Theorem threehalves 32681

Description: Example theorem demonstrating decimal expansions. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
threehalves	⊢ (3 / 2) = (1.5)

Proof of Theorem threehalves

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 12320	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		2re 12314	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		2ne0 12344	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
4	1, 2, 3	redivcli 12009	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
5	4	recni 11256	. . 3 ⊢ (3 / 2) ∈ ℂ
6		1nn0 12516	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7		5re 12327	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
8		dpcl 32657	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℝ) → (1.5) ∈ ℝ)
9	6, 7, 8	mp2an 690	. . . 4 ⊢ (1.5) ∈ ℝ
10	9	recni 11256	. . 3 ⊢ (1.5) ∈ ℂ
11		2cnne0 12450	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
12	5, 10, 11	3pm3.2i 1336	. 2 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
13		5nn0 12520	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14		3nn0 12518	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
15		0nn0 12515	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
16		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ ;15 = ;15
17		df-2 12303	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (1 + 1)
18	17	oveq1i 7425	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = ((1 + 1) + 1)
19		2p1e3 12382	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = 3
20	18, 19	eqtr3i 2755	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 1) + 1) = 3
21		5p5e10 12776	. . . . . 6 ⊢ (5 + 5) = ;10
22	6, 13, 6, 13, 16, 16, 20, 15, 21	decaddc 12760	. . . . 5 ⊢ (;15 + ;15) = ;30
23	6, 13, 6, 13, 14, 15, 22	dpadd 32677	. . . 4 ⊢ ((1.5) + (1.5)) = (3.0)
24	14	dp0u 32667	. . . 4 ⊢ (3.0) = 3
25	23, 24	eqtri 2753	. . 3 ⊢ ((1.5) + (1.5)) = 3
26	10	times2i 12379	. . 3 ⊢ ((1.5) · 2) = ((1.5) + (1.5))
27	1	recni 11256	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
28	11	simpli 482	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
29	27, 28, 3	divcan1i 11986	. . 3 ⊢ ((3 / 2) · 2) = 3
30	25, 26, 29	3eqtr4ri 2764	. 2 ⊢ ((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2)
31		mulcan2 11880	. . 3 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2) ↔ (3 / 2) = (1.5)))
32	31	biimpa 475	. 2 ⊢ ((((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) ∧ ((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2)) → (3 / 2) = (1.5))
33	12, 30, 32	mp2an 690	1 ⊢ (3 / 2) = (1.5)

Syntax hints:   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  (class class class)co 7415  ℂcc 11134  ℝcr 11135  0cc0 11136  1c1 11137   + caddc 11139   · cmul 11141   / cdiv 11899  2c2 12295  3c3 12296  5c5 12298  ℕ₀cn0 12500  ;cdc 12705  .cdp 32654

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-dec 12706  df-dp2 32638  df-dp 32655

This theorem is referenced by: (None)