Theorem hoidmvval0b 46776

Description: The dimensional volume of the (half-open interval) empty set. Definition 115A (c) of [Fremlin1] p. 29. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoidmvval0b.l	⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
hoidmvval0b.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
hoidmvval0b.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
hoidmvval0b	⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐴) = 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑘   𝑋,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝜑,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐿(𝑥,𝑘,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hoidmvval0b

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6832	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝐿‘𝑋) = (𝐿‘∅))
2	1	oveqd 7373	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐴) = (𝐴(𝐿‘∅)𝐴))
3	2	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐴) = (𝐴(𝐿‘∅)𝐴))
4		hoidmvval0b.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
5		hoidmvval0b.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
6	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
7		feq2 6639	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝐴:𝑋⟶ℝ ↔ 𝐴:∅⟶ℝ))
8	7	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → (𝐴:𝑋⟶ℝ ↔ 𝐴:∅⟶ℝ))
9	6, 8	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐴:∅⟶ℝ)
10	4, 9, 9	hoidmv0val 46769	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → (𝐴(𝐿‘∅)𝐴) = 0)
11	3, 10	eqtrd 2769	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐴) = 0)
12		nfv 1915	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅)
13		hoidmvval0b.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
14	13	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
15	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
16		neqne 2938	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
17		n0 4303	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ≠ ∅ ↔ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑋)
18	16, 17	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑋 = ∅ → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑋)
19	18	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑋)
20		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → 𝑗 ∈ 𝑋)
21	5	ffvelcdmda 7027	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℝ)
22		eqidd 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑗) = (𝐴‘𝑗))
23	21, 22	eqled 11234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗))
24	20, 23	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)))
25	24	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑋 → (𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗))))
26	25	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → (𝑗 ∈ 𝑋 → (𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗))))
27	26	eximdv 1918	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑋 → ∃𝑗(𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗))))
28	19, 27	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ∃𝑗(𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)))
29		df-rex 3059	. . . 4 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗) ↔ ∃𝑗(𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)))
30	28, 29	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ∃𝑗 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗))
31	12, 4, 14, 15, 15, 30	hoidmvval0 46773	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐴) = 0)
32	11, 31	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐴) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∃wrex 3058  ∅c0 4283  ifcif 4477   class class class wbr 5096   ↦ cmpt 5177  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356   ∈ cmpo 7358   ↑_m cmap 8761  Fincfn 8881  ℝcr 11023  0cc0 11024   ≤ cle 11165  [,)cico 13261  ∏cprod 15824  volcvol 25418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8763  df-pm 8764  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fi 9312  df-sup 9343  df-inf 9344  df-oi 9413  df-dju 9811  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-q 12860  df-rp 12904  df-xneg 13024  df-xadd 13025  df-xmul 13026  df-ioo 13263  df-ico 13265  df-icc 13266  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-fl 13710  df-seq 13923  df-exp 13983  df-hash 14252  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-clim 15409  df-rlim 15410  df-sum 15608  df-prod 15825  df-rest 17340  df-topgen 17361  df-psmet 21299  df-xmet 21300  df-met 21301  df-bl 21302  df-mopn 21303  df-top 22836  df-topon 22853  df-bases 22888  df-cmp 23329  df-ovol 25419  df-vol 25420

This theorem is referenced by:  hoidmvlelem2  46782