Theorem coe1sfi 21384

Description: Finite support of univariate polynomial coefficient vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by AV, 19-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1sfi.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
coe1sfi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1sfi.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1sfi.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
coe1sfi	⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 finSupp 0 )

Proof of Theorem coe1sfi

Dummy variables 𝑦 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1sfi.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
2		coe1sfi.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
3		coe1sfi.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		df1o2 8304	. . . 4 ⊢ 1o = {∅}
5		nn0ex 12239	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
6		0ex 5231	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
7		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) = (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅))
8	4, 5, 6, 7	mapsncnv 8681	. . 3 ⊢ ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑦}))
9	1, 2, 3, 8	coe1fval2 21381	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 = (𝐹 ∘ ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅))))
10		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
11		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
12		coe1sfi.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
13	3, 2	ply1bascl2 21375	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 ∈ (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
14	3, 2	elbasfv 16918	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝑅 ∈ V)
15	10, 11, 12, 13, 14	mplelsfi 21201	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 finSupp 0 )
16	4, 5, 6, 7	mapsnf1o2 8682	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1-onto→ℕ0
17		f1ocnv 6728	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1-onto→ℕ0 → ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)):ℕ0–1-1-onto→(ℕ0 ↑m 1o))
18		f1of1 6715	. . . . 5 ⊢ (◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)):ℕ0–1-1-onto→(ℕ0 ↑m 1o) → ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)):ℕ0–1-1→(ℕ0 ↑m 1o))
19	16, 17, 18	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)):ℕ0–1-1→(ℕ0 ↑m 1o)
20	19	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)):ℕ0–1-1→(ℕ0 ↑m 1o))
21	12	fvexi 6788	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 0 ∈ V)
23		id 22	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 ∈ 𝐵)
24	15, 20, 22, 23	fsuppco 9161	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐹 ∘ ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅))) finSupp 0 )
25	9, 24	eqbrtrd 5096	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 finSupp 0 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432  ∅c0 4256   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ^◡ccnv 5588   ∘ ccom 5593  –1-1→wf1 6430  –1-1-onto→wf1o 6432  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  1_oc1o 8290   ↑_m cmap 8615   finSupp cfsupp 9128  ℕ₀cn0 12233  Basecbs 16912  0_gc0g 17150   mPoly cmpl 21109  Poly₁cpl1 21348  coe₁cco1 21349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-tset 16981  df-ple 16982  df-psr 21112  df-mpl 21114  df-opsr 21116  df-psr1 21351  df-ply1 21353  df-coe1 21354

This theorem is referenced by:  coe1fsupp  21385  mptcoe1fsupp  21386  ply1coefsupp  21466  mptcoe1matfsupp  21951  mp2pm2mplem4  21958  plypf1  25373