Theorem elbasfv 17265

Description: Utility theorem: reverse closure for any structure defined as a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
elbasfv.s	⊢ 𝑆 = (𝐹‘𝑍)
elbasfv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
elbasfv	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑍 ∈ V)

Proof of Theorem elbasfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4295	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 = ∅)
2		elbasfv.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐹‘𝑍)
3		fvprc 6863	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → (𝐹‘𝑍) = ∅)
4	2, 3	eqtrid 2812	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → 𝑆 = ∅)
5	4	fveq2d 6875	. . 3 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → (Base‘𝑆) = (Base‘∅))
6		elbasfv.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
7		base0 17264	. . 3 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
8	5, 6, 7	3eqtr4g 2825	. 2 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → 𝐵 = ∅)
9	1, 8	nsyl2 142	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑍 ∈ V)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457  ∅c0 4288  ‘cfv 6525  Basecbs 17259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-1cn 11146  ax-addcl 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-nn 12225  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260

This theorem is referenced by:  frmdelbas  18902  symginv  19463  symggen  19531  psgneu  19567  psgnpmtr  19571  frgpcyg  21683  lindfind  21926  q1pval  26273  r1pval  26276  symgsubg  33320  catcisoi  50029  fucoppc  50039  fucoppccic  50042  termcterm2  50143  termcciso  50145  termccisoeu  50146