Theorem threehalves 33368

Description: Example theorem demonstrating decimal expansions. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
threehalves	⊢ (3 / 2) = (1.5)

Proof of Theorem threehalves

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 12349	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		2re 12343	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		2ne0 12375	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
4	1, 2, 3	redivcli 12010	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
5	4	recni 11251	. . 3 ⊢ (3 / 2) ∈ ℂ
6		1nn0 12548	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7		5re 12356	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
8		dpcl 33344	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℝ) → (1.5) ∈ ℝ)
9	6, 7, 8	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (1.5) ∈ ℝ
10	9	recni 11251	. . 3 ⊢ (1.5) ∈ ℂ
11		2cnne0 12481	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
12	5, 10, 11	3pm3.2i 1358	. 2 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
13		5nn0 12552	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14		3nn0 12550	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
15		0nn0 12547	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
16		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ ;15 = ;15
17		df-2 12331	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (1 + 1)
18	17	oveq1i 7427	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = ((1 + 1) + 1)
19		2p1e3 12410	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = 3
20	18, 19	eqtr3i 2787	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 1) + 1) = 3
21		5p5e10 12816	. . . . . 6 ⊢ (5 + 5) = ;10
22	6, 13, 6, 13, 16, 16, 20, 15, 21	decaddc 12800	. . . . 5 ⊢ (;15 + ;15) = ;30
23	6, 13, 6, 13, 14, 15, 22	dpadd 33364	. . . 4 ⊢ ((1.5) + (1.5)) = (3.0)
24	14	dp0u 33354	. . . 4 ⊢ (3.0) = 3
25	23, 24	eqtri 2785	. . 3 ⊢ ((1.5) + (1.5)) = 3
26	10	times2i 12407	. . 3 ⊢ ((1.5) · 2) = ((1.5) + (1.5))
27	1	recni 11251	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
28	11	simpli 489	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
29	27, 28, 3	divcan1i 11987	. . 3 ⊢ ((3 / 2) · 2) = 3
30	25, 26, 29	3eqtr4ri 2796	. 2 ⊢ ((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2)
31		mulcan2 11880	. . 3 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2) ↔ (3 / 2) = (1.5)))
32	31	biimpa 482	. 2 ⊢ ((((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) ∧ ((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2)) → (3 / 2) = (1.5))
33	12, 30, 32	mp2an 705	1 ⊢ (3 / 2) = (1.5)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  ℝcr 11127  0cc0 11128  1c1 11129   + caddc 11131   · cmul 11133   / cdiv 11899  2c2 12323  3c3 12324  5c5 12326  ℕ₀cn0 12532  ;cdc 12740  .cdp 33341

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-dec 12741  df-dp2 33325  df-dp 33342

This theorem is used by: (None)