Theorem lbsexg 21241

Description: Every vector space has a basis. This theorem is an AC equivalent; this is the forward implication. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lbsex.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lbsexg	⊢ ((CHOICE ∧ 𝑊 ∈ LVec) → 𝐽 ≠ ∅)

Proof of Theorem lbsexg

Dummy variables 𝑥 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LVec)
2		fvex 6880	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) ∈ V
3	2	pwex 5338	. . . 4 ⊢ 𝒫 (Base‘𝑊) ∈ V
4		dfac10 10105	. . . . 5 ⊢ (CHOICE ↔ dom card = V)
5	4	biimpi 218	. . . 4 ⊢ (CHOICE → dom card = V)
6	3, 5	eleqtrrid 2870	. . 3 ⊢ (CHOICE → 𝒫 (Base‘𝑊) ∈ dom card)
7		0ss 4355	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ (Base‘𝑊)
8		ral0 4453	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(∅ ∖ {𝑥}))
9		lbsex.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
10		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
11		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
12	9, 10, 11	lbsextg 21239	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝒫 (Base‘𝑊) ∈ dom card) ∧ ∅ ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(∅ ∖ {𝑥}))) → ∃𝑠 ∈ 𝐽 ∅ ⊆ 𝑠)
13	7, 8, 12	mp3an23 1475	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝒫 (Base‘𝑊) ∈ dom card) → ∃𝑠 ∈ 𝐽 ∅ ⊆ 𝑠)
14	1, 6, 13	syl2anr 606	. 2 ⊢ ((CHOICE ∧ 𝑊 ∈ LVec) → ∃𝑠 ∈ 𝐽 ∅ ⊆ 𝑠)
15		rexn0 4451	. 2 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝐽 ∅ ⊆ 𝑠 → 𝐽 ≠ ∅)
16	14, 15	syl 17	1 ⊢ ((CHOICE ∧ 𝑊 ∈ LVec) → 𝐽 ≠ ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  Vcvv 3455   ∖ cdif 3902   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4556  {csn 4583  dom cdm 5648  ‘cfv 6521  cardccrd 9905  CHOICEwac 10083  Basecbs 17255  LSpanclspn 21045  LBasisclbs 21148  LVecclvec 21176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-rpss 7706  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8206  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-oadd 8441  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-dju 9871  df-card 9909  df-ac 10084  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-nn 12221  df-2 12290  df-3 12291  df-sets 17210  df-slot 17228  df-ndx 17240  df-base 17256  df-ress 17277  df-plusg 17309  df-mulr 17310  df-0g 17480  df-mgm 18684  df-sgrp 18763  df-mnd 18779  df-grp 18988  df-minusg 18989  df-sbg 18990  df-cmn 19832  df-abl 19833  df-mgp 20197  df-rng 20209  df-ur 20242  df-ring 20295  df-oppr 20396  df-dvdsr 20416  df-unit 20417  df-invr 20447  df-drng 20790  df-lmod 20936  df-lss 21006  df-lsp 21046  df-lbs 21149  df-lvec 21177

This theorem is referenced by:  lbsex  21242