Theorem threehalves 32844

Description: Example theorem demonstrating decimal expansions. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
threehalves	⊢ (3 / 2) = (1.5)

Proof of Theorem threehalves

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 12329	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		2re 12323	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		2ne0 12353	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
4	1, 2, 3	redivcli 12017	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
5	4	recni 11258	. . 3 ⊢ (3 / 2) ∈ ℂ
6		1nn0 12526	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7		5re 12336	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
8		dpcl 32820	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℝ) → (1.5) ∈ ℝ)
9	6, 7, 8	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (1.5) ∈ ℝ
10	9	recni 11258	. . 3 ⊢ (1.5) ∈ ℂ
11		2cnne0 12459	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
12	5, 10, 11	3pm3.2i 1339	. 2 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
13		5nn0 12530	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14		3nn0 12528	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
15		0nn0 12525	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
16		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ ;15 = ;15
17		df-2 12312	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (1 + 1)
18	17	oveq1i 7424	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = ((1 + 1) + 1)
19		2p1e3 12391	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = 3
20	18, 19	eqtr3i 2759	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 1) + 1) = 3
21		5p5e10 12788	. . . . . 6 ⊢ (5 + 5) = ;10
22	6, 13, 6, 13, 16, 16, 20, 15, 21	decaddc 12772	. . . . 5 ⊢ (;15 + ;15) = ;30
23	6, 13, 6, 13, 14, 15, 22	dpadd 32840	. . . 4 ⊢ ((1.5) + (1.5)) = (3.0)
24	14	dp0u 32830	. . . 4 ⊢ (3.0) = 3
25	23, 24	eqtri 2757	. . 3 ⊢ ((1.5) + (1.5)) = 3
26	10	times2i 12388	. . 3 ⊢ ((1.5) · 2) = ((1.5) + (1.5))
27	1	recni 11258	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
28	11	simpli 483	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
29	27, 28, 3	divcan1i 11994	. . 3 ⊢ ((3 / 2) · 2) = 3
30	25, 26, 29	3eqtr4ri 2768	. 2 ⊢ ((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2)
31		mulcan2 11884	. . 3 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2) ↔ (3 / 2) = (1.5)))
32	31	biimpa 476	. 2 ⊢ ((((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) ∧ ((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2)) → (3 / 2) = (1.5))
33	12, 30, 32	mp2an 692	1 ⊢ (3 / 2) = (1.5)

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  (class class class)co 7414  ℂcc 11136  ℝcr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   · cmul 11143   / cdiv 11903  2c2 12304  3c3 12305  5c5 12307  ℕ₀cn0 12510  ;cdc 12717  .cdp 32817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-op 4615  df-uni 4890  df-iun 4975  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7871  df-2nd 7998  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-er 8728  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11904  df-nn 12250  df-2 12312  df-3 12313  df-4 12314  df-5 12315  df-6 12316  df-7 12317  df-8 12318  df-9 12319  df-n0 12511  df-dec 12718  df-dp2 32801  df-dp 32818

This theorem is referenced by: (None)