MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnpmtr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnpmtr 19543
Description: All transpositions are odd. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnval.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnval.t 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnval.n 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
psgnpmtr (𝑃𝑇 → (𝑁𝑃) = -1)

Proof of Theorem psgnpmtr
StepHypRef Expression
1 psgnval.t . . . . . 6 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
2 psgnval.g . . . . . 6 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
3 eqid 2735 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
41, 2, 3symgtrf 19502 . . . . 5 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺)
54sseli 3991 . . . 4 (𝑃𝑇𝑃 ∈ (Base‘𝐺))
63gsumws1 18864 . . . 4 (𝑃 ∈ (Base‘𝐺) → (𝐺 Σg ⟨“𝑃”⟩) = 𝑃)
75, 6syl 17 . . 3 (𝑃𝑇 → (𝐺 Σg ⟨“𝑃”⟩) = 𝑃)
87fveq2d 6911 . 2 (𝑃𝑇 → (𝑁‘(𝐺 Σg ⟨“𝑃”⟩)) = (𝑁𝑃))
92, 3elbasfv 17251 . . . . 5 (𝑃 ∈ (Base‘𝐺) → 𝐷 ∈ V)
105, 9syl 17 . . . 4 (𝑃𝑇𝐷 ∈ V)
11 s1cl 14637 . . . 4 (𝑃𝑇 → ⟨“𝑃”⟩ ∈ Word 𝑇)
12 psgnval.n . . . . 5 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
132, 1, 12psgnvalii 19542 . . . 4 ((𝐷 ∈ V ∧ ⟨“𝑃”⟩ ∈ Word 𝑇) → (𝑁‘(𝐺 Σg ⟨“𝑃”⟩)) = (-1↑(♯‘⟨“𝑃”⟩)))
1410, 11, 13syl2anc 584 . . 3 (𝑃𝑇 → (𝑁‘(𝐺 Σg ⟨“𝑃”⟩)) = (-1↑(♯‘⟨“𝑃”⟩)))
15 s1len 14641 . . . . 5 (♯‘⟨“𝑃”⟩) = 1
1615oveq2i 7442 . . . 4 (-1↑(♯‘⟨“𝑃”⟩)) = (-1↑1)
17 neg1cn 12378 . . . . 5 -1 ∈ ℂ
18 exp1 14105 . . . . 5 (-1 ∈ ℂ → (-1↑1) = -1)
1917, 18ax-mp 5 . . . 4 (-1↑1) = -1
2016, 19eqtri 2763 . . 3 (-1↑(♯‘⟨“𝑃”⟩)) = -1
2114, 20eqtrdi 2791 . 2 (𝑃𝑇 → (𝑁‘(𝐺 Σg ⟨“𝑃”⟩)) = -1)
228, 21eqtr3d 2777 1 (𝑃𝑇 → (𝑁𝑃) = -1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  ran crn 5690  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  1c1 11154  -cneg 11491  cexp 14099  chash 14366  Word cword 14549  ⟨“cs1 14630  Basecbs 17245   Σg cgsu 17487  SymGrpcsymg 19401  pmTrspcpmtr 19474  pmSgncpsgn 19522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1509  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-word 14550  df-lsw 14598  df-concat 14606  df-s1 14631  df-substr 14676  df-pfx 14706  df-splice 14785  df-reverse 14794  df-s2 14884  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-tset 17317  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-efmnd 18895  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-gim 19290  df-oppg 19377  df-symg 19402  df-pmtr 19475  df-psgn 19524
This theorem is referenced by:  psgnprfval2  19556  pmtrodpm  21633  mdetralt  22630  psgnfzto1st  33108  cyc3evpm  33153
  Copyright terms: Public domain W3C validator