MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnpmtr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnpmtr 18638
Description: All transpositions are odd. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnval.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnval.t 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnval.n 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
psgnpmtr (𝑃𝑇 → (𝑁𝑃) = -1)

Proof of Theorem psgnpmtr
StepHypRef Expression
1 psgnval.t . . . . . 6 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
2 psgnval.g . . . . . 6 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
3 eqid 2824 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
41, 2, 3symgtrf 18597 . . . . 5 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺)
54sseli 3949 . . . 4 (𝑃𝑇𝑃 ∈ (Base‘𝐺))
63gsumws1 18002 . . . 4 (𝑃 ∈ (Base‘𝐺) → (𝐺 Σg ⟨“𝑃”⟩) = 𝑃)
75, 6syl 17 . . 3 (𝑃𝑇 → (𝐺 Σg ⟨“𝑃”⟩) = 𝑃)
87fveq2d 6665 . 2 (𝑃𝑇 → (𝑁‘(𝐺 Σg ⟨“𝑃”⟩)) = (𝑁𝑃))
92, 3elbasfv 16544 . . . . 5 (𝑃 ∈ (Base‘𝐺) → 𝐷 ∈ V)
105, 9syl 17 . . . 4 (𝑃𝑇𝐷 ∈ V)
11 s1cl 13956 . . . 4 (𝑃𝑇 → ⟨“𝑃”⟩ ∈ Word 𝑇)
12 psgnval.n . . . . 5 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
132, 1, 12psgnvalii 18637 . . . 4 ((𝐷 ∈ V ∧ ⟨“𝑃”⟩ ∈ Word 𝑇) → (𝑁‘(𝐺 Σg ⟨“𝑃”⟩)) = (-1↑(♯‘⟨“𝑃”⟩)))
1410, 11, 13syl2anc 587 . . 3 (𝑃𝑇 → (𝑁‘(𝐺 Σg ⟨“𝑃”⟩)) = (-1↑(♯‘⟨“𝑃”⟩)))
15 s1len 13960 . . . . 5 (♯‘⟨“𝑃”⟩) = 1
1615oveq2i 7160 . . . 4 (-1↑(♯‘⟨“𝑃”⟩)) = (-1↑1)
17 neg1cn 11748 . . . . 5 -1 ∈ ℂ
18 exp1 13440 . . . . 5 (-1 ∈ ℂ → (-1↑1) = -1)
1917, 18ax-mp 5 . . . 4 (-1↑1) = -1
2016, 19eqtri 2847 . . 3 (-1↑(♯‘⟨“𝑃”⟩)) = -1
2114, 20syl6eq 2875 . 2 (𝑃𝑇 → (𝑁‘(𝐺 Σg ⟨“𝑃”⟩)) = -1)
228, 21eqtr3d 2861 1 (𝑃𝑇 → (𝑁𝑃) = -1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  Vcvv 3480  ran crn 5543  cfv 6343  (class class class)co 7149  cc 10533  1c1 10536  -cneg 10869  cexp 13434  chash 13695  Word cword 13866  ⟨“cs1 13949  Basecbs 16483   Σg cgsu 16714  SymGrpcsymg 18495  pmTrspcpmtr 18569  pmSgncpsgn 18617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1503  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-ot 4559  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-tpos 7888  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-xnn0 11965  df-z 11979  df-uz 12241  df-rp 12387  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-seq 13374  df-exp 13435  df-hash 13696  df-word 13867  df-lsw 13915  df-concat 13923  df-s1 13950  df-substr 14003  df-pfx 14033  df-splice 14112  df-reverse 14121  df-s2 14210  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-tset 16584  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mhm 17956  df-submnd 17957  df-efmnd 18034  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-subg 18276  df-ghm 18356  df-gim 18399  df-oppg 18474  df-symg 18496  df-pmtr 18570  df-psgn 18619
This theorem is referenced by:  psgnprfval2  18651  pmtrodpm  20343  mdetralt  21220  psgnfzto1st  30782  cyc3evpm  30827
  Copyright terms: Public domain W3C validator