MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1sfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1sfi 21536
Description: Finite support of univariate polynomial coefficient vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by AV, 19-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1sfi.a 𝐴 = (coe1𝐹)
coe1sfi.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1sfi.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
coe1sfi.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
coe1sfi (𝐹𝐵𝐴 finSupp 0 )

Proof of Theorem coe1sfi
Dummy variables 𝑦 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1sfi.a . . 3 𝐴 = (coe1𝐹)
2 coe1sfi.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑃)
3 coe1sfi.p . . 3 𝑃 = (Poly1𝑅)
4 df1o2 8411 . . . 4 1o = {∅}
5 nn0ex 12377 . . . 4 0 ∈ V
6 0ex 5262 . . . 4 ∅ ∈ V
7 eqid 2737 . . . 4 (𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) = (𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅))
84, 5, 6, 7mapsncnv 8789 . . 3 (𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑦}))
91, 2, 3, 8coe1fval2 21533 . 2 (𝐹𝐵𝐴 = (𝐹(𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅))))
10 eqid 2737 . . . 4 (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
11 eqid 2737 . . . 4 (Base‘(1o mPoly 𝑅)) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
12 coe1sfi.z . . . 4 0 = (0g𝑅)
133, 2ply1bascl2 21527 . . . 4 (𝐹𝐵𝐹 ∈ (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
143, 2elbasfv 17049 . . . 4 (𝐹𝐵𝑅 ∈ V)
1510, 11, 12, 13, 14mplelsfi 21353 . . 3 (𝐹𝐵𝐹 finSupp 0 )
164, 5, 6, 7mapsnf1o2 8790 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)):(ℕ0m 1o)–1-1-onto→ℕ0
17 f1ocnv 6793 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)):(ℕ0m 1o)–1-1-onto→ℕ0(𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)):ℕ01-1-onto→(ℕ0m 1o))
18 f1of1 6780 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)):ℕ01-1-onto→(ℕ0m 1o) → (𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)):ℕ01-1→(ℕ0m 1o))
1916, 17, 18mp2b 10 . . . 4 (𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)):ℕ01-1→(ℕ0m 1o)
2019a1i 11 . . 3 (𝐹𝐵(𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)):ℕ01-1→(ℕ0m 1o))
2112fvexi 6853 . . . 4 0 ∈ V
2221a1i 11 . . 3 (𝐹𝐵0 ∈ V)
23 id 22 . . 3 (𝐹𝐵𝐹𝐵)
2415, 20, 22, 23fsuppco 9296 . 2 (𝐹𝐵 → (𝐹(𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅))) finSupp 0 )
259, 24eqbrtrd 5125 1 (𝐹𝐵𝐴 finSupp 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3443  c0 4280   class class class wbr 5103  cmpt 5186  ccnv 5630  ccom 5635  1-1wf1 6490  1-1-ontowf1o 6492  cfv 6493  (class class class)co 7351  1oc1o 8397  m cmap 8723   finSupp cfsupp 9263  0cn0 12371  Basecbs 17043  0gc0g 17281   mPoly cmpl 21261  Poly1cpl1 21500  coe1cco1 21501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-of 7609  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-supp 8085  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-map 8725  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-fsupp 9264  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-7 12179  df-8 12180  df-9 12181  df-n0 12372  df-z 12458  df-dec 12577  df-uz 12722  df-fz 13379  df-struct 16979  df-sets 16996  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-ress 17073  df-plusg 17106  df-mulr 17107  df-sca 17109  df-vsca 17110  df-tset 17112  df-ple 17113  df-psr 21264  df-mpl 21266  df-opsr 21268  df-psr1 21503  df-ply1 21505  df-coe1 21506
This theorem is referenced by:  coe1fsupp  21537  mptcoe1fsupp  21538  ply1coefsupp  21618  mptcoe1matfsupp  22103  mp2pm2mplem4  22110  plypf1  25525  evls1fpws  32092
  Copyright terms: Public domain W3C validator