Theorem threehalves 32974

Description: Example theorem demonstrating decimal expansions. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
threehalves	⊢ (3 / 2) = (1.5)

Proof of Theorem threehalves

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 12261	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		2re 12255	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		2ne0 12285	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
4	1, 2, 3	redivcli 11922	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
5	4	recni 11159	. . 3 ⊢ (3 / 2) ∈ ℂ
6		1nn0 12453	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7		5re 12268	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
8		dpcl 32950	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℝ) → (1.5) ∈ ℝ)
9	6, 7, 8	mp2an 693	. . . 4 ⊢ (1.5) ∈ ℝ
10	9	recni 11159	. . 3 ⊢ (1.5) ∈ ℂ
11		2cnne0 12386	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
12	5, 10, 11	3pm3.2i 1341	. 2 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
13		5nn0 12457	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14		3nn0 12455	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
15		0nn0 12452	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
16		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ ;15 = ;15
17		df-2 12244	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (1 + 1)
18	17	oveq1i 7377	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = ((1 + 1) + 1)
19		2p1e3 12318	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = 3
20	18, 19	eqtr3i 2761	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 1) + 1) = 3
21		5p5e10 12715	. . . . . 6 ⊢ (5 + 5) = ;10
22	6, 13, 6, 13, 16, 16, 20, 15, 21	decaddc 12699	. . . . 5 ⊢ (;15 + ;15) = ;30
23	6, 13, 6, 13, 14, 15, 22	dpadd 32970	. . . 4 ⊢ ((1.5) + (1.5)) = (3.0)
24	14	dp0u 32960	. . . 4 ⊢ (3.0) = 3
25	23, 24	eqtri 2759	. . 3 ⊢ ((1.5) + (1.5)) = 3
26	10	times2i 12315	. . 3 ⊢ ((1.5) · 2) = ((1.5) + (1.5))
27	1	recni 11159	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
28	11	simpli 483	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
29	27, 28, 3	divcan1i 11899	. . 3 ⊢ ((3 / 2) · 2) = 3
30	25, 26, 29	3eqtr4ri 2770	. 2 ⊢ ((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2)
31		mulcan2 11788	. . 3 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2) ↔ (3 / 2) = (1.5)))
32	31	biimpa 476	. 2 ⊢ ((((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) ∧ ((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2)) → (3 / 2) = (1.5))
33	12, 30, 32	mp2an 693	1 ⊢ (3 / 2) = (1.5)

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   / cdiv 11807  2c2 12236  3c3 12237  5c5 12239  ℕ₀cn0 12437  ;cdc 12644  .cdp 32947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-dec 12645  df-dp2 32931  df-dp 32948

This theorem is referenced by: (None)