MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  q1pval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem q1pval 25359
Description: Value of the univariate polynomial quotient function. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
q1pval.q ๐‘„ = (quot1pโ€˜๐‘…)
q1pval.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
q1pval.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
q1pval.d ๐ท = ( deg1 โ€˜๐‘…)
q1pval.m โˆ’ = (-gโ€˜๐‘ƒ)
q1pval.t ยท = (.rโ€˜๐‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
q1pval ((๐น โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐น๐‘„๐บ) = (โ„ฉ๐‘ž โˆˆ ๐ต (๐ทโ€˜(๐น โˆ’ (๐‘ž ยท ๐บ))) < (๐ทโ€˜๐บ)))
Distinct variable groups:   ๐ต,๐‘ž   ๐น,๐‘ž   ๐บ,๐‘ž   ๐‘ƒ,๐‘ž   ๐‘…,๐‘ž
Allowed substitution hints:   ๐ท(๐‘ž)   ๐‘„(๐‘ž)   ยท (๐‘ž)   โˆ’ (๐‘ž)

Proof of Theorem q1pval
Dummy variables ๐‘ ๐‘“ ๐‘” ๐‘ ๐‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 q1pval.p . . . . 5 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
2 q1pval.b . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
31, 2elbasfv 16959 . . . 4 (๐บ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘… โˆˆ V)
4 q1pval.q . . . . 5 ๐‘„ = (quot1pโ€˜๐‘…)
5 fveq2 6800 . . . . . . . . 9 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (Poly1โ€˜๐‘Ÿ) = (Poly1โ€˜๐‘…))
65, 1eqtr4di 2794 . . . . . . . 8 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (Poly1โ€˜๐‘Ÿ) = ๐‘ƒ)
76csbeq1d 3841 . . . . . . 7 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ โฆ‹(Poly1โ€˜๐‘Ÿ) / ๐‘โฆŒโฆ‹(Baseโ€˜๐‘) / ๐‘โฆŒ(๐‘“ โˆˆ ๐‘, ๐‘” โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (โ„ฉ๐‘ž โˆˆ ๐‘ (( deg1 โ€˜๐‘Ÿ)โ€˜(๐‘“(-gโ€˜๐‘)(๐‘ž(.rโ€˜๐‘)๐‘”))) < (( deg1 โ€˜๐‘Ÿ)โ€˜๐‘”))) = โฆ‹๐‘ƒ / ๐‘โฆŒโฆ‹(Baseโ€˜๐‘) / ๐‘โฆŒ(๐‘“ โˆˆ ๐‘, ๐‘” โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (โ„ฉ๐‘ž โˆˆ ๐‘ (( deg1 โ€˜๐‘Ÿ)โ€˜(๐‘“(-gโ€˜๐‘)(๐‘ž(.rโ€˜๐‘)๐‘”))) < (( deg1 โ€˜๐‘Ÿ)โ€˜๐‘”))))
81fvexi 6814 . . . . . . . . 9 ๐‘ƒ โˆˆ V
98a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ V)
10 fveq2 6800 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ = ๐‘ƒ โ†’ (Baseโ€˜๐‘) = (Baseโ€˜๐‘ƒ))
1110adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘ = ๐‘ƒ) โ†’ (Baseโ€˜๐‘) = (Baseโ€˜๐‘ƒ))
1211, 2eqtr4di 2794 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘ = ๐‘ƒ) โ†’ (Baseโ€˜๐‘) = ๐ต)
