Theorem psgneu 19433

Description: A finitary permutation has exactly one parity. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnval.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnval.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnval.n	⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psgneu	⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → ∃!𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))

Distinct variable groups:   𝑤,𝑠,𝐺   𝑁,𝑠,𝑤   𝑃,𝑠,𝑤   𝑇,𝑠,𝑤   𝐷,𝑠,𝑤

Proof of Theorem psgneu

Dummy variables 𝑡 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psgnval.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
2		psgnval.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
3		eqid 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4	1, 2, 3	psgneldm 19430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 ↔ (𝑃 ∈ (Base‘𝐺) ∧ dom (𝑃 ∖ I ) ∈ Fin))
5	4	simplbi 497	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐺))
6	1, 3	elbasfv 17140	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (Base‘𝐺) → 𝐷 ∈ V)
7	5, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → 𝐷 ∈ V)
8		psgnval.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
9	1, 8, 2	psgneldm2 19431	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ V → (𝑃 ∈ dom 𝑁 ↔ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤)))
10	7, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → (𝑃 ∈ dom 𝑁 ↔ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤)))
11	10	ibi 267	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → ∃𝑤 ∈ Word 𝑇𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤))
12		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤)) → 𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤))
13		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (-1↑(♯‘𝑤)) = (-1↑(♯‘𝑤))
14		ovex 7389	. . . . . . . 8 ⊢ (-1↑(♯‘𝑤)) ∈ V
15		eqeq1 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)) → (𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)) ↔ (-1↑(♯‘𝑤)) = (-1↑(♯‘𝑤))))
16	15	anbi2d 630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)) → ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ↔ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ (-1↑(♯‘𝑤)) = (-1↑(♯‘𝑤)))))
17	14, 16	spcev 3558	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ (-1↑(♯‘𝑤)) = (-1↑(♯‘𝑤))) → ∃𝑠(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))
18	12, 13, 17	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤)) → ∃𝑠(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))
19	18	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑇) → (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) → ∃𝑠(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
20	19	reximdva 3147	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → (∃𝑤 ∈ Word 𝑇𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) → ∃𝑤 ∈ Word 𝑇∃𝑠(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
21	11, 20	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → ∃𝑤 ∈ Word 𝑇∃𝑠(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))
22		rexcom4 3261	. . 3 ⊢ (∃𝑤 ∈ Word 𝑇∃𝑠(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ↔ ∃𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))
23	21, 22	sylib 218	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → ∃𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))
24		reeanv 3206	. . . 4 ⊢ (∃𝑤 ∈ Word 𝑇∃𝑥 ∈ Word 𝑇((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥)))) ↔ (∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ ∃𝑥 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥)))))
25	7	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑇)) ∧ ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥))))) → 𝐷 ∈ V)
26		simplrl 776	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑇)) ∧ ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥))))) → 𝑤 ∈ Word 𝑇)
27		simplrr 777	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑇)) ∧ ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥))))) → 𝑥 ∈ Word 𝑇)
28		simprll 778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑇)) ∧ ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥))))) → 𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤))
29		simprrl 780	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑇)) ∧ ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥))))) → 𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥))
30	28, 29	eqtr3d 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑇)) ∧ ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥))))) → (𝐺 Σg 𝑤) = (𝐺 Σg 𝑥))
31	1, 8, 25, 26, 27, 30	psgnuni 19426	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑇)) ∧ ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥))))) → (-1↑(♯‘𝑤)) = (-1↑(♯‘𝑥)))
32		simprlr 779	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑇)) ∧ ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥))))) → 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))
33		simprrr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑇)) ∧ ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥))))) → 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥)))
34	31, 32, 33	3eqtr4d 2779	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑇)) ∧ ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥))))) → 𝑠 = 𝑡)
35	34	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ dom 𝑁 ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑇)) → (((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥)))) → 𝑠 = 𝑡))
36	35	rexlimdvva 3191	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → (∃𝑤 ∈ Word 𝑇∃𝑥 ∈ Word 𝑇((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥)))) → 𝑠 = 𝑡))
37	24, 36	biimtrrid 243	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → ((∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ ∃𝑥 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥)))) → 𝑠 = 𝑡))
38	37	alrimivv 1929	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → ∀𝑠∀𝑡((∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ ∃𝑥 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥)))) → 𝑠 = 𝑡))
39		eqeq1 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)) ↔ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑤))))
40	39	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ↔ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
41	40	rexbidv 3158	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ↔ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
42		oveq2 7364	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝐺 Σg 𝑤) = (𝐺 Σg 𝑥))
43	42	eqeq2d 2745	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ↔ 𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥)))
44		fveq2 6832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑥))
45	44	oveq2d 7372	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (-1↑(♯‘𝑤)) = (-1↑(♯‘𝑥)))
46	45	eqeq2d 2745	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑡 = (-1↑(♯‘𝑤)) ↔ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥))))
47	43, 46	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑤))) ↔ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥)))))
48	47	cbvrexvw 3213	. . . 4 ⊢ (∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑤))) ↔ ∃𝑥 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥))))
49	41, 48	bitrdi 287	. . 3 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ↔ ∃𝑥 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥)))))
50	49	eu4 2613	. 2 ⊢ (∃!𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ↔ (∃𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ ∀𝑠∀𝑡((∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ∧ ∃𝑥 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑥) ∧ 𝑡 = (-1↑(♯‘𝑥)))) → 𝑠 = 𝑡)))
51	23, 38, 50	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → ∃!𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1539   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113  ∃!weu 2566  ∃wrex 3058  Vcvv 3438   ∖ cdif 3896   I cid 5516  dom cdm 5622  ran crn 5623  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Fincfn 8881  1c1 11025  -cneg 11363  ↑cexp 13982  ♯chash 14251  Word cword 14434  Basecbs 17134   Σ_g cgsu 17358  SymGrpcsymg 19296  pmTrspcpmtr 19368  pmSgncpsgn 19416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1513  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-ot 4587  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-xnn0 12473  df-z 12487  df-uz 12750  df-rp 12904  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-seq 13923  df-exp 13983  df-hash 14252  df-word 14435  df-lsw 14484  df-concat 14492  df-s1 14518  df-substr 14563  df-pfx 14593  df-splice 14671  df-reverse 14680  df-s2 14769  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-tset 17194  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-mre 17503  df-mrc 17504  df-acs 17506  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-efmnd 18792  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-subg 19051  df-ghm 19140  df-gim 19186  df-oppg 19273  df-symg 19297  df-pmtr 19369  df-psgn 19418

This theorem is referenced by:  psgnvali  19435  psgnvalii  19436  psgnfieu  19445