Theorem elbasfv 17128

Description: Utility theorem: reverse closure for any structure defined as a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
elbasfv.s	⊢ 𝑆 = (𝐹‘𝑍)
elbasfv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
elbasfv	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑍 ∈ V)

Proof of Theorem elbasfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4289	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 = ∅)
2		elbasfv.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐹‘𝑍)
3		fvprc 6820	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → (𝐹‘𝑍) = ∅)
4	2, 3	eqtrid 2780	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → 𝑆 = ∅)
5	4	fveq2d 6832	. . 3 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → (Base‘𝑆) = (Base‘∅))
6		elbasfv.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
7		base0 17127	. . 3 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
8	5, 6, 7	3eqtr4g 2793	. 2 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → 𝐵 = ∅)
9	1, 8	nsyl2 141	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑍 ∈ V)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437  ∅c0 4282  ‘cfv 6486  Basecbs 17122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-1cn 11071  ax-addcl 11073

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7355  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-nn 12133  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123

This theorem is referenced by:  frmdelbas  18763  symginv  19316  symggen  19384  psgneu  19420  psgnpmtr  19424  frgpcyg  21512  lindfind  21755  q1pval  26088  r1pval  26091  symgsubg  33063  catcisoi  49526  fucoppc  49536  fucoppccic  49539  termcterm2  49640  termcciso  49642  termccisoeu  49643