1312csbeq1d 3841 . . . . . . . . 9 ((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘ = ๐‘ƒ) โ†’ โฆ‹(Baseโ€˜๐‘) / ๐‘โฆŒ(๐‘“ โˆˆ ๐‘, ๐‘” โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (โ„ฉ๐‘ž โˆˆ ๐‘ (( deg1 โ€˜๐‘Ÿ)โ€˜(๐‘“(-gโ€˜๐‘)(๐‘ž(.rโ€˜๐‘)๐‘”))) < (( deg1 โ€˜๐‘Ÿ)โ€˜๐‘”))) = โฆ‹๐ต / ๐‘โฆŒ(๐‘“ โˆˆ ๐‘, ๐‘” โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (โ„ฉ๐‘ž โˆˆ ๐‘ (( deg1 โ€˜๐‘Ÿ)โ€˜(๐‘“(-gโ€˜๐‘)(๐‘ž(.rโ€˜๐‘)๐‘”))) < (( deg1 โ€˜๐‘Ÿ)โ€˜๐‘”))))
142fvexi 6814 . . . . . . . . . . 11 ๐ต โˆˆ V
1514a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘ = ๐‘ƒ) โ†’ ๐ต โˆˆ V)
16 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘ = ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ = ๐ต) โ†’ ๐‘ = ๐ต)
17 fveq2 6800 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ ( deg1 โ€˜๐‘Ÿ) = ( deg1 โ€˜๐‘…))
1817ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘ = ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ = ๐ต) โ†’ ( deg1 โ€˜๐‘Ÿ) = ( deg1 โ€˜๐‘…))
19 q1pval.d . . . . . . . . . . . . . . 15 ๐ท = ( deg1 โ€˜๐‘…)
2018, 19eqtr4di 2794 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘ = ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ = ๐ต) โ†’ ( deg1 โ€˜๐‘Ÿ) = ๐ท)
21 fveq2 6800 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ = ๐‘ƒ โ†’ (-gโ€˜๐‘) = (-gโ€˜๐‘ƒ))
2221ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘ = ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ = ๐ต) โ†’ (-gโ€˜๐‘) = (-gโ€˜๐‘ƒ))
23 q1pval.m . . . . . . . . . . . . . . . 16 โˆ’ = (-gโ€˜๐‘ƒ)
2422, 23eqtr4di 2794 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘ = ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ = ๐ต) โ†’ (-gโ€˜๐‘) = โˆ’ )
25 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘ = ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ = ๐ต) โ†’ ๐‘“ = ๐‘“)
26 fveq2 6800 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ = ๐‘ƒ โ†’ (.rโ€˜๐‘) = (.rโ€˜๐‘ƒ))
2726ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘ = ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ = ๐ต) โ†’ (.rโ€˜๐‘) = (.rโ€˜๐‘ƒ))
28 q1pval.t . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ยท = (.rโ€˜๐‘ƒ)
2927, 28eqtr4di 2794 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘ = ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ = ๐ต) โ†’ (.rโ€˜๐‘) = ยท )
