MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1pval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem r1pval 26113
Description: Value of the polynomial remainder function. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
r1pval.e ๐ธ = (rem1pโ€˜๐‘…)
r1pval.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
r1pval.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
r1pval.q ๐‘„ = (quot1pโ€˜๐‘…)
r1pval.t ยท = (.rโ€˜๐‘ƒ)
r1pval.m โˆ’ = (-gโ€˜๐‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
r1pval ((๐น โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐น๐ธ๐บ) = (๐น โˆ’ ((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ)))

Proof of Theorem r1pval
Dummy variables ๐‘ ๐‘“ ๐‘” ๐‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r1pval.p . . . . 5 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
2 r1pval.b . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
31, 2elbasfv 17193 . . . 4 (๐น โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘… โˆˆ V)
43adantr 479 . . 3 ((๐น โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘… โˆˆ V)
5 r1pval.e . . . 4 ๐ธ = (rem1pโ€˜๐‘…)
6 fveq2 6902 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (Poly1โ€˜๐‘Ÿ) = (Poly1โ€˜๐‘…))
76, 1eqtr4di 2786 . . . . . . . . 9 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (Poly1โ€˜๐‘Ÿ) = ๐‘ƒ)
87fveq2d 6906 . . . . . . . 8 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (Baseโ€˜(Poly1โ€˜๐‘Ÿ)) = (Baseโ€˜๐‘ƒ))
98, 2eqtr4di 2786 . . . . . . 7 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (Baseโ€˜(Poly1โ€˜๐‘Ÿ)) = ๐ต)
109csbeq1d 3898 . . . . . 6 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ โฆ‹(Baseโ€˜(Poly1โ€˜๐‘Ÿ)) / ๐‘โฆŒ(๐‘“ โˆˆ ๐‘, ๐‘” โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘“(-gโ€˜(Poly1โ€˜๐‘Ÿ))((๐‘“(quot1pโ€˜๐‘Ÿ)๐‘”)(.rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘Ÿ))๐‘”))) = โฆ‹๐ต / ๐‘โฆŒ(๐‘“ โˆˆ ๐‘, ๐‘” โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘“(-gโ€˜(Poly1โ€˜๐‘Ÿ))((๐‘“(quot1pโ€˜๐‘Ÿ)๐‘”)(.rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘Ÿ))๐‘”))))
112fvexi 6916 . . . . . . . 8 ๐ต โˆˆ V
1211a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ ๐ต โˆˆ V)
13 simpr 483 . . . . . . . 8 ((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘ = ๐ต) โ†’ ๐‘ = ๐ต)
147fveq2d 6906 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (-gโ€˜(Poly1โ€˜๐‘Ÿ)) = (-gโ€˜๐‘ƒ))
15 r1pval.m . . . . . . . . . . 11 โˆ’ = (-gโ€˜๐‘ƒ)
1614, 15eqtr4di 2786 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (-gโ€˜(Poly1โ€˜๐‘Ÿ)) = โˆ’ )
17 eqidd 2729 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ ๐‘“ = ๐‘“)
187fveq2d 6906 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (.rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘Ÿ)) = (.rโ€˜๐‘ƒ))
19 r1pval.t . . . . . . . . . . . 12 ยท = (.rโ€˜๐‘ƒ)
2018, 19eqtr4di 2786 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (.rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘Ÿ)) = ยท )
21 fveq2 6902 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (quot1pโ€˜๐‘Ÿ) = (quot1pโ€˜๐‘…))
22 r1pval.q . . . . . . . . . . . . 13 ๐‘„ = (quot1pโ€˜๐‘…)
2321, 22eqtr4di 2786 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (quot1pโ€˜๐‘Ÿ) = ๐‘„)
2423oveqd 7443 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (๐‘“(quot1pโ€˜๐‘Ÿ)๐‘”) = (๐‘“๐‘„๐‘”))
25 eqidd 2729 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ ๐‘” = ๐‘”)
2620, 24, 25oveq123d 7447 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ ((๐‘“(quot1pโ€˜๐‘Ÿ)๐‘”)(.rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘Ÿ))๐‘”) = ((๐‘“๐‘„๐‘”) ยท ๐‘”))
2716, 17, 26oveq123d 7447 . . . . . . . . 9 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (๐‘“(-gโ€˜(Poly1โ€˜๐‘Ÿ))((๐‘“(quot1pโ€˜๐‘Ÿ)๐‘”)(.rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘Ÿ))๐‘”)) = (๐‘“ โˆ’ ((๐‘“๐‘„๐‘”) ยท ๐‘”)))
2827adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘ = ๐ต) โ†’ (๐‘“(-gโ€˜(Poly1โ€˜๐‘Ÿ))((๐‘“(quot1pโ€˜๐‘Ÿ)๐‘”)(.rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘Ÿ))๐‘”)) = (๐‘“ โˆ’ ((๐‘“๐‘„๐‘”) ยท ๐‘”)))
