MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgneu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgneu 18133
Description: A finitary permutation has exactly one parity. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnval.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnval.t 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnval.n 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
psgneu (𝑃 ∈ dom 𝑁 → ∃!𝑠𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))
Distinct variable groups:   𝑤,𝑠,𝐺   𝑁,𝑠,𝑤   𝑃,𝑠,𝑤   𝑇,𝑠,𝑤   𝐷,𝑠,𝑤

Proof of Theorem psgneu
Dummy variables 𝑡 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psgnval.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
2 psgnval.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
3 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
41, 2, 3psgneldm 18130 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ dom 𝑁 ↔ (𝑃 ∈ (Base‘𝐺) ∧ dom (𝑃 ∖ I ) ∈ Fin))
54simplbi 485 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ dom 𝑁𝑃 ∈ (Base‘𝐺))
61, 3elbasfv 16127 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (Base‘𝐺) → 𝐷 ∈ V)
75, 6syl 17 . . . . . 6 (𝑃 ∈ dom 𝑁𝐷 ∈ V)
8 psgnval.t . . . . . . 7 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
91, 8, 2psgneldm2 18131 . . . . . 6 (𝐷 ∈ V → (𝑃 ∈ dom 𝑁 ↔ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤)))
107, 9syl 17 . . . . 5 (𝑃 ∈ dom 𝑁 → (𝑃 ∈ dom 𝑁 ↔ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤)))
1110ibi 256 . . . 4 (𝑃 ∈ dom 𝑁 → ∃𝑤 ∈ Word 𝑇𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤))
12 simpr 471 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ dom 𝑁𝑤 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤)) → 𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤))
13 eqid 2771 . . . . . . 7 (-1↑(♯‘𝑤)) = (-1↑(♯‘𝑤))
14 ovex 6827 . . . . . . . 8 (-1↑(♯‘𝑤)) ∈ V
15 eqeq1 2775 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)) → (𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)) ↔ (-1↑(♯‘𝑤)) = (-1↑(♯‘𝑤))))
1615anbi2d 614 . . . . . . . 8 (𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)) → ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ↔ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ (-1↑(♯‘𝑤)) = (-1↑(♯‘𝑤)))))
1714, 16spcev 3451 . . . . . . 7 ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ (-1↑(♯‘𝑤)) = (-1↑(♯‘𝑤))) → ∃𝑠(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))
1812, 13, 17sylancl 574 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ dom 𝑁𝑤 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤)) → ∃𝑠(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))
1918ex 397 . . . . 5 ((𝑃 ∈ dom 𝑁𝑤 ∈ Word 𝑇) → (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) → ∃𝑠(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
2019reximdva 3165 . . . 4 (𝑃 ∈ dom 𝑁 → (∃𝑤 ∈ Word 𝑇𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) → ∃𝑤 ∈ Word 𝑇𝑠(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
2111, 20mpd 15 . . 3 (𝑃 ∈ dom 𝑁 → ∃𝑤 ∈ Word 𝑇𝑠(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))
22 rexcom4 3377 . . 3 (∃𝑤 ∈ Word 𝑇𝑠(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ↔ ∃𝑠𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))
2321, 22sylib 208 . 2 (𝑃 ∈ dom 𝑁 → ∃𝑠𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))
24 reeanv 3255 . . . 4 (∃𝑤 ∈ Word 𝑇𝑥 ∈ Word 𝑇((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥)))) ↔ (∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ ∃𝑥 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥)))))
257ad2antrr 705 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑇𝑥 ∈ Word 𝑇)) ∧ ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥))))) → 𝐷 ∈ V)
26 simplrl 762 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑇𝑥 ∈ Word 𝑇)) ∧ ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥))))) → 𝑤 ∈ Word 𝑇)
27 simplrr 763 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑇𝑥 ∈ Word 𝑇)) ∧ ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥))))) → 𝑥 ∈ Word 𝑇)
28 simprll 764 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑇𝑥 ∈ Word 𝑇)) ∧ ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥))))) → 𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤))
29 simprrl 766 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑇𝑥 ∈ Word 𝑇)) ∧ ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥))))) → 𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥))
3028, 29eqtr3d 2807 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑇𝑥 ∈ Word 𝑇)) ∧ ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥))))) → (𝐺 Σg 𝑤) = (𝐺 Σg 𝑥))
