Theorem lbsexg 20924

Description: Every vector space has a basis. This theorem is an AC equivalent; this is the forward implication. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lbsex.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lbsexg	⊢ ((CHOICE ∧ 𝑊 ∈ LVec) → 𝐽 ≠ ∅)

Proof of Theorem lbsexg

Dummy variables 𝑥 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LVec)
2		fvex 6905	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) ∈ V
3	2	pwex 5379	. . . 4 ⊢ 𝒫 (Base‘𝑊) ∈ V
4		dfac10 10136	. . . . 5 ⊢ (CHOICE ↔ dom card = V)
5	4	biimpi 215	. . . 4 ⊢ (CHOICE → dom card = V)
6	3, 5	eleqtrrid 2838	. . 3 ⊢ (CHOICE → 𝒫 (Base‘𝑊) ∈ dom card)
7		0ss 4397	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ (Base‘𝑊)
8		ral0 4513	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(∅ ∖ {𝑥}))
9		lbsex.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
10		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
11		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
12	9, 10, 11	lbsextg 20922	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝒫 (Base‘𝑊) ∈ dom card) ∧ ∅ ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(∅ ∖ {𝑥}))) → ∃𝑠 ∈ 𝐽 ∅ ⊆ 𝑠)
13	7, 8, 12	mp3an23 1451	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝒫 (Base‘𝑊) ∈ dom card) → ∃𝑠 ∈ 𝐽 ∅ ⊆ 𝑠)
14	1, 6, 13	syl2anr 595	. 2 ⊢ ((CHOICE ∧ 𝑊 ∈ LVec) → ∃𝑠 ∈ 𝐽 ∅ ⊆ 𝑠)
15		rexn0 4511	. 2 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝐽 ∅ ⊆ 𝑠 → 𝐽 ≠ ∅)
16	14, 15	syl 17	1 ⊢ ((CHOICE ∧ 𝑊 ∈ LVec) → 𝐽 ≠ ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  ∃wrex 3068  Vcvv 3472   ∖ cdif 3946   ⊆ wss 3949  ∅c0 4323  𝒫 cpw 4603  {csn 4629  dom cdm 5677  ‘cfv 6544  cardccrd 9934  CHOICEwac 10114  Basecbs 17150  LSpanclspn 20728  LBasisclbs 20831  LVecclvec 20859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-rpss 7717  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8215  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-oadd 8474  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-dju 9900  df-card 9938  df-ac 10115  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-0g 17393  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18860  df-minusg 18861  df-sbg 18862  df-cmn 19693  df-abl 19694  df-mgp 20031  df-rng 20049  df-ur 20078  df-ring 20131  df-oppr 20227  df-dvdsr 20250  df-unit 20251  df-invr 20281  df-drng 20504  df-lmod 20618  df-lss 20689  df-lsp 20729  df-lbs 20832  df-lvec 20860

This theorem is referenced by:  lbsex  20925