Theorem threehalves 32076

Description: Example theorem demonstrating decimal expansions. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
threehalves	⊢ (3 / 2) = (1.5)

Proof of Theorem threehalves

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 12291	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		2re 12285	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		2ne0 12315	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
4	1, 2, 3	redivcli 11980	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
5	4	recni 11227	. . 3 ⊢ (3 / 2) ∈ ℂ
6		1nn0 12487	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7		5re 12298	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
8		dpcl 32052	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℝ) → (1.5) ∈ ℝ)
9	6, 7, 8	mp2an 690	. . . 4 ⊢ (1.5) ∈ ℝ
10	9	recni 11227	. . 3 ⊢ (1.5) ∈ ℂ
11		2cnne0 12421	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
12	5, 10, 11	3pm3.2i 1339	. 2 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
13		5nn0 12491	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14		3nn0 12489	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
15		0nn0 12486	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
16		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ ;15 = ;15
17		df-2 12274	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (1 + 1)
18	17	oveq1i 7418	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = ((1 + 1) + 1)
19		2p1e3 12353	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = 3
20	18, 19	eqtr3i 2762	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 1) + 1) = 3
21		5p5e10 12747	. . . . . 6 ⊢ (5 + 5) = ;10
22	6, 13, 6, 13, 16, 16, 20, 15, 21	decaddc 12731	. . . . 5 ⊢ (;15 + ;15) = ;30
23	6, 13, 6, 13, 14, 15, 22	dpadd 32072	. . . 4 ⊢ ((1.5) + (1.5)) = (3.0)
24	14	dp0u 32062	. . . 4 ⊢ (3.0) = 3
25	23, 24	eqtri 2760	. . 3 ⊢ ((1.5) + (1.5)) = 3
26	10	times2i 12350	. . 3 ⊢ ((1.5) · 2) = ((1.5) + (1.5))
27	1	recni 11227	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
28	11	simpli 484	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
29	27, 28, 3	divcan1i 11957	. . 3 ⊢ ((3 / 2) · 2) = 3
30	25, 26, 29	3eqtr4ri 2771	. 2 ⊢ ((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2)
31		mulcan2 11851	. . 3 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2) ↔ (3 / 2) = (1.5)))
32	31	biimpa 477	. 2 ⊢ ((((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) ∧ ((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2)) → (3 / 2) = (1.5))
33	12, 30, 32	mp2an 690	1 ⊢ (3 / 2) = (1.5)

Syntax hints:   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  (class class class)co 7408  ℂcc 11107  ℝcr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   · cmul 11114   / cdiv 11870  2c2 12266  3c3 12267  5c5 12269  ℕ₀cn0 12471  ;cdc 12676  .cdp 32049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-dec 12677  df-dp2 32033  df-dp 32050

This theorem is referenced by: (None)