Theorem psgnpmtr 19422

Description: All transpositions are odd. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnval.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnval.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnval.n	⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psgnpmtr	⊢ (𝑃 ∈ 𝑇 → (𝑁‘𝑃) = -1)

Proof of Theorem psgnpmtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psgnval.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
2		psgnval.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
3		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4	1, 2, 3	symgtrf 19381	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺)
5	4	sseli 3925	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑇 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐺))
6	3	gsumws1 18746	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (Base‘𝐺) → (𝐺 Σg ⟨“𝑃”⟩) = 𝑃)
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑇 → (𝐺 Σg ⟨“𝑃”⟩) = 𝑃)
8	7	fveq2d 6826	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑇 → (𝑁‘(𝐺 Σg ⟨“𝑃”⟩)) = (𝑁‘𝑃))
9	2, 3	elbasfv 17126	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (Base‘𝐺) → 𝐷 ∈ V)
10	5, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑇 → 𝐷 ∈ V)
11		s1cl 14510	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑇 → ⟨“𝑃”⟩ ∈ Word 𝑇)
12		psgnval.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
13	2, 1, 12	psgnvalii 19421	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ ⟨“𝑃”⟩ ∈ Word 𝑇) → (𝑁‘(𝐺 Σg ⟨“𝑃”⟩)) = (-1↑(♯‘⟨“𝑃”⟩)))
14	10, 11, 13	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑇 → (𝑁‘(𝐺 Σg ⟨“𝑃”⟩)) = (-1↑(♯‘⟨“𝑃”⟩)))
15		s1len 14514	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“𝑃”⟩) = 1
16	15	oveq2i 7357	. . . 4 ⊢ (-1↑(♯‘⟨“𝑃”⟩)) = (-1↑1)
17		neg1cn 12110	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℂ
18		exp1 13974	. . . . 5 ⊢ (-1 ∈ ℂ → (-1↑1) = -1)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (-1↑1) = -1
20	16, 19	eqtri 2754	. . 3 ⊢ (-1↑(♯‘⟨“𝑃”⟩)) = -1
21	14, 20	eqtrdi 2782	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑇 → (𝑁‘(𝐺 Σg ⟨“𝑃”⟩)) = -1)
22	8, 21	eqtr3d 2768	1 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑇 → (𝑁‘𝑃) = -1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  ran crn 5615  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  1c1 11007  -cneg 11345  ↑cexp 13968  ♯chash 14237  Word cword 14420  ⟨“cs1 14503  Basecbs 17120   Σ_g cgsu 17344  SymGrpcsymg 19281  pmTrspcpmtr 19353  pmSgncpsgn 19401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1513  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-ot 4582  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-xnn0 12455  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-word 14421  df-lsw 14470  df-concat 14478  df-s1 14504  df-substr 14549  df-pfx 14579  df-splice 14657  df-reverse 14666  df-s2 14755  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-tset 17180  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-mhm 18691  df-submnd 18692  df-efmnd 18777  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-subg 19036  df-ghm 19125  df-gim 19171  df-oppg 19258  df-symg 19282  df-pmtr 19354  df-psgn 19403

This theorem is referenced by:  psgnprfval2  19435  pmtrodpm  21534  mdetralt  22523  psgnfzto1st  33074  cyc3evpm  33119