Theorem threehalves 33000

Description: Example theorem demonstrating decimal expansions. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
threehalves	⊢ (3 / 2) = (1.5)

Proof of Theorem threehalves

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 12259	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		2re 12253	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		2ne0 12283	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
4	1, 2, 3	redivcli 11920	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
5	4	recni 11157	. . 3 ⊢ (3 / 2) ∈ ℂ
6		1nn0 12451	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7		5re 12266	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
8		dpcl 32976	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℝ) → (1.5) ∈ ℝ)
9	6, 7, 8	mp2an 698	. . . 4 ⊢ (1.5) ∈ ℝ
10	9	recni 11157	. . 3 ⊢ (1.5) ∈ ℂ
11		2cnne0 12384	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
12	5, 10, 11	3pm3.2i 1346	. 2 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
13		5nn0 12455	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14		3nn0 12453	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
15		0nn0 12450	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
16		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ ;15 = ;15
17		df-2 12242	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (1 + 1)
18	17	oveq1i 7373	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = ((1 + 1) + 1)
19		2p1e3 12316	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = 3
20	18, 19	eqtr3i 2765	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 1) + 1) = 3
21		5p5e10 12713	. . . . . 6 ⊢ (5 + 5) = ;10
22	6, 13, 6, 13, 16, 16, 20, 15, 21	decaddc 12697	. . . . 5 ⊢ (;15 + ;15) = ;30
23	6, 13, 6, 13, 14, 15, 22	dpadd 32996	. . . 4 ⊢ ((1.5) + (1.5)) = (3.0)
24	14	dp0u 32986	. . . 4 ⊢ (3.0) = 3
25	23, 24	eqtri 2763	. . 3 ⊢ ((1.5) + (1.5)) = 3
26	10	times2i 12313	. . 3 ⊢ ((1.5) · 2) = ((1.5) + (1.5))
27	1	recni 11157	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
28	11	simpli 484	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
29	27, 28, 3	divcan1i 11897	. . 3 ⊢ ((3 / 2) · 2) = 3
30	25, 26, 29	3eqtr4ri 2774	. 2 ⊢ ((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2)
31		mulcan2 11786	. . 3 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2) ↔ (3 / 2) = (1.5)))
32	31	biimpa 477	. 2 ⊢ ((((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) ∧ ((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2)) → (3 / 2) = (1.5))
33	12, 30, 32	mp2an 698	1 ⊢ (3 / 2) = (1.5)

Syntax hints:   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  ℝcr 11035  0cc0 11036  1c1 11037   + caddc 11039   · cmul 11041   / cdiv 11805  2c2 12234  3c3 12235  5c5 12237  ℕ₀cn0 12435  ;cdc 12642  .cdp 32973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-dec 12643  df-dp2 32957  df-dp 32974

This theorem is referenced by: (None)