311, 8, 25, 26, 27, 30psgnuni 18126 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑇𝑥 ∈ Word 𝑇)) ∧ ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥))))) → (-1↑(♯‘𝑤)) = (-1↑(♯‘𝑥)))
32 simprlr 765 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑇𝑥 ∈ Word 𝑇)) ∧ ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥))))) → 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))
33 simprrr 767 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑇𝑥 ∈ Word 𝑇)) ∧ ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥))))) → 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥)))
3431, 32, 333eqtr4d 2815 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑇𝑥 ∈ Word 𝑇)) ∧ ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥))))) → 𝑠 = 𝑡)
3534ex 397 . . . . 5 ((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑇𝑥 ∈ Word 𝑇)) → (((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥)))) → 𝑠 = 𝑡))
3635rexlimdvva 3186 . . . 4 (𝑃 ∈ dom 𝑁 → (∃𝑤 ∈ Word 𝑇𝑥 ∈ Word 𝑇((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥)))) → 𝑠 = 𝑡))
3724, 36syl5bir 233 . . 3 (𝑃 ∈ dom 𝑁 → ((∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ ∃𝑥 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥)))) → 𝑠 = 𝑡))
3837alrimivv 2008 . 2 (𝑃 ∈ dom 𝑁 → ∀𝑠𝑡((∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ ∃𝑥 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥)))) → 𝑠 = 𝑡))
39 eqeq1 2775 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑡 → (𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)) ↔ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑤))))
4039anbi2d 614 . . . . 5 (𝑠 = 𝑡 → ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ↔ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
4140rexbidv 3200 . . . 4 (𝑠 = 𝑡 → (∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ↔ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
42 oveq2 6804 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑥 → (𝐺 Σg 𝑤) = (𝐺 Σg 𝑥))
4342eqeq2d 2781 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑥 → (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ↔ 𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥)))
44 fveq2 6333 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑥 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑥))
4544oveq2d 6812 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑥 → (-1↑(♯‘𝑤)) = (-1↑(♯‘𝑥)))
4645eqeq2d 2781 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑥 → (𝑡 = (-1↑(♯‘𝑤)) ↔ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥))))
4743, 46anbi12d 616 . . . . 5 (𝑤 = 𝑥 → ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑤))) ↔ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥)))))
4847cbvrexv 3321 . . . 4 (∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑤))) ↔ ∃𝑥 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥))))
4941, 48syl6bb 276 . . 3 (𝑠 = 𝑡 → (∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ↔ ∃𝑥 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥)))))
5049eu4 2667 . 2 (∃!𝑠𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ↔ (∃𝑠𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ ∀𝑠𝑡((∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ ∃𝑥 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥)))) → 𝑠 = 𝑡)))
5123, 38, 50sylanbrc 572 1 (𝑃 ∈ dom 𝑁 → ∃!𝑠𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  wal 1629   = wceq 1631  wex 1852  wcel 2145  ∃!weu 2618  wrex 3062  Vcvv 3351  cdif 3720   I cid 5157  dom cdm 5250  ran crn 5251  cfv 6030  (class class class)co 6796  Fincfn 8113  1c1 10143  -cneg 10473  cexp 13067  chash 13321  Word cword 13487  Basecbs 16064   Σg cgsu 16309  SymGrpcsymg 18004  pmTrspcpmtr 18068  pmSgncpsgn 18116
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-xor 1613  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-ot 4326  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-tpos 7508  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-xnn0 11571  df-z 11585  df-uz 11894  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-word 13495  df-lsw 13496  df-concat 13497  df-s1 13498  df-substr 13499  df-splice 13500  df-reverse 13501  df-s2 13802  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-tset 16168  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-subg 17799  df-ghm 17866  df-gim 17909  df-oppg 17983  df-symg 18005  df-pmtr 18069  df-psgn 18118
This theorem is referenced by:  psgnvali  18135  psgnvalii  18136  psgnfieu  18145
  Copyright terms: Public domain W3C validator