Theorem hoidmvval0b 44379

Description: The dimensional volume of the (half-open interval) empty set. Definition 115A (c) of [Fremlin1] p. 29. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoidmvval0b.l	⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
hoidmvval0b.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
hoidmvval0b.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
hoidmvval0b	⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐴) = 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑘   𝑋,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝜑,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐿(𝑥,𝑘,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hoidmvval0b

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6812	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝐿‘𝑋) = (𝐿‘∅))
2	1	oveqd 7334	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐴) = (𝐴(𝐿‘∅)𝐴))
3	2	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐴) = (𝐴(𝐿‘∅)𝐴))
4		hoidmvval0b.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
5		hoidmvval0b.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
6	5	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
7		feq2 6620	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝐴:𝑋⟶ℝ ↔ 𝐴:∅⟶ℝ))
8	7	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → (𝐴:𝑋⟶ℝ ↔ 𝐴:∅⟶ℝ))
9	6, 8	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐴:∅⟶ℝ)
10	4, 9, 9	hoidmv0val 44372	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → (𝐴(𝐿‘∅)𝐴) = 0)
11	3, 10	eqtrd 2777	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐴) = 0)
12		nfv 1916	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅)
13		hoidmvval0b.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
14	13	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
15	5	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
16		neqne 2949	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
17		n0 4291	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ≠ ∅ ↔ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑋)
18	16, 17	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑋 = ∅ → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑋)
19	18	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑋)
20		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → 𝑗 ∈ 𝑋)
21	5	ffvelcdmda 7001	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℝ)
22		eqidd 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑗) = (𝐴‘𝑗))
23	21, 22	eqled 11158	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗))
24	20, 23	jca 512	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)))
25	24	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑋 → (𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗))))
26	25	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → (𝑗 ∈ 𝑋 → (𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗))))
27	26	eximdv 1919	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑋 → ∃𝑗(𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗))))
28	19, 27	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ∃𝑗(𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)))
29		df-rex 3072	. . . 4 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗) ↔ ∃𝑗(𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)))
30	28, 29	sylibr 233	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ∃𝑗 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗))
31	12, 4, 14, 15, 15, 30	hoidmvval0 44376	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐴) = 0)
32	11, 31	pm2.61dan 810	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐴) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1540  ∃wex 1780   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2941  ∃wrex 3071  ∅c0 4267  ifcif 4471   class class class wbr 5087   ↦ cmpt 5170  ⟶wf 6462  ‘cfv 6466  (class class class)co 7317   ∈ cmpo 7319   ↑_m cmap 8665  Fincfn 8783  ℝcr 10950  0cc0 10951   ≤ cle 11090  [,)cico 13161  ∏cprod 15694  volcvol 24710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7630  ax-inf2 9477  ax-cnex 11007  ax-resscn 11008  ax-1cn 11009  ax-icn 11010  ax-addcl 11011  ax-addrcl 11012  ax-mulcl 11013  ax-mulrcl 11014  ax-mulcom 11015  ax-addass 11016  ax-mulass 11017  ax-distr 11018  ax-i2m1 11019  ax-1ne0 11020  ax-1rid 11021  ax-rnegex 11022  ax-rrecex 11023  ax-cnre 11024  ax-pre-lttri 11025  ax-pre-lttrn 11026  ax-pre-ltadd 11027  ax-pre-mulgt0 11028  ax-pre-sup 11029

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-int 4893  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5563  df-se 5564  df-we 5565  df-xp 5614  df-rel 5615  df-cnv 5616  df-co 5617  df-dm 5618  df-rn 5619  df-res 5620  df-ima 5621  df-pred 6225  df-ord 6292  df-on 6293  df-lim 6294  df-suc 6295  df-iota 6418  df-fun 6468  df-fn 6469  df-f 6470  df-f1 6471  df-fo 6472  df-f1o 6473  df-fv 6474  df-isom 6475  df-riota 7274  df-ov 7320  df-oprab 7321  df-mpo 7322  df-of 7575  df-om 7760  df-1st 7878  df-2nd 7879  df-frecs 8146  df-wrecs 8177  df-recs 8251  df-rdg 8290  df-1o 8346  df-2o 8347  df-er 8548  df-map 8667  df-pm 8668  df-en 8784  df-dom 8785  df-sdom 8786  df-fin 8787  df-fi 9247  df-sup 9278  df-inf 9279  df-oi 9346  df-dju 9737  df-card 9775  df-pnf 11091  df-mnf 11092  df-xr 11093  df-ltxr 11094  df-le 11095  df-sub 11287  df-neg 11288  df-div 11713  df-nn 12054  df-2 12116  df-3 12117  df-n0 12314  df-z 12400  df-uz 12663  df-q 12769  df-rp 12811  df-xneg 12928  df-xadd 12929  df-xmul 12930  df-ioo 13163  df-ico 13165  df-icc 13166  df-fz 13320  df-fzo 13463  df-fl 13592  df-seq 13802  df-exp 13863  df-hash 14125  df-cj 14889  df-re 14890  df-im 14891  df-sqrt 15025  df-abs 15026  df-clim 15276  df-rlim 15277  df-sum 15477  df-prod 15695  df-rest 17210  df-topgen 17231  df-psmet 20672  df-xmet 20673  df-met 20674  df-bl 20675  df-mopn 20676  df-top 22126  df-topon 22143  df-bases 22179  df-cmp 22621  df-ovol 24711  df-vol 24712

This theorem is referenced by:  hoidmvlelem2  44385