Theorem divmulasscom 11947

Description: An associative/commutative law for division and multiplication. (Contributed by AV, 10-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
divmulasscom	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐴 · (𝐵 / 𝐷)) · 𝐶) = (𝐵 · ((𝐴 · 𝐶) / 𝐷)))

Proof of Theorem divmulasscom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divmulass 11946	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐴 · (𝐵 / 𝐷)) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 / 𝐷)))
2		mulcom 11242	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
3	2	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
5	4	oveq1d 7447	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐵 · 𝐴) · (𝐶 / 𝐷)))
6		simpl2 1192	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
7		simpl1 1191	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
8		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
9	8	anim1i 615	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)))
10		3anass 1094	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)))
11	9, 10	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))
12		divcl 11929	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐶 / 𝐷) ∈ ℂ)
13	11, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐶 / 𝐷) ∈ ℂ)
14	6, 7, 13	mulassd 11285	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐵 · 𝐴) · (𝐶 / 𝐷)) = (𝐵 · (𝐴 · (𝐶 / 𝐷))))
15	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → 𝐶 ∈ ℂ)
16		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))
17		divass 11941	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐶) / 𝐷) = (𝐴 · (𝐶 / 𝐷)))
18	7, 15, 16, 17	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐶) / 𝐷) = (𝐴 · (𝐶 / 𝐷)))
19	18	eqcomd 2742	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐴 · (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) / 𝐷))
20	19	oveq2d 7448	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐵 · (𝐴 · (𝐶 / 𝐷))) = (𝐵 · ((𝐴 · 𝐶) / 𝐷)))
21	14, 20	eqtrd 2776	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐵 · 𝐴) · (𝐶 / 𝐷)) = (𝐵 · ((𝐴 · 𝐶) / 𝐷)))
22	1, 5, 21	3eqtrd 2780	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐴 · (𝐵 / 𝐷)) · 𝐶) = (𝐵 · ((𝐴 · 𝐶) / 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  (class class class)co 7432  ℂcc 11154  0cc0 11156   · cmul 11161   / cdiv 11921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922

This theorem is referenced by:  cncongr2  16706