Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  threehalves Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem threehalves 30139
Description: Example theorem demonstrating decimal expansions. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
threehalves (3 / 2) = (1.5)

Proof of Theorem threehalves
StepHypRef Expression
1 3re 11393 . . . . 5 3 ∈ ℝ
2 2re 11387 . . . . 5 2 ∈ ℝ
3 2ne0 11424 . . . . 5 2 ≠ 0
41, 2, 3redivcli 11084 . . . 4 (3 / 2) ∈ ℝ
54recni 10343 . . 3 (3 / 2) ∈ ℂ
6 1nn0 11598 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
7 5re 11402 . . . . 5 5 ∈ ℝ
8 dpcl 30115 . . . . 5 ((1 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℝ) → (1.5) ∈ ℝ)
96, 7, 8mp2an 684 . . . 4 (1.5) ∈ ℝ
109recni 10343 . . 3 (1.5) ∈ ℂ
11 2cnne0 11530 . . 3 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
125, 10, 113pm3.2i 1439 . 2 ((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
13 5nn0 11602 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
14 3nn0 11600 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
15 0nn0 11597 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
16 eqid 2799 . . . . . 6 15 = 15
17 df-2 11376 . . . . . . . 8 2 = (1 + 1)
1817oveq1i 6888 . . . . . . 7 (2 + 1) = ((1 + 1) + 1)
19 2p1e3 11462 . . . . . . 7 (2 + 1) = 3
2018, 19eqtr3i 2823 . . . . . 6 ((1 + 1) + 1) = 3
21 5p5e10 11856 . . . . . 6 (5 + 5) = 10
226, 13, 6, 13, 16, 16, 20, 15, 21decaddc 11839 . . . . 5 (15 + 15) = 30
236, 13, 6, 13, 14, 15, 22dpadd 30135 . . . 4 ((1.5) + (1.5)) = (3.0)
2414dp0u 30125 . . . 4 (3.0) = 3
2523, 24eqtri 2821 . . 3 ((1.5) + (1.5)) = 3
2610times2i 11459 . . 3 ((1.5) · 2) = ((1.5) + (1.5))
271recni 10343 . . . 4 3 ∈ ℂ
2811simpli 477 . . . 4 2 ∈ ℂ
2927, 28, 3divcan1i 11061 . . 3 ((3 / 2) · 2) = 3
3025, 26, 293eqtr4ri 2832 . 2 ((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2)
31 mulcan2 10957 . . 3 (((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2) ↔ (3 / 2) = (1.5)))
3231biimpa 469 . 2 ((((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) ∧ ((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2)) → (3 / 2) = (1.5))
3312, 30, 32mp2an 684 1 (3 / 2) = (1.5)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2971  (class class class)co 6878  cc 10222  cr 10223  0cc0 10224  1c1 10225   + caddc 10227   · cmul 10229   / cdiv 10976  2c2 11368  3c3 11369  5c5 11371  0cn0 11580  cdc 11783  .cdp 30112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-dec 11784  df-dp2 30096  df-dp 30113
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator