, 8hlatjcl 37832 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
103, 5, 6, 9syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
11 simp31 1210 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
12 simp32 1211 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ 𝑇 ∈ 𝐴)
131, 7, 8hlatjcl 37832 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) β†’ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
143, 11, 12, 13syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
15 dalawlem.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
161, 15latmcl 18330 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
174, 10, 14, 16syl3anc 1372 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
181, 8atbase 37754 . . . . . 6 (𝑇 ∈ 𝐴 β†’ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1912, 18syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
201, 7latjcl 18329 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
214, 10, 19, 20syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
221, 8atbase 37754 . . . . 5 (𝑆 ∈ 𝐴 β†’ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2311, 22syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
241, 15latmcl 18330 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
254, 21, 23, 24syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
261, 7latjcl 18329 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
274, 10, 23, 26syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
281, 15latmcl 18330 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑆) ∧ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
294, 27, 19, 28syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑆) ∧ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
301, 7latjcl 18329 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑆) ∧ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ∨ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑆) ∧ 𝑇)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
314, 25, 29, 30syl3anc 1372 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ∨ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑆) ∧ 𝑇)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
32 simp23 1209 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
331, 7, 8hlatjcl 37832 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
343, 6, 32, 33syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
35 simp33 1212 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
361, 7, 8hlatjcl 37832 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
373, 12, 35, 36syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
381, 15latmcl 18330 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
394, 34, 37, 38syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
401, 7, 8hlatjcl 37832 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑅 ∨ 𝑃) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
413, 32, 5, 40syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (𝑅 ∨ 𝑃) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
421, 7, 8hlatjcl 37832 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ (π‘ˆ ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
433, 35, 11, 42syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (π‘ˆ ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
441, 15latmcl 18330 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∨ 𝑃) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
454, 41, 43, 44syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
461, 7latjcl 18329 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
474, 39, 45, 46syl3anc 1372 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
482, 7, 15, 8dalawlem2 38338 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≀ ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ∨ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑆) ∧ 𝑇)))
493, 5, 6, 11, 12, 48syl122anc 1380 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≀ ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ∨ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑆) ∧ 𝑇)))
502, 7, 15, 8dalawlem6 38342 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ≀ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆))))
512, 7, 15, 8dalawlem7 38343 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑆) ∧ 𝑇) ≀ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆))))
521, 2, 7latjle12 18340 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑆) ∧ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ≀ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑆) ∧ 𝑇) ≀ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆)))) ↔ ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ∨ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑆) ∧ 𝑇)) ≀ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆)))))
534, 25, 29, 47, 52syl13anc 1373 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ≀ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑆) ∧ 𝑇) ≀ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆)))) ↔ ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ∨ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑆) ∧ 𝑇)) ≀ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆)))))
5450, 51, 53mpbi2and 711 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ∨ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑆) ∧ 𝑇)) ≀ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆))))
551, 2, 4, 17, 31, 47, 49, 54lattrd 18336 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≀ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17084  lecple 17141  joincjn 18201  meetcmee 18202  Latclat 18321  Atomscatm 37728  HLchlt 37815
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-proset 18185  df-poset 18203  df-plt 18220  df-lub 18236  df-glb 18237  df-join 18238  df-meet 18239  df-p0 18315  df-lat 18322  df-clat 18389  df-oposet 37641  df-ol 37643  df-oml 37644  df-covers 37731  df-ats 37732  df-atl 37763  df-cvlat 37787  df-hlat 37816  df-psubsp 37969  df-pmap 37970  df-padd 38262
This theorem is referenced by:  dalawlem9  38345  dalawlem10  38346
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