Theorem dfac12a 10184

Description: The axiom of choice holds iff every ordinal has a well-orderable powerset. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfac12a	⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥 ∈ On 𝒫 𝑥 ∈ dom card)

Proof of Theorem dfac12a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssv 4003	. . . 4 ⊢ dom card ⊆ V
2		eqss 3994	. . . 4 ⊢ (dom card = V ↔ (dom card ⊆ V ∧ V ⊆ dom card))
3	1, 2	mpbiran 707	. . 3 ⊢ (dom card = V ↔ V ⊆ dom card)
4		dfac10 10173	. . 3 ⊢ (CHOICE ↔ dom card = V)
5		unir1 9849	. . . 4 ⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V
6	5	sseq1i 4007	. . 3 ⊢ (∪ (𝑅1 “ On) ⊆ dom card ↔ V ⊆ dom card)
7	3, 4, 6	3bitr4i 302	. 2 ⊢ (CHOICE ↔ ∪ (𝑅1 “ On) ⊆ dom card)
8		dfac12r 10182	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ On 𝒫 𝑥 ∈ dom card ↔ ∪ (𝑅1 “ On) ⊆ dom card)
9	7, 8	bitr4i 277	1 ⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥 ∈ On 𝒫 𝑥 ∈ dom card)

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3051  Vcvv 3462   ⊆ wss 3946  𝒫 cpw 4597  ∪ cuni 4905  dom cdm 5674   “ cima 5677  Oncon0 6368  𝑅₁cr1 9798  cardccrd 9971  CHOICEwac 10151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-reg 9628  ax-inf2 9677

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-oadd 8492  df-omul 8493  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-oi 9546  df-har 9593  df-r1 9800  df-rank 9801  df-card 9975  df-ac 10152

This theorem is referenced by:  dfac12  10185