Theorem elbasfv 17300

Description: Utility theorem: reverse closure for any structure defined as a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
elbasfv.s	⊢ 𝑆 = (𝐹‘𝑍)
elbasfv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
elbasfv	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑍 ∈ V)

Proof of Theorem elbasfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4296	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 = ∅)
2		elbasfv.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐹‘𝑍)
3		fvprc 6880	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → (𝐹‘𝑍) = ∅)
4	2, 3	eqtrid 2813	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → 𝑆 = ∅)
5	4	fveq2d 6892	. . 3 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → (Base‘𝑆) = (Base‘∅))
6		elbasfv.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
7		base0 17299	. . 3 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
8	5, 6, 7	3eqtr4g 2826	. 2 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → 𝐵 = ∅)
9	1, 8	nsyl2 142	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑍 ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458  ∅c0 4289  ‘cfv 6543  Basecbs 17294

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-1cn 11176  ax-addcl 11178

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-nn 12252  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295

This theorem is used by:  frmdelbas  18943  symginv  19503  symggen  19571  psgneu  19607  psgnpmtr  19611  frgpcyg  21760  lindfind  22003  q1pval  26349  r1pval  26352  symgsubg  33438  catcisoi  50219  fucoppc  50229  fucoppccic  50232  termcterm2  50333  termcciso  50335  termccisoeu  50336