Theorem divcli 11889

Description: Closure law for division. (Contributed by NM, 2-Feb-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
divclz.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
divclz.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ
divcl.3	⊢ 𝐵 ≠ 0

Assertion

Ref	Expression
divcli	⊢ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ

Proof of Theorem divcli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divcl.3	. 2 ⊢ 𝐵 ≠ 0
2		divclz.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
3		divclz.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
4	2, 3	divclzi 11882	. 2 ⊢ (𝐵 ≠ 0 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ

Syntax hints:   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  (class class class)co 7357  ℂcc 11028  0cc0 11030   / cdiv 11799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800

This theorem is referenced by:  divcan1i  11891  halfpm6th  12391  sqdivi  14139  bpoly3  16015  bpoly4  16016  cos1bnd  16146  cospi  26455  sincosq1eq  26495  tan4thpi  26497  sincos6thpi  26499  sincos3rdpi  26500  cxpsqrt  26686  1cubr  26825  quart1cl  26837  quart1lem  26838  quart1  26839  dvatan  26918  log2cnv  26927  log2tlbnd  26928  bclbnd  27262  bposlem8  27273  bposlem9  27274  dp20h  32958  dpmul10  32974  dpmul100  32976  dp3mul10  32977  dpexpp1  32987  dpadd2  32989  cos9thpiminplylem4  33978  cos9thpiminplylem5  33979  quad3  35907  areacirc  38089  cxpi11d  42829  tanhalfpim  42835  tan3rdpi  42838  sin2t3rdpi  42839  cos2t3rdpi  42840  sin4t3rdpi  42841  cos4t3rdpi  42842  areaquad  43670  lhe4.4ex1a  44782  stoweidlem13  46464  stoweidlem26  46477  wallispilem4  46519  wallispi  46521  dirkerper  46547  fourierdlem103  46660  fourierswlem  46681  fouriersw  46682  cos5t  47350  goldrasin  47353  goldracos5teq  47356  goldratmolem2  47357