3029oveqd 7320 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘ = ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ = ๐ต) โ†’ (๐‘ž(.rโ€˜๐‘)๐‘”) = (๐‘ž ยท ๐‘”))
3124, 25, 30oveq123d 7324 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘ = ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ = ๐ต) โ†’ (๐‘“(-gโ€˜๐‘)(๐‘ž(.rโ€˜๐‘)๐‘”)) = (๐‘“ โˆ’ (๐‘ž ยท ๐‘”)))
3220, 31fveq12d 6807 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘ = ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ = ๐ต) โ†’ (( deg1 โ€˜๐‘Ÿ)โ€˜(๐‘“(-gโ€˜๐‘)(๐‘ž(.rโ€˜๐‘)๐‘”))) = (๐ทโ€˜(๐‘“ โˆ’ (๐‘ž ยท ๐‘”))))
3320fveq1d 6802 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘ = ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ = ๐ต) โ†’ (( deg1 โ€˜๐‘Ÿ)โ€˜๐‘”) = (๐ทโ€˜๐‘”))
3432, 33breq12d 5094 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘ = ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ = ๐ต) โ†’ ((( deg1 โ€˜๐‘Ÿ)โ€˜(๐‘“(-gโ€˜๐‘)(๐‘ž(.rโ€˜๐‘)๐‘”))) < (( deg1 โ€˜๐‘Ÿ)โ€˜๐‘”) โ†” (๐ทโ€˜(๐‘“ โˆ’ (๐‘ž ยท ๐‘”))) < (๐ทโ€˜๐‘”)))
3516, 34riotaeqbidv 7263 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘ = ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ = ๐ต) โ†’ (โ„ฉ๐‘ž โˆˆ ๐‘ (( deg1 โ€˜๐‘Ÿ)โ€˜(๐‘“(-gโ€˜๐‘)(๐‘ž(.rโ€˜๐‘)๐‘”))) < (( deg1 โ€˜๐‘Ÿ)โ€˜๐‘”)) = (โ„ฉ๐‘ž โˆˆ ๐ต (๐ทโ€˜(๐‘“ โˆ’ (๐‘ž ยท ๐‘”))) < (๐ทโ€˜๐‘”)))
3616, 16, 35mpoeq123dv 7378 . . . . . . . . . 10 (((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘ = ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ = ๐ต) โ†’ (๐‘“ โˆˆ ๐‘, ๐‘” โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (โ„ฉ๐‘ž โˆˆ ๐‘ (( deg1 โ€˜๐‘Ÿ)โ€˜(๐‘“(-gโ€˜๐‘)(๐‘ž(.rโ€˜๐‘)๐‘”))) < (( deg1 โ€˜๐‘Ÿ)โ€˜๐‘”))) = (๐‘“ โˆˆ ๐ต, ๐‘” โˆˆ ๐ต โ†ฆ (โ„ฉ๐‘ž โˆˆ ๐ต (๐ทโ€˜(๐‘“ โˆ’ (๐‘ž ยท ๐‘”))) < (๐ทโ€˜๐‘”))))
3715, 36csbied 3875 . . . . . . . . 9 ((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘ = ๐‘ƒ) โ†’ โฆ‹๐ต / ๐‘โฆŒ(๐‘“ โˆˆ ๐‘, ๐‘” โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (โ„ฉ๐‘ž โˆˆ ๐‘ (( deg1 โ€˜๐‘Ÿ)โ€˜(๐‘“(-gโ€˜๐‘)(๐‘ž(.rโ€˜๐‘)๐‘”))) < (( deg1 โ€˜๐‘Ÿ)โ€˜๐‘”))) = (๐‘“ โˆˆ ๐ต, ๐‘” โˆˆ ๐ต โ†ฆ (โ„ฉ๐‘ž โˆˆ ๐ต (๐ทโ€˜(๐‘“ โˆ’ (๐‘ž ยท ๐‘”))) < (๐ทโ€˜๐‘”))))
3813, 37eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘ = ๐‘ƒ) โ†’ โฆ‹(Baseโ€˜๐‘) / ๐‘โฆŒ(๐‘“ โˆˆ ๐‘, ๐‘” โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (โ„ฉ๐‘ž โˆˆ ๐‘ (( deg1 โ€˜๐‘Ÿ)โ€˜(๐‘“(-gโ€˜๐‘)(๐‘ž(.rโ€˜๐‘)๐‘”))) < (( deg1 โ€˜๐‘Ÿ)โ€˜๐‘”))) = (๐‘“ โˆˆ ๐ต, ๐‘” โˆˆ ๐ต โ†ฆ (โ„ฉ๐‘ž โˆˆ ๐ต (๐ทโ€˜(๐‘“ โˆ’ (๐‘ž ยท ๐‘”))) < (๐ทโ€˜๐‘”))))
