Theorem psgneu 19729

Description: A finitary permutation has exactly one parity. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnval.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnval.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnval.n	⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psgneu	⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → ∃!𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = ( -1↑(♯‘𝑤))))

Distinct variable groups:   𝑤,𝑠,𝐺   𝑁,𝑠,𝑤   𝑃,𝑠,𝑤   𝑇,𝑠,𝑤   𝐷,𝑠,𝑤

Proof of Theorem psgneu

Dummy variables 𝑡 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psgnval.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
2		psgnval.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
3		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4	1, 2, 3	psgneldm 19726	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 ↔ (𝑃 ∈ (Base‘𝐺) ∧ dom (𝑃 ∖ I ) ∈ Fin))
5	4	simplbi 502	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐺))
6	1, 3	elbasfv 17402	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (Base‘𝐺) → 𝐷 ∈ V)
7	5, 6	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → 𝐷 ∈ V)
8		psgnval.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
9	1, 8, 2	psgneldm2 19727	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ V → (𝑃 ∈ dom 𝑁 ↔ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤)))
10	7, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → (𝑃 ∈ dom 𝑁 ↔ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤)))
11	10	ibi 270	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → ∃𝑤 ∈ Word 𝑇𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤))
12		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤)) → 𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤))
13		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ ( -1↑(♯‘𝑤)) = ( -1↑(♯‘𝑤))
14		ovex 7457	. . . . . . . 8 ⊢ ( -1↑(♯‘𝑤)) ∈ V
15		eqeq1 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = ( -1↑(♯‘𝑤)) → (𝑠 = ( -1↑(♯‘𝑤)) ↔ ( -1↑(♯‘𝑤)) = ( -1↑(♯‘𝑤))))
16	15	anbi2d 642	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = ( -1↑(♯‘𝑤)) → ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = ( -1↑(♯‘𝑤))) ↔ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ ( -1↑(♯‘𝑤)) = ( -1↑(♯‘𝑤)))))
17	14, 16	spcev 3560	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ ( -1↑(♯‘𝑤)) = ( -1↑(♯‘𝑤))) → ∃𝑠(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = ( -1↑(♯‘𝑤))))
18	12, 13, 17	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤)) → ∃𝑠(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = ( -1↑(♯‘𝑤))))
19	18	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑇) → (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) → ∃𝑠(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = ( -1↑(♯‘𝑤)))))
20	19	reximdva 3175	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → (∃𝑤 ∈ Word 𝑇𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) → ∃𝑤 ∈ Word 𝑇∃𝑠(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = ( -1↑(♯‘𝑤)))))
21	11, 20	mpd 16	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → ∃𝑤 ∈ Word 𝑇∃𝑠(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = ( -1↑(♯‘𝑤))))
22		rexcom4 3289	. . 3 ⊢ (∃𝑤 ∈ Word 𝑇∃𝑠(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = ( -1↑(♯‘𝑤))) ↔ ∃𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = ( -1↑(♯‘𝑤))))
23	21, 22	sylib 221	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → ∃𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = ( -1↑(♯‘𝑤))))
24		reeanv 3234	. . . 4 ⊢ (∃𝑤 ∈ Word 𝑇∃𝑥 ∈ Word 𝑇((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = ( -1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = ( -1↑(♯‘𝑥)))) ↔ (∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = ( -1↑(♯‘𝑤))) ∧ ∃𝑥 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = ( -1↑(♯‘𝑥)))))
25	7	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑇)) ∧ ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = ( -1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = ( -1↑(♯‘𝑥))))) → 𝐷 ∈ V)
26		simplrl 789	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑇)) ∧ ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = ( -1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = ( -1↑(♯‘𝑥))))) → 𝑤 ∈ Word 𝑇)
27		simplrr 790	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑇)) ∧ ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = ( -1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = ( -1↑(♯‘𝑥))))) → 𝑥 ∈ Word 𝑇)
28		simprll 791	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑇)) ∧ ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = ( -1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = ( -1↑(♯‘𝑥))))) → 𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤))
29		simprrl 793	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑇)) ∧ ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = ( -1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = ( -1↑(♯‘𝑥))))) → 𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥))
30	28, 29	eqtr3d 2797	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑇)) ∧ ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = ( -1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = ( -1↑(♯‘𝑥))))) → (𝐺 Σg 𝑤) = (𝐺 Σg 𝑥))
