Theorem threehalves 33053

Description: Example theorem demonstrating decimal expansions. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
threehalves	⊢ (3 / 2) = (1.5)

Proof of Theorem threehalves

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 12295	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		2re 12289	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		2ne0 12321	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
4	1, 2, 3	redivcli 11955	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
5	4	recni 11193	. . 3 ⊢ (3 / 2) ∈ ℂ
6		1nn0 12494	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7		5re 12302	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
8		dpcl 33029	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℝ) → (1.5) ∈ ℝ)
9	6, 7, 8	mp2an 702	. . . 4 ⊢ (1.5) ∈ ℝ
10	9	recni 11193	. . 3 ⊢ (1.5) ∈ ℂ
11		2cnne0 12427	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
12	5, 10, 11	3pm3.2i 1352	. 2 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
13		5nn0 12498	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14		3nn0 12496	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
15		0nn0 12493	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
16		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ ;15 = ;15
17		df-2 12277	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (1 + 1)
18	17	oveq1i 7402	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = ((1 + 1) + 1)
19		2p1e3 12356	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = 3
20	18, 19	eqtr3i 2786	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 1) + 1) = 3
21		5p5e10 12761	. . . . . 6 ⊢ (5 + 5) = ;10
22	6, 13, 6, 13, 16, 16, 20, 15, 21	decaddc 12745	. . . . 5 ⊢ (;15 + ;15) = ;30
23	6, 13, 6, 13, 14, 15, 22	dpadd 33049	. . . 4 ⊢ ((1.5) + (1.5)) = (3.0)
24	14	dp0u 33039	. . . 4 ⊢ (3.0) = 3
25	23, 24	eqtri 2784	. . 3 ⊢ ((1.5) + (1.5)) = 3
26	10	times2i 12353	. . 3 ⊢ ((1.5) · 2) = ((1.5) + (1.5))
27	1	recni 11193	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
28	11	simpli 487	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
29	27, 28, 3	divcan1i 11932	. . 3 ⊢ ((3 / 2) · 2) = 3
30	25, 26, 29	3eqtr4ri 2795	. 2 ⊢ ((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2)
31		mulcan2 11822	. . 3 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2) ↔ (3 / 2) = (1.5)))
32	31	biimpa 480	. 2 ⊢ ((((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) ∧ ((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2)) → (3 / 2) = (1.5))
33	12, 30, 32	mp2an 702	1 ⊢ (3 / 2) = (1.5)

Syntax hints:   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  ℝcr 11069  0cc0 11070  1c1 11071   + caddc 11073   · cmul 11075   / cdiv 11841  2c2 12269  3c3 12270  5c5 12272  ℕ₀cn0 12478  ;cdc 12685  .cdp 33026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-dec 12686  df-dp2 33010  df-dp 33027

This theorem is referenced by: (None)