Theorem elbasfv 17149

Description: Utility theorem: reverse closure for any structure defined as a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
elbasfv.s	⊢ 𝑆 = (𝐹‘𝑍)
elbasfv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
elbasfv	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑍 ∈ V)

Proof of Theorem elbasfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4333	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 = ∅)
2		elbasfv.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐹‘𝑍)
3		fvprc 6883	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → (𝐹‘𝑍) = ∅)
4	2, 3	eqtrid 2784	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → 𝑆 = ∅)
5	4	fveq2d 6895	. . 3 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → (Base‘𝑆) = (Base‘∅))
6		elbasfv.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
7		base0 17148	. . 3 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
8	5, 6, 7	3eqtr4g 2797	. 2 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → 𝐵 = ∅)
9	1, 8	nsyl2 141	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑍 ∈ V)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  ∅c0 4322  ‘cfv 6543  Basecbs 17143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-1cn 11167  ax-addcl 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-nn 12212  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144

This theorem is referenced by:  frmdelbas  18733  symginv  19269  symggen  19337  psgneu  19373  psgnpmtr  19377  frgpcyg  21128  lindfind  21370  coe1sfi  21736  q1pval  25670  r1pval  25673  symgsubg  32243