Theorem divcli 11900

Description: Closure law for division. (Contributed by NM, 2-Feb-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
divclz.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
divclz.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ
divcl.3	⊢ 𝐵 ≠ 0

Assertion

Ref	Expression
divcli	⊢ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ

Proof of Theorem divcli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divcl.3	. 2 ⊢ 𝐵 ≠ 0
2		divclz.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
3		divclz.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
4	2, 3	divclzi 11893	. 2 ⊢ (𝐵 ≠ 0 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  0cc0 11044   / cdiv 11811

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812

This theorem is referenced by:  divcan1i  11902  halfpm6th  12380  sqdivi  14126  bpoly3  16000  bpoly4  16001  cos1bnd  16131  cospi  26414  sincosq1eq  26454  tan4thpi  26456  sincos6thpi  26458  sincos3rdpi  26459  cxpsqrt  26645  1cubr  26785  quart1cl  26797  quart1lem  26798  quart1  26799  dvatan  26878  log2cnv  26887  log2tlbnd  26888  bclbnd  27224  bposlem8  27235  bposlem9  27236  dp20h  32849  dpmul10  32865  dpmul100  32867  dp3mul10  32868  dpexpp1  32878  dpadd2  32880  cos9thpiminplylem4  33768  cos9thpiminplylem5  33769  quad3  35650  areacirc  37700  cxpi11d  42324  tanhalfpim  42330  tan3rdpi  42333  sin2t3rdpi  42334  cos2t3rdpi  42335  sin4t3rdpi  42336  cos4t3rdpi  42337  areaquad  43198  lhe4.4ex1a  44311  stoweidlem13  46004  stoweidlem26  46017  wallispilem4  46059  wallispi  46061  dirkerper  46087  fourierdlem103  46200  fourierswlem  46221  fouriersw  46222