MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divcli 11021
Description: Closure law for division. (Contributed by NM, 2-Feb-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
divclz.1 𝐴 ∈ ℂ
divclz.2 𝐵 ∈ ℂ
divcl.3 𝐵 ≠ 0
Assertion
Ref Expression
divcli (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ

Proof of Theorem divcli
StepHypRef Expression
1 divcl.3 . 2 𝐵 ≠ 0
2 divclz.1 . . 3 𝐴 ∈ ℂ
3 divclz.2 . . 3 𝐵 ∈ ℂ
42, 3divclzi 11014 . 2 (𝐵 ≠ 0 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
51, 4ax-mp 5 1 (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2155  wne 2937  (class class class)co 6842  cc 10187  0cc0 10189   / cdiv 10938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-po 5198  df-so 5199  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939
This theorem is referenced by:  divcan1i  11023  halfpm6th  11499  sqdivi  13155  bpoly3  15071  bpoly4  15072  cos1bnd  15199  cospi  24516  sinhalfpip  24536  sinhalfpim  24537  coshalfpip  24538  coshalfpim  24539  sincosq1eq  24556  sincos6thpi  24559  sincos3rdpi  24560  cxpsqrt  24740  1cubr  24860  quart1cl  24872  quart1lem  24873  quart1  24874  dvatan  24953  log2cnv  24962  log2tlbnd  24963  bclbnd  25296  bposlem8  25307  bposlem9  25308  dp20h  30034  dpmul10  30050  dpmul100  30052  dp3mul10  30053  dpexpp1  30063  dpadd2  30065  quad3  32010  areacirc  33928  areaquad  38478  lhe4.4ex1a  39202  stoweidlem13  40867  stoweidlem26  40880  wallispilem4  40922  wallispi  40924  dirkerper  40950  fourierdlem103  41063  fourierswlem  41084  fouriersw  41085
  Copyright terms: Public domain W3C validator