Theorem coe1sfi 22083

Description: Finite support of univariate polynomial coefficient vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by AV, 19-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1sfi.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
coe1sfi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1sfi.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1sfi.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
coe1sfi	⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 finSupp 0 )

Proof of Theorem coe1sfi

Dummy variables 𝑦 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1sfi.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
2		coe1sfi.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
3		coe1sfi.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		df1o2 8471	. . . 4 ⊢ 1o = {∅}
5		nn0ex 12479	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
6		0ex 5300	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
7		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) = (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅))
8	4, 5, 6, 7	mapsncnv 8886	. . 3 ⊢ ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑦}))
9	1, 2, 3, 8	coe1fval2 22080	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 = (𝐹 ∘ ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅))))
10		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
11		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
12		coe1sfi.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
13	3, 2	ply1bascl2 22074	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 ∈ (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
14	3, 2	elbasfv 17157	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝑅 ∈ V)
15	10, 11, 12, 13, 14	mplelsfi 21892	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 finSupp 0 )
16	4, 5, 6, 7	mapsnf1o2 8887	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1-onto→ℕ0
17		f1ocnv 6838	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1-onto→ℕ0 → ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)):ℕ0–1-1-onto→(ℕ0 ↑m 1o))
18		f1of1 6825	. . . . 5 ⊢ (◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)):ℕ0–1-1-onto→(ℕ0 ↑m 1o) → ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)):ℕ0–1-1→(ℕ0 ↑m 1o))
19	16, 17, 18	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)):ℕ0–1-1→(ℕ0 ↑m 1o)
20	19	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)):ℕ0–1-1→(ℕ0 ↑m 1o))
21	12	fvexi 6898	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 0 ∈ V)
23		id 22	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 ∈ 𝐵)
24	15, 20, 22, 23	fsuppco 9396	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐹 ∘ ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅))) finSupp 0 )
25	9, 24	eqbrtrd 5163	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 finSupp 0 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468  ∅c0 4317   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  ^◡ccnv 5668   ∘ ccom 5673  –1-1→wf1 6533  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  1_oc1o 8457   ↑_m cmap 8819   finSupp cfsupp 9360  ℕ₀cn0 12473  Basecbs 17151  0_gc0g 17392   mPoly cmpl 21796  Poly₁cpl1 22047  coe₁cco1 22048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-tset 17223  df-ple 17224  df-psr 21799  df-mpl 21801  df-opsr 21803  df-psr1 22050  df-ply1 22052  df-coe1 22053

This theorem is referenced by:  coe1fsupp  22084  mptcoe1fsupp  22085  ply1coefsupp  22167  mptcoe1matfsupp  22655  mp2pm2mplem4  22662  plypf1  26097  evls1fpws  33155