Theorem threehalves 31189

Description: Example theorem demonstrating decimal expansions. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
threehalves	⊢ (3 / 2) = (1.5)

Proof of Theorem threehalves

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 12053	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		2re 12047	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		2ne0 12077	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
4	1, 2, 3	redivcli 11742	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
5	4	recni 10989	. . 3 ⊢ (3 / 2) ∈ ℂ
6		1nn0 12249	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7		5re 12060	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
8		dpcl 31165	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℝ) → (1.5) ∈ ℝ)
9	6, 7, 8	mp2an 689	. . . 4 ⊢ (1.5) ∈ ℝ
10	9	recni 10989	. . 3 ⊢ (1.5) ∈ ℂ
11		2cnne0 12183	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
12	5, 10, 11	3pm3.2i 1338	. 2 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
13		5nn0 12253	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14		3nn0 12251	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
15		0nn0 12248	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
16		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ ;15 = ;15
17		df-2 12036	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (1 + 1)
18	17	oveq1i 7285	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = ((1 + 1) + 1)
19		2p1e3 12115	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = 3
20	18, 19	eqtr3i 2768	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 1) + 1) = 3
21		5p5e10 12508	. . . . . 6 ⊢ (5 + 5) = ;10
22	6, 13, 6, 13, 16, 16, 20, 15, 21	decaddc 12492	. . . . 5 ⊢ (;15 + ;15) = ;30
23	6, 13, 6, 13, 14, 15, 22	dpadd 31185	. . . 4 ⊢ ((1.5) + (1.5)) = (3.0)
24	14	dp0u 31175	. . . 4 ⊢ (3.0) = 3
25	23, 24	eqtri 2766	. . 3 ⊢ ((1.5) + (1.5)) = 3
26	10	times2i 12112	. . 3 ⊢ ((1.5) · 2) = ((1.5) + (1.5))
27	1	recni 10989	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
28	11	simpli 484	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
29	27, 28, 3	divcan1i 11719	. . 3 ⊢ ((3 / 2) · 2) = 3
30	25, 26, 29	3eqtr4ri 2777	. 2 ⊢ ((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2)
31		mulcan2 11613	. . 3 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2) ↔ (3 / 2) = (1.5)))
32	31	biimpa 477	. 2 ⊢ ((((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) ∧ ((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2)) → (3 / 2) = (1.5))
33	12, 30, 32	mp2an 689	1 ⊢ (3 / 2) = (1.5)

Syntax hints:   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   / cdiv 11632  2c2 12028  3c3 12029  5c5 12031  ℕ₀cn0 12233  ;cdc 12437  .cdp 31162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-dec 12438  df-dp2 31146  df-dp 31163

This theorem is referenced by: (None)