Theorem threehalves 30593

Description: Example theorem demonstrating decimal expansions. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
threehalves	⊢ (3 / 2) = (1.5)

Proof of Theorem threehalves

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 11720	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		2re 11714	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		2ne0 11744	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
4	1, 2, 3	redivcli 11409	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
5	4	recni 10657	. . 3 ⊢ (3 / 2) ∈ ℂ
6		1nn0 11916	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7		5re 11727	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
8		dpcl 30569	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℝ) → (1.5) ∈ ℝ)
9	6, 7, 8	mp2an 690	. . . 4 ⊢ (1.5) ∈ ℝ
10	9	recni 10657	. . 3 ⊢ (1.5) ∈ ℂ
11		2cnne0 11850	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
12	5, 10, 11	3pm3.2i 1335	. 2 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
13		5nn0 11920	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14		3nn0 11918	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
15		0nn0 11915	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
16		eqid 2823	. . . . . 6 ⊢ ;15 = ;15
17		df-2 11703	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (1 + 1)
18	17	oveq1i 7168	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = ((1 + 1) + 1)
19		2p1e3 11782	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = 3
20	18, 19	eqtr3i 2848	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 1) + 1) = 3
21		5p5e10 12172	. . . . . 6 ⊢ (5 + 5) = ;10
22	6, 13, 6, 13, 16, 16, 20, 15, 21	decaddc 12156	. . . . 5 ⊢ (;15 + ;15) = ;30
23	6, 13, 6, 13, 14, 15, 22	dpadd 30589	. . . 4 ⊢ ((1.5) + (1.5)) = (3.0)
24	14	dp0u 30579	. . . 4 ⊢ (3.0) = 3
25	23, 24	eqtri 2846	. . 3 ⊢ ((1.5) + (1.5)) = 3
26	10	times2i 11779	. . 3 ⊢ ((1.5) · 2) = ((1.5) + (1.5))
27	1	recni 10657	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
28	11	simpli 486	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
29	27, 28, 3	divcan1i 11386	. . 3 ⊢ ((3 / 2) · 2) = 3
30	25, 26, 29	3eqtr4ri 2857	. 2 ⊢ ((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2)
31		mulcan2 11280	. . 3 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2) ↔ (3 / 2) = (1.5)))
32	31	biimpa 479	. 2 ⊢ ((((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) ∧ ((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2)) → (3 / 2) = (1.5))
33	12, 30, 32	mp2an 690	1 ⊢ (3 / 2) = (1.5)

Syntax hints:   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  (class class class)co 7158  ℂcc 10537  ℝcr 10538  0cc0 10539  1c1 10540   + caddc 10542   · cmul 10544   / cdiv 11299  2c2 11695  3c3 11696  5c5 11698  ℕ₀cn0 11900  ;cdc 12101  .cdp 30566

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-dec 12102  df-dp2 30550  df-dp 30567

This theorem is referenced by: (None)