Theorem threehalves 33212

Description: Example theorem demonstrating decimal expansions. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
threehalves	⊢ (3 / 2) = (1.5)

Proof of Theorem threehalves

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 12322	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		2re 12316	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		2ne0 12348	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
4	1, 2, 3	redivcli 11983	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
5	4	recni 11224	. . 3 ⊢ (3 / 2) ∈ ℂ
6		1nn0 12521	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7		5re 12329	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
8		dpcl 33188	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℝ) → (1.5) ∈ ℝ)
9	6, 7, 8	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (1.5) ∈ ℝ
10	9	recni 11224	. . 3 ⊢ (1.5) ∈ ℂ
11		2cnne0 12454	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
12	5, 10, 11	3pm3.2i 1358	. 2 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
13		5nn0 12525	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14		3nn0 12523	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
15		0nn0 12520	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
16		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ;15 = ;15
17		df-2 12304	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (1 + 1)
18	17	oveq1i 7422	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = ((1 + 1) + 1)
19		2p1e3 12383	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = 3
20	18, 19	eqtr3i 2788	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 1) + 1) = 3
21		5p5e10 12788	. . . . . 6 ⊢ (5 + 5) = ;10
22	6, 13, 6, 13, 16, 16, 20, 15, 21	decaddc 12772	. . . . 5 ⊢ (;15 + ;15) = ;30
23	6, 13, 6, 13, 14, 15, 22	dpadd 33208	. . . 4 ⊢ ((1.5) + (1.5)) = (3.0)
24	14	dp0u 33198	. . . 4 ⊢ (3.0) = 3
25	23, 24	eqtri 2786	. . 3 ⊢ ((1.5) + (1.5)) = 3
26	10	times2i 12380	. . 3 ⊢ ((1.5) · 2) = ((1.5) + (1.5))
27	1	recni 11224	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
28	11	simpli 488	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
29	27, 28, 3	divcan1i 11960	. . 3 ⊢ ((3 / 2) · 2) = 3
30	25, 26, 29	3eqtr4ri 2797	. 2 ⊢ ((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2)
31		mulcan2 11853	. . 3 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2) ↔ (3 / 2) = (1.5)))
32	31	biimpa 481	. 2 ⊢ ((((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) ∧ ((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2)) → (3 / 2) = (1.5))
33	12, 30, 32	mp2an 704	1 ⊢ (3 / 2) = (1.5)

Syntax hints:   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  ℝcr 11100  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104   · cmul 11106   / cdiv 11872  2c2 12296  3c3 12297  5c5 12299  ℕ₀cn0 12505  ;cdc 12712  .cdp 33185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-dec 12713  df-dp2 33169  df-dp 33186

This theorem is referenced by: (None)