MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfac12a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfac12a 10142
Description: The axiom of choice holds iff every ordinal has a well-orderable powerset. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfac12a (CHOICE ↔ ∀𝑥 ∈ On 𝒫 𝑥 ∈ dom card)

Proof of Theorem dfac12a
StepHypRef Expression
1 ssv 4001 . . . 4 dom card ⊆ V
2 eqss 3992 . . . 4 (dom card = V ↔ (dom card ⊆ V ∧ V ⊆ dom card))
31, 2mpbiran 706 . . 3 (dom card = V ↔ V ⊆ dom card)
4 dfac10 10131 . . 3 (CHOICE ↔ dom card = V)
5 unir1 9807 . . . 4 (𝑅1 “ On) = V
65sseq1i 4005 . . 3 ( (𝑅1 “ On) ⊆ dom card ↔ V ⊆ dom card)
73, 4, 63bitr4i 303 . 2 (CHOICE (𝑅1 “ On) ⊆ dom card)
8 dfac12r 10140 . 2 (∀𝑥 ∈ On 𝒫 𝑥 ∈ dom card ↔ (𝑅1 “ On) ⊆ dom card)
97, 8bitr4i 278 1 (CHOICE ↔ ∀𝑥 ∈ On 𝒫 𝑥 ∈ dom card)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3055  Vcvv 3468  wss 3943  𝒫 cpw 4597   cuni 4902  dom cdm 5669  cima 5672  Oncon0 6357  𝑅1cr1 9756  cardccrd 9929  CHOICEwac 10109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-reg 9586  ax-inf2 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-oadd 8468  df-omul 8469  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-oi 9504  df-har 9551  df-r1 9758  df-rank 9759  df-card 9933  df-ac 10110
This theorem is referenced by:  dfac12  10143
  Copyright terms: Public domain W3C validator