MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lindfind Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lindfind 21590
Description: A linearly independent family is independent: no nonzero element multiple can be expressed as a linear combination of the others. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lindfind.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lindfind.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lindfind.l 𝐿 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lindfind.z 0 = (0gβ€˜πΏ)
lindfind.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΏ)
Assertion
Ref Expression
lindfind (((𝐹 LIndF π‘Š ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 β‰  0 )) β†’ Β¬ (𝐴 Β· (πΉβ€˜πΈ)) ∈ (π‘β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝐸}))))

Proof of Theorem lindfind
Dummy variables π‘Ž 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 765 . 2 (((𝐹 LIndF π‘Š ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 β‰  0 )) β†’ 𝐸 ∈ dom 𝐹)
2 eldifsn 4789 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐾 βˆ– { 0 }) ↔ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 β‰  0 ))
32biimpri 227 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 β‰  0 ) β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 βˆ– { 0 }))
43adantl 480 . 2 (((𝐹 LIndF π‘Š ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 β‰  0 )) β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 βˆ– { 0 }))
5 simpll 763 . . . 4 (((𝐹 LIndF π‘Š ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 β‰  0 )) β†’ 𝐹 LIndF π‘Š)
6 lindfind.l . . . . . . 7 𝐿 = (Scalarβ€˜π‘Š)
7 lindfind.k . . . . . . 7 𝐾 = (Baseβ€˜πΏ)
86, 7elbasfv 17154 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝐾 β†’ π‘Š ∈ V)
98ad2antrl 724 . . . . 5 (((𝐹 LIndF π‘Š ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 β‰  0 )) β†’ π‘Š ∈ V)
10 rellindf 21582 . . . . . . 7 Rel LIndF
1110brrelex1i 5731 . . . . . 6 (𝐹 LIndF π‘Š β†’ 𝐹 ∈ V)
1211ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝐹 LIndF π‘Š ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 β‰  0 )) β†’ 𝐹 ∈ V)
13 eqid 2730 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
14 lindfind.s . . . . . 6 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
15 lindfind.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
16 lindfind.z . . . . . 6 0 = (0gβ€˜πΏ)
1713, 14, 15, 6, 7, 16islindf 21586 . . . . 5 ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V) β†’ (𝐹 LIndF π‘Š ↔ (𝐹:dom 𝐹⟢(Baseβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘’ ∈ dom πΉβˆ€π‘Ž ∈ (𝐾 βˆ– { 0 }) Β¬ (π‘Ž Β· (πΉβ€˜π‘’)) ∈ (π‘β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝑒}))))))
189, 12, 17syl2anc 582 . . . 4 (((𝐹 LIndF π‘Š ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 β‰  0 )) β†’ (𝐹 LIndF π‘Š ↔ (𝐹:dom 𝐹⟢(Baseβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘’ ∈ dom πΉβˆ€π‘Ž ∈ (𝐾 βˆ– { 0 }) Β¬ (π‘Ž Β· (πΉβ€˜π‘’)) ∈ (π‘β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝑒}))))))
195, 18mpbid 231 . . 3 (((𝐹 LIndF π‘Š ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 β‰  0 )) β†’ (𝐹:dom 𝐹⟢(Baseβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘’ ∈ dom πΉβˆ€π‘Ž ∈ (𝐾 βˆ– { 0 }) Β¬ (π‘Ž Β· (πΉβ€˜π‘’)) ∈ (π‘β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝑒})))))
2019simprd 494 . 2 (((𝐹 LIndF π‘Š ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 β‰  0 )) β†’ βˆ€π‘’ ∈ dom πΉβˆ€π‘Ž ∈ (𝐾 βˆ– { 0 }) Β¬ (π‘Ž Β· (πΉβ€˜π‘’)) ∈ (π‘β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝑒}))))
21 fveq2 6890 . . . . . 6 (𝑒 = 𝐸 β†’ (πΉβ€˜π‘’) = (πΉβ€˜πΈ))
2221oveq2d 7427 . . . . 5 (𝑒 = 𝐸 β†’ (π‘Ž Β· (πΉβ€˜π‘’)) = (π‘Ž Β· (πΉβ€˜πΈ)))
23 sneq 4637 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝐸 β†’ {𝑒} = {𝐸})
2423difeq2d 4121 . . . . . . 7 (𝑒 = 𝐸 β†’ (dom 𝐹 βˆ– {𝑒}) = (dom 𝐹 βˆ– {𝐸}))
2524imaeq2d 6058 . . . . . 6 (𝑒 = 𝐸 β†’ (𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝑒})) = (𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝐸})))
2625fveq2d 6894 . . . . 5 (𝑒 = 𝐸 β†’ (π‘β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝑒}))) = (π‘β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝐸}))))
2722, 26eleq12d 2825 . . . 4 (𝑒 = 𝐸 β†’ ((π‘Ž Β· (πΉβ€˜π‘’)) ∈ (π‘β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝑒}))) ↔ (π‘Ž Β· (πΉβ€˜πΈ)) ∈ (π‘β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝐸})))))
2827notbid 317 . . 3 (𝑒 = 𝐸 β†’ (Β¬ (π‘Ž Β· (πΉβ€˜π‘’)) ∈ (π‘β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝑒}))) ↔ Β¬ (π‘Ž Β· (πΉβ€˜πΈ)) ∈ (π‘β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝐸})))))
29 oveq1 7418 . . . . 5 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (π‘Ž Β· (πΉβ€˜πΈ)) = (𝐴 Β· (πΉβ€˜πΈ)))
3029eleq1d 2816 . . . 4 (π‘Ž = 𝐴 β†’ ((π‘Ž Β· (πΉβ€˜πΈ)) ∈ (π‘β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝐸}))) ↔ (𝐴 Β· (πΉβ€˜πΈ)) ∈ (π‘β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝐸})))))
3130notbid 317 . . 3 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (Β¬ (π‘Ž Β· (πΉβ€˜πΈ)) ∈ (π‘β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝐸}))) ↔ Β¬ (𝐴 Β· (πΉβ€˜πΈ)) ∈ (π‘β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝐸})))))
3228, 31rspc2va 3622 . 2 (((𝐸 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾 βˆ– { 0 })) ∧ βˆ€π‘’ ∈ dom πΉβˆ€π‘Ž ∈ (𝐾 βˆ– { 0 }) Β¬ (π‘Ž Β· (πΉβ€˜π‘’)) ∈ (π‘β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝑒})))) β†’ Β¬ (𝐴 Β· (πΉβ€˜πΈ)) ∈ (π‘β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝐸}))))
331, 4, 20, 32syl21anc 834 1 (((𝐹 LIndF π‘Š ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 β‰  0 )) β†’ Β¬ (𝐴 Β· (πΉβ€˜πΈ)) ∈ (π‘β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝐸}))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  Vcvv 3472   βˆ– cdif 3944  {csn 4627   class class class wbr 5147  dom cdm 5675   β€œ cima 5678  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  Scalarcsca 17204   ·𝑠 cvsca 17205  0gc0g 17389  LSpanclspn 20726   LIndF clindf 21578
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-1cn 11170  ax-addcl 11172
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-nn 12217  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-lindf 21580
This theorem is referenced by:  lindfind2  21592  lindfrn  21595  f1lindf  21596
  Copyright terms: Public domain W3C validator