Theorem threehalves 32868

Description: Example theorem demonstrating decimal expansions. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
threehalves	⊢ (3 / 2) = (1.5)

Proof of Theorem threehalves

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 12226	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		2re 12220	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		2ne0 12250	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
4	1, 2, 3	redivcli 11909	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
5	4	recni 11148	. . 3 ⊢ (3 / 2) ∈ ℂ
6		1nn0 12418	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7		5re 12233	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
8		dpcl 32844	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℝ) → (1.5) ∈ ℝ)
9	6, 7, 8	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (1.5) ∈ ℝ
10	9	recni 11148	. . 3 ⊢ (1.5) ∈ ℂ
11		2cnne0 12351	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
12	5, 10, 11	3pm3.2i 1340	. 2 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
13		5nn0 12422	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14		3nn0 12420	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
15		0nn0 12417	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
16		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ;15 = ;15
17		df-2 12209	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (1 + 1)
18	17	oveq1i 7363	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = ((1 + 1) + 1)
19		2p1e3 12283	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = 3
20	18, 19	eqtr3i 2754	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 1) + 1) = 3
21		5p5e10 12680	. . . . . 6 ⊢ (5 + 5) = ;10
22	6, 13, 6, 13, 16, 16, 20, 15, 21	decaddc 12664	. . . . 5 ⊢ (;15 + ;15) = ;30
23	6, 13, 6, 13, 14, 15, 22	dpadd 32864	. . . 4 ⊢ ((1.5) + (1.5)) = (3.0)
24	14	dp0u 32854	. . . 4 ⊢ (3.0) = 3
25	23, 24	eqtri 2752	. . 3 ⊢ ((1.5) + (1.5)) = 3
26	10	times2i 12280	. . 3 ⊢ ((1.5) · 2) = ((1.5) + (1.5))
27	1	recni 11148	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
28	11	simpli 483	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
29	27, 28, 3	divcan1i 11886	. . 3 ⊢ ((3 / 2) · 2) = 3
30	25, 26, 29	3eqtr4ri 2763	. 2 ⊢ ((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2)
31		mulcan2 11776	. . 3 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2) ↔ (3 / 2) = (1.5)))
32	31	biimpa 476	. 2 ⊢ ((((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) ∧ ((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2)) → (3 / 2) = (1.5))
33	12, 30, 32	mp2an 692	1 ⊢ (3 / 2) = (1.5)

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033   / cdiv 11795  2c2 12201  3c3 12202  5c5 12204  ℕ₀cn0 12402  ;cdc 12609  .cdp 32841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-dec 12610  df-dp2 32825  df-dp 32842

This theorem is referenced by: (None)