MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnpmtr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnpmtr 19362
Description: All transpositions are odd. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnval.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnval.t 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnval.n 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
psgnpmtr (𝑃𝑇 → (𝑁𝑃) = -1)

Proof of Theorem psgnpmtr
StepHypRef Expression
1 psgnval.t . . . . . 6 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
2 psgnval.g . . . . . 6 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
3 eqid 2733 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
41, 2, 3symgtrf 19321 . . . . 5 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺)
54sseli 3976 . . . 4 (𝑃𝑇𝑃 ∈ (Base‘𝐺))
63gsumws1 18706 . . . 4 (𝑃 ∈ (Base‘𝐺) → (𝐺 Σg ⟨“𝑃”⟩) = 𝑃)
75, 6syl 17 . . 3 (𝑃𝑇 → (𝐺 Σg ⟨“𝑃”⟩) = 𝑃)
87fveq2d 6885 . 2 (𝑃𝑇 → (𝑁‘(𝐺 Σg ⟨“𝑃”⟩)) = (𝑁𝑃))
92, 3elbasfv 17137 . . . . 5 (𝑃 ∈ (Base‘𝐺) → 𝐷 ∈ V)
105, 9syl 17 . . . 4 (𝑃𝑇𝐷 ∈ V)
11 s1cl 14539 . . . 4 (𝑃𝑇 → ⟨“𝑃”⟩ ∈ Word 𝑇)
12 psgnval.n . . . . 5 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
132, 1, 12psgnvalii 19361 . . . 4 ((𝐷 ∈ V ∧ ⟨“𝑃”⟩ ∈ Word 𝑇) → (𝑁‘(𝐺 Σg ⟨“𝑃”⟩)) = (-1↑(♯‘⟨“𝑃”⟩)))
1410, 11, 13syl2anc 585 . . 3 (𝑃𝑇 → (𝑁‘(𝐺 Σg ⟨“𝑃”⟩)) = (-1↑(♯‘⟨“𝑃”⟩)))
15 s1len 14543 . . . . 5 (♯‘⟨“𝑃”⟩) = 1
1615oveq2i 7407 . . . 4 (-1↑(♯‘⟨“𝑃”⟩)) = (-1↑1)
17 neg1cn 12313 . . . . 5 -1 ∈ ℂ
18 exp1 14020 . . . . 5 (-1 ∈ ℂ → (-1↑1) = -1)
1917, 18ax-mp 5 . . . 4 (-1↑1) = -1
2016, 19eqtri 2761 . . 3 (-1↑(♯‘⟨“𝑃”⟩)) = -1
2114, 20eqtrdi 2789 . 2 (𝑃𝑇 → (𝑁‘(𝐺 Σg ⟨“𝑃”⟩)) = -1)
228, 21eqtr3d 2775 1 (𝑃𝑇 → (𝑁𝑃) = -1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3475  ran crn 5673  cfv 6535  (class class class)co 7396  cc 11095  1c1 11098  -cneg 11432  cexp 14014  chash 14277  Word cword 14451  ⟨“cs1 14532  Basecbs 17131   Σg cgsu 17373  SymGrpcsymg 19218  pmTrspcpmtr 19293  pmSgncpsgn 19341
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-xor 1511  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4905  df-int 4947  df-iun 4995  df-iin 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-isom 6544  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-tpos 8198  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8691  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-card 9921  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-div 11859  df-nn 12200  df-2 12262  df-3 12263  df-4 12264  df-5 12265  df-6 12266  df-7 12267  df-8 12268  df-9 12269  df-n0 12460  df-xnn0 12532  df-z 12546  df-uz 12810  df-rp 12962  df-fz 13472  df-fzo 13615  df-seq 13954  df-exp 14015  df-hash 14278  df-word 14452  df-lsw 14500  df-concat 14508  df-s1 14533  df-substr 14578  df-pfx 14608  df-splice 14687  df-reverse 14696  df-s2 14786  df-struct 17067  df-sets 17084  df-slot 17102  df-ndx 17114  df-base 17132  df-ress 17161  df-plusg 17197  df-tset 17203  df-0g 17374  df-gsum 17375  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18548  df-sgrp 18597  df-mnd 18613  df-mhm 18658  df-submnd 18659  df-efmnd 18737  df-grp 18809  df-minusg 18810  df-subg 18988  df-ghm 19075  df-gim 19118  df-oppg 19194  df-symg 19219  df-pmtr 19294  df-psgn 19343
This theorem is referenced by:  psgnprfval2  19375  pmtrodpm  21123  mdetralt  22079  psgnfzto1st  32235  cyc3evpm  32280
  Copyright terms: Public domain W3C validator