Theorem psgnpmtr 19724

Description: All transpositions are odd. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnval.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnval.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnval.n	⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psgnpmtr	⊢ (𝑃 ∈ 𝑇 → (𝑁‘𝑃) = -1)

Proof of Theorem psgnpmtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psgnval.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
2		psgnval.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
3		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4	1, 2, 3	symgtrf 19683	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺)
5	4	sseli 3904	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑇 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐺))
6	3	gsumws1 19034	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (Base‘𝐺) → (𝐺 Σg ⟨“𝑃”⟩) = 𝑃)
7	5, 6	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑇 → (𝐺 Σg ⟨“𝑃”⟩) = 𝑃)
8	7	fveq2d 6889	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑇 → (𝑁‘(𝐺 Σg ⟨“𝑃”⟩)) = (𝑁‘𝑃))
9	2, 3	elbasfv 17393	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (Base‘𝐺) → 𝐷 ∈ V)
10	5, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑇 → 𝐷 ∈ V)
11		s1cl 14749	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑇 → ⟨“𝑃”⟩ ∈ Word 𝑇)
12		psgnval.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
13	2, 1, 12	psgnvalii 19723	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ ⟨“𝑃”⟩ ∈ Word 𝑇) → (𝑁‘(𝐺 Σg ⟨“𝑃”⟩)) = ( -1↑(♯‘⟨“𝑃”⟩)))
14	10, 11, 13	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑇 → (𝑁‘(𝐺 Σg ⟨“𝑃”⟩)) = ( -1↑(♯‘⟨“𝑃”⟩)))
15		s1len 14753	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“𝑃”⟩) = 1
16	15	oveq2i 7431	. . . 4 ⊢ ( -1↑(♯‘⟨“𝑃”⟩)) = ( -1↑1)
17		neg1cn 12305	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℂ
18		exp1 14210	. . . . 5 ⊢ ( -1 ∈ ℂ → ( -1↑1) = -1)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( -1↑1) = -1
20	16, 19	eqtri 2783	. . 3 ⊢ ( -1↑(♯‘⟨“𝑃”⟩)) = -1
21	14, 20	eqtrdi 2811	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑇 → (𝑁‘(𝐺 Σg ⟨“𝑃”⟩)) = -1)
22	8, 21	eqtr3d 2797	1 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑇 → (𝑁‘𝑃) = -1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  ran crn 5651  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  1c1 11201   -cneg 11542  ↑cexp 14204  ♯chash 14474  Word cword 14658  ⟨“cs1 14742  Basecbs 17387   Σ_g cgsu 17611  SymGrpcsymg 19583  pmTrspcpmtr 19655  pmSgncpsgn 19703

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1541  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-ot 4592  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-word 14659  df-lsw 14708  df-concat 14716  df-s1 14743  df-substr 14789  df-pfx 14821  df-splice 14899  df-reverse 14908  df-s2 14999  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-tset 17447  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-submnd 18979  df-efmnd 19065  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-subg 19333  df-ghm 19428  df-gim 19473  df-oppg 19560  df-symg 19584  df-pmtr 19656  df-psgn 19705

This theorem is used by:  psgnprfval2  19737  pmtrodpm  21903  mdetralt  22923  psgnfzto1st  33666  cyc3evpm  33711