Theorem threehalves 32835

Description: Example theorem demonstrating decimal expansions. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
threehalves	⊢ (3 / 2) = (1.5)

Proof of Theorem threehalves

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 12266	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		2re 12260	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		2ne0 12290	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
4	1, 2, 3	redivcli 11949	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
5	4	recni 11188	. . 3 ⊢ (3 / 2) ∈ ℂ
6		1nn0 12458	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7		5re 12273	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
8		dpcl 32811	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℝ) → (1.5) ∈ ℝ)
9	6, 7, 8	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (1.5) ∈ ℝ
10	9	recni 11188	. . 3 ⊢ (1.5) ∈ ℂ
11		2cnne0 12391	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
12	5, 10, 11	3pm3.2i 1340	. 2 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
13		5nn0 12462	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14		3nn0 12460	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
15		0nn0 12457	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
16		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ;15 = ;15
17		df-2 12249	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (1 + 1)
18	17	oveq1i 7397	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = ((1 + 1) + 1)
19		2p1e3 12323	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = 3
20	18, 19	eqtr3i 2754	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 1) + 1) = 3
21		5p5e10 12720	. . . . . 6 ⊢ (5 + 5) = ;10
22	6, 13, 6, 13, 16, 16, 20, 15, 21	decaddc 12704	. . . . 5 ⊢ (;15 + ;15) = ;30
23	6, 13, 6, 13, 14, 15, 22	dpadd 32831	. . . 4 ⊢ ((1.5) + (1.5)) = (3.0)
24	14	dp0u 32821	. . . 4 ⊢ (3.0) = 3
25	23, 24	eqtri 2752	. . 3 ⊢ ((1.5) + (1.5)) = 3
26	10	times2i 12320	. . 3 ⊢ ((1.5) · 2) = ((1.5) + (1.5))
27	1	recni 11188	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
28	11	simpli 483	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
29	27, 28, 3	divcan1i 11926	. . 3 ⊢ ((3 / 2) · 2) = 3
30	25, 26, 29	3eqtr4ri 2763	. 2 ⊢ ((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2)
31		mulcan2 11816	. . 3 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2) ↔ (3 / 2) = (1.5)))
32	31	biimpa 476	. 2 ⊢ ((((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) ∧ ((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2)) → (3 / 2) = (1.5))
33	12, 30, 32	mp2an 692	1 ⊢ (3 / 2) = (1.5)

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073   / cdiv 11835  2c2 12241  3c3 12242  5c5 12244  ℕ₀cn0 12442  ;cdc 12649  .cdp 32808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-dec 12650  df-dp2 32792  df-dp 32809

This theorem is referenced by: (None)