MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lindfind Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lindfind 21238
Description: A linearly independent family is independent: no nonzero element multiple can be expressed as a linear combination of the others. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lindfind.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lindfind.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lindfind.l 𝐿 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lindfind.z 0 = (0gβ€˜πΏ)
lindfind.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΏ)
Assertion
Ref Expression
lindfind (((𝐹 LIndF π‘Š ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 β‰  0 )) β†’ Β¬ (𝐴 Β· (πΉβ€˜πΈ)) ∈ (π‘β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝐸}))))

Proof of Theorem lindfind
Dummy variables π‘Ž 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 768 . 2 (((𝐹 LIndF π‘Š ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 β‰  0 )) β†’ 𝐸 ∈ dom 𝐹)
2 eldifsn 4748 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐾 βˆ– { 0 }) ↔ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 β‰  0 ))
32biimpri 227 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 β‰  0 ) β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 βˆ– { 0 }))
43adantl 483 . 2 (((𝐹 LIndF π‘Š ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 β‰  0 )) β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 βˆ– { 0 }))
5 simpll 766 . . . 4 (((𝐹 LIndF π‘Š ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 β‰  0 )) β†’ 𝐹 LIndF π‘Š)
6 lindfind.l . . . . . . 7 𝐿 = (Scalarβ€˜π‘Š)
7 lindfind.k . . . . . . 7 𝐾 = (Baseβ€˜πΏ)
86, 7elbasfv 17094 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝐾 β†’ π‘Š ∈ V)
98ad2antrl 727 . . . . 5 (((𝐹 LIndF π‘Š ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 β‰  0 )) β†’ π‘Š ∈ V)
10 rellindf 21230 . . . . . . 7 Rel LIndF
1110brrelex1i 5689 . . . . . 6 (𝐹 LIndF π‘Š β†’ 𝐹 ∈ V)
1211ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝐹 LIndF π‘Š ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 β‰  0 )) β†’ 𝐹 ∈ V)
13 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
14 lindfind.s . . . . . 6 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
15 lindfind.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
16 lindfind.z . . . . . 6 0 = (0gβ€˜πΏ)
1713, 14, 15, 6, 7, 16islindf 21234 . . . . 5 ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V) β†’ (𝐹 LIndF π‘Š ↔ (𝐹:dom 𝐹⟢(Baseβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘’ ∈ dom πΉβˆ€π‘Ž ∈ (𝐾 βˆ– { 0 }) Β¬ (π‘Ž Β· (πΉβ€˜π‘’)) ∈ (π‘β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝑒}))))))
189, 12, 17syl2anc 585 . . . 4 (((𝐹 LIndF π‘Š ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 β‰  0 )) β†’ (𝐹 LIndF π‘Š ↔ (𝐹:dom 𝐹⟢(Baseβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘’ ∈ dom πΉβˆ€π‘Ž ∈ (𝐾 βˆ– { 0 }) Β¬ (π‘Ž Β· (πΉβ€˜π‘’)) ∈ (π‘β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝑒}))))))
195, 18mpbid 231 . . 3 (((𝐹 LIndF π‘Š ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 β‰  0 )) β†’ (𝐹:dom 𝐹⟢(Baseβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘’ ∈ dom πΉβˆ€π‘Ž ∈ (𝐾 βˆ– { 0 }) Β¬ (π‘Ž Β· (πΉβ€˜π‘’)) ∈ (π‘β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝑒})))))
2019simprd 497 . 2 (((𝐹 LIndF π‘Š ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 β‰  0 )) β†’ βˆ€π‘’ ∈ dom πΉβˆ€π‘Ž ∈ (𝐾 βˆ– { 0 }) Β¬ (π‘Ž Β· (πΉβ€˜π‘’)) ∈ (π‘β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝑒}))))
21 fveq2 6843 . . . . . 6 (𝑒 = 𝐸 β†’ (πΉβ€˜π‘’) = (πΉβ€˜πΈ))
2221oveq2d 7374 . . . . 5 (𝑒 = 𝐸 β†’ (π‘Ž Β· (πΉβ€˜π‘’)) = (π‘Ž Β· (πΉβ€˜πΈ)))
23 sneq 4597 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝐸 β†’ {𝑒} = {𝐸})
2423difeq2d 4083 . . . . . . 7 (𝑒 = 𝐸 β†’ (dom 𝐹 βˆ– {𝑒}) = (dom 𝐹 βˆ– {𝐸}))
2524imaeq2d 6014 . . . . . 6 (𝑒 = 𝐸 β†’ (𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝑒})) = (𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝐸})))
2625fveq2d 6847 . . . . 5 (𝑒 = 𝐸 β†’ (π‘β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝑒}))) = (π‘β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝐸}))))
2722, 26eleq12d 2828 . . . 4 (𝑒 = 𝐸 β†’ ((π‘Ž Β· (πΉβ€˜π‘’)) ∈ (π‘β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝑒}))) ↔ (π‘Ž Β· (πΉβ€˜πΈ)) ∈ (π‘β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝐸})))))
2827notbid 318 . . 3 (𝑒 = 𝐸 β†’ (Β¬ (π‘Ž Β· (πΉβ€˜π‘’)) ∈ (π‘β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝑒}))) ↔ Β¬ (π‘Ž Β· (πΉβ€˜πΈ)) ∈ (π‘β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝐸})))))
29 oveq1 7365 . . . . 5 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (π‘Ž Β· (πΉβ€˜πΈ)) = (𝐴 Β· (πΉβ€˜πΈ)))
3029eleq1d 2819 . . . 4 (π‘Ž = 𝐴 β†’ ((π‘Ž Β· (πΉβ€˜πΈ)) ∈ (π‘β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝐸}))) ↔ (𝐴 Β· (πΉβ€˜πΈ)) ∈ (π‘β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝐸})))))
3130notbid 318 . . 3 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (Β¬ (π‘Ž Β· (πΉβ€˜πΈ)) ∈ (π‘β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝐸}))) ↔ Β¬ (𝐴 Β· (πΉβ€˜πΈ)) ∈ (π‘β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝐸})))))
3228, 31rspc2va 3590 . 2 (((𝐸 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾 βˆ– { 0 })) ∧ βˆ€π‘’ ∈ dom πΉβˆ€π‘Ž ∈ (𝐾 βˆ– { 0 }) Β¬ (π‘Ž Β· (πΉβ€˜π‘’)) ∈ (π‘β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝑒})))) β†’ Β¬ (𝐴 Β· (πΉβ€˜πΈ)) ∈ (π‘β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝐸}))))
331, 4, 20, 32syl21anc 837 1 (((𝐹 LIndF π‘Š ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 β‰  0 )) β†’ Β¬ (𝐴 Β· (πΉβ€˜πΈ)) ∈ (π‘β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝐸}))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  Vcvv 3444   βˆ– cdif 3908  {csn 4587   class class class wbr 5106  dom cdm 5634   β€œ cima 5637  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  Scalarcsca 17141   ·𝑠 cvsca 17142  0gc0g 17326  LSpanclspn 20447   LIndF clindf 21226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-1cn 11114  ax-addcl 11116
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-nn 12159  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-lindf 21228
This theorem is referenced by:  lindfind2  21240  lindfrn  21243  f1lindf  21244
  Copyright terms: Public domain W3C validator