MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lindfind Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lindfind 21591
Description: A linearly independent family is independent: no nonzero element multiple can be expressed as a linear combination of the others. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lindfind.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lindfind.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lindfind.l 𝐿 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lindfind.z 0 = (0gβ€˜πΏ)
lindfind.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΏ)
Assertion
Ref Expression
lindfind (((𝐹 LIndF π‘Š ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 β‰  0 )) β†’ Β¬ (𝐴 Β· (πΉβ€˜πΈ)) ∈ (π‘β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝐸}))))

Proof of Theorem lindfind
Dummy variables π‘Ž 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 766 . 2 (((𝐹 LIndF π‘Š ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 β‰  0 )) β†’ 𝐸 ∈ dom 𝐹)
2 eldifsn 4790 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐾 βˆ– { 0 }) ↔ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 β‰  0 ))
32biimpri 227 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 β‰  0 ) β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 βˆ– { 0 }))
43adantl 481 . 2 (((𝐹 LIndF π‘Š ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 β‰  0 )) β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 βˆ– { 0 }))
5 simpll 764 . . . 4 (((𝐹 LIndF π‘Š ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 β‰  0 )) β†’ 𝐹 LIndF π‘Š)
6 lindfind.l . . . . . . 7 𝐿 = (Scalarβ€˜π‘Š)
7 lindfind.k . . . . . . 7 𝐾 = (Baseβ€˜πΏ)
86, 7elbasfv 17155 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝐾 β†’ π‘Š ∈ V)
98ad2antrl 725 . . . . 5 (((𝐹 LIndF π‘Š ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 β‰  0 )) β†’ π‘Š ∈ V)
10 rellindf 21583 . . . . . . 7 Rel LIndF
1110brrelex1i 5732 . . . . . 6 (𝐹 LIndF π‘Š β†’ 𝐹 ∈ V)
1211ad2antrr 723 . . . . 5 (((𝐹 LIndF π‘Š ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 β‰  0 )) β†’ 𝐹 ∈ V)
13 eqid 2731 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
14 lindfind.s . . . . . 6 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
15 lindfind.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
16 lindfind.z . . . . . 6 0 = (0gβ€˜πΏ)
1713, 14, 15, 6, 7, 16islindf 21587 . . . . 5 ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V) β†’ (𝐹 LIndF π‘Š ↔ (𝐹:dom 𝐹⟢(Baseβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘’ ∈ dom πΉβˆ€π‘Ž ∈ (𝐾 βˆ– { 0 }) Β¬ (π‘Ž Β· (πΉβ€˜π‘’)) ∈ (π‘β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝑒}))))))
189, 12, 17syl2anc 583 . . . 4 (((𝐹 LIndF π‘Š ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 β‰  0 )) β†’ (𝐹 LIndF π‘Š ↔ (𝐹:dom 𝐹⟢(Baseβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘’ ∈ dom πΉβˆ€π‘Ž ∈ (𝐾 βˆ– { 0 }) Β¬ (π‘Ž Β· (πΉβ€˜π‘’)) ∈ (π‘β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝑒}))))))
195, 18mpbid 231 . . 3 (((𝐹 LIndF π‘Š ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 β‰  0 )) β†’ (𝐹:dom 𝐹⟢(Baseβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘’ ∈ dom πΉβˆ€π‘Ž ∈ (𝐾 βˆ– { 0 }) Β¬ (π‘Ž Β· (πΉβ€˜π‘’)) ∈ (π‘β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝑒})))))
2019simprd 495 . 2 (((𝐹 LIndF π‘Š ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 β‰  0 )) β†’ βˆ€π‘’ ∈ dom πΉβˆ€π‘Ž ∈ (𝐾 βˆ– { 0 }) Β¬ (π‘Ž Β· (πΉβ€˜π‘’)) ∈ (π‘β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝑒}))))
21 fveq2 6891 . . . . . 6 (𝑒 = 𝐸 β†’ (πΉβ€˜π‘’) = (πΉβ€˜πΈ))
2221oveq2d 7428 . . . . 5 (𝑒 = 𝐸 β†’ (π‘Ž Β· (πΉβ€˜π‘’)) = (π‘Ž Β· (πΉβ€˜πΈ)))
23 sneq 4638 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝐸 β†’ {𝑒} = {𝐸})
2423difeq2d 4122 . . . . . . 7 (𝑒 = 𝐸 β†’ (dom 𝐹 βˆ– {𝑒}) = (dom 𝐹 βˆ– {𝐸}))
2524imaeq2d 6059 . . . . . 6 (𝑒 = 𝐸 β†’ (𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝑒})) = (𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝐸})))
2625fveq2d 6895 . . . . 5 (𝑒 = 𝐸 β†’ (π‘β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝑒}))) = (π‘β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝐸}))))
2722, 26eleq12d 2826 . . . 4 (𝑒 = 𝐸 β†’ ((π‘Ž Β· (πΉβ€˜π‘’)) ∈ (π‘β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝑒}))) ↔ (π‘Ž Β· (πΉβ€˜πΈ)) ∈ (π‘β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝐸})))))
2827notbid 318 . . 3 (𝑒 = 𝐸 β†’ (Β¬ (π‘Ž Β· (πΉβ€˜π‘’)) ∈ (π‘β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝑒}))) ↔ Β¬ (π‘Ž Β· (πΉβ€˜πΈ)) ∈ (π‘β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝐸})))))
29 oveq1 7419 . . . . 5 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (π‘Ž Β· (πΉβ€˜πΈ)) = (𝐴 Β· (πΉβ€˜πΈ)))
3029eleq1d 2817 . . . 4 (π‘Ž = 𝐴 β†’ ((π‘Ž Β· (πΉβ€˜πΈ)) ∈ (π‘β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝐸}))) ↔ (𝐴 Β· (πΉβ€˜πΈ)) ∈ (π‘β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝐸})))))
3130notbid 318 . . 3 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (Β¬ (π‘Ž Β· (πΉβ€˜πΈ)) ∈ (π‘β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝐸}))) ↔ Β¬ (𝐴 Β· (πΉβ€˜πΈ)) ∈ (π‘β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝐸})))))
3228, 31rspc2va 3623 . 2 (((𝐸 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾 βˆ– { 0 })) ∧ βˆ€π‘’ ∈ dom πΉβˆ€π‘Ž ∈ (𝐾 βˆ– { 0 }) Β¬ (π‘Ž Β· (πΉβ€˜π‘’)) ∈ (π‘β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝑒})))) β†’ Β¬ (𝐴 Β· (πΉβ€˜πΈ)) ∈ (π‘β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝐸}))))
331, 4, 20, 32syl21anc 835 1 (((𝐹 LIndF π‘Š ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 β‰  0 )) β†’ Β¬ (𝐴 Β· (πΉβ€˜πΈ)) ∈ (π‘β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝐸}))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3945  {csn 4628   class class class wbr 5148  dom cdm 5676   β€œ cima 5679  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  Scalarcsca 17205   ·𝑠 cvsca 17206  0gc0g 17390  LSpanclspn 20727   LIndF clindf 21579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-1cn 11171  ax-addcl 11173
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-om 7859  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-nn 12218  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-lindf 21581
This theorem is referenced by:  lindfind2  21593  lindfrn  21596  f1lindf  21597
  Copyright terms: Public domain W3C validator