399, 38csbied 3875 . . . . . . 7 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ โฆ‹๐‘ƒ / ๐‘โฆŒโฆ‹(Baseโ€˜๐‘) / ๐‘โฆŒ(๐‘“ โˆˆ ๐‘, ๐‘” โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (โ„ฉ๐‘ž โˆˆ ๐‘ (( deg1 โ€˜๐‘Ÿ)โ€˜(๐‘“(-gโ€˜๐‘)(๐‘ž(.rโ€˜๐‘)๐‘”))) < (( deg1 โ€˜๐‘Ÿ)โ€˜๐‘”))) = (๐‘“ โˆˆ ๐ต, ๐‘” โˆˆ ๐ต โ†ฆ (โ„ฉ๐‘ž โˆˆ ๐ต (๐ทโ€˜(๐‘“ โˆ’ (๐‘ž ยท ๐‘”))) < (๐ทโ€˜๐‘”))))
407, 39eqtrd 2776 . . . . . 6 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ โฆ‹(Poly1โ€˜๐‘Ÿ) / ๐‘โฆŒโฆ‹(Baseโ€˜๐‘) / ๐‘โฆŒ(๐‘“ โˆˆ ๐‘, ๐‘” โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (โ„ฉ๐‘ž โˆˆ ๐‘ (( deg1 โ€˜๐‘Ÿ)โ€˜(๐‘“(-gโ€˜๐‘)(๐‘ž(.rโ€˜๐‘)๐‘”))) < (( deg1 โ€˜๐‘Ÿ)โ€˜๐‘”))) = (๐‘“ โˆˆ ๐ต, ๐‘” โˆˆ ๐ต โ†ฆ (โ„ฉ๐‘ž โˆˆ ๐ต (๐ทโ€˜(๐‘“ โˆ’ (๐‘ž ยท ๐‘”))) < (๐ทโ€˜๐‘”))))
41 df-q1p 25338 . . . . . 6 quot1p = (๐‘Ÿ โˆˆ V โ†ฆ โฆ‹(Poly1โ€˜๐‘Ÿ) / ๐‘โฆŒโฆ‹(Baseโ€˜๐‘) / ๐‘โฆŒ(๐‘“ โˆˆ ๐‘, ๐‘” โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (โ„ฉ๐‘ž โˆˆ ๐‘ (( deg1 โ€˜๐‘Ÿ)โ€˜(๐‘“(-gโ€˜๐‘)(๐‘ž(.rโ€˜๐‘)๐‘”))) < (( deg1 โ€˜๐‘Ÿ)โ€˜๐‘”))))
4214, 14mpoex 7948 . . . . . 6 (๐‘“ โˆˆ ๐ต, ๐‘” โˆˆ ๐ต โ†ฆ (โ„ฉ๐‘ž โˆˆ ๐ต (๐ทโ€˜(๐‘“ โˆ’ (๐‘ž ยท ๐‘”))) < (๐ทโ€˜๐‘”))) โˆˆ V
4340, 41, 42fvmpt 6903 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ V โ†’ (quot1pโ€˜๐‘…) = (๐‘“ โˆˆ ๐ต, ๐‘” โˆˆ ๐ต โ†ฆ (โ„ฉ๐‘ž โˆˆ ๐ต (๐ทโ€˜(๐‘“ โˆ’ (๐‘ž ยท ๐‘”))) < (๐ทโ€˜๐‘”))))
444, 43eqtrid 2788 . . . 4 (๐‘… โˆˆ V โ†’ ๐‘„ = (๐‘“ โˆˆ ๐ต, ๐‘” โˆˆ ๐ต โ†ฆ (โ„ฉ๐‘ž โˆˆ ๐ต (๐ทโ€˜(๐‘“ โˆ’ (๐‘ž ยท ๐‘”))) < (๐ทโ€˜๐‘”))))
453, 44syl 17 . . 3 (๐บ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘„ = (๐‘“ โˆˆ ๐ต, ๐‘” โˆˆ ๐ต โ†ฆ (โ„ฉ๐‘ž โˆˆ ๐ต (๐ทโ€˜(๐‘“ โˆ’ (๐‘ž ยท ๐‘”))) < (๐ทโ€˜๐‘”))))
4645adantl 483 . 2 ((๐น โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘„ = (๐‘“ โˆˆ ๐ต, ๐‘” โˆˆ ๐ต โ†ฆ (โ„ฉ๐‘ž โˆˆ ๐ต (๐ทโ€˜(๐‘“ โˆ’ (๐‘ž ยท ๐‘”))) < (๐ทโ€˜๐‘”))))
47 id 22 . . . . . . 7 (๐‘“ = ๐น โ†’ ๐‘“ = ๐น)
48 oveq2 7311 . . . . . . 7 (๐‘” = ๐บ โ†’ (๐‘ž ยท ๐‘”) = (๐‘ž ยท ๐บ))
4947, 48oveqan12d 7322 . . . . . 6 ((๐‘“ = ๐น โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (๐‘“ โˆ’ (๐‘ž ยท ๐‘”)) = (๐น โˆ’ (๐‘ž ยท ๐บ)))
5049fveq2d 6804 . . . . 5 ((๐‘“ = ๐น โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘“ โˆ’ (๐‘ž ยท ๐‘”))) = (๐ทโ€˜(๐น โˆ’ (๐‘ž ยท ๐บ))))
51 fveq2 6800 . . . . . 6 (๐‘” = ๐บ โ†’ (๐ทโ€˜๐‘”) = (๐ทโ€˜๐บ))
