Theorem coe1sfi 22425

Description: Finite support of univariate polynomial coefficient vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by AV, 19-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1sfi.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
coe1sfi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1sfi.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1sfi.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
coe1sfi	⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 finSupp 0 )

Proof of Theorem coe1sfi

Dummy variables 𝑦 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1sfi.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
2		coe1sfi.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
3		coe1sfi.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		df1o2 8466	. . . 4 ⊢ 1o = {∅}
5		nn0ex 12527	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
6		0ex 5272	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
7		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) = (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅))
8	4, 5, 6, 7	mapsncnv 8897	. . 3 ⊢ ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑦}))
9	1, 2, 3, 8	coe1fval2 22422	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 = (𝐹 ∘ ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅))))
10		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
11		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
12		coe1sfi.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
13	3, 2	ply1bascl2 22416	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 ∈ (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
14	10, 11, 12, 13	mplelsfi 22196	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 finSupp 0 )
15	4, 5, 6, 7	mapsnf1o2 8898	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1-onto→ℕ0
16		f1ocnv 6837	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1-onto→ℕ0 → ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)):ℕ0–1-1-onto→(ℕ0 ↑m 1o))
17		f1of1 6823	. . . . 5 ⊢ (◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)):ℕ0–1-1-onto→(ℕ0 ↑m 1o) → ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)):ℕ0–1-1→(ℕ0 ↑m 1o))
18	15, 16, 17	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)):ℕ0–1-1→(ℕ0 ↑m 1o)
19	18	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)):ℕ0–1-1→(ℕ0 ↑m 1o))
20	12	fvexi 6899	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 0 ∈ V)
22		id 23	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 ∈ 𝐵)
23	14, 19, 21, 22	fsuppco 9369	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐹 ∘ ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅))) finSupp 0 )
24	9, 23	eqbrtrd 5135	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 finSupp 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457  ∅c0 4286   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ^◡ccnv 5662   ∘ ccom 5667  –1-1→wf1 6537  –1-1-onto→wf1o 6539  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  1_oc1o 8452   ↑_m cmap 8830   finSupp cfsupp 9328  ℕ₀cn0 12521  Basecbs 17293  0_gc0g 17516   mPoly cmpl 22108  Poly₁cpl1 22389  coe₁cco1 22390

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-z 12609  df-dec 12730  df-uz 12881  df-fz 13554  df-struct 17231  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-sca 17350  df-vsca 17351  df-tset 17353  df-ple 17354  df-psr 22111  df-mpl 22113  df-opsr 22115  df-psr1 22392  df-ply1 22394  df-coe1 22395

This theorem is used by:  coe1fsupp  22426  mptcoe1fsupp  22427  ply1coefsupp  22509  evls1fpws  22581  mptcoe1matfsupp  23011  mp2pm2mplem4  23018  plypf1  26422