Theorem threehalves 30139

Description: Example theorem demonstrating decimal expansions. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
threehalves	⊢ (3 / 2) = (1.5)

Proof of Theorem threehalves

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 11393	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		2re 11387	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		2ne0 11424	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
4	1, 2, 3	redivcli 11084	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
5	4	recni 10343	. . 3 ⊢ (3 / 2) ∈ ℂ
6		1nn0 11598	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7		5re 11402	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
8		dpcl 30115	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℝ) → (1.5) ∈ ℝ)
9	6, 7, 8	mp2an 684	. . . 4 ⊢ (1.5) ∈ ℝ
10	9	recni 10343	. . 3 ⊢ (1.5) ∈ ℂ
11		2cnne0 11530	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
12	5, 10, 11	3pm3.2i 1439	. 2 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
13		5nn0 11602	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14		3nn0 11600	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
15		0nn0 11597	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
16		eqid 2799	. . . . . 6 ⊢ ;15 = ;15
17		df-2 11376	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (1 + 1)
18	17	oveq1i 6888	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = ((1 + 1) + 1)
19		2p1e3 11462	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = 3
20	18, 19	eqtr3i 2823	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 1) + 1) = 3
21		5p5e10 11856	. . . . . 6 ⊢ (5 + 5) = ;10
22	6, 13, 6, 13, 16, 16, 20, 15, 21	decaddc 11839	. . . . 5 ⊢ (;15 + ;15) = ;30
23	6, 13, 6, 13, 14, 15, 22	dpadd 30135	. . . 4 ⊢ ((1.5) + (1.5)) = (3.0)
24	14	dp0u 30125	. . . 4 ⊢ (3.0) = 3
25	23, 24	eqtri 2821	. . 3 ⊢ ((1.5) + (1.5)) = 3
26	10	times2i 11459	. . 3 ⊢ ((1.5) · 2) = ((1.5) + (1.5))
27	1	recni 10343	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
28	11	simpli 477	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
29	27, 28, 3	divcan1i 11061	. . 3 ⊢ ((3 / 2) · 2) = 3
30	25, 26, 29	3eqtr4ri 2832	. 2 ⊢ ((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2)
31		mulcan2 10957	. . 3 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2) ↔ (3 / 2) = (1.5)))
32	31	biimpa 469	. 2 ⊢ ((((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) ∧ ((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2)) → (3 / 2) = (1.5))
33	12, 30, 32	mp2an 684	1 ⊢ (3 / 2) = (1.5)

Syntax hints:   ∧ wa 385   ∧ w3a 1108   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ≠ wne 2971  (class class class)co 6878  ℂcc 10222  ℝcr 10223  0cc0 10224  1c1 10225   + caddc 10227   · cmul 10229   / cdiv 10976  2c2 11368  3c3 11369  5c5 11371  ℕ₀cn0 11580  ;cdc 11783  .cdp 30112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-dec 11784  df-dp2 30096  df-dp 30113

This theorem is referenced by: (None)