Theorem psgneu 19571

Description: A finitary permutation has exactly one parity. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnval.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnval.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnval.n	⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psgneu	⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → ∃!𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))

Distinct variable groups:   𝑤,𝑠,𝐺   𝑁,𝑠,𝑤   𝑃,𝑠,𝑤   𝑇,𝑠,𝑤   𝐷,𝑠,𝑤

Proof of Theorem psgneu

Dummy variables 𝑡 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psgnval.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
2		psgnval.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
3		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4	1, 2, 3	psgneldm 19568	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 ↔ (𝑃 ∈ (Base‘𝐺) ∧ dom (𝑃 ∖ I ) ∈ Fin))
5	4	simplbi 501	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐺))
6	1, 3	elbasfv 17270	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (Base‘𝐺) → 𝐷 ∈ V)
7	5, 6	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → 𝐷 ∈ V)
8		psgnval.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
9	1, 8, 2	psgneldm2 19569	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ V → (𝑃 ∈ dom 𝑁 ↔ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤)))
10	7, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → (𝑃 ∈ dom 𝑁 ↔ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤)))
11	10	ibi 270	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → ∃𝑤 ∈ Word 𝑇𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤))
12		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤)) → 𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤))
13		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (-1↑(♯‘𝑤)) = (-1↑(♯‘𝑤))
14		ovex 7443	. . . . . . . 8 ⊢ (-1↑(♯‘𝑤)) ∈ V
15		eqeq1 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)) → (𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)) ↔ (-1↑(♯‘𝑤)) = (-1↑(♯‘𝑤))))
16	15	anbi2d 641	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)) → ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ↔ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ (-1↑(♯‘𝑤)) = (-1↑(♯‘𝑤)))))
17	14, 16	spcev 3565	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ (-1↑(♯‘𝑤)) = (-1↑(♯‘𝑤))) → ∃𝑠(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))
18	12, 13, 17	sylancl 597	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤)) → ∃𝑠(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))
19	18	ex 417	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑇) → (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) → ∃𝑠(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
20	19	reximdva 3178	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → (∃𝑤 ∈ Word 𝑇𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) → ∃𝑤 ∈ Word 𝑇∃𝑠(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
21	11, 20	mpd 16	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → ∃𝑤 ∈ Word 𝑇∃𝑠(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))
22		rexcom4 3292	. . 3 ⊢ (∃𝑤 ∈ Word 𝑇∃𝑠(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ↔ ∃𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))
23	21, 22	sylib 221	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → ∃𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))
24		reeanv 3237	. . . 4 ⊢ (∃𝑤 ∈ Word 𝑇∃𝑥 ∈ Word 𝑇((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥)))) ↔ (∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ ∃𝑥 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥)))))
25	7	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑇)) ∧ ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥))))) → 𝐷 ∈ V)
26		simplrl 788	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑇)) ∧ ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥))))) → 𝑤 ∈ Word 𝑇)
27		simplrr 789	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑇)) ∧ ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥))))) → 𝑥 ∈ Word 𝑇)
28		simprll 790	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑇)) ∧ ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥))))) → 𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤))
29		simprrl 792	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑇)) ∧ ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥))))) → 𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥))
30	28, 29	eqtr3d 2800	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑇)) ∧ ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥))))) → (𝐺 Σg 𝑤) = (𝐺 Σg 𝑥))
31	1, 8, 25, 26, 27, 30	psgnuni 19564	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑇)) ∧ ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥))))) → (-1↑(♯‘𝑤)) = (-1↑(♯‘𝑥)))
32		simprlr 791	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑇)) ∧ ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥))))) → 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))
33		simprrr 793	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑇)) ∧ ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥))))) → 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥)))
34	31, 32, 33	3eqtr4d 2808	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑇)) ∧ ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥))))) → 𝑠 = 𝑡)
35	34	ex 417	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑇)) → (((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥)))) → 𝑠 = 𝑡))
36	35	rexlimdvva 3222	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → (∃𝑤 ∈ Word 𝑇∃𝑥 ∈ Word 𝑇((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥)))) → 𝑠 = 𝑡))
37	24, 36	biimtrrid 246	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → ((∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ ∃𝑥 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥)))) → 𝑠 = 𝑡))
38	37	alrimivv 1958	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → ∀𝑠∀𝑡((∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ ∃𝑥 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥)))) → 𝑠 = 𝑡))
39		eqeq1 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)) ↔ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑤))))
40	39	anbi2d 641	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ↔ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
41	40	rexbidv 3189	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ↔ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
42		oveq2 7418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝐺 Σg 𝑤) = (𝐺 Σg 𝑥))
43	42	eqeq2d 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ↔ 𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥)))
44		fveq2 6881	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑥))
45	44	oveq2d 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (-1↑(♯‘𝑤)) = (-1↑(♯‘𝑥)))
46	45	eqeq2d 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑡 = (-1↑(♯‘𝑤)) ↔ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥))))
47	43, 46	anbi12d 643	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑤))) ↔ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥)))))
48	47	cbvrexvw 3244	. . . 4 ⊢ (∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑤))) ↔ ∃𝑥 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥))))
49	41, 48	bitrdi 290	. . 3 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ↔ ∃𝑥 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥)))))
50	49	eu4 2643	. 2 ⊢ (∃!𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ↔ (∃𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ ∀𝑠∀𝑡((∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ ∃𝑥 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥)))) → 𝑠 = 𝑡)))
51	23, 38, 50	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → ∃!𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400  ∀wal 1568   = wceq 1570  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143  ∃!weu 2596  ∃wrex 3089  Vcvv 3455   ∖ cdif 3902   I cid 5555  dom cdm 5661  ran crn 5662  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8939  1c1 11096  -cneg 11437  ↑cexp 14093  ♯chash 14362  Word cword 14546  Basecbs 17264   Σ_g cgsu 17488  SymGrpcsymg 19434  pmTrspcpmtr 19506  pmSgncpsgn 19554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1542  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-ot 4598  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12858  df-rp 13012  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-word 14547  df-lsw 14596  df-concat 14604  df-s1 14630  df-substr 14675  df-pfx 14705  df-splice 14783  df-reverse 14792  df-s2 14881  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-tset 17324  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-mhm 18836  df-submnd 18837  df-efmnd 18923  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-subg 19184  df-ghm 19279  df-gim 19324  df-oppg 19411  df-symg 19435  df-pmtr 19507  df-psgn 19556

This theorem is referenced by:  psgnvali  19573  psgnvalii  19574  psgnfieu  19583