MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfac12a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfac12a 9305
Description: The axiom of choice holds iff every ordinal has a well-orderable powerset. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfac12a (CHOICE ↔ ∀𝑥 ∈ On 𝒫 𝑥 ∈ dom card)

Proof of Theorem dfac12a
StepHypRef Expression
1 ssv 3844 . . . 4 dom card ⊆ V
2 eqss 3836 . . . 4 (dom card = V ↔ (dom card ⊆ V ∧ V ⊆ dom card))
31, 2mpbiran 699 . . 3 (dom card = V ↔ V ⊆ dom card)
4 dfac10 9294 . . 3 (CHOICE ↔ dom card = V)
5 unir1 8973 . . . 4 (𝑅1 “ On) = V
65sseq1i 3848 . . 3 ( (𝑅1 “ On) ⊆ dom card ↔ V ⊆ dom card)
73, 4, 63bitr4i 295 . 2 (CHOICE (𝑅1 “ On) ⊆ dom card)
8 dfac12r 9303 . 2 (∀𝑥 ∈ On 𝒫 𝑥 ∈ dom card ↔ (𝑅1 “ On) ⊆ dom card)
97, 8bitr4i 270 1 (CHOICE ↔ ∀𝑥 ∈ On 𝒫 𝑥 ∈ dom card)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 198   = wceq 1601  wcel 2107  wral 3090  Vcvv 3398  wss 3792  𝒫 cpw 4379   cuni 4671  dom cdm 5355  cima 5358  Oncon0 5976  𝑅1cr1 8922  cardccrd 9094  CHOICEwac 9271
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-reg 8786  ax-inf2 8835
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-oadd 7847  df-omul 7848  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-oi 8704  df-har 8752  df-r1 8924  df-rank 8925  df-card 9098  df-ac 9272
This theorem is referenced by:  dfac12  9306
  Copyright terms: Public domain W3C validator