Theorem threehalves 33527

Description: Example theorem demonstrating decimal expansions. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
threehalves	⊢ (3 / 2) = (1.5)

Proof of Theorem threehalves

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 12426	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		2re 12420	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		2ne0 12452	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
4	1, 2, 3	redivcli 12087	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
5	4	recni 11326	. . 3 ⊢ (3 / 2) ∈ ℂ
6		1nn0 12625	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7		5re 12433	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
8		dpcl 33503	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℝ) → (1.5) ∈ ℝ)
9	6, 7, 8	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (1.5) ∈ ℝ
10	9	recni 11326	. . 3 ⊢ (1.5) ∈ ℂ
11		2cnne0 12558	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
12	5, 10, 11	3pm3.2i 1358	. 2 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
13		5nn0 12629	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14		3nn0 12627	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
15		0nn0 12624	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
16		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ;15 = ;15
17		df-2 12408	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (1 + 1)
18	17	oveq1i 7430	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = ((1 + 1) + 1)
19		2p1e3 12487	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = 3
20	18, 19	eqtr3i 2785	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 1) + 1) = 3
21		5p5e10 12893	. . . . . 6 ⊢ (5 + 5) = ;10
22	6, 13, 6, 13, 16, 16, 20, 15, 21	decaddc 12877	. . . . 5 ⊢ (;15 + ;15) = ;30
23	6, 13, 6, 13, 14, 15, 22	dpadd 33523	. . . 4 ⊢ ((1.5) + (1.5)) = (3.0)
24	14	dp0u 33513	. . . 4 ⊢ (3.0) = 3
25	23, 24	eqtri 2783	. . 3 ⊢ ((1.5) + (1.5)) = 3
26	10	times2i 12484	. . 3 ⊢ ((1.5) · 2) = ((1.5) + (1.5))
27	1	recni 11326	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
28	11	simpli 489	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
29	27, 28, 3	divcan1i 12064	. . 3 ⊢ ((3 / 2) · 2) = 3
30	25, 26, 29	3eqtr4ri 2794	. 2 ⊢ ((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2)
31		mulcan2 11957	. . 3 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2) ↔ (3 / 2) = (1.5)))
32	31	biimpa 482	. 2 ⊢ ((((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) ∧ ((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2)) → (3 / 2) = (1.5))
33	12, 30, 32	mp2an 705	1 ⊢ (3 / 2) = (1.5)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  ℝcr 11202  0cc0 11203  1c1 11204   + caddc 11206   · cmul 11208   / cdiv 11976  2c2 12400  3c3 12401  5c5 12403  ℕ₀cn0 12609  ;cdc 12817  .cdp 33500

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-dec 12818  df-dp2 33484  df-dp 33501

This theorem is used by: (None)