Theorem lbsexg 20341

Description: Every vector space has a basis. This theorem is an AC equivalent; this is the forward implication. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lbsex.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lbsexg	⊢ ((CHOICE ∧ 𝑊 ∈ LVec) → 𝐽 ≠ ∅)

Proof of Theorem lbsexg

Dummy variables 𝑥 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LVec)
2		fvex 6769	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) ∈ V
3	2	pwex 5298	. . . 4 ⊢ 𝒫 (Base‘𝑊) ∈ V
4		dfac10 9824	. . . . 5 ⊢ (CHOICE ↔ dom card = V)
5	4	biimpi 215	. . . 4 ⊢ (CHOICE → dom card = V)
6	3, 5	eleqtrrid 2846	. . 3 ⊢ (CHOICE → 𝒫 (Base‘𝑊) ∈ dom card)
7		0ss 4327	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ (Base‘𝑊)
8		ral0 4440	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(∅ ∖ {𝑥}))
9		lbsex.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
10		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
11		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
12	9, 10, 11	lbsextg 20339	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝒫 (Base‘𝑊) ∈ dom card) ∧ ∅ ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(∅ ∖ {𝑥}))) → ∃𝑠 ∈ 𝐽 ∅ ⊆ 𝑠)
13	7, 8, 12	mp3an23 1451	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝒫 (Base‘𝑊) ∈ dom card) → ∃𝑠 ∈ 𝐽 ∅ ⊆ 𝑠)
14	1, 6, 13	syl2anr 596	. 2 ⊢ ((CHOICE ∧ 𝑊 ∈ LVec) → ∃𝑠 ∈ 𝐽 ∅ ⊆ 𝑠)
15		rexn0 4438	. 2 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝐽 ∅ ⊆ 𝑠 → 𝐽 ≠ ∅)
16	14, 15	syl 17	1 ⊢ ((CHOICE ∧ 𝑊 ∈ LVec) → 𝐽 ≠ ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  𝒫 cpw 4530  {csn 4558  dom cdm 5580  ‘cfv 6418  cardccrd 9624  CHOICEwac 9802  Basecbs 16840  LSpanclspn 20148  LBasisclbs 20251  LVecclvec 20279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-rpss 7554  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-oadd 8271  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-dju 9590  df-card 9628  df-ac 9803  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-drng 19908  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-lbs 20252  df-lvec 20280

This theorem is referenced by:  lbsex  20342