Theorem divcli 11881

Description: Closure law for division. (Contributed by NM, 2-Feb-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
divclz.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
divclz.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ
divcl.3	⊢ 𝐵 ≠ 0

Assertion

Ref	Expression
divcli	⊢ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ

Proof of Theorem divcli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divcl.3	. 2 ⊢ 𝐵 ≠ 0
2		divclz.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
3		divclz.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
4	2, 3	divclzi 11874	. 2 ⊢ (𝐵 ≠ 0 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ

Syntax hints:   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  (class class class)co 7356  ℂcc 11022  0cc0 11024   / cdiv 11792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793

This theorem is referenced by:  divcan1i  11883  halfpm6th  12361  sqdivi  14106  bpoly3  15979  bpoly4  15980  cos1bnd  16110  cospi  26435  sincosq1eq  26475  tan4thpi  26477  sincos6thpi  26479  sincos3rdpi  26480  cxpsqrt  26666  1cubr  26806  quart1cl  26818  quart1lem  26819  quart1  26820  dvatan  26899  log2cnv  26908  log2tlbnd  26909  bclbnd  27245  bposlem8  27256  bposlem9  27257  dp20h  32909  dpmul10  32925  dpmul100  32927  dp3mul10  32928  dpexpp1  32938  dpadd2  32940  cos9thpiminplylem4  33891  cos9thpiminplylem5  33892  quad3  35813  areacirc  37853  cxpi11d  42540  tanhalfpim  42546  tan3rdpi  42549  sin2t3rdpi  42550  cos2t3rdpi  42551  sin4t3rdpi  42552  cos4t3rdpi  42553  areaquad  43400  lhe4.4ex1a  44512  stoweidlem13  46199  stoweidlem26  46212  wallispilem4  46254  wallispi  46256  dirkerper  46282  fourierdlem103  46395  fourierswlem  46416  fouriersw  46417