Theorem threehalves 33006

Description: Example theorem demonstrating decimal expansions. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
threehalves	⊢ (3 / 2) = (1.5)

Proof of Theorem threehalves

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 12237	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		2re 12231	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		2ne0 12261	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
4	1, 2, 3	redivcli 11920	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
5	4	recni 11158	. . 3 ⊢ (3 / 2) ∈ ℂ
6		1nn0 12429	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7		5re 12244	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
8		dpcl 32982	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℝ) → (1.5) ∈ ℝ)
9	6, 7, 8	mp2an 693	. . . 4 ⊢ (1.5) ∈ ℝ
10	9	recni 11158	. . 3 ⊢ (1.5) ∈ ℂ
11		2cnne0 12362	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
12	5, 10, 11	3pm3.2i 1341	. 2 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
13		5nn0 12433	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14		3nn0 12431	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
15		0nn0 12428	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
16		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ;15 = ;15
17		df-2 12220	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (1 + 1)
18	17	oveq1i 7378	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = ((1 + 1) + 1)
19		2p1e3 12294	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = 3
20	18, 19	eqtr3i 2762	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 1) + 1) = 3
21		5p5e10 12690	. . . . . 6 ⊢ (5 + 5) = ;10
22	6, 13, 6, 13, 16, 16, 20, 15, 21	decaddc 12674	. . . . 5 ⊢ (;15 + ;15) = ;30
23	6, 13, 6, 13, 14, 15, 22	dpadd 33002	. . . 4 ⊢ ((1.5) + (1.5)) = (3.0)
24	14	dp0u 32992	. . . 4 ⊢ (3.0) = 3
25	23, 24	eqtri 2760	. . 3 ⊢ ((1.5) + (1.5)) = 3
26	10	times2i 12291	. . 3 ⊢ ((1.5) · 2) = ((1.5) + (1.5))
27	1	recni 11158	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
28	11	simpli 483	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
29	27, 28, 3	divcan1i 11897	. . 3 ⊢ ((3 / 2) · 2) = 3
30	25, 26, 29	3eqtr4ri 2771	. 2 ⊢ ((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2)
31		mulcan2 11787	. . 3 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2) ↔ (3 / 2) = (1.5)))
32	31	biimpa 476	. 2 ⊢ ((((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) ∧ ((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2)) → (3 / 2) = (1.5))
33	12, 30, 32	mp2an 693	1 ⊢ (3 / 2) = (1.5)

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   / cdiv 11806  2c2 12212  3c3 12213  5c5 12215  ℕ₀cn0 12413  ;cdc 12619  .cdp 32979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-dec 12620  df-dp2 32963  df-dp 32980

This theorem is referenced by: (None)