Theorem hoidmvval0b 42879

Description: The dimensional volume of the (half-open interval) empty set. Definition 115A (c) of [Fremlin1] p. 29. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoidmvval0b.l	⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
hoidmvval0b.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
hoidmvval0b.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
hoidmvval0b	⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐴) = 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑘   𝑋,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝜑,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐿(𝑥,𝑘,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hoidmvval0b

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6672	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝐿‘𝑋) = (𝐿‘∅))
2	1	oveqd 7175	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐴) = (𝐴(𝐿‘∅)𝐴))
3	2	adantl 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐴) = (𝐴(𝐿‘∅)𝐴))
4		hoidmvval0b.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
5		hoidmvval0b.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
6	5	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
7		feq2 6498	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝐴:𝑋⟶ℝ ↔ 𝐴:∅⟶ℝ))
8	7	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → (𝐴:𝑋⟶ℝ ↔ 𝐴:∅⟶ℝ))
9	6, 8	mpbid 234	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐴:∅⟶ℝ)
10	4, 9, 9	hoidmv0val 42872	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → (𝐴(𝐿‘∅)𝐴) = 0)
11	3, 10	eqtrd 2858	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐴) = 0)
12		nfv 1915	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅)
13		hoidmvval0b.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
14	13	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
15	5	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
16		neqne 3026	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
17		n0 4312	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ≠ ∅ ↔ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑋)
18	16, 17	sylib 220	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑋 = ∅ → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑋)
19	18	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑋)
20		simpr 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → 𝑗 ∈ 𝑋)
21	5	ffvelrnda 6853	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℝ)
22		eqidd 2824	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑗) = (𝐴‘𝑗))
23	21, 22	eqled 10745	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗))
24	20, 23	jca 514	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)))
25	24	ex 415	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑋 → (𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗))))
26	25	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → (𝑗 ∈ 𝑋 → (𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗))))
27	26	eximdv 1918	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑋 → ∃𝑗(𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗))))
28	19, 27	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ∃𝑗(𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)))
29		df-rex 3146	. . . 4 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗) ↔ ∃𝑗(𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)))
30	28, 29	sylibr 236	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ∃𝑗 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗))
31	12, 4, 14, 15, 15, 30	hoidmvval0 42876	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐴) = 0)
32	11, 31	pm2.61dan 811	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐴) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537  ∃wex 1780   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  ∃wrex 3141  ∅c0 4293  ifcif 4469   class class class wbr 5068   ↦ cmpt 5148  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158   ∈ cmpo 7160   ↑_m cmap 8408  Fincfn 8511  ℝcr 10538  0cc0 10539   ≤ cle 10678  [,)cico 12743  ∏cprod 15261  volcvol 24066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-pm 8411  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fi 8877  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-dju 9332  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-ioo 12745  df-ico 12747  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-clim 14847  df-rlim 14848  df-sum 15045  df-prod 15262  df-rest 16698  df-topgen 16719  df-psmet 20539  df-xmet 20540  df-met 20541  df-bl 20542  df-mopn 20543  df-top 21504  df-topon 21521  df-bases 21556  df-cmp 21997  df-ovol 24067  df-vol 24068

This theorem is referenced by:  hoidmvlelem2  42885