MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1sfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1sfi 19798
Description: Finite support of univariate polynomial coefficient vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by AV, 19-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1sfi.a 𝐴 = (coe1𝐹)
coe1sfi.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1sfi.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
coe1sfi.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
coe1sfi (𝐹𝐵𝐴 finSupp 0 )

Proof of Theorem coe1sfi
Dummy variables 𝑦 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1sfi.a . . 3 𝐴 = (coe1𝐹)
2 coe1sfi.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑃)
3 coe1sfi.p . . 3 𝑃 = (Poly1𝑅)
4 df1o2 7726 . . . 4 1𝑜 = {∅}
5 nn0ex 11500 . . . 4 0 ∈ V
6 0ex 4924 . . . 4 ∅ ∈ V
7 eqid 2771 . . . 4 (𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)) = (𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅))
84, 5, 6, 7mapsncnv 8058 . . 3 (𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))
91, 2, 3, 8coe1fval2 19795 . 2 (𝐹𝐵𝐴 = (𝐹(𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅))))
10 eqid 2771 . . . 4 (1𝑜 mPoly 𝑅) = (1𝑜 mPoly 𝑅)
11 eqid 2771 . . . 4 (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅)) = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
12 coe1sfi.z . . . 4 0 = (0g𝑅)
133, 2ply1bascl2 19789 . . . 4 (𝐹𝐵𝐹 ∈ (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅)))
143, 2elbasfv 16127 . . . 4 (𝐹𝐵𝑅 ∈ V)
1510, 11, 12, 13, 14mplelsfi 19706 . . 3 (𝐹𝐵𝐹 finSupp 0 )
164, 5, 6, 7mapsnf1o2 8059 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–1-1-onto→ℕ0
17 f1ocnv 6290 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–1-1-onto→ℕ0(𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)):ℕ01-1-onto→(ℕ0𝑚 1𝑜))
18 f1of1 6277 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)):ℕ01-1-onto→(ℕ0𝑚 1𝑜) → (𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)):ℕ01-1→(ℕ0𝑚 1𝑜))
1916, 17, 18mp2b 10 . . . 4 (𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)):ℕ01-1→(ℕ0𝑚 1𝑜)
2019a1i 11 . . 3 (𝐹𝐵(𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)):ℕ01-1→(ℕ0𝑚 1𝑜))
21 fvex 6342 . . . . 5 (0g𝑅) ∈ V
2212, 21eqeltri 2846 . . . 4 0 ∈ V
2322a1i 11 . . 3 (𝐹𝐵0 ∈ V)
24 id 22 . . 3 (𝐹𝐵𝐹𝐵)
2515, 20, 23, 24fsuppco 8463 . 2 (𝐹𝐵 → (𝐹(𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅))) finSupp 0 )
269, 25eqbrtrd 4808 1 (𝐹𝐵𝐴 finSupp 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351  c0 4063   class class class wbr 4786  cmpt 4863  ccnv 5248  ccom 5253  1-1wf1 6028  1-1-ontowf1o 6030  cfv 6031  (class class class)co 6793  1𝑜c1o 7706  𝑚 cmap 8009   finSupp cfsupp 8431  0cn0 11494  Basecbs 16064  0gc0g 16308   mPoly cmpl 19568  Poly1cpl1 19762  coe1cco1 19763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-tset 16168  df-ple 16169  df-psr 19571  df-mpl 19573  df-opsr 19575  df-psr1 19765  df-ply1 19767  df-coe1 19768
This theorem is referenced by:  coe1fsupp  19799  mptcoe1fsupp  19800  ply1coefsupp  19880  mptcoe1matfsupp  20827  mp2pm2mplem4  20834  plypf1  24188
  Copyright terms: Public domain W3C validator