Theorem lbsexg 19532

Description: Every vector space has a basis. This theorem is an AC equivalent; this is the forward implication. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lbsex.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lbsexg	⊢ ((CHOICE ∧ 𝑊 ∈ LVec) → 𝐽 ≠ ∅)

Proof of Theorem lbsexg

Dummy variables 𝑥 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LVec)
2		fvex 6450	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) ∈ V
3	2	pwex 5082	. . . 4 ⊢ 𝒫 (Base‘𝑊) ∈ V
4		dfac10 9281	. . . . 5 ⊢ (CHOICE ↔ dom card = V)
5	4	biimpi 208	. . . 4 ⊢ (CHOICE → dom card = V)
6	3, 5	syl5eleqr 2913	. . 3 ⊢ (CHOICE → 𝒫 (Base‘𝑊) ∈ dom card)
7		0ss 4199	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ (Base‘𝑊)
8		ral0 4300	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(∅ ∖ {𝑥}))
9		lbsex.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
10		eqid 2825	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
11		eqid 2825	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
12	9, 10, 11	lbsextg 19530	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝒫 (Base‘𝑊) ∈ dom card) ∧ ∅ ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(∅ ∖ {𝑥}))) → ∃𝑠 ∈ 𝐽 ∅ ⊆ 𝑠)
13	7, 8, 12	mp3an23 1581	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝒫 (Base‘𝑊) ∈ dom card) → ∃𝑠 ∈ 𝐽 ∅ ⊆ 𝑠)
14	1, 6, 13	syl2anr 590	. 2 ⊢ ((CHOICE ∧ 𝑊 ∈ LVec) → ∃𝑠 ∈ 𝐽 ∅ ⊆ 𝑠)
15		rexn0 4298	. 2 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝐽 ∅ ⊆ 𝑠 → 𝐽 ≠ ∅)
16	14, 15	syl 17	1 ⊢ ((CHOICE ∧ 𝑊 ∈ LVec) → 𝐽 ≠ ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999  ∀wral 3117  ∃wrex 3118  Vcvv 3414   ∖ cdif 3795   ⊆ wss 3798  ∅c0 4146  𝒫 cpw 4380  {csn 4399  dom cdm 5346  ‘cfv 6127  cardccrd 9081  CHOICEwac 9258  Basecbs 16229  LSpanclspn 19337  LBasisclbs 19440  LVecclvec 19468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-rpss 7202  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-tpos 7622  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-card 9085  df-ac 9259  df-cda 9312  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-0g 16462  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-grp 17786  df-minusg 17787  df-sbg 17788  df-cmn 18555  df-abl 18556  df-mgp 18851  df-ur 18863  df-ring 18910  df-oppr 18984  df-dvdsr 19002  df-unit 19003  df-invr 19033  df-drng 19112  df-lmod 19228  df-lss 19296  df-lsp 19338  df-lbs 19441  df-lvec 19469

This theorem is referenced by:  lbsex  19533