MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elbasfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elbasfv 17251
Description: Utility theorem: reverse closure for any structure defined as a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
elbasfv.s 𝑆 = (𝐹𝑍)
elbasfv.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
elbasfv (𝑋𝐵𝑍 ∈ V)

Proof of Theorem elbasfv
StepHypRef Expression
1 n0i 4346 . 2 (𝑋𝐵 → ¬ 𝐵 = ∅)
2 elbasfv.s . . . . 5 𝑆 = (𝐹𝑍)
3 fvprc 6899 . . . . 5 𝑍 ∈ V → (𝐹𝑍) = ∅)
42, 3eqtrid 2787 . . . 4 𝑍 ∈ V → 𝑆 = ∅)
54fveq2d 6911 . . 3 𝑍 ∈ V → (Base‘𝑆) = (Base‘∅))
6 elbasfv.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑆)
7 base0 17250 . . 3 ∅ = (Base‘∅)
85, 6, 73eqtr4g 2800 . 2 𝑍 ∈ V → 𝐵 = ∅)
91, 8nsyl2 141 1 (𝑋𝐵𝑍 ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  c0 4339  cfv 6563  Basecbs 17245
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-1cn 11211  ax-addcl 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-nn 12265  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246
This theorem is referenced by:  frmdelbas  18879  symginv  19435  symggen  19503  psgneu  19539  psgnpmtr  19543  frgpcyg  21610  lindfind  21854  q1pval  26209  r1pval  26212  symgsubg  33090
  Copyright terms: Public domain W3C validator