Theorem dfac12a 10234

Description: The axiom of choice holds iff every ordinal has a well-orderable powerset. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfac12a	⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥 ∈ On 𝒫 𝑥 ∈ dom card)

Proof of Theorem dfac12a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssv 3933	. . . 4 ⊢ dom card ⊆ V
2		eqss 3924	. . . 4 ⊢ (dom card = V ↔ (dom card ⊆ V ∧ V ⊆ dom card))
3	1, 2	mpbiran 722	. . 3 ⊢ (dom card = V ↔ V ⊆ dom card)
4		dfac10 10223	. . 3 ⊢ (CHOICE ↔ dom card = V)
5		unir1 9828	. . . 4 ⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V
6	5	sseq1i 3937	. . 3 ⊢ (∪ (𝑅1 “ On) ⊆ dom card ↔ V ⊆ dom card)
7	3, 4, 6	3bitr4i 306	. 2 ⊢ (CHOICE ↔ ∪ (𝑅1 “ On) ⊆ dom card)
8		dfac12r 10232	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ On 𝒫 𝑥 ∈ dom card ↔ ∪ (𝑅1 “ On) ⊆ dom card)
9	7, 8	bitr4i 281	1 ⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥 ∈ On 𝒫 𝑥 ∈ dom card)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ⊆ wss 3896  𝒫 cpw 4556  ∪ cuni 4866  dom cdm 5651   “ cima 5654  Oncon0 6365  𝑅₁cr1 9773  cardccrd 10023  CHOICEwac 10201

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-reg 9593  ax-inf2 9649

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-oadd 8487  df-omul 8488  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-oi 9511  df-har 9558  df-r1 9775  df-rank 9776  df-card 10027  df-ac 10202

This theorem is used by:  dfac12  10235