31	1, 8, 25, 26, 27, 30	psgnuni 19722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑇)) ∧ ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = ( -1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = ( -1↑(♯‘𝑥))))) → ( -1↑(♯‘𝑤)) = ( -1↑(♯‘𝑥)))
32		simprlr 792	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑇)) ∧ ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = ( -1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = ( -1↑(♯‘𝑥))))) → 𝑠 = ( -1↑(♯‘𝑤)))
33		simprrr 794	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑇)) ∧ ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = ( -1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = ( -1↑(♯‘𝑥))))) → 𝑡 = ( -1↑(♯‘𝑥)))
34	31, 32, 33	3eqtr4d 2805	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑇)) ∧ ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = ( -1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = ( -1↑(♯‘𝑥))))) → 𝑠 = 𝑡)
35	34	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑇)) → (((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = ( -1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = ( -1↑(♯‘𝑥)))) → 𝑠 = 𝑡))
36	35	rexlimdvva 3219	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → (∃𝑤 ∈ Word 𝑇∃𝑥 ∈ Word 𝑇((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = ( -1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = ( -1↑(♯‘𝑥)))) → 𝑠 = 𝑡))
37	24, 36	biimtrrid 246	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → ((∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = ( -1↑(♯‘𝑤))) ∧ ∃𝑥 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = ( -1↑(♯‘𝑥)))) → 𝑠 = 𝑡))
38	37	alrimivv 1960	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → ∀𝑠∀𝑡((∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = ( -1↑(♯‘𝑤))) ∧ ∃𝑥 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = ( -1↑(♯‘𝑥)))) → 𝑠 = 𝑡))
39		eqeq1 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝑠 = ( -1↑(♯‘𝑤)) ↔ 𝑡 = ( -1↑(♯‘𝑤))))
40	39	anbi2d 642	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = ( -1↑(♯‘𝑤))) ↔ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑡 = ( -1↑(♯‘𝑤)))))
41	40	rexbidv 3186	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = ( -1↑(♯‘𝑤))) ↔ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑡 = ( -1↑(♯‘𝑤)))))
42		oveq2 7432	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝐺 Σg 𝑤) = (𝐺 Σg 𝑥))
43	42	eqeq2d 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ↔ 𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥)))
44		fveq2 6890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑥))
45	44	oveq2d 7440	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ( -1↑(♯‘𝑤)) = ( -1↑(♯‘𝑥)))
46	45	eqeq2d 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑡 = ( -1↑(♯‘𝑤)) ↔ 𝑡 = ( -1↑(♯‘𝑥))))
47	43, 46	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑡 = ( -1↑(♯‘𝑤))) ↔ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = ( -1↑(♯‘𝑥)))))
48	47	cbvrexvw 3241	. . . 4 ⊢ (∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑡 = ( -1↑(♯‘𝑤))) ↔ ∃𝑥 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = ( -1↑(♯‘𝑥))))
49	41, 48	bitrdi 290	. . 3 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = ( -1↑(♯‘𝑤))) ↔ ∃𝑥 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = ( -1↑(♯‘𝑥)))))
50	49	eu4 2640	. 2 ⊢ (∃!𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = ( -1↑(♯‘𝑤))) ↔ (∃𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = ( -1↑(♯‘𝑤))) ∧ ∀𝑠∀𝑡((∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = ( -1↑(♯‘𝑤))) ∧ ∃𝑥 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = ( -1↑(♯‘𝑥)))) → 𝑠 = 𝑡)))
51	23, 38, 50	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → ∃!𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = ( -1↑(♯‘𝑤))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∀wal 1567   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144  ∃!weu 2593  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ∖ cdif 4044   I cid 5545  dom cdm 5651  ran crn 5652  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  Fincfn 8981  1c1 11208   -cneg 11549  ↑cexp 14211  ♯chash 14481  Word cword 14665  Basecbs 17396   Σ_g cgsu 17620  SymGrpcsymg 19592  pmTrspcpmtr 19664  pmSgncpsgn 19712

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1541  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-ot 4858  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-tpos 8251  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-2o 8485  df-er 8725  df-map 8857  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-xnn0 12687  df-z 12701  df-uz 12973  df-rp 13128  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-seq 14152  df-exp 14212  df-hash 14482  df-word 14666  df-lsw 14715  df-concat 14723  df-s1 14750  df-substr 14797  df-pfx 14829  df-splice 14907  df-reverse 14916  df-s2 15007  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-tset 17456  df-0g 17621  df-gsum 17622  df-mre 17765  df-mrc 17766  df-acs 17768  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-mhm 18987  df-submnd 18988  df-efmnd 19074  df-grp 19156  df-minusg 19157  df-subg 19342  df-ghm 19437  df-gim 19482  df-oppg 19569  df-symg 19593  df-pmtr 19665  df-psgn 19714

This theorem is used by:  psgnvali  19731  psgnvalii  19732  psgnfieu  19741