Theorem psgneu 19634

Description: A finitary permutation has exactly one parity. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnval.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnval.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnval.n	⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psgneu	⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → ∃!𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))

Distinct variable groups:   𝑤,𝑠,𝐺   𝑁,𝑠,𝑤   𝑃,𝑠,𝑤   𝑇,𝑠,𝑤   𝐷,𝑠,𝑤

Proof of Theorem psgneu

Dummy variables 𝑡 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psgnval.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
2		psgnval.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
3		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4	1, 2, 3	psgneldm 19631	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 ↔ (𝑃 ∈ (Base‘𝐺) ∧ dom (𝑃 ∖ I ) ∈ Fin))
5	4	simplbi 502	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐺))
6	1, 3	elbasfv 17308	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (Base‘𝐺) → 𝐷 ∈ V)
7	5, 6	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → 𝐷 ∈ V)
8		psgnval.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
9	1, 8, 2	psgneldm2 19632	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ V → (𝑃 ∈ dom 𝑁 ↔ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤)))
10	7, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → (𝑃 ∈ dom 𝑁 ↔ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤)))
11	10	ibi 270	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → ∃𝑤 ∈ Word 𝑇𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤))
12		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤)) → 𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤))
13		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (-1↑(♯‘𝑤)) = (-1↑(♯‘𝑤))
14		ovex 7447	. . . . . . . 8 ⊢ (-1↑(♯‘𝑤)) ∈ V
15		eqeq1 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)) → (𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)) ↔ (-1↑(♯‘𝑤)) = (-1↑(♯‘𝑤))))
16	15	anbi2d 642	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)) → ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ↔ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ (-1↑(♯‘𝑤)) = (-1↑(♯‘𝑤)))))
17	14, 16	spcev 3560	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ (-1↑(♯‘𝑤)) = (-1↑(♯‘𝑤))) → ∃𝑠(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))
18	12, 13, 17	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤)) → ∃𝑠(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))
19	18	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑇) → (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) → ∃𝑠(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
20	19	reximdva 3175	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → (∃𝑤 ∈ Word 𝑇𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) → ∃𝑤 ∈ Word 𝑇∃𝑠(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
21	11, 20	mpd 16	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → ∃𝑤 ∈ Word 𝑇∃𝑠(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))
22		rexcom4 3289	. . 3 ⊢ (∃𝑤 ∈ Word 𝑇∃𝑠(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ↔ ∃𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))
23	21, 22	sylib 221	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → ∃𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))
24		reeanv 3234	. . . 4 ⊢ (∃𝑤 ∈ Word 𝑇∃𝑥 ∈ Word 𝑇((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥)))) ↔ (∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ ∃𝑥 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥)))))
25	7	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑇)) ∧ ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥))))) → 𝐷 ∈ V)
26		simplrl 789	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑇)) ∧ ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥))))) → 𝑤 ∈ Word 𝑇)
27		simplrr 790	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑇)) ∧ ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥))))) → 𝑥 ∈ Word 𝑇)
28		simprll 791	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑇)) ∧ ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥))))) → 𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤))
29		simprrl 793	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑇)) ∧ ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥))))) → 𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥))
30	28, 29	eqtr3d 2797	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑇)) ∧ ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥))))) → (𝐺 Σg 𝑤) = (𝐺 Σg 𝑥))
31	1, 8, 25, 26, 27, 30	psgnuni 19627	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑇)) ∧ ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥))))) → (-1↑(♯‘𝑤)) = (-1↑(♯‘𝑥)))
32		simprlr 792	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑇)) ∧ ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥))))) → 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))
33		simprrr 794	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑇)) ∧ ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥))))) → 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥)))
34	31, 32, 33	3eqtr4d 2805	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑇)) ∧ ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥))))) → 𝑠 = 𝑡)
35	34	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑇)) → (((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥)))) → 𝑠 = 𝑡))
36	35	rexlimdvva 3219	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → (∃𝑤 ∈ Word 𝑇∃𝑥 ∈ Word 𝑇((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥)))) → 𝑠 = 𝑡))
37	24, 36	biimtrrid 246	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → ((∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ ∃𝑥 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥)))) → 𝑠 = 𝑡))
38	37	alrimivv 1961	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → ∀𝑠∀𝑡((∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ ∃𝑥 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥)))) → 𝑠 = 𝑡))
39		eqeq1 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)) ↔ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑤))))
40	39	anbi2d 642	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ↔ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
41	40	rexbidv 3186	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ↔ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
42		oveq2 7422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝐺 Σg 𝑤) = (𝐺 Σg 𝑥))
43	42	eqeq2d 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ↔ 𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥)))
44		fveq2 6879	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑥))
45	44	oveq2d 7430	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (-1↑(♯‘𝑤)) = (-1↑(♯‘𝑥)))
46	45	eqeq2d 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑡 = (-1↑(♯‘𝑤)) ↔ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥))))
47	43, 46	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑤))) ↔ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥)))))
48	47	cbvrexvw 3241	. . . 4 ⊢ (∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑤))) ↔ ∃𝑥 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥))))
49	41, 48	bitrdi 290	. . 3 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ↔ ∃𝑥 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥)))))
50	49	eu4 2640	. 2 ⊢ (∃!𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ↔ (∃𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ ∀𝑠∀𝑡((∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ ∃𝑥 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥)))) → 𝑠 = 𝑡)))
51	23, 38, 50	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → ∃!𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∀wal 1568   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  ∃!weu 2593  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ∖ cdif 3896   I cid 5549  dom cdm 5655  ran crn 5656  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Fincfn 8953  1c1 11126  -cneg 11467  ↑cexp 14126  ♯chash 14395  Word cword 14579  Basecbs 17302   Σ_g cgsu 17526  SymGrpcsymg 19497  pmTrspcpmtr 19569  pmSgncpsgn 19617

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1542  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-card 9945  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-xnn0 12603  df-z 12617  df-uz 12889  df-rp 13044  df-fz 13563  df-fzo 13711  df-seq 14067  df-exp 14127  df-hash 14396  df-word 14580  df-lsw 14629  df-concat 14637  df-s1 14664  df-substr 14710  df-pfx 14742  df-splice 14820  df-reverse 14829  df-s2 14920  df-struct 17240  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-plusg 17356  df-tset 17362  df-0g 17527  df-gsum 17528  df-mre 17671  df-mrc 17672  df-acs 17674  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-mhm 18892  df-submnd 18893  df-efmnd 18979  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-subg 19247  df-ghm 19342  df-gim 19387  df-oppg 19474  df-symg 19498  df-pmtr 19570  df-psgn 19619

This theorem is used by:  psgnvali  19636  psgnvalii  19637  psgnfieu  19646