Theorem dfac12a 10105

Description: The axiom of choice holds iff every ordinal has a well-orderable powerset. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfac12a	⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥 ∈ On 𝒫 𝑥 ∈ dom card)

Proof of Theorem dfac12a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssv 3960	. . . 4 ⊢ dom card ⊆ V
2		eqss 3951	. . . 4 ⊢ (dom card = V ↔ (dom card ⊆ V ∧ V ⊆ dom card))
3	1, 2	mpbiran 719	. . 3 ⊢ (dom card = V ↔ V ⊆ dom card)
4		dfac10 10094	. . 3 ⊢ (CHOICE ↔ dom card = V)
5		unir1 9771	. . . 4 ⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V
6	5	sseq1i 3964	. . 3 ⊢ (∪ (𝑅1 “ On) ⊆ dom card ↔ V ⊆ dom card)
7	3, 4, 6	3bitr4i 305	. 2 ⊢ (CHOICE ↔ ∪ (𝑅1 “ On) ⊆ dom card)
8		dfac12r 10103	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ On 𝒫 𝑥 ∈ dom card ↔ ∪ (𝑅1 “ On) ⊆ dom card)
9	7, 8	bitr4i 280	1 ⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥 ∈ On 𝒫 𝑥 ∈ dom card)

Syntax hints:   ↔ wb 208   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∀wral 3076  Vcvv 3454   ⊆ wss 3904  𝒫 cpw 4555  ∪ cuni 4865  dom cdm 5647   “ cima 5650  Oncon0 6346  𝑅₁cr1 9720  cardccrd 9893  CHOICEwac 10071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-reg 9540  ax-inf2 9596

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-oadd 8441  df-omul 8442  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-oi 9458  df-har 9505  df-r1 9722  df-rank 9723  df-card 9897  df-ac 10072

This theorem is referenced by:  dfac12  10106