Theorem dfac12a 9904

Description: The axiom of choice holds iff every ordinal has a well-orderable powerset. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfac12a	⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥 ∈ On 𝒫 𝑥 ∈ dom card)

Proof of Theorem dfac12a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssv 3945	. . . 4 ⊢ dom card ⊆ V
2		eqss 3936	. . . 4 ⊢ (dom card = V ↔ (dom card ⊆ V ∧ V ⊆ dom card))
3	1, 2	mpbiran 706	. . 3 ⊢ (dom card = V ↔ V ⊆ dom card)
4		dfac10 9893	. . 3 ⊢ (CHOICE ↔ dom card = V)
5		unir1 9571	. . . 4 ⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V
6	5	sseq1i 3949	. . 3 ⊢ (∪ (𝑅1 “ On) ⊆ dom card ↔ V ⊆ dom card)
7	3, 4, 6	3bitr4i 303	. 2 ⊢ (CHOICE ↔ ∪ (𝑅1 “ On) ⊆ dom card)
8		dfac12r 9902	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ On 𝒫 𝑥 ∈ dom card ↔ ∪ (𝑅1 “ On) ⊆ dom card)
9	7, 8	bitr4i 277	1 ⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥 ∈ On 𝒫 𝑥 ∈ dom card)

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887  𝒫 cpw 4533  ∪ cuni 4839  dom cdm 5589   “ cima 5592  Oncon0 6266  𝑅₁cr1 9520  cardccrd 9693  CHOICEwac 9871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-reg 9351  ax-inf2 9399

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-oadd 8301  df-omul 8302  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-oi 9269  df-har 9316  df-r1 9522  df-rank 9523  df-card 9697  df-ac 9872

This theorem is referenced by:  dfac12  9905