Theorem divmulasscom 11587

Description: An associative/commutative law for division and multiplication. (Contributed by AV, 10-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
divmulasscom	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐴 · (𝐵 / 𝐷)) · 𝐶) = (𝐵 · ((𝐴 · 𝐶) / 𝐷)))

Proof of Theorem divmulasscom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divmulass 11586	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐴 · (𝐵 / 𝐷)) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 / 𝐷)))
2		mulcom 10888	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
3	2	3adant3 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
5	4	oveq1d 7270	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐵 · 𝐴) · (𝐶 / 𝐷)))
6		simpl2 1190	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
7		simpl1 1189	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
8		simp3 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
9	8	anim1i 614	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)))
10		3anass 1093	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)))
11	9, 10	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))
12		divcl 11569	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐶 / 𝐷) ∈ ℂ)
13	11, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐶 / 𝐷) ∈ ℂ)
14	6, 7, 13	mulassd 10929	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐵 · 𝐴) · (𝐶 / 𝐷)) = (𝐵 · (𝐴 · (𝐶 / 𝐷))))
15	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → 𝐶 ∈ ℂ)
16		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))
17		divass 11581	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐶) / 𝐷) = (𝐴 · (𝐶 / 𝐷)))
18	7, 15, 16, 17	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐶) / 𝐷) = (𝐴 · (𝐶 / 𝐷)))
19	18	eqcomd 2744	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐴 · (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) / 𝐷))
20	19	oveq2d 7271	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐵 · (𝐴 · (𝐶 / 𝐷))) = (𝐵 · ((𝐴 · 𝐶) / 𝐷)))
21	14, 20	eqtrd 2778	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐵 · 𝐴) · (𝐶 / 𝐷)) = (𝐵 · ((𝐴 · 𝐶) / 𝐷)))
22	1, 5, 21	3eqtrd 2782	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐴 · (𝐵 / 𝐷)) · 𝐶) = (𝐵 · ((𝐴 · 𝐶) / 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802   · cmul 10807   / cdiv 11562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563

This theorem is referenced by:  cncongr2  16301