5251adantl 483 . . . . 5 ((๐‘“ = ๐น โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘”) = (๐ทโ€˜๐บ))
5350, 52breq12d 5094 . . . 4 ((๐‘“ = ๐น โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ ((๐ทโ€˜(๐‘“ โˆ’ (๐‘ž ยท ๐‘”))) < (๐ทโ€˜๐‘”) โ†” (๐ทโ€˜(๐น โˆ’ (๐‘ž ยท ๐บ))) < (๐ทโ€˜๐บ)))
5453riotabidv 7262 . . 3 ((๐‘“ = ๐น โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (โ„ฉ๐‘ž โˆˆ ๐ต (๐ทโ€˜(๐‘“ โˆ’ (๐‘ž ยท ๐‘”))) < (๐ทโ€˜๐‘”)) = (โ„ฉ๐‘ž โˆˆ ๐ต (๐ทโ€˜(๐น โˆ’ (๐‘ž ยท ๐บ))) < (๐ทโ€˜๐บ)))
5554adantl 483 . 2 (((๐น โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ = ๐น โˆง ๐‘” = ๐บ)) โ†’ (โ„ฉ๐‘ž โˆˆ ๐ต (๐ทโ€˜(๐‘“ โˆ’ (๐‘ž ยท ๐‘”))) < (๐ทโ€˜๐‘”)) = (โ„ฉ๐‘ž โˆˆ ๐ต (๐ทโ€˜(๐น โˆ’ (๐‘ž ยท ๐บ))) < (๐ทโ€˜๐บ)))
56 simpl 484 . 2 ((๐น โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐น โˆˆ ๐ต)
57 simpr 486 . 2 ((๐น โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐บ โˆˆ ๐ต)
58 riotaex 7264 . . 3 (โ„ฉ๐‘ž โˆˆ ๐ต (๐ทโ€˜(๐น โˆ’ (๐‘ž ยท ๐บ))) < (๐ทโ€˜๐บ)) โˆˆ V
5958a1i 11 . 2 ((๐น โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โ„ฉ๐‘ž โˆˆ ๐ต (๐ทโ€˜(๐น โˆ’ (๐‘ž ยท ๐บ))) < (๐ทโ€˜๐บ)) โˆˆ V)
6046, 55, 56, 57, 59ovmpod 7453 1 ((๐น โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐น๐‘„๐บ) = (โ„ฉ๐‘ž โˆˆ ๐ต (๐ทโ€˜(๐น โˆ’ (๐‘ž ยท ๐บ))) < (๐ทโ€˜๐บ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  Vcvv 3437  โฆ‹csb 3837   class class class wbr 5081  โ€˜cfv 6454  โ„ฉcrio 7259  (class class class)co 7303   โˆˆ cmpo 7305   < clt 11051  Basecbs 16953  .rcmulr 17004  -gcsg 18620  Poly1cpl1 21389   deg1 cdg1 25257  quot1pcq1p 25333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7616  ax-cnex 10969  ax-1cn 10971  ax-addcl 10973
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5496  df-eprel 5502  df-po 5510  df-so 5511  df-fr 5551  df-we 5553  df-xp 5602  df-rel 5603  df-cnv 5604  df-co 5605  df-dm 5606  df-rn 5607  df-res 5608  df-ima 5609  df-pred 6213  df-ord 6280  df-on 6281  df-lim 6282  df-suc 6283  df-iota 6406  df-fun 6456  df-fn 6457  df-f 6458  df-f1 6459  df-fo 6460  df-f1o 6461  df-fv 6462  df-riota 7260  df-ov 7306  df-oprab 7307  df-mpo 7308  df-om 7741  df-1st 7859  df-2nd 7860  df-frecs 8124  df-wrecs 8155  df-recs 8229  df-rdg 8268  df-nn 12016  df-slot 16924  df-ndx 16936  df-base 16954  df-q1p 25338
This theorem is referenced by:  q1peqb  25360
  Copyright terms: Public domain W3C validator