Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1sfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1sfi 20367
 Description: Finite support of univariate polynomial coefficient vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by AV, 19-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1sfi.a 𝐴 = (coe1𝐹)
coe1sfi.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1sfi.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
coe1sfi.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
coe1sfi (𝐹𝐵𝐴 finSupp 0 )

Proof of Theorem coe1sfi
Dummy variables 𝑦 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1sfi.a . . 3 𝐴 = (coe1𝐹)
2 coe1sfi.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑃)
3 coe1sfi.p . . 3 𝑃 = (Poly1𝑅)
4 df1o2 8099 . . . 4 1o = {∅}
5 nn0ex 11889 . . . 4 0 ∈ V
6 0ex 5192 . . . 4 ∅ ∈ V
7 eqid 2824 . . . 4 (𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) = (𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅))
84, 5, 6, 7mapsncnv 8440 . . 3 (𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑦}))
91, 2, 3, 8coe1fval2 20364 . 2 (𝐹𝐵𝐴 = (𝐹(𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅))))
10 eqid 2824 . . . 4 (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
11 eqid 2824 . . . 4 (Base‘(1o mPoly 𝑅)) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
12 coe1sfi.z . . . 4 0 = (0g𝑅)
133, 2ply1bascl2 20358 . . . 4 (𝐹𝐵𝐹 ∈ (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
143, 2elbasfv 16533 . . . 4 (𝐹𝐵𝑅 ∈ V)
1510, 11, 12, 13, 14mplelsfi 20257 . . 3 (𝐹𝐵𝐹 finSupp 0 )
164, 5, 6, 7mapsnf1o2 8441 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)):(ℕ0m 1o)–1-1-onto→ℕ0
17 f1ocnv 6608 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)):(ℕ0m 1o)–1-1-onto→ℕ0(𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)):ℕ01-1-onto→(ℕ0m 1o))
18 f1of1 6595 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)):ℕ01-1-onto→(ℕ0m 1o) → (𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)):ℕ01-1→(ℕ0m 1o))
1916, 17, 18mp2b 10 . . . 4 (𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)):ℕ01-1→(ℕ0m 1o)
2019a1i 11 . . 3 (𝐹𝐵(𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)):ℕ01-1→(ℕ0m 1o))
2112fvexi 6665 . . . 4 0 ∈ V
2221a1i 11 . . 3 (𝐹𝐵0 ∈ V)
23 id 22 . . 3 (𝐹𝐵𝐹𝐵)
2415, 20, 22, 23fsuppco 8849 . 2 (𝐹𝐵 → (𝐹(𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅))) finSupp 0 )
259, 24eqbrtrd 5069 1 (𝐹𝐵𝐴 finSupp 0 )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Vcvv 3479  ∅c0 4274   class class class wbr 5047   ↦ cmpt 5127  ◡ccnv 5535   ∘ ccom 5540  –1-1→wf1 6333  –1-1-onto→wf1o 6335  ‘cfv 6336  (class class class)co 7138  1oc1o 8078   ↑m cmap 8389   finSupp cfsupp 8817  ℕ0cn0 11883  Basecbs 16472  0gc0g 16702   mPoly cmpl 20119  Poly1cpl1 20331  coe1cco1 20332 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-of 7392  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-4 11688  df-5 11689  df-6 11690  df-7 11691  df-8 11692  df-9 11693  df-n0 11884  df-z 11968  df-dec 12085  df-uz 12230  df-fz 12884  df-struct 16474  df-ndx 16475  df-slot 16476  df-base 16478  df-sets 16479  df-ress 16480  df-plusg 16567  df-mulr 16568  df-sca 16570  df-vsca 16571  df-tset 16573  df-ple 16574  df-psr 20122  df-mpl 20124  df-opsr 20126  df-psr1 20334  df-ply1 20336  df-coe1 20337 This theorem is referenced by:  coe1fsupp  20368  mptcoe1fsupp  20369  ply1coefsupp  20449  mptcoe1matfsupp  21396  mp2pm2mplem4  21403  plypf1  24798
 Copyright terms: Public domain W3C validator