2913, 13, 28mpoeq123dv 7501 . . . . . . 7 ((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘ = ๐ต) โ†’ (๐‘“ โˆˆ ๐‘, ๐‘” โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘“(-gโ€˜(Poly1โ€˜๐‘Ÿ))((๐‘“(quot1pโ€˜๐‘Ÿ)๐‘”)(.rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘Ÿ))๐‘”))) = (๐‘“ โˆˆ ๐ต, ๐‘” โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘“ โˆ’ ((๐‘“๐‘„๐‘”) ยท ๐‘”))))
3012, 29csbied 3932 . . . . . 6 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ โฆ‹๐ต / ๐‘โฆŒ(๐‘“ โˆˆ ๐‘, ๐‘” โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘“(-gโ€˜(Poly1โ€˜๐‘Ÿ))((๐‘“(quot1pโ€˜๐‘Ÿ)๐‘”)(.rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘Ÿ))๐‘”))) = (๐‘“ โˆˆ ๐ต, ๐‘” โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘“ โˆ’ ((๐‘“๐‘„๐‘”) ยท ๐‘”))))
3110, 30eqtrd 2768 . . . . 5 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ โฆ‹(Baseโ€˜(Poly1โ€˜๐‘Ÿ)) / ๐‘โฆŒ(๐‘“ โˆˆ ๐‘, ๐‘” โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘“(-gโ€˜(Poly1โ€˜๐‘Ÿ))((๐‘“(quot1pโ€˜๐‘Ÿ)๐‘”)(.rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘Ÿ))๐‘”))) = (๐‘“ โˆˆ ๐ต, ๐‘” โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘“ โˆ’ ((๐‘“๐‘„๐‘”) ยท ๐‘”))))
32 df-r1p 26089 . . . . 5 rem1p = (๐‘Ÿ โˆˆ V โ†ฆ โฆ‹(Baseโ€˜(Poly1โ€˜๐‘Ÿ)) / ๐‘โฆŒ(๐‘“ โˆˆ ๐‘, ๐‘” โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘“(-gโ€˜(Poly1โ€˜๐‘Ÿ))((๐‘“(quot1pโ€˜๐‘Ÿ)๐‘”)(.rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘Ÿ))๐‘”))))
3311, 11mpoex 8090 . . . . 5 (๐‘“ โˆˆ ๐ต, ๐‘” โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘“ โˆ’ ((๐‘“๐‘„๐‘”) ยท ๐‘”))) โˆˆ V
3431, 32, 33fvmpt 7010 . . . 4 (๐‘… โˆˆ V โ†’ (rem1pโ€˜๐‘…) = (๐‘“ โˆˆ ๐ต, ๐‘” โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘“ โˆ’ ((๐‘“๐‘„๐‘”) ยท ๐‘”))))
355, 34eqtrid 2780 . . 3 (๐‘… โˆˆ V โ†’ ๐ธ = (๐‘“ โˆˆ ๐ต, ๐‘” โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘“ โˆ’ ((๐‘“๐‘„๐‘”) ยท ๐‘”))))
364, 35syl 17 . 2 ((๐น โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ธ = (๐‘“ โˆˆ ๐ต, ๐‘” โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘“ โˆ’ ((๐‘“๐‘„๐‘”) ยท ๐‘”))))
37 simpl 481 . . . 4 ((๐‘“ = ๐น โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ ๐‘“ = ๐น)
38 oveq12 7435 . . . . 5 ((๐‘“ = ๐น โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (๐‘“๐‘„๐‘”) = (๐น๐‘„๐บ))
39 simpr 483 . . . . 5 ((๐‘“ = ๐น โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ ๐‘” = ๐บ)
4038, 39oveq12d 7444 . . . 4 ((๐‘“ = ๐น โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ ((๐‘“๐‘„๐‘”) ยท ๐‘”) = ((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ))
4137, 40oveq12d 7444 . . 3 ((๐‘“ = ๐น โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (๐‘“ โˆ’ ((๐‘“๐‘„๐‘”) ยท ๐‘”)) = (๐น โˆ’ ((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ)))
4241adantl 480 . 2 (((๐น โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ = ๐น โˆง ๐‘” = ๐บ)) โ†’ (๐‘“ โˆ’ ((๐‘“๐‘„๐‘”) ยท ๐‘”)) = (๐น โˆ’ ((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ)))
43 simpl 481 . 2 ((๐น โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐น โˆˆ ๐ต)
44 simpr 483 . 2 ((๐น โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐บ โˆˆ ๐ต)
45 ovexd 7461 . 2 ((๐น โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐น โˆ’ ((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ)) โˆˆ V)
4636, 42, 43, 44, 45ovmpod 7579 1 ((๐น โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐น๐ธ๐บ) = (๐น โˆ’ ((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3473  โฆ‹csb 3894  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   โˆˆ cmpo 7428  Basecbs 17187  .rcmulr 17241  -gcsg 18899  Poly1cpl1 22103  quot1pcq1p 26083  rem1pcr1p 26084
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-1cn 11204  ax-addcl 11206
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-nn 12251  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-r1p 26089
This theorem is referenced by:  r1pcl  26114  r1pdeglt  26115  r1pid  26116  dvdsr1p  26118  ig1pdvds  26134  q1pdir  33306  q1pvsca  33307  r1pvsca  33308  r1pcyc  33310  r1padd1  33311  irredminply  33417
  Copyright terms: Public domain W3C validator