Theorem psgnpmtr 19424

Description: All transpositions are odd. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnval.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnval.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnval.n	⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psgnpmtr	⊢ (𝑃 ∈ 𝑇 → (𝑁‘𝑃) = -1)

Proof of Theorem psgnpmtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psgnval.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
2		psgnval.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
3		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4	1, 2, 3	symgtrf 19383	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺)
5	4	sseli 3939	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑇 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐺))
6	3	gsumws1 18747	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (Base‘𝐺) → (𝐺 Σg ⟨“𝑃”⟩) = 𝑃)
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑇 → (𝐺 Σg ⟨“𝑃”⟩) = 𝑃)
8	7	fveq2d 6844	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑇 → (𝑁‘(𝐺 Σg ⟨“𝑃”⟩)) = (𝑁‘𝑃))
9	2, 3	elbasfv 17161	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (Base‘𝐺) → 𝐷 ∈ V)
10	5, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑇 → 𝐷 ∈ V)
11		s1cl 14543	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑇 → ⟨“𝑃”⟩ ∈ Word 𝑇)
12		psgnval.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
13	2, 1, 12	psgnvalii 19423	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ ⟨“𝑃”⟩ ∈ Word 𝑇) → (𝑁‘(𝐺 Σg ⟨“𝑃”⟩)) = (-1↑(♯‘⟨“𝑃”⟩)))
14	10, 11, 13	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑇 → (𝑁‘(𝐺 Σg ⟨“𝑃”⟩)) = (-1↑(♯‘⟨“𝑃”⟩)))
15		s1len 14547	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“𝑃”⟩) = 1
16	15	oveq2i 7380	. . . 4 ⊢ (-1↑(♯‘⟨“𝑃”⟩)) = (-1↑1)
17		neg1cn 12147	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℂ
18		exp1 14008	. . . . 5 ⊢ (-1 ∈ ℂ → (-1↑1) = -1)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (-1↑1) = -1
20	16, 19	eqtri 2752	. . 3 ⊢ (-1↑(♯‘⟨“𝑃”⟩)) = -1
21	14, 20	eqtrdi 2780	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑇 → (𝑁‘(𝐺 Σg ⟨“𝑃”⟩)) = -1)
22	8, 21	eqtr3d 2766	1 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑇 → (𝑁‘𝑃) = -1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444  ran crn 5632  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  1c1 11045  -cneg 11382  ↑cexp 14002  ♯chash 14271  Word cword 14454  ⟨“cs1 14536  Basecbs 17155   Σ_g cgsu 17379  SymGrpcsymg 19283  pmTrspcpmtr 19355  pmSgncpsgn 19403

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1512  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-ot 4594  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-tpos 8182  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-xnn0 12492  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-word 14455  df-lsw 14504  df-concat 14512  df-s1 14537  df-substr 14582  df-pfx 14612  df-splice 14691  df-reverse 14700  df-s2 14790  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-tset 17215  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-mhm 18692  df-submnd 18693  df-efmnd 18778  df-grp 18850  df-minusg 18851  df-subg 19037  df-ghm 19127  df-gim 19173  df-oppg 19260  df-symg 19284  df-pmtr 19356  df-psgn 19405

This theorem is referenced by:  psgnprfval2  19437  pmtrodpm  21539  mdetralt  22528  psgnfzto1st  33077  cyc3evpm  33122