Theorem coe1sfi 22586

Description: Finite support of univariate polynomial coefficient vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by AV, 19-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1sfi.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
coe1sfi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1sfi.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1sfi.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
coe1sfi	⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 finSupp 0 )

Proof of Theorem coe1sfi

Dummy variables 𝑦 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1sfi.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
2		coe1sfi.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
3		coe1sfi.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		df1o2 8521	. . . 4 ⊢ 1o = {∅}
5		nn0ex 12652	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
6		0ex 5267	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
7		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) = (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅))
8	4, 5, 6, 7	mapsncnv 8959	. . 3 ⊢ ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑦}))
9	1, 2, 3, 8	coe1fval2 22583	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 = (𝐹 ∘ ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅))))
10		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
11		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
12		coe1sfi.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
13	3, 2	ply1bascl2 22577	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 ∈ (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
14	10, 11, 12, 13	mplelsfi 22357	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 finSupp 0 )
15	4, 5, 6, 7	mapsnf1o2 8960	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)⟶1-1ontoℕ0
16		f1ocnv 6867	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)⟶1-1ontoℕ0 → ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)):ℕ0⟶1-1onto(ℕ0 ↑m 1o))
17		f1of1 6853	. . . . 5 ⊢ (◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)):ℕ0⟶1-1onto(ℕ0 ↑m 1o) → ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)):ℕ0⟶1-1(ℕ0 ↑m 1o))
18	15, 16, 17	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)):ℕ0⟶1-1(ℕ0 ↑m 1o)
19	18	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)):ℕ0⟶1-1(ℕ0 ↑m 1o))
20	12	fvexi 6930	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 0 ∈ V)
22		id 23	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 ∈ 𝐵)
23	14, 19, 21, 22	fsuppco 9431	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐹 ∘ ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅))) finSupp 0 )
24	9, 23	eqbrtrd 5133	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 finSupp 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  ∅c0 4281   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5192  ^◡ccnv 5657   ∘ ccom 5662  ⟶1-1wf1 6563  ⟶1-1ontowf1o 6565  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  1_oc1o 8507   ↑_m cmap 8885   finSupp cfsupp 9391  ℕ₀cn0 12646  Basecbs 17431  0_gc0g 17660   mPoly cmpl 22269  Poly₁cpl1 22550  coe₁cco1 22551

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-fz 13680  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-tset 17492  df-ple 17493  df-psr 22272  df-mpl 22274  df-opsr 22276  df-psr1 22553  df-ply1 22555  df-coe1 22556

This theorem is used by:  coe1fsupp  22587  mptcoe1fsupp  22588  ply1coefsupp  22670  evls1fpws  22742  mptcoe1matfsupp  23175  mp2pm2mplem4  23182  plypf1  26586