Theorem dfac12a 9835

Description: The axiom of choice holds iff every ordinal has a well-orderable powerset. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfac12a	⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥 ∈ On 𝒫 𝑥 ∈ dom card)

Proof of Theorem dfac12a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssv 3941	. . . 4 ⊢ dom card ⊆ V
2		eqss 3932	. . . 4 ⊢ (dom card = V ↔ (dom card ⊆ V ∧ V ⊆ dom card))
3	1, 2	mpbiran 705	. . 3 ⊢ (dom card = V ↔ V ⊆ dom card)
4		dfac10 9824	. . 3 ⊢ (CHOICE ↔ dom card = V)
5		unir1 9502	. . . 4 ⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V
6	5	sseq1i 3945	. . 3 ⊢ (∪ (𝑅1 “ On) ⊆ dom card ↔ V ⊆ dom card)
7	3, 4, 6	3bitr4i 302	. 2 ⊢ (CHOICE ↔ ∪ (𝑅1 “ On) ⊆ dom card)
8		dfac12r 9833	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ On 𝒫 𝑥 ∈ dom card ↔ ∪ (𝑅1 “ On) ⊆ dom card)
9	7, 8	bitr4i 277	1 ⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥 ∈ On 𝒫 𝑥 ∈ dom card)

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  𝒫 cpw 4530  ∪ cuni 4836  dom cdm 5580   “ cima 5583  Oncon0 6251  𝑅₁cr1 9451  cardccrd 9624  CHOICEwac 9802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-reg 9281  ax-inf2 9329

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-oadd 8271  df-omul 8272  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-oi 9199  df-har 9246  df-r1 9453  df-rank 9454  df-card 9628  df-ac 9803

This theorem is referenced by:  dfac12  9836