Theorem threehalves 33147

Description: Example theorem demonstrating decimal expansions. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
threehalves	⊢ (3 / 2) = (1.5)

Proof of Theorem threehalves

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 12312	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		2re 12306	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		2ne0 12338	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
4	1, 2, 3	redivcli 11973	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
5	4	recni 11211	. . 3 ⊢ (3 / 2) ∈ ℂ
6		1nn0 12511	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7		5re 12319	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
8		dpcl 33123	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℝ) → (1.5) ∈ ℝ)
9	6, 7, 8	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (1.5) ∈ ℝ
10	9	recni 11211	. . 3 ⊢ (1.5) ∈ ℂ
11		2cnne0 12444	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
12	5, 10, 11	3pm3.2i 1356	. 2 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
13		5nn0 12515	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14		3nn0 12513	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
15		0nn0 12510	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
16		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ ;15 = ;15
17		df-2 12294	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (1 + 1)
18	17	oveq1i 7410	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = ((1 + 1) + 1)
19		2p1e3 12373	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = 3
20	18, 19	eqtr3i 2790	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 1) + 1) = 3
21		5p5e10 12778	. . . . . 6 ⊢ (5 + 5) = ;10
22	6, 13, 6, 13, 16, 16, 20, 15, 21	decaddc 12762	. . . . 5 ⊢ (;15 + ;15) = ;30
23	6, 13, 6, 13, 14, 15, 22	dpadd 33143	. . . 4 ⊢ ((1.5) + (1.5)) = (3.0)
24	14	dp0u 33133	. . . 4 ⊢ (3.0) = 3
25	23, 24	eqtri 2788	. . 3 ⊢ ((1.5) + (1.5)) = 3
26	10	times2i 12370	. . 3 ⊢ ((1.5) · 2) = ((1.5) + (1.5))
27	1	recni 11211	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
28	11	simpli 488	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
29	27, 28, 3	divcan1i 11950	. . 3 ⊢ ((3 / 2) · 2) = 3
30	25, 26, 29	3eqtr4ri 2799	. 2 ⊢ ((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2)
31		mulcan2 11840	. . 3 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2) ↔ (3 / 2) = (1.5)))
32	31	biimpa 481	. 2 ⊢ ((((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) ∧ ((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2)) → (3 / 2) = (1.5))
33	12, 30, 32	mp2an 704	1 ⊢ (3 / 2) = (1.5)

Syntax hints:   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  ℝcr 11087  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091   · cmul 11093   / cdiv 11859  2c2 12286  3c3 12287  5c5 12289  ℕ₀cn0 12495  ;cdc 12702  .cdp 33120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-dec 12703  df-dp2 33104  df-dp 33121

This theorem is referenced by: (None)