Theorem hoidmvval0b 46581

Description: The dimensional volume of the (half-open interval) empty set. Definition 115A (c) of [Fremlin1] p. 29. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoidmvval0b.l	⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
hoidmvval0b.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
hoidmvval0b.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
hoidmvval0b	⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐴) = 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑘   𝑋,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝜑,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐿(𝑥,𝑘,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hoidmvval0b

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6840	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝐿‘𝑋) = (𝐿‘∅))
2	1	oveqd 7386	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐴) = (𝐴(𝐿‘∅)𝐴))
3	2	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐴) = (𝐴(𝐿‘∅)𝐴))
4		hoidmvval0b.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
5		hoidmvval0b.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
6	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
7		feq2 6649	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝐴:𝑋⟶ℝ ↔ 𝐴:∅⟶ℝ))
8	7	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → (𝐴:𝑋⟶ℝ ↔ 𝐴:∅⟶ℝ))
9	6, 8	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐴:∅⟶ℝ)
10	4, 9, 9	hoidmv0val 46574	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → (𝐴(𝐿‘∅)𝐴) = 0)
11	3, 10	eqtrd 2764	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐴) = 0)
12		nfv 1914	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅)
13		hoidmvval0b.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
14	13	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
15	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
16		neqne 2933	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
17		n0 4312	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ≠ ∅ ↔ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑋)
18	16, 17	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑋 = ∅ → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑋)
19	18	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑋)
20		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → 𝑗 ∈ 𝑋)
21	5	ffvelcdmda 7038	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℝ)
22		eqidd 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑗) = (𝐴‘𝑗))
23	21, 22	eqled 11253	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗))
24	20, 23	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)))
25	24	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑋 → (𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗))))
26	25	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → (𝑗 ∈ 𝑋 → (𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗))))
27	26	eximdv 1917	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑋 → ∃𝑗(𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗))))
28	19, 27	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ∃𝑗(𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)))
29		df-rex 3054	. . . 4 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗) ↔ ∃𝑗(𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)))
30	28, 29	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ∃𝑗 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗))
31	12, 4, 14, 15, 15, 30	hoidmvval0 46578	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐴) = 0)
32	11, 31	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐴) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  ∅c0 4292  ifcif 4484   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ∈ cmpo 7371   ↑_m cmap 8776  Fincfn 8895  ℝcr 11043  0cc0 11044   ≤ cle 11185  [,)cico 13284  ∏cprod 15845  volcvol 25397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fi 9338  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-dju 9830  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-ioo 13286  df-ico 13288  df-icc 13289  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-sum 15629  df-prod 15846  df-rest 17361  df-topgen 17382  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-top 22814  df-topon 22831  df-bases 22866  df-cmp 23307  df-ovol 25398  df-vol 25399

This theorem is referenced by:  hoidmvlelem2  46587