Theorem coe1sfi 22543

Description: Finite support of univariate polynomial coefficient vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by AV, 19-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1sfi.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
coe1sfi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1sfi.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1sfi.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
coe1sfi	⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 finSupp 0 )

Proof of Theorem coe1sfi

Dummy variables 𝑦 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1sfi.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
2		coe1sfi.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
3		coe1sfi.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		df1o2 8494	. . . 4 ⊢ 1o = {∅}
5		nn0ex 12622	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
6		0ex 5263	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
7		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) = (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅))
8	4, 5, 6, 7	mapsncnv 8932	. . 3 ⊢ ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑦}))
9	1, 2, 3, 8	coe1fval2 22540	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 = (𝐹 ∘ ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅))))
10		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
11		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
12		coe1sfi.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
13	3, 2	ply1bascl2 22534	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 ∈ (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
14	10, 11, 12, 13	mplelsfi 22314	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 finSupp 0 )
15	4, 5, 6, 7	mapsnf1o2 8933	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1-onto→ℕ0
16		f1ocnv 6845	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1-onto→ℕ0 → ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)):ℕ0–1-1-onto→(ℕ0 ↑m 1o))
17		f1of1 6831	. . . . 5 ⊢ (◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)):ℕ0–1-1-onto→(ℕ0 ↑m 1o) → ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)):ℕ0–1-1→(ℕ0 ↑m 1o))
18	15, 16, 17	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)):ℕ0–1-1→(ℕ0 ↑m 1o)
19	18	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)):ℕ0–1-1→(ℕ0 ↑m 1o))
20	12	fvexi 6907	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 0 ∈ V)
22		id 23	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 ∈ 𝐵)
23	14, 19, 21, 22	fsuppco 9404	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐹 ∘ ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅))) finSupp 0 )
24	9, 23	eqbrtrd 5129	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 finSupp 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  Vcvv 3453  ∅c0 4280   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ^◡ccnv 5653   ∘ ccom 5658  –1-1→wf1 6543  –1-1-onto→wf1o 6545  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  1_oc1o 8480   ↑_m cmap 8858   finSupp cfsupp 9364  ℕ₀cn0 12616  Basecbs 17399  0_gc0g 17622   mPoly cmpl 22226  Poly₁cpl1 22507  coe₁cco1 22508

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-of 7700  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-supp 8188  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-er 8728  df-map 8860  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9365  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-7 12420  df-8 12421  df-9 12422  df-n0 12617  df-z 12704  df-dec 12825  df-uz 12976  df-fz 13650  df-struct 17337  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-ress 17421  df-plusg 17453  df-mulr 17454  df-sca 17456  df-vsca 17457  df-tset 17459  df-ple 17460  df-psr 22229  df-mpl 22231  df-opsr 22233  df-psr1 22510  df-ply1 22512  df-coe1 22513

This theorem is used by:  coe1fsupp  22544  mptcoe1fsupp  22545  ply1coefsupp  22627  evls1fpws  22699  mptcoe1matfsupp  23132  mp2pm2mplem4  23139  plypf1  26543