MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcan1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divcan1i 11371
Description: A cancellation law for division. (Contributed by NM, 18-May-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
divclz.1 𝐴 ∈ ℂ
divclz.2 𝐵 ∈ ℂ
divcl.3 𝐵 ≠ 0
Assertion
Ref Expression
divcan1i ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴

Proof of Theorem divcan1i
StepHypRef Expression
1 divclz.2 . 2 𝐵 ∈ ℂ
2 divclz.1 . . 3 𝐴 ∈ ℂ
3 divcl.3 . . 3 𝐵 ≠ 0
42, 1, 3divcli 11369 . 2 (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ
52, 1, 3divcan2i 11370 . 2 (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴
61, 4, 5mulcomli 10637 1 ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3013  (class class class)co 7140  cc 10522  0cc0 10524   · cmul 10529   / cdiv 11284
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446  ax-resscn 10581  ax-1cn 10582  ax-icn 10583  ax-addcl 10584  ax-addrcl 10585  ax-mulcl 10586  ax-mulrcl 10587  ax-mulcom 10588  ax-addass 10589  ax-mulass 10590  ax-distr 10591  ax-i2m1 10592  ax-1ne0 10593  ax-1rid 10594  ax-rnegex 10595  ax-rrecex 10596  ax-cnre 10597  ax-pre-lttri 10598  ax-pre-lttrn 10599  ax-pre-ltadd 10600  ax-pre-mulgt0 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-op 4555  df-uni 4822  df-br 5050  df-opab 5112  df-mpt 5130  df-id 5443  df-po 5457  df-so 5458  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-f1 6343  df-fo 6344  df-f1o 6345  df-fv 6346  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-pnf 10664  df-mnf 10665  df-xr 10666  df-ltxr 10667  df-le 10668  df-sub 10859  df-neg 10860  df-div 11285
This theorem is referenced by:  pcoass  23620  ang180lem2  25387  ang180lem3  25388  atantan  25500  ipdirilem  28603  threehalves  30590
  Copyright terms: Public domain W3C validator