Theorem divcli 11957

Description: Closure law for division. (Contributed by NM, 2-Feb-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
divclz.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
divclz.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ
divcl.3	⊢ 𝐵 ≠ 0

Assertion

Ref	Expression
divcli	⊢ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ

Proof of Theorem divcli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divcl.3	. 2 ⊢ 𝐵 ≠ 0
2		divclz.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
3		divclz.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
4	2, 3	divclzi 11950	. 2 ⊢ (𝐵 ≠ 0 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ

Syntax hints:   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  (class class class)co 7411  ℂcc 11098  0cc0 11100   / cdiv 11871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872

This theorem is referenced by:  divcan1i  11959  halfpm6th  12466  sqdivi  14221  bpoly3  16112  bpoly4  16113  cos1bnd  16243  cospi  26603  sincosq1eq  26643  tan4thpi  26645  sincos6thpi  26647  sincos3rdpi  26648  cxpsqrt  26834  1cubr  26973  quart1cl  26985  quart1lem  26986  quart1  26987  dvatan  27066  log2cnv  27075  log2tlbnd  27076  bclbnd  27410  bposlem8  27421  bposlem9  27422  dp20h  33139  dpmul10  33155  dpmul100  33157  dp3mul10  33158  dpexpp1  33168  dpadd2  33170  cos9thpiminplylem4  34120  cos9thpiminplylem5  34121  quad3  36095  areacirc  38286  25or6to4  42897  cxpi11d  43028  tanhalfpim  43034  tan3rdpi  43037  sin2t3rdpi  43038  cos2t3rdpi  43039  sin4t3rdpi  43040  cos4t3rdpi  43041  areaquad  43869  lhe4.4ex1a  44965  stoweidlem13  46653  stoweidlem26  46666  wallispilem4  46708  wallispi  46710  dirkerper  46736  fourierdlem103  46849  fourierswlem  46870  fouriersw  46871  cos5t  47539  goldrasin  47542  goldracos5teq  47545  goldratmolem2  47546