Theorem threehalves 31091

Description: Example theorem demonstrating decimal expansions. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
threehalves	⊢ (3 / 2) = (1.5)

Proof of Theorem threehalves

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 11983	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		2re 11977	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		2ne0 12007	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
4	1, 2, 3	redivcli 11672	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
5	4	recni 10920	. . 3 ⊢ (3 / 2) ∈ ℂ
6		1nn0 12179	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7		5re 11990	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
8		dpcl 31067	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℝ) → (1.5) ∈ ℝ)
9	6, 7, 8	mp2an 688	. . . 4 ⊢ (1.5) ∈ ℝ
10	9	recni 10920	. . 3 ⊢ (1.5) ∈ ℂ
11		2cnne0 12113	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
12	5, 10, 11	3pm3.2i 1337	. 2 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
13		5nn0 12183	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14		3nn0 12181	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
15		0nn0 12178	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
16		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ ;15 = ;15
17		df-2 11966	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (1 + 1)
18	17	oveq1i 7265	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = ((1 + 1) + 1)
19		2p1e3 12045	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = 3
20	18, 19	eqtr3i 2768	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 1) + 1) = 3
21		5p5e10 12437	. . . . . 6 ⊢ (5 + 5) = ;10
22	6, 13, 6, 13, 16, 16, 20, 15, 21	decaddc 12421	. . . . 5 ⊢ (;15 + ;15) = ;30
23	6, 13, 6, 13, 14, 15, 22	dpadd 31087	. . . 4 ⊢ ((1.5) + (1.5)) = (3.0)
24	14	dp0u 31077	. . . 4 ⊢ (3.0) = 3
25	23, 24	eqtri 2766	. . 3 ⊢ ((1.5) + (1.5)) = 3
26	10	times2i 12042	. . 3 ⊢ ((1.5) · 2) = ((1.5) + (1.5))
27	1	recni 10920	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
28	11	simpli 483	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
29	27, 28, 3	divcan1i 11649	. . 3 ⊢ ((3 / 2) · 2) = 3
30	25, 26, 29	3eqtr4ri 2777	. 2 ⊢ ((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2)
31		mulcan2 11543	. . 3 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2) ↔ (3 / 2) = (1.5)))
32	31	biimpa 476	. 2 ⊢ ((((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) ∧ ((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2)) → (3 / 2) = (1.5))
33	12, 30, 32	mp2an 688	1 ⊢ (3 / 2) = (1.5)

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   / cdiv 11562  2c2 11958  3c3 11959  5c5 11961  ℕ₀cn0 12163  ;cdc 12366  .cdp 31064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-dec 12367  df-dp2 31048  df-dp 31065

This theorem is referenced by: (None)