MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1sfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1sfi 22139
Description: Finite support of univariate polynomial coefficient vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by AV, 19-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1sfi.a 𝐴 = (coe1𝐹)
coe1sfi.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1sfi.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
coe1sfi.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
coe1sfi (𝐹𝐵𝐴 finSupp 0 )

Proof of Theorem coe1sfi
Dummy variables 𝑦 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1sfi.a . . 3 𝐴 = (coe1𝐹)
2 coe1sfi.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑃)
3 coe1sfi.p . . 3 𝑃 = (Poly1𝑅)
4 df1o2 8500 . . . 4 1o = {∅}
5 nn0ex 12516 . . . 4 0 ∈ V
6 0ex 5311 . . . 4 ∅ ∈ V
7 eqid 2728 . . . 4 (𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) = (𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅))
84, 5, 6, 7mapsncnv 8918 . . 3 (𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑦}))
91, 2, 3, 8coe1fval2 22136 . 2 (𝐹𝐵𝐴 = (𝐹(𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅))))
10 eqid 2728 . . . 4 (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
11 eqid 2728 . . . 4 (Base‘(1o mPoly 𝑅)) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
12 coe1sfi.z . . . 4 0 = (0g𝑅)
133, 2ply1bascl2 22130 . . . 4 (𝐹𝐵𝐹 ∈ (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
143, 2elbasfv 17193 . . . 4 (𝐹𝐵𝑅 ∈ V)
1510, 11, 12, 13, 14mplelsfi 21944 . . 3 (𝐹𝐵𝐹 finSupp 0 )
164, 5, 6, 7mapsnf1o2 8919 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)):(ℕ0m 1o)–1-1-onto→ℕ0
17 f1ocnv 6856 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)):(ℕ0m 1o)–1-1-onto→ℕ0(𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)):ℕ01-1-onto→(ℕ0m 1o))
18 f1of1 6843 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)):ℕ01-1-onto→(ℕ0m 1o) → (𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)):ℕ01-1→(ℕ0m 1o))
1916, 17, 18mp2b 10 . . . 4 (𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)):ℕ01-1→(ℕ0m 1o)
2019a1i 11 . . 3 (𝐹𝐵(𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)):ℕ01-1→(ℕ0m 1o))
2112fvexi 6916 . . . 4 0 ∈ V
2221a1i 11 . . 3 (𝐹𝐵0 ∈ V)
23 id 22 . . 3 (𝐹𝐵𝐹𝐵)
2415, 20, 22, 23fsuppco 9433 . 2 (𝐹𝐵 → (𝐹(𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅))) finSupp 0 )
259, 24eqbrtrd 5174 1 (𝐹𝐵𝐴 finSupp 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3473  c0 4326   class class class wbr 5152  cmpt 5235  ccnv 5681  ccom 5686  1-1wf1 6550  1-1-ontowf1o 6552  cfv 6553  (class class class)co 7426  1oc1o 8486  m cmap 8851   finSupp cfsupp 9393  0cn0 12510  Basecbs 17187  0gc0g 17428   mPoly cmpl 21846  Poly1cpl1 22103  coe1cco1 22104
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-tset 17259  df-ple 17260  df-psr 21849  df-mpl 21851  df-opsr 21853  df-psr1 22106  df-ply1 22108  df-coe1 22109
This theorem is referenced by:  coe1fsupp  22140  mptcoe1fsupp  22141  ply1coefsupp  22223  evls1fpws  22295  mptcoe1matfsupp  22724  mp2pm2mplem4  22731  plypf1  26166
  Copyright terms: Public domain W3C validator