Theorem threehalves 33554

Description: Example theorem demonstrating decimal expansions. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
threehalves	⊢ (3 / 2) = (1.5)

Proof of Theorem threehalves

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 12453	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		2re 12447	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		2ne0 12479	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
4	1, 2, 3	redivcli 12114	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
5	4	recni 11353	. . 3 ⊢ (3 / 2) ∈ ℂ
6		1nn0 12652	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7		5re 12460	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
8		dpcl 33530	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℝ) → (1.5) ∈ ℝ)
9	6, 7, 8	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (1.5) ∈ ℝ
10	9	recni 11353	. . 3 ⊢ (1.5) ∈ ℂ
11		2cnne0 12585	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
12	5, 10, 11	3pm3.2i 1358	. 2 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
13		5nn0 12656	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14		3nn0 12654	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
15		0nn0 12651	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
16		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ;15 = ;15
17		df-2 12435	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (1 + 1)
18	17	oveq1i 7456	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = ((1 + 1) + 1)
19		2p1e3 12514	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = 3
20	18, 19	eqtr3i 2788	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 1) + 1) = 3
21		5p5e10 12920	. . . . . 6 ⊢ (5 + 5) = ;10
22	6, 13, 6, 13, 16, 16, 20, 15, 21	decaddc 12904	. . . . 5 ⊢ (;15 + ;15) = ;30
23	6, 13, 6, 13, 14, 15, 22	dpadd 33550	. . . 4 ⊢ ((1.5) + (1.5)) = (3.0)
24	14	dp0u 33540	. . . 4 ⊢ (3.0) = 3
25	23, 24	eqtri 2786	. . 3 ⊢ ((1.5) + (1.5)) = 3
26	10	times2i 12511	. . 3 ⊢ ((1.5) · 2) = ((1.5) + (1.5))
27	1	recni 11353	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
28	11	simpli 489	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
29	27, 28, 3	divcan1i 12091	. . 3 ⊢ ((3 / 2) · 2) = 3
30	25, 26, 29	3eqtr4ri 2797	. 2 ⊢ ((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2)
31		mulcan2 11984	. . 3 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2) ↔ (3 / 2) = (1.5)))
32	31	biimpa 482	. 2 ⊢ ((((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) ∧ ((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2)) → (3 / 2) = (1.5))
33	12, 30, 32	mp2an 705	1 ⊢ (3 / 2) = (1.5)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  (class class class)co 7446  ℂcc 11228  ℝcr 11229  0cc0 11230  1c1 11231   + caddc 11233   · cmul 11235   / cdiv 12003  2c2 12427  3c3 12428  5c5 12430  ℕ₀cn0 12636  ;cdc 12844  .cdp 33527

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-dec 12845  df-dp2 33511  df-dp 33528

This theorem is used by: (None)