Theorem threehalves 32723

Description: Example theorem demonstrating decimal expansions. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
threehalves	⊢ (3 / 2) = (1.5)

Proof of Theorem threehalves

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 12325	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		2re 12319	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		2ne0 12349	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
4	1, 2, 3	redivcli 12014	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
5	4	recni 11260	. . 3 ⊢ (3 / 2) ∈ ℂ
6		1nn0 12521	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7		5re 12332	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
8		dpcl 32699	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℝ) → (1.5) ∈ ℝ)
9	6, 7, 8	mp2an 690	. . . 4 ⊢ (1.5) ∈ ℝ
10	9	recni 11260	. . 3 ⊢ (1.5) ∈ ℂ
11		2cnne0 12455	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
12	5, 10, 11	3pm3.2i 1336	. 2 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
13		5nn0 12525	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14		3nn0 12523	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
15		0nn0 12520	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
16		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ ;15 = ;15
17		df-2 12308	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (1 + 1)
18	17	oveq1i 7429	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = ((1 + 1) + 1)
19		2p1e3 12387	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = 3
20	18, 19	eqtr3i 2755	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 1) + 1) = 3
21		5p5e10 12781	. . . . . 6 ⊢ (5 + 5) = ;10
22	6, 13, 6, 13, 16, 16, 20, 15, 21	decaddc 12765	. . . . 5 ⊢ (;15 + ;15) = ;30
23	6, 13, 6, 13, 14, 15, 22	dpadd 32719	. . . 4 ⊢ ((1.5) + (1.5)) = (3.0)
24	14	dp0u 32709	. . . 4 ⊢ (3.0) = 3
25	23, 24	eqtri 2753	. . 3 ⊢ ((1.5) + (1.5)) = 3
26	10	times2i 12384	. . 3 ⊢ ((1.5) · 2) = ((1.5) + (1.5))
27	1	recni 11260	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
28	11	simpli 482	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
29	27, 28, 3	divcan1i 11991	. . 3 ⊢ ((3 / 2) · 2) = 3
30	25, 26, 29	3eqtr4ri 2764	. 2 ⊢ ((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2)
31		mulcan2 11884	. . 3 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2) ↔ (3 / 2) = (1.5)))
32	31	biimpa 475	. 2 ⊢ ((((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) ∧ ((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2)) → (3 / 2) = (1.5))
33	12, 30, 32	mp2an 690	1 ⊢ (3 / 2) = (1.5)

Syntax hints:   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  (class class class)co 7419  ℂcc 11138  ℝcr 11139  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143   · cmul 11145   / cdiv 11903  2c2 12300  3c3 12301  5c5 12303  ℕ₀cn0 12505  ;cdc 12710  .cdp 32696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-dec 12711  df-dp2 32680  df-dp 32697

This theorem is referenced by: (None)